Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 6851–6900

Aufgabe 17
Größter Funktionswert in einem Intervall
Gegeben ist die differenzierbare Funktion g : [0; b ] → ℝ , t ↦ g ( t ).
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion g ′ dargestellt.
g ′ ( t )
g ′
t
b
O
An der Stelle t 1 nimmt g den größten Funktionswert im Intervall [0; b ] an.
Aufgabenstellung:
Markieren Sie in der obigen Abbildung die Stelle t 1 .
[0 / 1 P.]

Aufgabe 18
Bestimmtes Integral
In der unten stehenden Abbildung sind die Graphen der Polynomfunktion 3. Grades f und der
linearen Funktion g dargestellt.
Die Graphen von f und g sind symmetrisch zum Koordinatenursprung und schneiden einander in
den Punkten ( a | f ( a )), (0 | 0) und ( x 3 | f ( x 3 )).
f ( x ), g ( x )
f
x
O
g
a x
1
x
2
x
3
Es gilt: I =
∫
b
a
( f ( x ) – g ( x )) d x für b > a
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Für b < x 1 ist I < 0.
Für b = 0 ist I = 0.
Für b = x 2 ist I < 0.
Für b = x
3
ist I = 0.
Für b > x 3 ist I > 0.
[0 / 1 P.]

Aufgabe 19
Studium
Die Anzahl der Personen, die ein bestimmtes Studium begonnen haben, und die Anzahl der
Personen, die dieses Studium im ersten Semester abgebrochen haben, sind in der nach -
stehenden Grafik dargestellt.
0
100
200
300
400
500
600
700
50
150
250
350
450
550
650
750
2016 2017 2018 2019
Anzahl der Personen, die das Studium begonnen haben
Anzahl der Personen, die das Studium im
ersten Semester abgebrochen haben
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die prozentuelle Zunahme der Anzahl der Personen, die das Studium begonnen haben, war im
Zeitraum
1
am größten; der relative Anteil der Personen, die dieses Studium im
ersten Semester abgebrochen haben, ist im Zeitraum von 2016 bis 2019
2
.
1
von 2016 bis 2017
von 2017 bis 2018
von 2018 bis 2019
2
gleich geblieben
gesunken
gestiegen
[0 / ½ / 1 P.]

Aufgabe 20
Diagramme
Im nachstehenden Stängel-Blatt-Diagramm sind 20 Werte angegeben.
1 4 4 5 5 5 7
2 1 1 1 1 1 2 2 7 7
3 1 1 1 2 9
Die Daten aus dem obigen Stängel-Blatt-Diagramm werden als Histogramm dargestellt.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks in den unten stehenden Histogrammen entspricht der
absoluten Häufi gkeit der Werte in der jeweiligen Klasse.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie das zum obigen Stängel-Blatt-Diagramm passende Histogramm an. [1 aus 6]
38 34 30 26 22 18 14 0 42
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
38 34 30 26 22 18 14 0 42
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
38 34 30 26 22 18 14 0 42
10
8
6
4
2
0
38 34 30 26 22 18 14 0 42
10
8
6
4
2
0
38 34 30 26 22 18 14 0 42
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
38 34 30 26 22 18 14 0 42
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
[0 / 1 P.]

Aufgabe 21
Median
Gegeben ist eine geordnete Datenliste mit 10 Werten: x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ x 4 ≤ x 5 ≤ x 6 ≤ x 7 ≤ x 8 ≤ x 9 ≤ x 10
Die Werte x 5 und x 6 werden aus dieser Datenliste entfernt. Dadurch entsteht eine Datenliste mit
8 Werten. Der Median der neuen Datenliste entspricht dem Wert x 7 der ursprünglichen Datenliste.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige Gleichung an, die in jedem Fall erfüllt sein muss. [1 aus 6]
x
1
+ x
10
2
= x 7
x
3
+ x
8
2
= x 7
x
8
= x
7
x
4
= x
7
x
10
– x
1
= x
7
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
7
+ x
8
+ x
9
+ x
10
8
= x 7
[0 / 1 P.]

Aufgabe 22
Wahlpflichtgegenstände
In einer bestimmten Mädchenschule müssen die Schülerinnen der 10. Schulstufe genau einen
von fünf Wahlpflichtgegenständen wählen.
Die jeweilige Anzahl der Schülerinnen, die einen bestimmten Wahlpflichtgegenstand gewählt haben,
ist in der nachstehenden Tabelle angeführt.
Wahlpflichtgegenstand Anzahl Schülerinnen
Sportkunde 29
Geografie 18
Biologie 41
Physik a
Englisch 24
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine nach dem Zufallsprinzip ausgewählte Schülerin der 10. Schul-
stufe Physik als Wahlpflichtgegenstand gewählt hat, wird mit p bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie mithilfe von a einen Term zur Berechnung von p auf.
p =
[0 / 1 P.]

Aufgabe 23
Erwartungswert
Die nachstehende Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X . Diese
Zufallsvariable kann nur die angegebenen Werte xi annehmen.
xi
1 2 3 4 5
P ( X = xi ) 0,2 p 0,2 0,2 0,1
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert E ( X ) der Zufallsvariablen X .
[0 / 1 P.]

Aufgabe 24
Elektrobauteile
Produzierte Elektrobauteile werden regelmäßig auf ihre Funktionstüchtigkeit hin überprüft.
Aus Erfahrung weiß man, dass 2 % aller produzierten Elektrobauteile nicht funktionstüchtig sind.
Es werden 100 Stück der produzierten Elektrobauteile nach dem Zufallsprinzip entnommen.
Die binomialverteilte Zufallsvariable X gibt dabei die Anzahl derjenigen entnommenen Elektrobau-
teile an, die nicht funktionstüchtig sind.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 4 der 100 entnommenen Elektrobauteile
nicht funktionstüchtig sind.
[0 / 1 P.]

Aufgabe 1
Zahlenmengen
Im Folgenden sind vier Zahlenmengen und sechs Zahlen angegeben.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Zahlenmengen jeweils diejenige Zahl aus A bis F zu, die in dieser Zahlen -
menge enthalten ist.
ℕ
ℤ \ ℕ
ℚ \ ℤ
ℂ \ ℝ
A

7
B
π
4
C
20
5
D –

169
E 2 ∙ i
F 1,4
∙
[0 / ½ / 1 P.]

Aufgabe 2
Küchenaktion
Im Rahmen einer Küchenaktion verringert ein Möbelhaus den Nettopreis N einer bestimmten
Einbauküche um 25 %.
Der Verkaufspreis P setzt sich aus dem verringerten Nettopreis und einer Mehrwertsteuer von
20 % auf diesen verringerten Nettopreis zusammen.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie mithilfe von P eine Formel zur Berechnung von N auf.
N =
[0 / 1 P.]

Aufgabe 3
Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen
Gegeben ist das nachstehende lineare Gleichungssystem in den Variablen x und y mit a , c ∈ ℝ .
a · x + 4 · y = 8
7 · x – 2 · y = c
Das Gleichungssystem hat unendlich viele reelle Lösungen.
Aufgabenstellung:
Geben Sie a und c an.
a =
c =
[0 / 1 P.]

Aufgabe 4
Vektoren in der Ebene
In der unten stehenden Abbildung sind die Vektoren u und v mit u , v ∈ ℝ
2
sowie der Punkt A
dargestellt.
Es gilt: w = 3 ∙ u – 2 ∙ v
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Vektor w ausgehend vom Punkt A ein.
u
v
y
x
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11
A
[0 / 1 P.]

Aufgabe 5
Lagebeziehung von Geraden
Gegeben sind Parameterdarstellungen der Geraden g und h .
g : X = (
0
2
) + r ∙ (
1
–3
) mit r ∈ ℝ
h : X = (
0
–2
) + s ∙ (
–2
6
) mit s ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Begründen Sie mathematisch, warum g und h parallel, aber nicht identisch sind.
[0 / 1 P.]

Aufgabe 6
Sendemast
Die Punkte A , B und T liegen in einer horizontalen Ebene auf einer Geraden. Im Punkt T steht ein
Sendemast mit der Spitze S . Die Spitze S ist unter anderem durch straff gespannte Seile mit den
Punkten A und B verbunden. Die Seile werden durch die Strecken AS und BS modelliert. (Siehe
nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung.)
55°
23°
S
T B A
Die Strecke mit der Länge x kann mithilfe der nachstehenden Formel berechnet werden.
AT ∙ tan(55°) = x ∙ cos(23°)
Aufgabenstellung:
Markieren Sie die Strecke x in der obigen Abbildung.
[0 / 1 P.]

Aufgabe 7
Längenausdehnung
Stäbe aus verschiedenen Materialien, die bei einer Temperatur von 0 °C jeweils eine Länge von
1 m haben, werden von 0 °C auf 100 °C erwärmt. Dabei vergrößert sich die Länge der Stäbe
(Längenausdehnung).
Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft diese Längenausdehnung ∆ l in mm.
80 60 40 20 0 100
1
0,5
0
1,5
2,5
2
Temperatur in °C
∆ l in mm
Aluminium
Kupfer
Eisen
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Der Stab aus Aluminium dehnt sich bei einer Erwärmung von 20 °C auf
100 °C um rund 1,9 mm aus.
Der Stab aus Eisen dehnt sich bei einer Erwärmung von 0 °C auf 100 °C auf
eine Länge von rund 1,2 m aus.
Werden der Stab aus Kupfer und der Stab aus Eisen von 0 °C auf 40 °C
erwärmt, so ist bei dieser Erwärmung die Längenausdehnung des Stabs aus
Kupfer doppelt so groß wie die Längenausdehnung des Stabs aus Eisen.
Der Stab aus Aluminium dehnt sich bei einer Erwärmung um 10 °C um
rund 0,24 mm aus.
Werden der Stab aus Aluminium und der Stab aus Eisen von 0 °C auf 100 °C
erwärmt, so ist der Stab aus Aluminium nach der Erwärmung doppelt so lang
wie der Stab aus Eisen.
[0 / 1 P.]

Aufgabe 8
Kostenfunktion
Gegeben ist die Kostenfunktion K : [0; a ] → ℝ
+
mit K ( x ) = K v ( x ) + F .
x ... produzierte Menge in ME
K ( x ) ... Gesamtkosten für die produzierte Menge x in GE
K v ( x ) ... variable Kosten für die produzierte Menge x in GE
F ... Fixkosten in GE
In der nachstehenden Abbildung sind F und der Graph von K v dargestellt.
K
v
( x ), K ( x ) in GE
x in ME
K
v
F
0 a
0
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Kostenfunktion K im Intervall [0; a ].
[0 / 1 P.]

Aufgabe 9
Erdgas
Die Kosten eines Haushalts für den Verbrauch von Erdgas setzen sich aus einer Grundgebühr
und einem Geldbetrag für die Anzahl der verbrauchten Kilowattstunden (kWh) zusammen. Pro
verbrauchter kWh ist jeweils der gleiche Geldbetrag zu zahlen.
In der nachstehenden Tabelle sind die jährlichen Kosten für zwei verschiedene Verbrauchswerte
angegeben.
Verbrauch (in kWh) jährliche Kosten (in Euro)
12 500 598
15 000 708
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Grundgebühr (in Euro) und den Geldbetrag pro verbrauchter kWh (in Cent) an.
Grundgebühr: Euro
Geldbetrag pro verbrauchter kWh: Cent
[0 / 1 P.]

Aufgabe 10
Weintank
Ein bestimmter Weintank wird ausgepumpt.
Die Funktion D : ℝ
+
→ ℝ
+
ordnet der konstanten Auspumprate v die Dauer D ( v ), die für das voll-
ständige Auspumpen dieses Weintanks benötigt wird, zu ( v in L/h, D ( v ) in h).
Bei der Auspumprate v = 200 L/h werden 10 h für das vollständige Auspumpen dieses Wein-
tanks benötigt.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die Funktion D beschreibt
1
Proportionalität und es gilt:
2
.
1
eine direkte
keine
eine indirekte
2
D ( v ) =
2 000
v
D ( v ) =
1
2 000 + v
D ( v ) = 2 000 ∙ v
[0 / 1 P.]

Aufgabe 11
Wirkstoff
Lisa nimmt eine Tablette mit einem bestimmten Wirkstoff ein. Es wird angenommen, dass der
Wirkstoff in Lisas Körper ab Beobachtungsbeginn exponentiell abgebaut wird.
Die Menge dieses Wirkstoffs in Lisas Körper in Abhängigkeit von der Zeit t kann modellhaft durch
die Funktion d beschrieben werden.
Es gilt:
d ( t ) = a ∙ ℯ
λ ∙ t
mit a ∈ ℝ und λ ∈ ℝ \{0}
t ... Zeit in h mit t = 0 für den Beobachtungsbeginn
d ( t ) ... Menge des Wirkstoffs in Lisas Körper zum Zeitpunkt t in Mikrogramm
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Es gilt
1
und
2
.
1
a < 0
a = 0
a > 0
2
λ < 0
λ ∈ (0; 1)
λ > 1
[0 / ½ / 1 P.]

Aufgabe 12
Sinusfunktion
Gegeben ist eine Sinusfunktion f mit f ( x ) = 5 ∙ sin( b ∙ x ) mit b ∈ ℝ
+
. Die (kleinste) Periodenlänge
von f wird mit T bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Funktionswert f
(
3 ∙ T
4
)
.
f
(
3 ∙ T
4
)
=
[0 / 1 P.]

Aufgabe 13
Differenzen- und Differenzialquotient
Gegeben sind der Graph einer Polynomfunktion f sowie die Punkte A = ( xA | f ( xA )) und
B = ( xB | f ( xB )).
f ( x )
x
B
A
O
x
A
x
B
f
Für den Punkt P = ( xP | f ( xP )) gilt: f ′ ( xP ) =
f ( xB ) – f ( xA )
xB
– xA
Aufgabenstellung:
Markieren Sie in der obigen Abbildung den Punkt P .
[0 / 1 P.]

Aufgabe 14
Temperaturverlauf
An einem bestimmten Tag wurde bei einer Messstation von 0 Uhr bis 24 Uhr die Temperatur der
Luft gemessen.
Der Temperaturverlauf im Zeitraum von 0 Uhr bis 24 Uhr kann durch die Funktion T modelliert
werden.
t ... Zeit in h mit t = 0 für 0 Uhr
T ( t ) ... Temperatur zum Zeitpunkt t in °C
Um 12 Uhr war die Temperatur um 9 °C höher als um 0 Uhr.
Der Differenzenquotient von T im gesamten Zeitintervall [0 h; 24 h] betrug 0,1 °C/h.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Differenzenquotienten von T für das Zeitintervall [12 h; 24 h].
_____________ °C/h
[0 / 1 P.]

Aufgabe 15
Stammfunktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer quadratischen Funktion f dargestellt.
f ( x )
f
– a a O
x
Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f .
Im dargestellten Bereich liegen genau eine Maximumstelle x max und genau eine Wendestelle x W
der Funktion F .
Aufgabenstellung:
Geben Sie x max und x W an.
x max =
x W =
[0 / ½ / 1 P.]

Aufgabe 16
Ableitungen
Nachstehend ist ein Ausschnitt des Graphen der Polynomfunktion f dargestellt.
f ( x )
f
x
0 2 1 3 –2 –3 –5 –4 –1
1
2
–2
–3
–1
0
Die unten angeführten Aussagen betreffen Werte der 1. und 2. Ableitung von f .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Für alle x aus dem Intervall [–5; –3] ist f ′ ( x ) negativ.
Für alle x aus dem Intervall [–5; –3] ist f ″ ( x ) negativ.
Es gibt ein x aus dem Intervall [–1; 1], für das f ′ ( x ) = 0 gilt.
Es gibt ein x aus dem Intervall [–1; 1], für das f ″ ( x ) = 0 gilt.
f ′ (1) ist negativ.
[0 / 1 P.]

Aufgabe 17
Abschätzung eines bestimmten Integrals
Nachstehend ist eine Wertetabelle der Polynomfunktion f gegeben.
x f ( x )
0 1
1 3
2 5
3 8
4 9
5 11
Im Intervall [0; 5] ist f streng monoton steigend.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
0 <
∫
5
0
f ( x ) d x < 5
∫
5
0
f ( x ) d x < 5 ∙ f (5)
3 ∙ f (3) + 2 ∙ f (5) <
∫
5
0
f ( x ) d x
1 <
∫
5
0
f ( x ) d x < 11
1 ∙ ( f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4)) <
∫
5
0
f ( x ) d x
[0 / 1 P.]

Aufgabe 18
Zurückgelegter Weg
Die Geschwindigkeit eines bestimmten Fahrzeugs wird durch die Funktion v modelliert.
Es gilt:
v ( t ) = 0,0008 · t
3
– 0,108 · t
2
+ 2,7 · t mit 0 ≤ t ≤ 33
t ... Zeit in s
v ( t ) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in m/s
Nach 15 s erreicht das Fahrzeug seine Höchstgeschwindigkeit.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Länge des Weges, den das Fahrzeug bis zum Erreichen der Höchstgeschwin-
digkeit zurückgelegt hat, in Metern.
[0 / 1 P.]

Aufgabe 19
Körpergröße
Von 200 Kindern wurden die Körpergrößen auf Zentimeter genau ermittelt. Die ermittelten Mess-
daten sind im nachstehenden Boxplot dargestellt.
Körpergröße in cm
134 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 135
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf jeden Fall zutreffen. [2 aus 5]
Mindestens 25 % der Kinder haben eine ermittelte
Körpergröße von genau 118 cm.
Mindestens 75 % der Kinder haben eine ermittelte
Körpergröße von höchstens 127 cm.
Mindestens 75 % der Kinder haben eine ermittelte
Körpergröße von mindestens 120 cm.
Es gibt genau ein Kind, das eine ermittelte Körpergröße
von 135 cm hat.
Es gibt Kinder, die eine ermittelte Körpergröße von genau
125 cm haben.
[0 / 1 P.]

Aufgabe 20
Statistische Kennzahlen
Gegeben ist eine geordnete Datenliste mit 6 Zahlen ( n > 3).
n n + 1 n + 2 n + 3 2 ∙ n 3 ∙ n
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen der jeweils zutreffenden
Satzteile so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Das arithmetische Mittel der Datenliste beträgt
1
; die Spannweite der Datenliste
beträgt
2
.
1
9 ∙ n + 6
9 ∙ n
6
9 ∙ n + 6
6
2
n
2 ∙ n
3 ∙ n
[0 / ½ / 1 P.]

Aufgabe 21
Vogelzählung
In einem bestimmten Gebiet wird von einer Tierschutzorganisation eine Vogelzählung durchge-
führt.
Die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt erhobenen Ergebnisse dieser Vogelzählung sind in der
nachstehenden Tabelle angegeben.
Vogelart Anzahl
Kohlmeise 17 427
Amsel 9 958
sonstige Vögel 83 580
Mithilfe der in der obigen Tabelle angegebenen Werte wird der Schätzwert p für die Wahrschein-
lichkeit ermittelt, dass der nächste gesichtete Vogel eine Kohlmeise ist.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie p .
p =
[0 / 1 P.]

Aufgabe 22
Brettspiel
Lisa spielt gegen Peter ein bestimmtes Brettspiel, bei dem man entweder gewinnt oder verliert.
Erfahrungsgemäß gewinnt Lisa jede Partie unabhängig von den anderen Partien mit einer Wahr-
scheinlichkeit von 60 %.
An einem bestimmten Tag spielt Lisa n Partien dieses Brettspiels gegen Peter ( n > 2).
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Wahrscheinlichkeiten jeweils das mit dieser Wahrscheinlichkeit eintretende
Ereignis aus A bis F zu.
1 – 0,6
n
1 – 0,4
n
n ∙ 0,6
n – 1
∙ 0,4 + 0,6
n
0,4
n
A Lisa gewinnt alle Partien.
B Lisa verliert alle Partien.
C Lisa gewinnt mindestens 1 Partie.
D Lisa verliert höchstens 1 Partie.
E Lisa gewinnt höchstens 1 Partie.
F Lisa verliert mindestens 1 Partie.
[0 / ½ / 1 P.]

Aufgabe 23
Glücksrad
In der Mitte des unten abgebildeten Glücksrads ist ein drehbarer Zeiger montiert. Für jede Drehung
des Zeigers gilt:
• Der Zeiger bleibt in jedem Sektor mit der Wahrscheinlichkeit
1
6
stehen.
• Man gewinnt € 1, wenn der Zeiger nach dem Drehen in einem weißen Sektor stehen bleibt.
• Man verliert € 5, wenn der Zeiger nach dem Drehen im grauen Sektor stehen bleibt.
Die möglichen Gewinne bei 1-maligem Drehen sind im nachstehend abgebildeten Glücksrad
dargestellt.
€ 1 € 1
€ 1 € 1
€ 1 € –5
Der Zeiger wird 2-mal gedreht. Die beiden Drehungen sind unabhängig voneinander. Die Zufalls-
variable X gibt den gesamten Gewinn bei diesen beiden Drehungen an.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die Menge
1
besteht ausschließlich aus allen möglichen Werten, die die Zufalls -
variable X annehmen kann; für den Erwartungswert E ( X ) gilt:
2
.
1
{–10; –4; 2}
{–10; –5; –4; 1; 2}
{–10; 2}
2
E ( X ) = 0
E ( X ) < 0
E ( X ) > 0
[0 / 1 P.]

Aufgabe 24
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Gegeben sind die zwei binomialverteilten Zufallsvariablen X und Y .
Die unten stehenden Abbildungen zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X und Y . Zu
jedem Wert von X gibt es einen Wert von Y , der die gleiche Wahrscheinlichkeit hat wie X , und
umgekehrt.
Es gilt:
P ( X = k ) = P ( Y = 12 – k ) für alle k = 0, 1, 2, ... ,12
P ( X = k )
k
20 %
15 %
10 %
5 %
0 %
25 %
10 8 6 4 2 0 12
P ( Y = k )
k
20 %
15 %
10 %
5 %
0 %
25 %
10 8 6 4 2 0 12
Der Erwartungswert von X wird mit E ( X ) und die Standardabweichung von X mit σ ( X ) bezeichnet.
Der Erwartungswert von Y wird mit E ( Y ) und die Standardabweichung von Y mit σ ( Y ) bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Bei den beiden binomialverteilten Zufallsvariablen gilt für die Erwartungswerte
1
und für die Standardabweichungen
2
.
1
E ( X ) < E ( Y )
E ( X ) = E ( Y )
E ( X ) > E ( Y )
2
σ ( X ) < σ ( Y )
σ ( X ) = σ ( Y )
σ ( X ) > σ ( Y )
[0 / ½ / 1 P.]

Aufgabe 25 (Teil 2)
Golf
Beim Golf ist der sogenannte Abschlag der erste Schlag, der auf einer Spielbahn gespielt wird.
Modellhaft wird angenommen, dass der Golfball den Boden im Abschlagpunkt verlässt und dass
die betrachtete Spielbahn eben bzw. waagrecht ist.
Aufgabenstellung:
a) Die Flugbahn eines bestimmten Golfballs nach dem Abschlag wird durch die quadratische
Funktion h 1 modelliert.
x ... waagrechte Entfernung vom Abschlagpunkt in m
h 1 ( x ) ... Flughöhe des Golfballs bei der Entfernung x in m
Der Golfball erreicht an der Stelle x = 120 die größte Flughöhe.
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
An der Stelle x = 60 gilt
1
und an der Stelle x = 120 gilt
2
.
1
h
1
׳ (60) = 0
h 1 ׳ (60) > 0
h
1
׳ (60) < 0
2
h 1 (120) = 0
h 1 ׳ (120) = 0
h
1
״ (120) = 0
Die Flugbahn eines anderen Golfballs nach dem Abschlag wird durch die Funktion h 2 modelliert.
h 2 ( x ) = –
1
140 000
∙ x
3
+
5
16
∙ x
x ... waagrechte Entfernung vom Abschlagpunkt in m
h 2 ( x ) ... Flughöhe des Golfballs bei der Entfernung x in m
2) Berechnen Sie diejenige waagrechte Entfernung vom Abschlagpunkt, in der der Golfball
auf dem Boden auftrifft. [0 / 1 P.]
b) Beim Abschlag besteht ein Zusammenhang zwischen der Schlägerkopfgeschwindigkeit (Ge-
schwindigkeit, mit der der Golfball vom Schläger getroffen wird) und der Ballgeschwindigkeit
(Geschwindigkeit, mit der der Golfball den Abschlagpunkt verlässt).
Dieser Zusammenhang kann modellhaft als direkt proportional angenommen und durch die
Funktion b beschrieben werden.
v ... Schlägerkopfgeschwindigkeit in m/s
b ( v ) ... Ballgeschwindigkeit bei der Schlägerkopfgeschwindigkeit v in m/s
Bei einem bestimmten Abschlag beträgt die Schlägerkopfgeschwindigkeit 45 m/s und die
Ballgeschwindigkeit 65 m/s.
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von b auf.
b ( v ) = [0 / 1 P.]
c) Die Schlagweite gibt die waagrechte Entfernung vom Abschlagpunkt bis zu demjenigen Punkt
an, auf dem der Golfball zum Liegen kommt.
Bei 20 Abschlägen erzielt John die Schlagweiten L
1
, L
2
, ... , L
20
.
Das arithmetische Mittel dieser 20 Schlagweiten wird mit L bezeichnet.
Für die beim 21. Abschlag erzielte Schlagweite L
21
gilt: L
21
= L + d mit d > 0
Das arithmetische Mittel dieser 21 Schlagweiten wird mit L
neu
bezeichnet.
1) Tragen Sie die in der nachstehenden Gleichung fehlende Zahl ein.
L
neu
= L + ∙ d [0 / 1 P.]

Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Blobbing
Blobbing ist eine Wassersportart.
Eine Person (der Blobber) sitzt dabei auf einem im Wasser treibenden Luftkissen. Eine weitere
Person (der Jumper) springt von einem Sprungturm aus auf das Luftkissen und schleudert da-
durch den Blobber in die Luft, bevor dieser im Wasser landet.
Aufgabenstellung:
a) In der nebenstehenden (nicht
maßstabgetreuen) Abbildung
wird eine Situation beim Blobbing
modelliert.
B
Wasseroberfläche
Luftkissen
h
J
O
Sprungturm
α
h ( x ) in m
x in m
Unmittelbar vor dem Absprung befi ndet sich der Jumper im Punkt J = (0,5 | 8) und der
Blobber im Punkt B = (8 | 2,4). Der Jumper sieht den Blobber unter dem Tiefenwinkel α .
1) Berechnen Sie α . [0 / 1 P.]
Die Funktion h mit h ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c mit a , b , c ∈ ℝ und a ≠ 0 beschreibt modellhaft
die Flugbahn des Blobbers vom Wegschleudern bis zum Auftreffen auf die Wasseroberfl äche.
x ... waagrechte Entfernung des Blobbers vom Sprungturm in m
h ( x ) ... Höhe des Blobbers über der Wasseroberfläche an der Stelle x in m
Die maximale Höhe des Blobbers entspricht 65 % der Absprunghöhe des Jumpers und wird
in einer waagrechten Entfernung von 10,5 m vom Sprungturm erreicht.
2) Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem die Koeffi zienten a , b und c der Funktion h
berechnet werden können. [0 / ½ / 1 P.]
Gemäß diesem Modell trifft der Blobber in einer bestimmten waagrechten Entfernung vom
Sprungturm auf die Wasseroberfl äche.
3) Berechnen Sie diese Entfernung. [0 / 1 P.]
b) Bei einem bestimmten Blobbing-Wettbewerb werden die erreichten Höhen von 20 am Wett-
bewerb teil nehmenden Blobbern auf Dezimeter genau gemessen.
Folgende Ergebnisse werden veröffentlicht:
• Die geringste erreichte Höhe beträgt 1,2 m und die größte erreichte Höhe beträgt 7,9 m.
• Genau 7 Blobber erreichten eine Höhe von höchstens 3 m.
• Genau 10 Blobber überschritten eine Höhe von 3 m und erreichten eine Höhe von
höchstens 4,5 m.
1) Kreuzen Sie die beiden auf jeden Fall zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] [0 / 1 P.]
Der Median der erreichten Höhen ist
mindestens 4,5 m.
Das arithmetische Mittel der erreichten
Höhen ist kleiner als 4,5 m.
Die Spannweite der erreichten Höhen ist
mindestens 8,4 m.
Der Modus der erreichten Höhen ist
höchstens 3 m.
Die relative Häufigkeit der erreichten
Höhen von mehr als 4,5 m beträgt 0,15.

Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Freizeitpark
In einem Freizeitpark werden neue Attraktionen und Fahrgeschäfte errichtet.
Aufgabenstellung:
a) Es wird ein neues Riesenrad errichtet. Die Gondeln dieses Riesenrads bewegen sich im Test-
betrieb modellhaft mit der konstanten Geschwindigkeit v (in km/h) entlang einer Kreisbahn mit
einem Durchmesser von 96 m. Eine Gondel wird modellhaft als Punkt auf dieser Kreisbahn
angenommen.
Für eine volle Umdrehung benötigt eine Gondel 20 min.
1) Berechnen Sie v in km/h. [0 / 1 P.]
Eine bestimmte Gondel befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 auf der Höhe des Mittelpunkts ihrer
Kreisbahn in der Aufwärtsbewegung.
Die Höhe dieser Gondel relativ zum Mittelpunkt ihrer Kreisbahn in Abhängigkeit von der Zeit t
kann durch die Funktion f : ℝ 0
+
→ ℝ modelliert werden.
Es gilt:
f ( t ) = a ∙ sin( b ∙ t )
t ... Zeit in min
f ( t ) ... Höhe der Gondel relativ zum Mittelpunkt ihrer Kreisbahn zum Zeitpunkt t in m
a , b ... positive reelle Parameter
2) Ermitteln Sie a und b .
a = m
b = rad/min [0 / ½ / 1 P.]
b) Die Grundfläche des neuen Autodroms hat annähernd die Form eines regelmäßigen 8-Ecks
(siehe nachstehende Abbildung).
a
a
a a
a
a
a
a
r r
Es gilt: cos
(
ψ
2
)
=
a
2
r
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel ψ ein. [0 / 1 P.]
c) Bei jedem Fahrgeschäft erhält der Fahrgast ein Ticket, das nach dem Zufallsprinzip in
1 von n Farben unabhängig von den anderen Tickets ausgedruckt wird ( n ≥ 3).
Hat der Fahrgast 3 Tickets unterschiedlicher Farbe gesammelt, so gewinnt er einen Preis.
Die Anzahl n der Farben wird dabei so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn
eines Preises beim Kauf von 3 Tickets mindestens 70 % beträgt.
1) Berechnen Sie, wie groß n dafür mindestens sein muss.
n = [0 / 1 P.]

Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Pistazien
Pistazien werden meist mit ihrer Schale angeboten.
Aufgabenstellung:
a) Das Unternehmen Pistazienwunder füllt Pistazien in Packungen ab und verkauft sie.
Die Kosten für die Produktion dieser Packungen werden durch die Polynomfunktion K
modellhaft beschrieben. Der Erlös aus dem Verkauf dieser Packungen wird durch die lineare
Funktion E modellhaft beschrieben.
Es wird angenommen, dass alle produzierten Packungen auch verkauft werden.
Es gilt:
K ( x ) =
x
3
10
6 –
15 · x
2
10
4 + 1,5 · x + 1 000
E ( x ) = p · x
x ... Anzahl der produzierten und verkauften Packungen
K ( x ) ... Kosten für die Produktion von x Packungen in Euro
E ( x ) ... Erlös aus dem Verkauf von x Packungen in Euro
p ... Verkaufspreis in Euro pro Packung
Der maximale Gewinn wird beim Verkauf von 1 500 Packungen erzielt.
1) Berechnen Sie p . [0 / 1 P.]
Dem Unternehmen Pistazienwunder gelingt es, die Fixkosten für die Produktion der Packungen
zu senken. Alle anderen Rahmenbedingungen bleiben unverändert.
Lisa behauptet: „Obwohl die Fixkosten geringer sind, wird weiterhin bei einem Verkauf von
1 500 Pistazien-Packungen der maximale Gewinn erzielt.“
2) Begründen Sie, warum Lisas Behauptung richtig ist. [0 / 1 P.]
b) Das Logo des Unternehmens Pistazienwunder hat
die Form einer Pistazie in der Ansicht von der Seite
(siehe nebenstehende Abbildung).
f ( x ), g
1
( x ), g
2
( x ) in LE
x in LE
g
1
g
2
f
6 4 2 0 –2 –4 –6 –8 8
0
–2
–4
–6
10
8
6
4
2
Es gilt:
g
1
( x ) = k
1
· x + d
1
mit –6 ≤ x ≤ –3
g
2
( x ) = k
2
· x + d
2
mit 3 ≤ x ≤ 6
f ( x ) = –0,5 · x
2
+ 10 mit –2 ≤ x ≤ 2
x , f ( x ), g
1
( x ), g
2
( x ) ... Maße in Längeneinheiten (LE)
k
1
, k
2
, d
1
, d
2
... reelle Parameter
Der größere Teil des Logos wird von den Graphen der Funktionen g
1
und g
2
und zwei
weiteren Strecken sowie von einem Halbkreis mit dem Mittelpunkt M = (0 | 0) und dem
Radius r = 6 LE begrenzt.
Der kleinere Teil des Logos wird vom Graphen der Funktion f und von zwei Strecken begrenzt
und ist in der Abbildung grau markiert dargestellt.
Die Eckpunkte des größeren Teils des Logos haben ganzzahlige Koordinaten.
1) Berechnen Sie den Anteil pA
des Flächeninhalts der grau markierten Fläche am gesamten
Flächeninhalt des Logos in Prozent. [0 / 1 P.]
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Für die Funktionen g
1
und g
2
gilt:
1
und
2
.
1
k
1
= – k
2
k
1
= k
2
k 1 = –
1
k
2
2
d
1
= – d
2
d
1
= d
2
d 1 = –
1
d
2

Aufgabe 25 (Teil 2)
Garten
Aufgabenstellung:
a) In der nebenstehenden nicht maßstabgetreuen
Abbildung ist ein Blumenbeet modellhaft in der
Ansicht von oben dargestellt.
Das Blumenbeet wird durch drei geradlinige Seiten
und den Graphen der Funktion f : [– 3; 3] → ℝ
begrenzt.
f ( x ) in m
x in m
f
–3 0 3
0
Es gilt: f ( x ) = a · x
2
+ b mit a , b ∈ ℝ
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Für den Parameter a gilt
1
; für den Parameter b gilt
2
.
1
a < 0
0 < a < 1
a > 1
2
b < 0
b = 0
b > 0
Dieses Blumenbeet soll so umgestaltet werden, dass es die Form eines Rechtecks mit der
Länge 6 m und der Breite c (in m) hat (siehe nachstehende Abbildung). Der Flächeninhalt des
Blumenbeets soll durch die Umgestaltung nicht verändert werden.
x in m
f
–3 0
0
3
f ( x ) in m
0
c
2) Stellen Sie mithilfe von f eine Formel zur Berechnung von c auf.
c = [0 / 1 P.]
b) In einem Garten wurde eine Fichte gepflanzt. Die Höhe dieser Fichte in Abhängigkeit von der
Zeit t kann durch die Funktion h modelliert werden.
h ( t ) =
35
1 + 7 · ℯ
–0,06 · t
– 4
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für den Zeitpunkt der Pflanzung
h ( t ) ... Höhe der Fichte zum Zeitpunkt t in m
Die Höhe der Fichte nähert sich gemäß diesem Modell für unbeschränkt größer werdende t
be liebig nahe dem Wert G an.
Es gilt: G =
t → ∞
lim h ( t )
1) Geben Sie G an.
G = m [0 / 1 P.]
c) In einem Garten soll ein Gartenhaus errichtet werden. In der nachstehenden Abbildung ist ein
Plan für dieses Gartenhaus in der Ansicht von der Seite dargestellt.
h
2
h
1
ℓ
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel α , der mit der nachstehenden Formel
berechnet werden kann, ein.
α = arctan
(
h
2
– h
1
ℓ
)
[0 / 1 P.]

Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Wirkstoffe
Wirkstoffe werden im menschlichen Körper unterschiedlich schnell abgebaut.
Aufgabenstellung:
a) Herr Winter bekommt den Wirkstoff A insgesamt 3-mal verabreicht. Um 7:00 Uhr bekommt
Herr Winter den Wirkstoff A zum ersten Mal verabreicht.
In der nachstehenden Abbildung ist die Menge des Wirkstoffs A in Herrn Winters Körper in
Abhängigkeit von der Uhrzeit modellhaft dargestellt.
Menge des Wirkstoffs A in mg
Uhrzeit
1. Verabreichung 2. Verabreichung 3. Verabreichung
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
24
21:00 19:00 17:00 15:00 13:00 11:00 09:00 07:00 00:00 23:00
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die Menge des Wirkstoffs A in Herrn Winters Körper um 13:00 Uhr ist
1
die Menge des Wirkstoffs A in Herrn Winters Körper um 7:00 Uhr; in Herrn Winters Körper
beträgt die Halbwertszeit des Wirkstoffs A
2
.
1
gleich groß wie
kleiner als
größer als
2
2 h
3 h
6 h
b) Frau Egger bekommt zum Zeitpunkt t = 0 den Wirkstoff B verabreicht.
Die reelle Funktion m
B
mit m
B
( t ) = 1,019 ∙ t ∙ ℯ
–0,025 ∙ t
beschreibt modellhaft die Menge des
Wirkstoffs B in Frau Eggers Körper in Abhängigkeit von der Zeit ( t in min, m
B
( t ) in mg).
Ab dem Zeitpunkt t = 240 min kann die Menge des Wirkstoffs B in Frau Eggers Körper in
Abhängigkeit von der Zeit t modellhaft durch die lineare Funktion f beschrieben werden
( t in min, f ( t ) in mg).
Die Funktionen m
B
und f haben an der Stelle t = 240 min den gleichen Funktionswert und die
gleiche Steigung.
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von f auf.
f ( t ) = [0 / 1 P.]
c) Die Wahrscheinlichkeit, dass nach der Einnahme des Wirkstoffs C Übelkeit als Nebenwirkung
auftritt, beträgt 14 %.
Es werden n Personen, die den Wirkstoff C eingenommen haben, nach dem Zufallsprinzip
ausgewählt. Die Anzahl derjenigen Personen, bei denen Übelkeit als Nebenwirkung auftritt,
wird als binomialverteilt angenommen.
1) Interpretieren Sie die nachstehende Ungleichung im gegebenen Sachzusammenhang.
1 – 0,86
n
≥ 0,90 [0 / 1 P.]
Die Wahrscheinlichkeit, dass nach der Einnahme des Wirkstoffs C Müdigkeit als Nebenwirkung
auftritt, beträgt a .
Die Nebenwirkungen Müdigkeit und Übelkeit treten unabhängig voneinander auf.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Müdigkeit als auch Übelkeit als Nebenwirkung auftreten,
beträgt 0,0126.
2) Berechnen Sie a .
a = [0 / 1 P.]

Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Mount-Everest-Marathon
Der 42,195 km lange Mount-Everest-Marathon zählt zu den anstrengendsten Marathons der Welt.
Dessen Startpunkt ist das Basislager des Mount Everest.
Aufgabenstellung:
a) Der Weg zum Basislager beginnt beim Flughafen Lukla in Nepal.
Modellhaft wird angenommen, dass die Landebahn des Flughafens Lukla eine konstante
Steigung von 11,7 % hat. Die Landebahn überwindet einen Höhenunterschied von 61 m
(siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung).
Länge der Landebahn
61 m
1) Berechnen Sie die Länge der Landebahn. [0 / 1 P.]
Der sogenannte Mount Everest Trek führt vom Flughafen Lukla zum Basislager und wird zu Fuß
zurückgelegt. Der vor Ort vorherrschende niedrige Luftdruck macht diesen Trek besonders
anstrengend.
Der Flughafen Lukla liegt 2 860 m über dem Meeresspiegel.
Das Basislager liegt 5 364 m über dem Meeresspiegel.
Es wird angenommen, dass der Luftdruck mit zunehmender Höhe über dem Meeresspiegel
exponentiell abnimmt.
Es gilt: Bei einer Zunahme der Höhe über dem Meeresspiegel um 80 m nimmt der Luftdruck
um 1 % ab.
An einem bestimmten Tag beträgt der Luftdruck am Flughafen Lukla 708 Hektopascal (hPa).
2) Berechnen Sie unter dieser Annahme den Luftdruck im Basislager an diesem Tag. [0 / 1 P.]
b) Die Marathonstrecke führt vom Startpunkt im Basislager bis zum Endpunkt in Namche. An
bestimmten Streckenpunkten werden die bis dahin benötigten Laufzeiten einer bestimmten
Läuferin ermittelt (siehe nachstehende Tabelle).
Name des
Streckenpunkts
bis dahin zurückgelegte
Strecke in km
bis dahin benötigte
Laufzeit in h
Basislager 0 0
Dingboche 17,3 t
1
Tengboche 32,6 t
2
Namche 42,195 t
3
Unter Verwendung der nachstehenden Formel kann mithilfe der Zeit t 1 die zu erwartende
Laufzeit t 3 für den gesamten Marathon näherungsweise berechnet werden. Es gilt:
t 3 = t 1 ·
(
42,195
17,3
)
k
t 3 ... zu erwartende Laufzeit für den gesamten Marathon in h
t 1 ... Laufzeit bis zum Streckenpunkt Dingboche in h
k > 0 ... Ermüdungsfaktor
Für diese Läuferin gilt: k = 1,073
Die Läuferin startet um 7 Uhr (07:00:00) im Basislager. Um 8:30 Uhr (08:30:00) erreicht sie
den Streckenpunkt Dingboche. Gemäß dem obigen Modell erreicht die Läuferin das Ziel in
Namche um eine bestimmte Uhrzeit.
1) Tragen Sie für diese Uhrzeit die Stunden und Minuten in den nachstehenden Kästchen ein.
Uhrzeit: : : 16 [0 / 1 P.]
c) Nach Absolvierung des Marathons werden zur Analyse für alle Läuferinnen und Läufer jeweils
folgende zwei Größen berechnet:
• die Durchschnittsgeschwindigkeit v (in km/h)
• die sogenannte Pace c (in min/km)
Die Pace gibt an, wie viele Minuten im Durchschnitt pro gelaufenem Kilometer benötigt worden
sind.
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die Pace c kann mithilfe der Gleichung
1
berechnet werden und wird bei
doppelter Durchschnittsgeschwindigkeit v
2
.
1
c =
60
v
c =
1
v
c =
3,6
v
2
halbiert
verdoppelt
vervierfacht

Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Schokolade
Ein Betrieb stellt verschiedene Schokoladesorten her.
Aufgabenstellung:
a) Eine neue Schokoladesorte besteht aus Vollmilchschokolade und weißer Schokolade.
Die Zutaten von je 100 g Vollmilchschokolade und weißer Schokolade sind in der nach -
stehenden Tabelle angegeben.
Zucker Kakao Milchpulver Sonstiges
Vollmilchschokolade 35 g 42 g 21 g 2 g
weiße Schokolade 38 g 30 g 30 g 2 g
Der Anteil an Kakao in der neuen Schokoladesorte beträgt 35 %.
Für die Herstellung einer 300-g-Tafel der neuen Schokoladesorte benötigt man v Gramm
Vollmilchschokolade und w Gramm weiße Schokolade.
1) Berechnen Sie v und w . [0 / 1 P.]
Für die Herstellung von 1 kg Milchpulver werden 7 Liter Milch benötigt.
2) Berechnen Sie, wie viele Liter Milch für die Herstellung des Milchpulvers für eine 300-g-
Tafel der neuen Schokoladesorte benötigt werden. [0 / 1 P.]
b) Geschmolzene Schokolade wird in einer Maschine für die Weiterverarbeitung auf die richtige
Temperatur gebracht.
Die Funktion T : [0; 1,5] → ℝ
+
beschreibt dabei modellhaft die Temperatur der Schokolade in
Abhängigkeit von der Zeit.
Es gilt:
T ( t ) = –
304
27
∙ t
5
+
392
27
∙ t
4
+
1 100
27
∙ t
3
– 62 ∙ t
2
+ 45
t ... Zeit in h
T ( t ) ... Temperatur der Schokolade zum Zeitpunkt t in °C
Bis zum Zeitpunkt t 1 nimmt die Temperatur der Schokolade in der Maschine ab. Ab diesem
Zeitpunkt nimmt die Temperatur wieder zu.
1) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur der Schokolade im
Zeitintervall [0; t 1 ]. Geben Sie das Ergebnis in °C/min an. [0 / 1 P.]
c) Vor der Markteinführung wird die neue Schokoladesorte von Testpersonen verkostet. Die
Testpersonen werden in die zwei unterschiedlich großen Gruppen A und B eingeteilt. Jede
Testperson bewertet die neue Schokoladesorte mit 0 bis 4 Punkten.
Die absoluten Häufigkeiten der Ergebnisse sind in den nachstehenden Abbildungen dargestellt.
Gruppe A
absolute Häufigkeit 16
14
12
10
8
6
4
2
0
18
Punkte
3 2 1 0 4
Gruppe B
absolute Häufigkeit 16
14
12
10
8
6
4
2
0
18
Punkte
3 2 1 0 4
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die relative Häufigkeit der Bewertung mit 4 Punkten ist in der Gruppe A
1
in der Gruppe B; der Median der Ergebnisse ist in der Gruppe A
2
in der
Gruppe B.
1
größer als
kleiner als
gleich groß wie
2
größer als
kleiner als
gleich groß wie

Aufgabe 25 (Teil 2)
Autokauf
Aufgabenstellung:
a) Frau Klinger vergleicht die Gesamtkosten für ein bestimmtes Elektroauto mit jenen für ein
bestimmtes Auto mit Verbrennungsmotor.
Die Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Zeit lassen sich näherungsweise für das Elektroauto
durch die lineare Funktion e : [0; 60] → ℝ
+
und für das Auto mit Verbrennungsmotor durch
die lineare Funktion m : [0; 60] → ℝ
+
beschreiben ( t in Monaten mit t = 0 für den Zeitpunkt
des Kaufes, e ( t ), m ( t ) in €).
Der Graph von m ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
e ( t ), m ( t ) in €
t in Monaten
0
50 40 30 20 10 0 60
28 000
26 000
24 000
22 000
20 000
18 000
16 000
14 000
30 000
32 000
m
Die Kosten für den Erwerb des Elektroautos betragen € 18.000, die Ausgaben pro Monat
betragen € 160.
1) Ermitteln Sie, nach wie vielen Monaten die Gesamtkosten für beide Autos gleich hoch sind.
[0 / 1 P.]
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Für das Auto mit Verbrennungsmotor betragen die Gesamtkosten nach 12 Monaten rund
1
; die Ausgaben pro Monat betragen
2
.
1
€ 19.000
€ 21.000
€ 17.000
2
€ 240
€ 480
€ 120
Frau Klinger entscheidet sich für das Elektroauto und plant, pro Monat 1 600 km mit diesem
Elektroauto zu fahren.
3) Berechnen Sie die zu erwartenden Kosten pro gefahrenem Kilometer nach den ersten
60 Monaten unter Berücksichtigung der Kosten für den Erwerb.
€/km [0 / 1 P.]
b) Der Energieverbrauch eines bestimmten Elektroautos kann in Abhängigkeit von der
Geschwindigkeit modellhaft durch die Funktion f : [8; 130] → ℝ
+
beschrieben werden.
f ( v ) = 0,01 ∙ v
2
+
545
v
+ 56
v ... Geschwindigkeit in km/h
f ( v ) ... Energieverbrauch bei der Geschwindigkeit v in Wattstunden pro km
1) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v
1
, bei der der Energieverbrauch minimal ist. [0 / 1 P.]