Mathematik-Formelheft für die Matura

Bedeutung

Eine Abklingfunktion beschreibt eine beschränkte Abnahme: Ein Bestand startet oberhalb eines Grenzwerts S und sein Abstand zu S wird in gleichen Zeitabständen mit einem festen Faktor kleiner. Die Darstellungen mit aᵗ und e^(−λt) sind bei derselben Zeiteinheit genau dann gleichwertig, wenn λ = −ln(a) gilt.

Formel

Größen und Zeichen

N(t)

Bestand zum Zeitpunkt t

S

unterer Grenzwert

b

positiver Anfangsabstand N₀ − S

a

Abklingfaktor je Zeiteinheit

λ

zu a gehörende positive Abklingkonstante mit λ = −ln(a) (1/Zeiteinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme den Grenzwert S und den Anfangswert N₀ und berechne den positiven Abstand b = N₀ − S.
2. Ermittle den Faktor a aus der Angabe und prüfe, dass er zwischen 0 und 1 liegt.
3. Setze die Zeit t ein und kontrolliere, dass N(t) oberhalb von S liegt und sich S nähert.

Bedeutung

Die Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate einer Funktion und geometrisch die Steigung ihrer Tangente. Die Ableitung kann selbst wieder eine Funktion sein; ihr Vorzeichen zeigt, ob die Ausgangsfunktion lokal steigt oder fällt.

Formel

Größen und Zeichen

f

zu untersuchende Funktion

f′

Ableitungsfunktion

x

betrachtete Stelle

h

kleine Änderung der unabhängigen Variable

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme anhand des Funktionstyps und der Verknüpfungen die benötigten Ableitungsregeln.
2. Leite die Funktion sorgfältig ab und vereinfache die erhaltene Ableitungsfunktion.
3. Setze bei Bedarf die geforderte Stelle ein und interpretiere Wert, Vorzeichen und Einheit.

Bedeutung

Die Ableitungsfunktion f′ ordnet jeder differenzierbaren Stelle x die dortige Tangentensteigung zu. Sie beschreibt also nicht nur eine einzelne Rate, sondern den gesamten Verlauf der lokalen Änderungen. Nullstellen von f′ sind Kandidaten für Extremstellen der Ausgangsfunktion.

Formel

Größen und Zeichen

f

Ausgangsfunktion

f′

Funktion der lokalen Änderungsraten

x

Stelle im Definitionsbereich

Vorgehen bei der Matura

1. Leite den Funktionsterm für eine allgemeine Stelle x ab, ohne sofort einen Zahlenwert einzusetzen.
2. Bestimme den sinnvollen Definitionsbereich der Ableitungsfunktion und vereinfache den Term.
3. Nutze f′(x) anschließend für Steigungen, Änderungsraten oder die Untersuchung von Extremstellen.

Bedeutung

Ableitungsregeln zerlegen zusammengesetzte Funktionsterme in beherrschbare Teile. Summen- und Faktorregel behandeln lineare Verknüpfungen, Produkt- und Quotientenregel die entsprechenden Operationen und die Kettenregel eine äußere Funktion mit innerem Term. Mehrere Regeln können in derselben Aufgabe nötig sein.

Formel

Größen und Zeichen

f, g

differenzierbare Funktionen

k

reelle Konstante

f′, g′

Ableitungsfunktionen

Vorgehen bei der Matura

1. Analysiere zuerst die äußerste Rechenoperation des Funktionsterms und wähle danach die Hauptregel.
2. Leite die Teilfunktionen getrennt ab und berücksichtige bei Verkettungen zusätzlich die innere Ableitung.
3. Setze die Teilresultate in die Regel ein, vereinfache und prüfe das Ergebnis durch eine alternative Darstellung oder Technologie.

Bedeutung

Die absolute Änderung gibt an, um wie viele Einheiten sich ein Funktionswert zwischen zwei Stellen verändert. Sie ist positiv bei einer Zunahme, negativ bei einer Abnahme und besitzt dieselbe Einheit wie die betrachtete Größe.

Formel

Größen und Zeichen

f(a)

Anfangswert an der Stelle a

f(b)

Endwert an der Stelle b

Δf

absolute Änderung vom Anfang zum Ende

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme aus Text, Tabelle oder Funktion zuerst den Anfangswert f(a) und den Endwert f(b).
2. Subtrahiere in der Reihenfolge Endwert minus Anfangswert und behalte das Vorzeichen bei.
3. Gib das Ergebnis mit der Einheit der Ausgangsgröße an und deute Zunahme oder Abnahme.

Bedeutung

Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft eine bestimmte Merkmalsausprägung in einer Stichprobe tatsächlich vorkommt. Sie ist eine ganze Zahl zwischen 0 und dem Stichprobenumfang n. Mehrere absolute Häufigkeiten ergeben zusammen n, wenn die Kategorien alle Beobachtungen vollständig und überschneidungsfrei erfassen.

Formel

Größen und Zeichen

Hᵢ

absolute Häufigkeit der Ausprägung i

n

Gesamtzahl der Beobachtungen

Vorgehen bei der Matura

1. Lege eindeutig fest, welche Ausprägung oder Klasse gezählt werden soll.
2. Zähle alle passenden Beobachtungen genau einmal und notiere die Anzahl Hᵢ.
3. Kontrolliere bei einer vollständigen Häufigkeitstabelle, ob die Summe aller Hᵢ gleich n ist.

Bedeutung

Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, aber nicht zwingend dieselbe Größe. Entsprechende Winkel sind gleich groß und entsprechende Längen stehen im konstanten Verhältnis k. Flächeninhalte verändern sich mit k².

Formel

Größen und Zeichen

a, b

Längen der ursprünglichen Figur

a′, b′

entsprechende Längen der ähnlichen Figur

k

Ähnlichkeitsfaktor

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne einander entsprechende Seiten und Winkel richtig zu.
2. Bestimme den Ähnlichkeitsfaktor aus einem bekannten Seitenpaar.
3. Multipliziere Längen mit k beziehungsweise Flächen mit k².

Bedeutung

Die allgemeine Geradengleichung ax + by = c beschreibt eine Gerade in der Ebene durch eine lineare Bedingung für ihre Punkte. Der Vektor (a | b) ist ein Normalvektor; deshalb funktioniert diese Form auch für vertikale Geraden, die keine endliche Steigung besitzen.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

Komponenten eines Normalvektors der Geraden

c

Konstante der Geradengleichung

x, y

Koordinaten eines Geradenpunkts

Vorgehen bei der Matura

1. Setze bei einer Punktprobe die Koordinaten für x und y in die linke Seite ein.
2. Vergleiche den berechneten Wert mit c; Gleichheit bedeutet, dass der Punkt auf der Geraden liegt.
3. Für eine Umformung nach y löse nach y auf, sofern b nicht null ist, und lies Steigung sowie Achsenabschnitt ab.

Bedeutung

Ein allgemeines Dreieck besitzt keine vorausgesetzte Gleichheit von Seiten oder Winkeln. Seine Innenwinkel ergeben zusammen 180°. Je nach bekannten Größen werden Höhenformel, Sinussatz, Cosinussatz oder trigonometrische Flächenformel eingesetzt.

Formel

Größen und Zeichen

a, b, c

Seitenlängen gegenüber α, β und γ (Längeneinheit)

α, β, γ

Innenwinkel (Grad)

hₐ

Höhe auf die Seite a (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Beschrifte Seiten und gegenüberliegende Winkel eindeutig.
2. Nutze die Winkelsumme und wähle danach eine Formel, die nur eine unbekannte Größe enthält.
3. Berechne die gesuchte Größe und prüfe Winkelbereich sowie Dreiecksungleichung.

Bedeutung

In einem allgemeinen Dreieck sind weder ein rechter Winkel noch gleich lange Seiten vorausgesetzt. Seiten und Gegenwinkel werden paarweise mit a gegenüber α, b gegenüber β und c gegenüber γ bezeichnet. Für Berechnungen stehen Winkelsumme, Sinussatz, Cosinussatz und trigonometrische Flächenformel zur Verfügung.

Formel

Größen und Zeichen

a, b, c

Seiten gegenüber α, β und γ (Längeneinheit)

α, β, γ

Innenwinkel (Grad)

Vorgehen bei der Matura

1. Beschrifte jede Seite zusammen mit ihrem Gegenwinkel.
2. Ergänze nötigenfalls einen fehlenden Winkel mit der Winkelsumme.
3. Wähle anhand der gegebenen Größen Sinus- oder Cosinussatz beziehungsweise die Flächenformel.

Bedeutung

Die Amplitude A ist die maximale Auslenkung einer Schwingung von ihrer Mittellage. Sie ist immer nichtnegativ und entspricht der halben Differenz aus Maximum und Minimum. Bei A · sin oder A · cos streckt sie den Graphen in vertikaler Richtung.

Formel

Größen und Zeichen

A

Amplitude beziehungsweise maximale Auslenkung (Einheit der Funktionswerte)

d

Mittellage (Einheit der Funktionswerte)

y_max, y_min

größter und kleinster Funktionswert

Vorgehen bei der Matura

1. Lies Maximum und Minimum aus Graph oder Angabe ab.
2. Subtrahiere y_min von y_max und halbiere die Differenz.
3. Kontrolliere die Mittellage mit d = (y_max + y_min)/2.

Bedeutung

Beim unverschobenen exponentiellen Modell N(t) = N₀ · aᵗ gibt der Änderungsfaktor a an, mit welchem Faktor der gesamte Bestand pro Zeiteinheit multipliziert wird. Bei beschränkten Modellen gehört derselbe Faktor dagegen zum Abstand vom Grenzwert S; beim logistischen Modell gehört er zum Verhältnis aus fehlendem und vorhandenem Bestand.

Formel

Größen und Zeichen

a

multiplikativer Änderungsfaktor je Periode

p

prozentuelle Zu- oder Abnahme je Periode (%)

N(t)

Bestand zum Zeitpunkt t im betrachteten Modell

S

Grenzwert bei einem beschränkten oder logistischen Modell

Vorgehen bei der Matura

1. Kläre zuerst, ob der gesamte Bestand oder nur sein Abstand zu einer Grenze exponentiell verändert wird.
2. Wandle p Prozent in p/100 um und addiere den Wert zu 1 oder subtrahiere ihn von 1.
3. Kontrolliere den Faktor anhand der Entwicklungsrichtung und setze ihn nur bei der passenden Modellgröße als Potenzbasis ein.

Bedeutung

Änderungsmaße beschreiben denselben Vorgang aus verschiedenen Blickwinkeln: absolute und relative Änderung vergleichen zwei Werte, der Differenzenquotient berücksichtigt zusätzlich die Länge des Intervalls und die Ableitung beschreibt eine lokale Änderung. Die passende Größe richtet sich immer nach der Fragestellung und der verlangten Einheit.

Formel

Größen und Zeichen

Δf

absolute Änderung

r

relative Änderung als Dezimalzahl

m

mittlere Änderungsrate

f′(x)

lokale beziehungsweise momentane Änderungsrate

Vorgehen bei der Matura

1. Markiere Anfang, Ende und die genaue Formulierung der gesuchten Änderung.
2. Wähle Differenz, relativen Quotienten, Differenzenquotienten oder Ableitung passend zur Frage.
3. Berechne das Maß, ergänze die korrekte Einheit und formuliere eine sachbezogene Interpretation.

Bedeutung

Eine Änderungsrate setzt die Veränderung einer abhängigen Größe ins Verhältnis zur Veränderung der unabhängigen Größe. Über ein Intervall ist sie ein Differenzenquotient; an einem einzelnen Zeitpunkt oder Ort wird sie durch die Ableitung beschrieben. Ihre Einheit ist daher eine Quotienteneinheit.

Formel

Größen und Zeichen

f

abhängige Größe

a, b

Intervallgrenzen

f′(x)

momentane Änderungsrate an der Stelle x

Vorgehen bei der Matura

1. Entscheide, ob eine durchschnittliche Veränderung über ein Intervall oder ein momentaner Wert gefragt ist.
2. Verwende für ein Intervall den Differenzenquotienten und für eine Stelle die Ableitung.
3. Interpretiere Vorzeichen, Zahlenwert und Quotienteneinheit im Kontext der Aufgabe.

Bedeutung

Das Anfangskapital ist der Geldbetrag am Beginn einer Verzinsung, also zum Zeitpunkt 0. In Maturaaufgaben wird es entweder direkt angegeben oder durch Abzinsen eines späteren Kapitals bestimmt.

Formel

Größen und Zeichen

K₀

Kapital zum Zeitpunkt 0 (€)

Kₙ

Kapital nach n Zinsperioden (€)

i

Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl

q

Aufzinsungsfaktor q = 1 + i

n

Anzahl gleich langer Zinsperioden

Vorgehen bei der Matura

1. Lege auf einer Zeitachse fest, welcher Betrag bei t = 0 und welcher bei t = n liegt.
2. Wandle den Prozentsatz in i um, berechne q = 1 + i und zinse den Endbetrag durch Division durch qⁿ ab.
3. Runde Geldbeträge erst am Ende auf Cent und kontrolliere, dass K₀ bei positiver Verzinsung kleiner als Kₙ ist.

Bedeutung

Eine Annuität ist eine in gleichen Zeitabständen gleich hohe Zahlung, die einen Zins- und einen Tilgungsanteil enthält. Bei einem Annuitätendarlehen bleibt die Rate konstant, während der Zinsanteil sinkt und der Tilgungsanteil steigt.

Formel

Größen und Zeichen

A

nachschüssige Annuität pro Periode (€)

K₀

Kapital zum Zeitpunkt 0 (€)

Kₙ

Kapital nach n Zinsperioden (€)

i

Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl

q

Aufzinsungsfaktor q = 1 + i

n

Anzahl gleich langer Zinsperioden

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Kreditbetrag K₀, Periodenzinssatz i und Anzahl n der Zahlungen; alle Zeitangaben müssen dieselbe Periode verwenden.
2. Setze q = 1 + i in die Annuitätenformel ein und berechne die konstante Rate A.
3. Prüfe die erste Periode mit Z₁ = i · K₀ und T₁ = A − Z₁; die Restschuld muss um T₁ sinken.

Bedeutung

Anschaffungskosten sind die anfängliche Auszahlung für eine Investition einschließlich aller unmittelbar zurechenbaren Nebenkosten. In der dynamischen Investitionsrechnung liegen sie am Zeitpunkt 0 und werden aus Sicht des Investors negativ angesetzt.

Formel

Größen und Zeichen

A₀

Anschaffungskosten zum Zeitpunkt 0 (€)

Kaufpreis

Preis des Investitionsguts (€)

Anschaffungsnebenkosten

unmittelbar notwendige Nebenkosten (€)

Preisnachlässe

abzuziehende Rabatte oder Nachlässe (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Erfasse Kaufpreis und unmittelbar notwendige Nebenkosten zum Zeitpunkt 0.
2. Lege eine einheitliche Vorzeichenkonvention fest: Auszahlungen negativ, Einzahlungen positiv.
3. Vergleiche A₀ mit den auf t = 0 abgezinsten Rückflüssen.

Bedeutung

Zinssätze sind äquivalent, wenn sie über denselben Gesamtzeitraum zum gleichen Aufzinsungsfaktor führen. So lassen sich etwa Monats-, Quartals- und Jahreszinssätze fair vergleichen.

Formel

Größen und Zeichen

iₐ

effektiver Jahreszinssatz

iₚ

effektiver Zinssatz je Teilperiode

m

Teilperioden pro Jahr

Vorgehen bei der Matura

1. Lege fest, wie viele Teilperioden m ein Jahr enthält.
2. Setze die Faktoren gleich: Jahresfaktor = Teilperiodenfaktor hoch m.
3. Löse nach dem gesuchten Zinssatz auf und gib ihn erst danach in Prozent an.

Bedeutung

Mechanische Arbeit wird verrichtet, wenn eine Kraft einen Körper entlang eines Weges bewegt. Entscheidend ist nur jener Anteil der Kraft, der in Bewegungsrichtung wirkt; bei einer konstanten parallelen Kraft vereinfacht sich die Berechnung zu Kraft mal Weg.

Formel

Größen und Zeichen

W

mechanische Arbeit (J = N·m)

F

konstante Kraft (N)

s

zurückgelegter Weg (m)

α

Winkel zwischen Kraft- und Wegrichtung (° oder rad)

Vorgehen bei der Matura

1. Bringe Kraft und Weg in Newton beziehungsweise Meter und bestimme den Winkel zwischen beiden Richtungen.
2. Setze in W = F · s · cos(α) ein; bei paralleler gleichgerichteter Kraft ist cos(0°) = 1.
3. Gib das Ergebnis in Joule an und prüfe am Vorzeichen, ob die Kraft die Bewegung unterstützt oder hemmt.

Bedeutung

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Sie modelliert diskrete Vorgänge mit stets demselben absoluten Zu- oder Abgang, etwa jährlich gleich hohe zusätzliche Stückzahlen.

Formel

Größen und Zeichen

a₁

erstes Folgenglied

aₙ

n-tes Folgenglied

d

konstante Differenz

n

Index mit n ∈ ℕ, n ≥ 1

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe mehrere aufeinanderfolgende Differenzen und bestätige, dass sie denselben Wert d haben.
2. Bestimme das erste Glied a₁ und beachte im Exponenten beziehungsweise Faktor den Indexbeginn n = 1.
3. Setze n in aₙ = a₁ + (n − 1)d ein und kontrolliere das Ergebnis rekursiv.

Bedeutung

Eine arithmetische Reihe ist die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge. Weil sich das erste und letzte, das zweite und vorletzte Glied jeweils zur gleichen Zahl ergänzen, kann die Summe ohne einzelnes Aufaddieren berechnet werden.

Formel

Größen und Zeichen

sₙ

Summe der ersten n Folgenglieder

a₁

erstes Glied

aₙ

n-tes beziehungsweise letztes Glied

d

konstante Differenz

Vorgehen bei der Matura

1. Erkenne die konstante Differenz d und bestimme Anzahl n sowie erstes Glied a₁.
2. Berechne bei Bedarf das letzte Glied aₙ mit dem expliziten Bildungsgesetz.
3. Setze a₁, aₙ und n in die Summenformel ein und interpretiere die Gesamtsumme.

Bedeutung

Das arithmetische Mittel ist die Summe aller beobachteten Werte geteilt durch ihre Anzahl. Es berücksichtigt jeden Messwert und reagiert deshalb empfindlich auf Ausreißer. Bei einer Häufigkeitstabelle werden die Werte mit ihren absoluten Häufigkeiten gewichtet.

Formel

Größen und Zeichen

x̄

arithmetisches Mittel

xᵢ

i-ter beobachteter Wert

n

Anzahl der Werte

Vorgehen bei der Matura

1. Addiere alle Werte oder bilde bei gruppierten Daten die Summe ΣxᵢHᵢ.
2. Dividiere die Summe durch die Gesamtzahl n.
3. Gib das Ergebnis in der Einheit der Daten an und prüfe, ob es zwischen Minimum und Maximum liegt.

Bedeutung

Der Aufzinsungsfaktor gibt an, mit welchem Faktor sich ein Kapital in genau einer Zinsperiode verändert. Er fasst Anfangskapital und Zinszuwachs in einer Multiplikation zusammen.

Formel

Größen und Zeichen

K₀

Kapital zum Zeitpunkt 0 (€)

Kₙ

Kapital nach n Zinsperioden (€)

i

Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl

q

Aufzinsungsfaktor q = 1 + i

n

Anzahl gleich langer Zinsperioden

Vorgehen bei der Matura

1. Wandle den Zinssatz p % in i = p/100 um.
2. Addiere 1 und erhalte den Periodenfaktor q.
3. Potenziere q für mehrere Perioden; q > 1 bedeutet Wachstum und 0 < q < 1 eine Abnahme.

Bedeutung

Der Barwert ist der Wert einer zukünftigen Zahlung oder Zahlungsreihe zu einem früheren Vergleichszeitpunkt. Er macht Geldbeträge mit unterschiedlichen Fälligkeiten vergleichbar.

Formel

Größen und Zeichen

B

Barwert zum Bezugszeitpunkt (€)

R

gleich hohe Rate (€)

i

Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl

q

Aufzinsungsfaktor q = 1 + i

n

Anzahl gleich langer Zinsperioden

Vorgehen bei der Matura

1. Zeichne die Zahlungszeitpunkte und markiere den gewünschten Barwertzeitpunkt.
2. Zinse jede einzelne Zahlung mit dem passenden Exponenten ab oder verwende bei gleich hohen Raten die Rentenformel.
3. Addiere alle Werte am selben Zeitpunkt und interpretiere das Ergebnis als heute äquivalenten Betrag.

Bedeutung

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) beschreibt die Chance für A unter der zusätzlichen Information, dass B bereits eingetreten ist. Dadurch wird der Ergebnisraum auf B eingeschränkt. Sie ist nur definiert, wenn P(B) > 0 gilt.

Formel

Größen und Zeichen

A

betrachtetes Ereignis

B

vorausgesetztes Ereignis

A ∩ B

gemeinsames Eintreten von A und B

Vorgehen bei der Matura

1. Kennzeichne klar, welches Ereignis vorausgesetzt wird; es steht rechts vom Strich.
2. Bestimme P(A ∩ B) und P(B) aus Angaben, Baumdiagramm oder Vierfeldertafel.
3. Dividiere durch P(B), kontrolliere das Ergebnis zwischen 0 und 1 und interpretiere es innerhalb der Gruppe B.

Bedeutung

Die Beschleunigung beschreibt, wie stark sich die Geschwindigkeit pro Zeiteinheit ändert. Sie kann positiv, negativ oder null sein; ein negatives Vorzeichen bedeutet in der gewählten positiven Richtung eine Geschwindigkeitsabnahme, nicht automatisch eine Bewegung rückwärts.

Formel

Größen und Zeichen

ā

mittlere Beschleunigung (m/s²)

a(t)

momentane Beschleunigung (m/s²)

v(t)

Geschwindigkeit (m/s)

s(t)

Ort beziehungsweise Wegkoordinate (m)

t

Zeit (s)

Vorgehen bei der Matura

1. Lege die positive Bewegungsrichtung fest und rechne alle Geschwindigkeiten und Zeiten in zusammenpassende SI-Einheiten um.
2. Verwende bei zwei Messwerten Δv/Δt; ist eine Funktion gegeben, leite v(t) einmal oder s(t) zweimal ab.
3. Interpretiere Betrag und Vorzeichen im betrachteten Zeitpunkt und nenne die Einheit m/s².

Bedeutung

Bei einer beschränkten Abnahme sinkt ein Bestand von einem Anfangswert N₀ oberhalb des Grenzwerts S gegen S. In gleichen Zeitabständen wird der Abstand N(t) − S mit demselben Faktor 0 < a < 1 multipliziert. In der gleichwertigen e-Form gilt bei derselben Zeiteinheit λ = −ln(a).

Formel

Größen und Zeichen

N₀

Anfangswert oberhalb von S

S

unterer Grenzwert

b

anfänglicher Abstand N₀ − S

a

Faktor des verbleibenden Abstands

λ

zu a gehörende positive Abklingkonstante mit λ = −ln(a) (1/Zeiteinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Lies Anfangswert und unteren Grenzwert ab und berechne b = N₀ − S.
2. Bestimme aus dem Abnahmegesetz den Faktor a für den Abstand zum Grenzwert.
3. Berechne N(t) und prüfe S < N(t) ≤ N₀ für nichtnegative Zeiten.

Bedeutung

Beschränktes Wachstum beginnt unterhalb eines Sättigungswerts S und nähert sich diesem von unten. Nicht der Bestand selbst, sondern der Abstand S − N(t) nimmt exponentiell ab. Die Darstellungen mit aᵗ und e^(−λt) sind bei derselben Zeiteinheit über λ = −ln(a) verbunden.

Formel

Größen und Zeichen

N₀

Anfangswert unterhalb von S

S

Sättigungswert

b

anfänglich fehlender Betrag S − N₀

a

Faktor des verbleibenden Abstands mit 0 < a < 1

λ

zu a gehörende positive Abklingkonstante mit λ = −ln(a) (1/Zeiteinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme S und N₀ und berechne den anfänglichen Abstand b = S − N₀.
2. Ermittle, welcher Anteil a des fehlenden Abstands je Zeiteinheit übrig bleibt.
3. Setze t ein und kontrolliere N₀ ≤ N(t) < S sowie die Annäherung an S.

Bedeutung

Das bestimmte Integral summiert vorzeichenbehaftete Beiträge einer Funktion über ein Intervall. Mit einer Stammfunktion wird es durch F(b) − F(a) berechnet. Als geometrischer Flächeninhalt darf es nur direkt interpretiert werden, wenn die Funktion im Intervall nicht negativ ist; sonst müssen Teilflächen getrennt oder Beträge berücksichtigt werden.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

untere und obere Integrationsgrenze

f

Integrand

F

eine Stammfunktion von f

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme eine Stammfunktion F des Integranden und kontrolliere sie durch Ableiten.
2. Setze obere und untere Grenze vollständig in F ein und bilde F(b) − F(a).
3. Interpretiere das Vorzeichen und entscheide, ob Integralwert oder geometrischer Flächeninhalt verlangt ist.

Bedeutung

Der Betrag eines Vektors ist seine geometrische Länge und daher immer größer oder gleich null. Er wird mit dem Satz des Pythagoras aus den Komponenten berechnet und ist etwa bei Abständen, Geschwindigkeiten oder beim Normieren eines Vektors nötig.

Formel

Größen und Zeichen

a

Vektor, dessen Länge gesucht ist

aᵢ

i-te Komponente des Vektors

|a|

Betrag beziehungsweise Länge des Vektors

Vorgehen bei der Matura

1. Lies alle Komponenten des Vektors ab und quadriere jede einzelne Komponente.
2. Addiere die Quadrate; negative Komponenten liefern dabei ebenfalls positive Beiträge.
3. Ziehe aus der Summe die positive Quadratwurzel und prüfe gegebenenfalls die Einheit.

Bedeutung

Das Betriebsminimum ist die Produktionsmenge, bei der die variablen Stückkosten minimal sind. Der zugehörige Preis ist die kurzfristige Preisuntergrenze: Darunter deckt der Erlös nicht einmal die variablen Kosten.

Formel

Größen und Zeichen

Kᵥ(x)

variable Gesamtkosten (€)

kᵥ(x)

variable Stückkosten (€/Stück)

x_BM

Menge beim Betriebsminimum (Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde aus der variablen Kostenfunktion die variablen Stückkosten kᵥ(x) = Kᵥ(x)/x.
2. Bestimme mit kᵥ′(x) = 0 die Kandidaten und prüfe das Minimum im wirtschaftlich sinnvollen Bereich x > 0.
3. Setze x_BM in kᵥ ein; dieser Wert ist die kurzfristige Preisuntergrenze.

Bedeutung

Das Betriebsoptimum ist jene Produktionsmenge, bei der die gesamten Stückkosten minimal sind. Der minimale Stückkostenwert heißt langfristige Preisuntergrenze, weil langfristig auch die Fixkosten gedeckt sein müssen.

Formel

Größen und Zeichen

K(x)

Gesamtkosten (€)

k(x)

Stückkosten (€/Stück)

x_BO

optimale Menge (Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde k(x) = K(x)/x für x > 0.
2. Löse k′(x) = 0 und prüfe, ob tatsächlich ein Minimum vorliegt.
3. Berechne k(x_BO) und interpretiere diesen Wert als langfristige Preisuntergrenze.

Bedeutung

Bewegungsvorgänge werden mit Ort beziehungsweise Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Funktionen der Zeit beschrieben. Ableiten führt von s zu v und von v zu a; Integrieren führt mit passenden Anfangswerten in die Gegenrichtung.

Formel

Größen und Zeichen

s(t)

Orts- oder Wegfunktion (m)

v(t)

Geschwindigkeitsfunktion (m/s)

a(t)

Beschleunigungsfunktion (m/s²)

t

Zeit (s)

Vorgehen bei der Matura

1. Notiere die gegebene Bewegungsgröße samt Einheit und den gültigen Zeitbereich.
2. Leite ab oder integriere, bis die gesuchte Größe erreicht ist; bestimme Integrationskonstanten aus Anfangsbedingungen.
3. Setze den gefragten Zeitpunkt ein und deute Vorzeichen, Betrag sowie physikalische Plausibilität.

Bedeutung

Der Binomialkoeffizient zählt, auf wie viele Arten k Elemente aus n verschiedenen Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt werden können. Er tritt deshalb in der Binomialverteilung und beim Ausmultiplizieren von (a + b)ⁿ auf. Es gilt 0 ≤ k ≤ n.

Formel

Größen und Zeichen

n

Anzahl aller verfügbaren Elemente

k

Anzahl der ausgewählten Elemente

!

Fakultätszeichen

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe, dass eine Auswahl ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung gezählt wird.
2. Setze n und k in n!/(k!(n − k)!) ein oder verwende die nCr-Funktion.
3. Vereinfache zu einer ganzen Zahl und deute sie als Anzahl möglicher Auswahlen.

Bedeutung

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl X der Treffer in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit derselben Trefferwahrscheinlichkeit p. Jeder Einzelversuch hat genau die beiden Ausgänge Treffer und Nichttreffer. Neben Punktwahrscheinlichkeiten lassen sich auch kumulierte Bereiche und Kenngrößen berechnen.

Formel

Größen und Zeichen

n

feste Anzahl unabhängiger Versuche

p

konstante Trefferwahrscheinlichkeit je Versuch

k

gesuchte Trefferzahl

X

Zufallsvariable „Anzahl der Treffer“

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe feste Versuchszahl, zwei Ausgänge, konstantes p und Unabhängigkeit.
2. Übersetze die Formulierung in genau k, höchstens k, mindestens k oder einen Bereich.
3. Berechne die Einzelwahrscheinlichkeit oder passende Summe und interpretiere sie als Chance für die Trefferanzahl.

Bedeutung

Die binomischen Formeln wandeln Produkte mit gleichen Summen- oder Differenztermen in Polynome um und umgekehrt. Sie sind besonders beim Ausmultiplizieren, Faktorisieren und Lösen quadratischer Gleichungen nützlich. Der mittlere Term entsteht aus dem doppelten Produkt beider Summanden.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

beliebige reelle Terme oder Zahlen

Vorgehen bei der Matura

1. Erkenne, ob ein Quadrat einer Summe, ein Quadrat einer Differenz oder ein Produkt aus Summe und Differenz vorliegt.
2. Setze die beiden Terme an die Stellen von a und b und beachte alle Vorzeichen.
3. Berechne Quadrate und Kreuzterm und fasse gleichartige Terme zusammen.

Bedeutung

Die Bogenlänge misst die tatsächliche Länge eines Funktionsgraphen zwischen zwei Stellen und nicht nur den waagrechten Abstand. Für einen stetig differenzierbaren Graphen y = f(x) werden sehr kurze Streckenstücke mithilfe des Satzes von Pythagoras aufsummiert. Je größer der Betrag der Steigung ist, desto stärker wächst die Bogenlänge.

Formel

Größen und Zeichen

s

Bogenlänge des Graphen (LE)

a, b

Intervallgrenzen auf der x-Achse (LE)

f′(x)

Steigung des Graphen an der Stelle x

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme die Ableitung f′(x) und kontrolliere, dass f im Intervall [a; b] glatt genug ist.
2. Setze f′(x) in √(1 + (f′(x))²) ein und verwende die richtigen Grenzen.
3. Berechne das bestimmte Integral und gib die Länge positiv mit einer passenden Längeneinheit an.

Bedeutung

Das Bogenmaß misst einen Winkel über das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius. Ein Vollwinkel entspricht 2π rad und ein gestreckter Winkel π rad. Viele Formeln der Analysis und Schwingungslehre setzen das Bogenmaß voraus.

Formel

Größen und Zeichen

φ

Winkel im Bogenmaß (Radiant)

α

Winkel im Gradmaß (Grad)

Vorgehen bei der Matura

1. Stelle fest, ob der Ausgangswinkel in Grad oder Radiant angegeben ist.
2. Multipliziere beim Wechsel Grad zu Radiant mit π/180°.
3. Kürze den Bruch und kontrolliere mit 180° = π rad.

Bedeutung

Am Break-even-Point sind Erlös und Kosten gleich groß; der Gewinn beträgt null. Bei einem üblichen Gewinnintervall ist damit die untere Gewinnschwelle gemeint.

Formel

Größen und Zeichen

x_BE

Break-even-Menge (Stück)

E(x)

Erlös (€)

K(x)

Kosten (€)

G(x)

Gewinn (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Stelle Erlös- und Kostenfunktion auf und bilde G(x) = E(x) − K(x).
2. Löse G(x) = 0 im zulässigen Mengenbereich.
3. Ordne die kleinere relevante Nullstelle als Gewinnschwelle ein und kontrolliere den Vorzeichenwechsel.

Bedeutung

Im rechtwinkeligen Dreieck ist der Cosinus eines spitzen Winkels das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Im Einheitskreis ist cos(α) die x-Koordinate des zugehörigen Punktes. Für spitze Winkel liegt der Wert zwischen 0 und 1.

Formel

Größen und Zeichen

α

betrachteter Winkel (Grad oder Radiant)

b

Ankathete zu α (Längeneinheit)

c

Hypotenuse (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Markiere den Winkel α, seine Ankathete b und die Hypotenuse c.
2. Setze die bekannten Größen in cos(α) = b/c ein.
3. Stelle nach der gesuchten Seite um oder verwende arccos für den Winkel.

Bedeutung

Der Cosinussatz verknüpft in einem allgemeinen Dreieck drei Seiten mit einem Winkel. Er wird verwendet, wenn zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel oder alle drei Seiten bekannt sind. Für α = 90° geht er in den Satz des Pythagoras über.

Formel

Größen und Zeichen

a

Seite gegenüber α (Längeneinheit)

b, c

die beiden anderen Seiten (Längeneinheit)

α

von b und c eingeschlossener Winkel (Grad oder Radiant)

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne dem Winkel α seine Gegenseite a zu.
2. Setze b, c und α ein oder stelle für einen Winkel nach cos(α) um.
3. Ziehe bei einer Seitenberechnung die positive Wurzel und prüfe die Dreiecksungleichung.

Bedeutung

Der Cournot’sche Punkt bezeichnet im Monopolmodell die gewinnmaximierende Kombination aus Absatzmenge und Preis. Er liegt dort, wo Grenzerlös und Grenzkosten übereinstimmen.

Formel

Größen und Zeichen

x_C

gewinnmaximierende Menge (Stück)

p_N(x)

Nachfragepreis (€/Stück)

G(x)

Gewinn (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde aus der Preis-Absatz-Funktion den Erlös E(x) = x · p_N(x) und danach G(x) = E(x) − K(x).
2. Löse G′(x) = 0 und prüfe mit G″(x) < 0 sowie dem Definitionsbereich auf ein Maximum.
3. Setze x_C in p_N ein; der Punkt besteht aus Menge und zugehörigem Preis.

Bedeutung

Bei degressivem Kostenverlauf steigen die Gesamtkosten mit wachsender Menge, aber immer langsamer. Die Grenzkosten nehmen in diesem Bereich ab; geometrisch ist der Kostengraph rechtsgekrümmt.

Formel

Größen und Zeichen

K′(x)

Grenzkosten (€/Stück)

K″(x)

Änderung der Grenzkosten

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne die erste und zweite Ableitung K′(x) und K″(x).
2. Bestimme den Mengenbereich, in dem K′ positiv und K″ negativ ist.
3. Interpretiere: Zusätzliche Einheiten verursachen weiterhin Mehrkosten, aber der Kostenzuwachs wird kleiner.

Bedeutung

Deka- ist eine SI-Vorsilbe und steht für den Faktor 10¹ = 10. Das Zeichen da wird ohne Abstand direkt vor das Einheitenzeichen gesetzt. Damit lassen sich sehr große oder sehr kleine Messwerte übersichtlich angeben.

Formel

Größen und Zeichen

da

Zeichen der Vorsilbe Deka-

E

Einheit ohne Vorsilbe

Vorgehen bei der Matura

1. Ersetze die Vorsilbe Deka- durch den Faktor 10¹ = 10.
2. Multipliziere den Zahlenwert mit diesem Faktor, wenn du in die Einheit ohne Vorsilbe umrechnest.
3. Schreibe das Ergebnis mit Einheit und kontrolliere die Größenordnung.

Bedeutung

Der dekadische Logarithmus hat die Basis 10 und wird mit lg oder log₁₀ bezeichnet. Er beantwortet die Frage, mit welchem Exponenten 10 potenziert werden muss. Sein Argument muss positiv sein.

Formel

Größen und Zeichen

x

positives Logarithmusargument

y

gesuchter Exponent zur Basis 10

Vorgehen bei der Matura

1. Isoliere in einer Exponentialgleichung die Zehnerpotenz.
2. Wende auf beide Seiten den dekadischen Logarithmus an.
3. Löse die entstehende lineare Gleichung und prüfe das Ergebnis durch Einsetzen.

Bedeutung

Ein Deltoid besitzt zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten. Seine Diagonalen stehen normal aufeinander; eine Diagonale halbiert die andere. Der Flächeninhalt ist die Hälfte des Diagonalenprodukts.

Formel

Größen und Zeichen

e, f

Längen der beiden Diagonalen (Längeneinheit)

A

Flächeninhalt (Quadrateinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme die beiden vollständigen Diagonalen e und f.
2. Multipliziere ihre Längen.
3. Halbiere das Produkt und gib eine Quadrateinheit an.

Bedeutung

Dezi- ist eine SI-Vorsilbe und steht für den Faktor 10⁻¹ = 0,1. Das Zeichen d wird ohne Abstand direkt vor das Einheitenzeichen gesetzt. Damit lassen sich sehr große oder sehr kleine Messwerte übersichtlich angeben.

Formel

Größen und Zeichen

d

Zeichen der Vorsilbe Dezi-

E

Einheit ohne Vorsilbe

Vorgehen bei der Matura

1. Ersetze die Vorsilbe Dezi- durch den Faktor 10⁻¹ = 0,1.
2. Multipliziere den Zahlenwert mit diesem Faktor, wenn du in die Einheit ohne Vorsilbe umrechnest.
3. Schreibe das Ergebnis mit Einheit und kontrolliere die Größenordnung.

Bedeutung

Die Dichte gibt an, wie viel Masse in einem bestimmten Volumen enthalten ist. Sie ist eine Stoffeigenschaft, solange Temperatur und Druck passend festgelegt sind, und verbindet Masse und Volumen durch einen Quotienten.

Formel

Größen und Zeichen

ρ

Dichte (kg/m³ oder g/cm³)

m

Masse (kg oder g)

V

Volumen (m³ oder cm³)

Vorgehen bei der Matura

1. Wähle ein zusammenpassendes Einheitensystem, etwa kg und m³ oder g und cm³.
2. Setze Masse und Volumen in ρ = m/V ein oder forme die Gleichung nach der gesuchten Größe um.
3. Vergleiche das Ergebnis mit einer bekannten Stoffdichte und gib Temperaturbedingungen an, falls sie relevant sind.

Bedeutung

Eine Dichtefunktion f beschreibt eine stetige Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächen unter dem Dichtegraphen; ein einzelner Punkt besitzt dabei Wahrscheinlichkeit null. Eine gültige Dichte ist nichtnegativ und hat über ihrem gesamten Bereich Integral 1.

Formel

Größen und Zeichen

f(x)

Wahrscheinlichkeitsdichte

X

stetige Zufallsvariable

a, b

Grenzen des betrachteten Wertebereichs

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe Nichtnegativität und Normierung der gegebenen Funktion im Definitionsbereich.
2. Bestimme die zum Ereignis gehörenden Grenzen a und b.
3. Integriere f zwischen diesen Grenzen und interpretiere die Fläche als Wahrscheinlichkeit.

Bedeutung

Der Differenzenquotient ist die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf einem Intervall und zugleich die Steigung der Sekante durch zwei Punkte des Graphen. Er beschreibt nicht zwingend die Änderung an jedem einzelnen Punkt innerhalb des Intervalls.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

verschiedene Stellen beziehungsweise Intervallgrenzen

f(a), f(b)

zugehörige Funktionswerte

b − a

Länge des betrachteten Intervalls

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne die Funktionswerte an beiden Intervallgrenzen.
2. Bilde im Zähler Endwert minus Anfangswert und im Nenner Endstelle minus Anfangsstelle.
3. Kürze den Quotienten und deute Vorzeichen sowie Einheit als durchschnittliche Rate.

Bedeutung

Eine Differenzialgleichung enthält eine unbekannte Funktion und mindestens eine ihrer Ableitungen. Ihre Lösung ist daher keine einzelne Zahl, sondern eine Funktion oder eine Funktionenfamilie. Anfangs- oder Randbedingungen legen aus dieser Familie meist eine eindeutige Lösung fest.

Formel

Größen und Zeichen

x

unabhängige Variable

y(x)

gesuchte Funktion

y′, y″

erste beziehungsweise zweite Ableitung von y

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Ordnung und Typ der Differenzialgleichung und wähle dazu ein passendes Lösungsverfahren.
2. Ermittle zunächst die allgemeine Lösung mit ihren Integrationskonstanten.
3. Setze gegebene Anfangs- oder Randwerte ein, bestimme die Konstanten und prüfe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.

Bedeutung

Der Differenzialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn das betrachtete Intervall auf einen Punkt zusammenschrumpft. Er ist die Ableitung f′(x) und beschreibt geometrisch die Tangentensteigung sowie sachlich die momentane Änderungsrate.

Formel

Größen und Zeichen

f′(x)

Differenzialquotient an der Stelle x

h

von null verschiedene Änderung, die gegen null geht

f(x + h) − f(x)

zugehörige Änderung des Funktionswerts

Vorgehen bei der Matura

1. Setze f(x + h) und f(x) in den Differenzenquotienten ein.
2. Vereinfache den Term für h ≠ 0 so weit, dass der problematische Faktor h gekürzt werden kann.
3. Bilde danach den Grenzwert h → 0 und interpretiere den erhaltenen Ableitungswert.

Bedeutung

Die Differenzmenge A \ B enthält genau jene Elemente, die in A, aber nicht in B liegen. Die Reihenfolge der Mengen ist daher entscheidend. Sie beschreibt in Aufgaben oft „A ohne B“.

Formel

Größen und Zeichen

A, B

betrachtete Mengen

x

beliebiges Element

Vorgehen bei der Matura

1. Notiere alle Elemente der ersten Menge A.
2. Streiche daraus jedes Element, das auch in B vorkommt.
3. Schreibe die verbleibenden Elemente in Mengenklammern.

Bedeutung

Eine diskrete Zufallsvariable kann nur endlich oder abzählbar viele Werte annehmen. Jedem möglichen Wert xᵢ wird eine Punktwahrscheinlichkeit pᵢ zugeordnet. Alle pᵢ sind nichtnegativ und summieren sich zu 1.

Formel

Größen und Zeichen

X

diskrete Zufallsvariable

xᵢ

möglicher Wert von X

pᵢ

Wahrscheinlichkeit für X = xᵢ

Vorgehen bei der Matura

1. Definiere, welche Zahl X jedem Versuchsausgang zuordnet.
2. Liste alle möglichen Werte und addiere die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ausgänge.
3. Kontrolliere die Summe 1 und berechne Ereignisse durch Addition der passenden Punktwahrscheinlichkeiten.

Bedeutung

Ein Drehkegel entsteht durch Rotation eines rechtwinkeligen Dreiecks um eine Kathete. Seine Grundfläche ist ein Kreis; die Spitze liegt senkrecht über dem Kreismittelpunkt. Das Volumen ist ein Drittel des entsprechenden Zylindervolumens.

Formel

Größen und Zeichen

r

Radius der Grundfläche (Längeneinheit)

h

senkrechte Höhe (Längeneinheit)

s

Mantellinie (Längeneinheit)

M, O, V

Mantelfläche, Oberfläche und Volumen

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Radius r, senkrechte Höhe h und bei Flächenaufgaben die Mantellinie s.
2. Wähle Volumen-, Mantel- oder Oberflächenformel entsprechend der Fragestellung.
3. Setze ein, rechne mit π und runde erst das Endergebnis samt Einheit.

Bedeutung

Ein Drehzylinder besitzt zwei kongruente Kreisflächen und einen rechteckig abrollbaren Mantel. Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe. Die Oberfläche setzt sich aus zwei Grundflächen und der Mantelfläche zusammen.

Formel

Größen und Zeichen

r

Radius der Kreisgrundfläche (Längeneinheit)

h

Zylinderhöhe (Längeneinheit)

M, O, V

Mantelfläche, Oberfläche und Volumen

Vorgehen bei der Matura

1. Lies Radius und Höhe ab und vereinheitliche die Maßeinheiten.
2. Berechne zuerst die Grundfläche G = πr².
3. Multipliziere für V mit h oder ergänze für O den Mantel und die zweite Grundfläche.

Bedeutung

Ein Dreieck wird von drei Seiten begrenzt und hat eine Innenwinkelsumme von 180°. Für den Flächeninhalt braucht man eine Grundseite und die dazu senkrechte Höhe. Jede Seite kann als Grundseite gewählt werden.

Formel

Größen und Zeichen

a

gewählte Grundseite (Längeneinheit)

hₐ

senkrechte Höhe auf a (Längeneinheit)

A

Flächeninhalt (Quadrateinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Wähle eine bekannte Seite als Grundseite a.
2. Bestimme die senkrecht auf a stehende Höhe hₐ.
3. Multipliziere a mit hₐ, halbiere und ergänze die Quadrateinheit.

Bedeutung

Die Durchschnittsmenge A ∩ B enthält alle Elemente, die gleichzeitig zu A und zu B gehören. In Wahrscheinlichkeitsaufgaben entspricht sie dem gemeinsamen Eintreten zweier Ereignisse. Das Zeichen ∩ wird als „geschnitten“ gelesen.

Formel

Größen und Zeichen

A, B

Mengen oder Ereignisse

∩

Durchschnitt beziehungsweise logisches „und“

Vorgehen bei der Matura

1. Vergleiche die Elemente beider Mengen.
2. Übernimm nur Elemente, die in beiden Mengen vorkommen.
3. Kontrolliere, dass kein nur einseitig vorkommendes Element enthalten ist.

Bedeutung

Die Durchschnittskostenfunktion gibt die gesamten Kosten pro produzierter Einheit an. Sie ist gleichbedeutend mit der Stückkostenfunktion und enthält variable Kosten sowie den Fixkostenanteil pro Stück.

Formel

Größen und Zeichen

k(x)

Durchschnitts- beziehungsweise Stückkosten (€/Stück)

K(x)

Gesamtkosten (€)

x

Produktionsmenge (Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Teile die gesamte Kostenfunktion durch x und gib den Definitionsbereich x > 0 an.
2. Vereinfache den Funktionsterm; Fixkosten erscheinen typischerweise als F/x.
3. Setze eine Menge ein oder minimiere k für das Betriebsoptimum.

Bedeutung

Ebene Figuren sind zweidimensionale Formen mit Umfang und Flächeninhalt. Zusammengesetzte Figuren werden in bekannte Grundformen zerlegt oder als Differenz solcher Formen berechnet. Alle Längen müssen vor der Rechnung in derselben Einheit vorliegen.

Formel

Größen und Zeichen

A_gesamt

gesamter gesuchter Flächeninhalt (Quadrateinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Zerlege die Figur in Rechtecke, Dreiecke, Kreise oder andere bekannte Formen.
2. Berechne jede Teilfläche mit einheitlichen Maßeinheiten.
3. Addiere Flächenstücke und subtrahiere Aussparungen.

Bedeutung

A ist eine echte Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B liegt und B zusätzlich mindestens ein weiteres Element enthält. Damit sind A und B nicht gleich. Je nach Notation wird dafür ⊂ oder ⊊ verwendet.

Formel

Größen und Zeichen

A

kleinere Menge

B

Obermenge

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe, ob jedes Element von A in B enthalten ist.
2. Prüfe zusätzlich, ob B mindestens ein Element besitzt, das nicht in A liegt.
3. Nur wenn beide Bedingungen erfüllt sind, ist A eine echte Teilmenge von B.

Bedeutung

Der effektive Jahreszinssatz beschreibt die tatsächliche jährliche Verzinsung einschließlich unterjähriger Zinseszinsen. Er eignet sich zum Vergleich von Angeboten mit verschiedenen Zinsperioden.

Formel

Größen und Zeichen

i_eff

effektiver Zinssatz pro Jahr

iₚ

Zinssatz je Teilperiode

m

Anzahl der Teilperioden pro Jahr

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme den wirksamen Zinssatz je Teilperiode.
2. Bilde den Teilperiodenfaktor 1 + iₚ und potenziere ihn mit m.
3. Ziehe 1 ab und wandle das Dezimalergebnis in Prozent um.

Bedeutung

Bei einfacher Verzinsung werden die Zinsen in jeder Periode nur vom ursprünglichen Kapital berechnet. Der Kapitalverlauf ist deshalb linear und nicht exponentiell.

Formel

Größen und Zeichen

K₀

Kapital zum Zeitpunkt 0 (€)

Kₙ

Kapital nach n Zinsperioden (€)

i

Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl

q

Aufzinsungsfaktor q = 1 + i

n

Anzahl gleich langer Zinsperioden

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne den Zins einer Periode mit K₀ · i.
2. Multipliziere diesen konstanten Zinsbetrag mit n.
3. Addiere die Gesamtzinsen zum Anfangskapital und prüfe den linearen Zuwachs.

Bedeutung

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Zum Winkel φ gehört der Punkt P(cos φ | sin φ), wodurch Sinus und Cosinus für beliebige Winkel definiert werden. Die Vorzeichen ergeben sich aus dem Quadranten.

Formel

Größen und Zeichen

φ

orientierter Winkel (Radiant oder Grad)

P

Punkt auf dem Einheitskreis

Vorgehen bei der Matura

1. Trage den Winkel von der positiven x-Achse aus orientiert ab.
2. Bestimme den Quadranten und damit die Vorzeichen von x und y.
3. Lies cos φ als x-Koordinate und sin φ als y-Koordinate ab.

Bedeutung

Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen an allen anderen Stellen. Bei einer Matrix A mit m Zeilen und n Spalten braucht man links Eₘ und rechts Eₙ; nur bei einer quadratischen Matrix haben beide dieselbe Größe.

Formel

Größen und Zeichen

Eₘ

Einheitsmatrix der Größe m × m für die Multiplikation von links

Eₙ

Einheitsmatrix der Größe n × n für die Multiplikation von rechts

A

Matrix mit m Zeilen und n Spalten

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Zeilen- und Spaltenzahl von A und damit die auf der jeweiligen Seite benötigte Einheitsmatrix.
2. Setze auf die Hauptdiagonale Einsen und an alle übrigen Positionen Nullen.
3. Kontrolliere, dass Eₘ · A beziehungsweise A · Eₙ definiert ist und wieder genau A ergibt.

Bedeutung

Ein Einheitsvektor hat die Länge 1 und behält die Richtung eines gegebenen, von null verschiedenen Vektors bei. Er entsteht durch Division aller Komponenten durch den Betrag und dient dazu, eine reine Richtung unabhängig von der ursprünglichen Länge anzugeben.

Formel

Größen und Zeichen

a

von null verschiedener Ausgangsvektor

|a|

Länge des Ausgangsvektors

a₀

Einheitsvektor in Richtung von a

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne den Betrag des Ausgangsvektors aus der Summe der Komponentenquadrate.
2. Dividiere jede Komponente des Vektors durch diesen Betrag.
3. Kontrolliere durch erneute Betragsbildung, dass der neue Vektor tatsächlich die Länge 1 hat.

Bedeutung

Ein Element ist ein einzelnes Objekt einer Menge. Mit ∈ wird die Zugehörigkeit und mit ∉ die Nichtzugehörigkeit ausgedrückt. Element und Teilmenge sind unterschiedliche Begriffe.

Formel

Größen und Zeichen

x

geprüftes Objekt oder Zahl

A

Menge

Vorgehen bei der Matura

1. Lies die Elemente der Menge vollständig ab.
2. Vergleiche das geprüfte Objekt mit jedem Mengenelement.
3. Schreibe je nach Ergebnis x ∈ A oder x ∉ A.

Bedeutung

Das Endkapital ist der gesamte Betrag am Ende der betrachteten Laufzeit. Es besteht aus Anfangskapital und allen bis dahin gutgeschriebenen Zinsen.

Formel

Größen und Zeichen

K₀

Kapital zum Zeitpunkt 0 (€)

Kₙ

Kapital nach n Zinsperioden (€)

i

Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl

q

Aufzinsungsfaktor q = 1 + i

n

Anzahl gleich langer Zinsperioden

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne Anfangskapital, Zinssatz und Laufzeit den Variablen K₀, i und n zu.
2. Berechne q = 1 + i und anschließend K₀ · qⁿ.
3. Runde auf Cent und bestimme bei Bedarf die Gesamtzinsen als Kₙ − K₀.

Bedeutung

Der Endwert einer Rente ist der gemeinsame zukünftige Wert mehrerer regelmäßiger Zahlungen. Jede Rate wird vom eigenen Zahlungszeitpunkt bis zum Ende unterschiedlich lange aufgezinst.

Formel

Größen und Zeichen

E

Endwert der Zahlungsreihe (€)

R

gleich hohe Rate (€)

q

Aufzinsungsfaktor

n

Anzahl der Raten

Vorgehen bei der Matura

1. Entscheide anhand der Zahlungszeitpunkte, ob die Rente nach- oder vorschüssig ist.
2. Berechne zuerst den nachschüssigen Endwert mit der geometrischen Summe.
3. Bei vorschüssiger Zahlung wird jede Rate eine Periode länger verzinst; multipliziere daher zusätzlich mit q.

Bedeutung

In der Matura-Investitionsrechnung ist E der Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse am Ende der Nutzungsdauer. Jeder Rückfluss Rₜ wird vom Ende des Jahres t noch n − t Perioden mit dem Wiederveranlagungszinssatz i_W aufgezinst. Die Anschaffungskosten A₀ werden in E nicht abgezogen, sondern erst beim modifizierten internen Zinssatz mit E verglichen.

Formel

Größen und Zeichen

E

Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse bei t = n (€)

Rₜ

Rückfluss am Ende des Jahres t (€)

i_W

Wiederveranlagungszinssatz pro Jahr

n

Nutzungsdauer in Jahren

Vorgehen bei der Matura

1. Lege das Ende der Nutzungsdauer als gemeinsamen Zeitpunkt n fest.
2. Zinse jeden Rückfluss Rₜ über n − t Jahre mit i_W bis zu diesem Endzeitpunkt auf.
3. Addiere die aufgezinsteten Rückflüsse; A₀ bleibt außerhalb dieser Endwertsumme.

Bedeutung

Die Erlösfunktion beschreibt die gesamten Verkaufseinnahmen in Abhängigkeit von der Absatzmenge. Bei konstantem Preis ist sie linear; bei einer Preis-Absatz-Funktion muss der mengenabhängige Preis mit x multipliziert werden.

Formel

Größen und Zeichen

E(x)

Erlös bei Menge x (€)

p(x)

Preis pro Stück (€/Stück)

x

verkaufte Menge (Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Entnimm der Angabe den konstanten oder mengenabhängigen Stückpreis.
2. Multipliziere Preis und Absatzmenge und beachte den zulässigen Bereich.
3. Kontrolliere E(0) = 0 und verwende E anschließend für Gewinn oder Grenzerlös.

Bedeutung

Der Erwartungswert ist bei einer diskreten Zufallsvariablen der langfristige, mit den Punktwahrscheinlichkeiten gewichtete Mittelwert. Er muss kein tatsächlich möglicher Einzelwert sein. Bei Spielen zeigt sein Vorzeichen den durchschnittlichen Gewinn oder Verlust pro Durchführung über sehr viele Wiederholungen.

Formel

Größen und Zeichen

E(X), μ

Erwartungswert von X

xᵢ

möglicher Wert der Zufallsvariablen

P(X = xᵢ)

zugehörige Wahrscheinlichkeit

Vorgehen bei der Matura

1. Erstelle eine vollständige Liste aller Werte xᵢ und ihrer Wahrscheinlichkeiten.
2. Multipliziere jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere die Produkte.
3. Interpretiere μ als langfristigen Durchschnitt in der Einheit von X.

Bedeutung

Ein explizites Bildungsgesetz gibt das n-te Folgenglied direkt in Abhängigkeit vom Index n an. Damit kann ein weit hinten liegendes Glied berechnet werden, ohne alle vorherigen Glieder erzeugen zu müssen.

Formel

Größen und Zeichen

n

Index des gesuchten Folgenglieds

a₁, b₁

jeweils erstes Folgenglied

d

arithmetische Differenz

q

geometrischer Faktor

Vorgehen bei der Matura

1. Erkenne anhand konstanter Differenzen oder Quotienten den Typ der Folge.
2. Bestimme Anfangsglied und Differenz d beziehungsweise Faktor q.
3. Setze den gewünschten Index n direkt in das passende explizite Bildungsgesetz ein.

Bedeutung

Bei exponentieller Abnahme wird der gesamte aktuelle Bestand in gleichen Zeitabständen mit einem konstanten Faktor zwischen 0 und 1 multipliziert. Die Potenz- und e-Darstellung beschreiben bei derselben Zeiteinheit dasselbe Modell, wenn λ = −ln(a) gilt.

Formel

Größen und Zeichen

N₀

Anfangsbestand

a

Abnahmefaktor je Zeiteinheit

λ

positive Abnahmekonstante mit λ = −ln(a) (1/Zeiteinheit)

t

verstrichene Zeit

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme N₀ und bilde aus der prozentuellen Abnahme den Faktor a = 1 − p/100.
2. Achte darauf, dass t und die zum Faktor gehörende Zeitperiode übereinstimmen.
3. Berechne N(t) und prüfe, dass der Wert positiv und kleiner als der Anfangswert ist.

Bedeutung

Beim exponentiellen Wachstum wird der aktuelle positive Bestand pro Zeiteinheit mit einem konstanten Faktor größer als 1 multipliziert. Die Potenz- und e-Darstellung sind bei derselben Zeiteinheit über λ = ln(a) verbunden.

Formel

Größen und Zeichen

N₀

Anfangsbestand

a

Wachstumsfaktor je Zeiteinheit

λ

positive Wachstumskonstante mit λ = ln(a) (1/Zeiteinheit)

t

verstrichene Zeit

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme den Anfangswert und wandle den prozentuellen Zuwachs in a = 1 + p/100 um.
2. Setze die Anzahl der passenden Zeitperioden als Exponenten t ein.
3. Runde erst am Ende und kontrolliere, dass das Ergebnis bei t > 0 über N₀ liegt.

Bedeutung

Faktorielle ist eine gebräuchliche Bezeichnung für die Fakultätsfunktion n!. Sie zählt die Anordnungen von n verschiedenen Objekten und bildet die Grundlage vieler kombinatorischer Formeln. Der Sonderwert 0! = 1 sorgt dafür, dass diese Formeln auch an Randfällen gelten.

Formel

Größen und Zeichen

n

nichtnegative ganze Zahl

n!

Faktorielle beziehungsweise Fakultät von n

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe, dass n eine nichtnegative ganze Zahl ist.
2. Multipliziere alle ganzen Zahlen von n abwärts bis 1 oder verwende die Fakultätsfunktion.
3. Interpretiere das Ergebnis als Anzahl der Reihenfolgen, wenn alle n Objekte verschieden sind.

Bedeutung

Nach der Faktorregel bleibt ein konstanter Faktor beim Ableiten vor der Funktion stehen. Nur der variable Funktionsteil wird abgeleitet; die Regel gilt nicht für einen Faktor, der selbst von x abhängt.

Formel

Größen und Zeichen

k

von x unabhängige Konstante

f

differenzierbare Funktion

f′

Ableitung von f

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe, welcher Faktor tatsächlich konstant und unabhängig von x ist.
2. Lasse diesen Faktor unverändert vor dem Term stehen und leite nur f(x) ab.
3. Multipliziere aus oder vereinfache das Ergebnis und kontrolliere die Potenzen.

Bedeutung

Die Fakultät n! ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von n bis 1. Sie zählt insbesondere, wie viele verschiedene Reihenfolgen von n unterscheidbaren Objekten möglich sind. Für n = 0 wird die Fakultät als 1 definiert.

Formel

Größen und Zeichen

n

nichtnegative ganze Zahl

n!

Fakultät von n

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme die Anzahl n der verschiedenen anzuordnenden Objekte.
2. Bilde das Produkt n·(n − 1)·…·1.
3. Gib das ganzzahlige Ergebnis als Anzahl der möglichen Anordnungen an.

Bedeutung

Finanzmathematik bewertet Kapital und Zahlungsreihen zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Kernidee ist, alle Beträge mit einem passenden Zinsfaktor auf denselben Vergleichszeitpunkt zu bringen.

Formel

Größen und Zeichen

K₀

Kapital zum Zeitpunkt 0 (€)

Kₙ

Kapital nach n Zinsperioden (€)

i

Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl

q

Aufzinsungsfaktor q = 1 + i

n

Anzahl gleich langer Zinsperioden

Vorgehen bei der Matura

1. Zeichne eine Zeitachse mit allen Ein- und Auszahlungen.
2. Bringe Zinssatz und Zeitabstände auf dieselbe Periode und bestimme q.
3. Verschiebe alle Zahlungen durch Auf- oder Abzinsen auf einen gemeinsamen Zeitpunkt und vergleiche erst danach.

Bedeutung

Fixkosten fallen unabhängig von der produzierten Menge an, etwa für Miete oder Grundgebühren. Im Kostengraph entsprechen sie dem y-Achsenabschnitt der Gesamtkostenfunktion.

Formel

Größen und Zeichen

F

Fixkosten (€)

K(0)

Kosten bei Produktion null (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Setze x = 0 in die Gesamtkostenfunktion ein.
2. Trenne den konstanten Betrag F vom mengenabhängigen Teil Kᵥ(x).
3. Prüfe, dass Fixkosten auch ohne Produktion anfallen und deshalb nicht durch x geteilt werden dürfen, bevor Stückkosten gebildet werden.

Bedeutung

Der Flächeninhalt misst die Größe eines zweidimensionalen Bereichs. Er wird in Quadrateinheiten wie cm² oder m² angegeben. Bei einer Längenumrechnung wird der Umrechnungsfaktor für die Fläche quadriert.

Formel

Größen und Zeichen

A

Flächeninhalt (Quadrateinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bringe alle benötigten Längen auf dieselbe Einheit.
2. Wähle die Flächenformel der vorliegenden Figur.
3. Berechne den Zahlenwert und schreibe die Einheit zum Quadrat.

Bedeutung

Eine Folge ordnet jedem zulässigen natürlichen Index n genau ein Folgenglied zu. Sie beschreibt diskrete Werte in einer festen Reihenfolge und kann explizit oder rekursiv definiert sein. Für die Modellwahl sind konstante Differenzen und konstante Quotienten besonders wichtig.

Formel

Größen und Zeichen

n

diskreter Index

aₙ

Folgenglied an der Position n

(aₙ)

gesamte Folge

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne die gegebenen Werte nach ihrem Index und berechne aufeinanderfolgende Differenzen sowie Quotienten.
2. Klassifiziere die Folge oder erkenne ein anderes Bildungsgesetz aus dem Muster.
3. Berechne verlangte Glieder und prüfe, ob das Ergebnis zur beobachteten Entwicklung passt.

Bedeutung

Der Freiheitsgrad gibt an, wie viele unabhängige Informationen nach dem Schätzen von Parametern noch für die Streuung verfügbar sind. Beim Einstichproben-t-Verfahren wird der Mittelwert aus denselben n Werten geschätzt, daher bleiben ν = n − 1 Freiheitsgrade. Der Freiheitsgrad bestimmt die Form und den kritischen Wert der t-Verteilung.

Formel

Größen und Zeichen

ν

Anzahl der Freiheitsgrade

n

Stichprobenumfang

Vorgehen bei der Matura

1. Identifiziere das statistische Verfahren und die Anzahl der geschätzten Parameter.
2. Berechne beim Einstichproben-t-Fall ν = n − 1.
3. Verwende genau diesen Freiheitsgrad beim Ablesen des t-Quantils oder bei der Rechnerfunktion.

Bedeutung

Die Frequenz f gibt an, wie viele vollständige Perioden pro Zeiteinheit stattfinden. Sie ist der Kehrwert der Periodendauer. Die SI-Einheit Hertz bedeutet Schwingungen pro Sekunde.

Formel

Größen und Zeichen

f

Frequenz (Hz = s⁻¹)

T

Periodendauer (s)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme die Dauer T einer vollständigen Periode in Sekunden.
2. Bilde den Kehrwert 1/T.
3. Gib das Ergebnis in Hertz an und interpretiere es als Perioden pro Sekunde.

Bedeutung

Die ganzen Zahlen umfassen die natürlichen Zahlen, ihre negativen Gegenzahlen und die Null. Sie werden mit ℤ bezeichnet. Brüche mit nicht ganzzahligem Wert gehören nicht zu ℤ.

Formel

Größen und Zeichen

ℤ

Menge der ganzen Zahlen

Vorgehen bei der Matura

1. Vereinfache die gegebene Zahl vollständig.
2. Prüfe, ob danach ein positiver oder negativer ganzzahliger Wert oder null vorliegt.
3. Entscheide mit ∈ oder ∉ über die Zugehörigkeit zu ℤ.

Bedeutung

Das Gegenereignis Ā umfasst genau jene Ergebnisse, bei denen A nicht eintritt. A und Ā schließen einander aus und ergeben gemeinsam den gesamten Ergebnisraum. Besonders bei Formulierungen wie „mindestens einmal“ ist der Weg über „keinmal“ oft wesentlich kürzer.

Formel

Größen und Zeichen

A

ursprüngliches Ereignis

Ā

Gegenereignis „A tritt nicht ein“

Vorgehen bei der Matura

1. Formuliere das Gegenereignis sprachlich eindeutig.
2. Berechne dessen Wahrscheinlichkeit, häufig mit einer Produktregel bei unabhängigen Wiederholungen.
3. Subtrahiere von 1 und kontrolliere, dass A und Ā alle Fälle ohne Überschneidung abdecken.

Bedeutung

Bei einer geometrischen Folge entsteht jedes neue Glied durch Multiplikation mit demselben Faktor q. Sie modelliert diskrete prozentuelle Veränderungen, weil nicht ein fester Betrag, sondern stets derselbe Anteil des aktuellen Werts zu- oder abnimmt.

Formel

Größen und Zeichen

b₁

erstes Folgenglied

bₙ

n-tes Folgenglied

q

konstanter Quotient beziehungsweise Faktor

n

Index mit n ≥ 1

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde für mehrere aufeinanderfolgende, von null verschiedene Glieder den Quotienten bₙ₊₁/bₙ.
2. Bestimme den gemeinsamen Faktor q und das Anfangsglied b₁.
3. Setze den Zielindex in bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ ein und interpretiere Wachstum, Abnahme oder Vorzeichenwechsel.

Bedeutung

Eine endliche geometrische Reihe addiert die ersten n Glieder einer geometrischen Folge. Die Summenformel ist besonders nützlich bei wiederholten Zahlungen, zurückgelegten Teilstrecken oder anderen Beiträgen, die jeweils mit demselben Faktor verändert werden.

Formel

Größen und Zeichen

sₙ

Summe der ersten n Glieder

b₁

erstes Glied

q

geometrischer Faktor

n

Anzahl der summierten Glieder

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme erstes Glied b₁, gemeinsamen Faktor q und die genaue Anzahl n der Summanden.
2. Verwende für q ≠ 1 die geometrische Summenformel und setze Klammern im Zähler sowie Nenner.
3. Kontrolliere das Ergebnis bei kleinen n durch direktes Addieren der ersten Glieder.

Bedeutung

Das geometrische Mittel mittelt positive Faktoren, die nacheinander multiplikativ wirken. Es ist besonders für Wachstumsfaktoren, Zinssätze und relative Veränderungen geeignet. Die Prozentsätze selbst dürfen dabei nicht einfach arithmetisch gemittelt werden.

Formel

Größen und Zeichen

x̄_geo

geometrisches Mittel der Faktoren

xᵢ

positiver Faktor in Periode i

n

Anzahl der Faktoren beziehungsweise Perioden

Vorgehen bei der Matura

1. Wandle relative Änderungen in Faktoren um, etwa +10 % in 1,10.
2. Multipliziere alle Faktoren und ziehe die n-te Wurzel.
3. Wandle den mittleren Faktor bei Bedarf mit (x̄_geo − 1)·100 % in eine mittlere Rate um.

Bedeutung

Eine Gerade ist eine unendliche Menge kollinearer Punkte. In der Ebene kann sie explizit oder allgemein beschrieben werden, im Raum verwendet man üblicherweise eine Parameterdarstellung mit einem Punkt und einem Richtungsvektor.

Formel

Größen und Zeichen

P

bekannter Punkt auf der Geraden

v

von null verschiedener Richtungsvektor

t

reeller Parameter

X

beliebiger Punkt auf der Geraden

Vorgehen bei der Matura

1. Wähle einen bekannten Geradenpunkt P und bestimme aus zwei Punkten einen Richtungsvektor v = Q − P.
2. Setze P und v in X = P + t · v ein und lasse t alle reellen Werte annehmen.
3. Prüfe einen Punkt, indem du untersuchst, ob ein gemeinsamer Parameter t alle Koordinatengleichungen erfüllt.

Bedeutung

Die explizite Geradengleichung y = kx + d macht Steigung und y-Achsenabschnitt direkt sichtbar. Sie ist in der Ebene besonders praktisch zum Zeichnen und Interpretieren linearer Zusammenhänge, kann aber keine vertikale Gerade x = c darstellen.

Formel

Größen und Zeichen

k

Steigung, also Änderung von y je Einheit x

d

y-Achsenabschnitt

x, y

Koordinaten eines Geradenpunkts

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme die Steigung k aus der Angabe oder aus zwei Punkten mit Δy/Δx.
2. Setze einen bekannten Punkt in y = kx + d ein und löse nach d auf.
3. Kontrolliere die Gleichung mit einem zweiten Punkt oder anhand des beschriebenen Sachzusammenhangs.

Bedeutung

Die Geschwindigkeit beschreibt Ortsänderung pro Zeit. Der Quotient Δs/Δt liefert eine mittlere Geschwindigkeit; die Ableitung der Ortsfunktion liefert die momentane Geschwindigkeit. Nur bei gleichförmiger Bewegung darf der einfache Quotient für jeden Zeitpunkt verwendet werden.

Formel

Größen und Zeichen

v̄

mittlere Geschwindigkeit (m/s)

v(t)

momentane Geschwindigkeit (m/s)

s(t)

Ort beziehungsweise Wegkoordinate (m)

t

Zeit (s)

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe, ob Messwerte eines Intervalls, eine gleichförmige Bewegung oder eine Ortsfunktion gegeben sind.
2. Berechne entsprechend Δs/Δt oder leite s(t) ab und setze den verlangten Zeitpunkt ein.
3. Wandle die Einheit bei Bedarf um und interpretiere ein negatives Vorzeichen als Bewegung entgegen der festgelegten positiven Richtung.

Bedeutung

Der Gewinnbereich umfasst in der Matura-Formelsammlung das abgeschlossene Intervall von der unteren bis zur oberen Gewinngrenze. An den beiden Grenzen ist der Gewinn null und der Betrieb arbeitet kostendeckend; strikt positiver Gewinn entsteht bei einem üblichen Verlauf nur im Inneren des Intervalls.

Formel

Größen und Zeichen

G(x)

Gewinn (€)

x

Produktions- und Absatzmenge (Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde G(x) = E(x) − K(x) und bestimme die Nullstellen.
2. Erstelle eine Vorzeichentabelle oder prüfe einen Wert zwischen den Nullstellen.
3. Schneide das Ergebnis mit dem ökonomischen Definitionsbereich und formuliere ein Mengenintervall.

Bedeutung

Die Gewinnfunktion ist die Differenz aus Erlös und Gesamtkosten. Positive Werte bedeuten Gewinn, negative Werte Verlust und Nullstellen markieren kostendeckende Mengen.

Formel

Größen und Zeichen

G(x)

Gewinn bei Menge x (€)

E(x)

Erlös (€)

K(x)

Gesamtkosten (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Stelle Erlös- und Kostenfunktion mit demselben Definitionsbereich auf.
2. Subtrahiere den gesamten Kostenterm mit Klammern und fasse zusammen.
3. Untersuche je nach Frage Nullstellen, Vorzeichen oder Maximum und interpretiere die Menge.

Bedeutung

Die Gewinngrenze ist die obere Nullstelle der Gewinnfunktion. Oberhalb dieser Menge wird der Gewinn im üblichen nichtlinearen Modell wieder negativ, etwa wegen stark steigender Kosten oder sinkender Preise.

Formel

Größen und Zeichen

x_o

obere Gewinngrenze (Stück)

x_u

untere Gewinnschwelle (Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Löse G(x) = 0 vollständig.
2. Sortiere die wirtschaftlich zulässigen Lösungen nach Größe.
3. Bezeichne die größere Lösung als Gewinngrenze und prüfe, dass unmittelbar darunter G > 0 gilt.

Bedeutung

Die Gewinnschwelle ist die untere Menge, bei der Erlös und Kosten erstmals gleich groß sind. Beim Überschreiten beginnt der Gewinnbereich, sofern der Gewinn danach positiv wird.

Formel

Größen und Zeichen

x_u

untere Gewinnschwelle (Stück)

G(x)

Gewinnfunktion (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme alle Nullstellen von G im zulässigen Bereich.
2. Wähle die kleinere relevante Nullstelle.
3. Prüfe das Vorzeichen knapp oberhalb; dort muss der Gewinn für eine echte Schwelle positiv werden.

Bedeutung

Die Gewinnzone ist in der Matura-Formelsammlung ein anderer Ausdruck für den Gewinnbereich [x_u; x_o]. An den Randpunkten sind Erlös und Kosten gleich; zwischen ihnen ist der Gewinn beim üblichen Verlauf positiv.

Formel

Größen und Zeichen

x

zulässige Absatzmenge (Stück)

G(x)

Gewinn (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne die Grenzen über G(x) = 0.
2. Teste, zwischen welchen Grenzen G(x) > 0 gilt, und nimm die kostendeckenden Nullstellen in die Gewinnzone auf.
3. Berücksichtige Kapazität, nichtnegative Mengen und gegebenenfalls nur ganze Stückzahlen.

Bedeutung

Giga- ist eine SI-Vorsilbe und steht für den Faktor 10⁹ = 1 000 000 000. Das Zeichen G wird ohne Abstand direkt vor das Einheitenzeichen gesetzt. Damit lassen sich sehr große oder sehr kleine Messwerte übersichtlich angeben.

Formel

Größen und Zeichen

G

Zeichen der Vorsilbe Giga-

E

Einheit ohne Vorsilbe

Vorgehen bei der Matura

1. Ersetze die Vorsilbe Giga- durch den Faktor 10⁹ = 1 000 000 000.
2. Multipliziere den Zahlenwert mit diesem Faktor, wenn du in die Einheit ohne Vorsilbe umrechnest.
3. Schreibe das Ergebnis mit Einheit und kontrolliere die Größenordnung.

Bedeutung

Bei einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung bleiben Richtung und Betrag der Geschwindigkeit konstant. Die Ortsfunktion ist linear, und die Beschleunigung ist null.

Formel

Größen und Zeichen

s(t)

Ort zum Zeitpunkt t (m)

s₀

Anfangsort (m)

v

konstante Geschwindigkeit (m/s)

t

verstrichene Zeit (s)

Vorgehen bei der Matura

1. Lege Anfangsort, positive Richtung und den Zeitpunkt t = 0 fest.
2. Bringe Weg, Zeit und Geschwindigkeit in zueinander passende Einheiten und setze in s(t) = s₀ + vt ein.
3. Kontrolliere, dass ein s-t-Diagramm eine Gerade mit der Steigung v ergibt.

Bedeutung

Bei einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung ist die Beschleunigung konstant. Daher ist die Geschwindigkeit eine lineare und der Ort eine quadratische Funktion der Zeit.

Formel

Größen und Zeichen

s₀

Anfangsort (m)

v₀

Anfangsgeschwindigkeit (m/s)

a

konstante Beschleunigung (m/s²)

t

Zeit seit dem Start (s)

Vorgehen bei der Matura

1. Lege die positive Richtung fest und übernimm Anfangsort, Anfangsgeschwindigkeit sowie a mit ihren Vorzeichen.
2. Wähle die Geschwindigkeits- oder Ortsgleichung passend zur gesuchten Größe und löse sie gegebenenfalls nach t.
3. Verwirf unzulässige negative Zeiten und kontrolliere das Ergebnis durch Einsetzen oder Ableiten.

Bedeutung

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle Innenwinkel 60°. Die Höhe teilt es in zwei kongruente rechtwinkelige Dreiecke. Dadurch ergeben sich besondere Formeln für Höhe und Fläche.

Formel

Größen und Zeichen

a

Seitenlänge (Längeneinheit)

h

Höhe (Längeneinheit)

A

Flächeninhalt (Quadrateinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe, ob tatsächlich alle Seiten gleich lang sind.
2. Setze die Seitenlänge a in die passende Spezialformel ein.
3. Berechne exakt mit √3 und runde erst das Endergebnis.

Bedeutung

Im Gradmaß wird ein Vollwinkel in 360° eingeteilt. Ein rechter Winkel misst 90° und ein gestreckter Winkel 180°. Für Analysis- und Schwingungsformeln ist häufig eine Umrechnung ins Bogenmaß nötig.

Formel

Größen und Zeichen

α

Winkel im Gradmaß (Grad)

φ

Winkel im Bogenmaß (Radiant)

Vorgehen bei der Matura

1. Erkenne einen Winkel im Bogenmaß an π oder der Einheit rad.
2. Multipliziere φ mit 180°/π.
3. Kürze π und prüfe die Lage zwischen bekannten Referenzwinkeln.

Bedeutung

Die Grenzerlösfunktion ist die Ableitung der Erlösfunktion. Sie beschreibt näherungsweise, wie stark sich der Gesamterlös beim Verkauf einer zusätzlichen Einheit ändert.

Formel

Größen und Zeichen

GE(x)

Grenzerlös bei Menge x (€/Stück)

E(x)

Gesamterlös (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde zuerst die korrekte Erlösfunktion E(x) = x · p(x).
2. Leite die Erlösfunktion E(x) vollständig nach x ab.
3. Setze die betrachtete Menge ein und interpretiere den Wert als lokale Änderung, nicht als exakten Stückpreis.

Bedeutung

Die Grenzgewinnfunktion ist die Ableitung der Gewinnfunktion. Sie gibt an, wie sich der Gewinn bei einer kleinen Mengenerhöhung lokal verändert.

Formel

Größen und Zeichen

GG(x)

Grenzgewinn (€/Stück)

G(x)

Gewinn (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde G(x) = E(x) − K(x) oder subtrahiere direkt die Grenzfunktionen.
2. Leite nach x ab und löse für ein Gewinnmaximum GG(x) = 0.
3. Prüfe mit G″(x) < 0 und dem Definitionsbereich auf ein Maximum.

Bedeutung

Die Grenzkostenfunktion ist die Ableitung der Gesamtkostenfunktion. Sie beschreibt näherungsweise die Kosten, die durch eine zusätzliche produzierte Einheit entstehen.

Formel

Größen und Zeichen

GK(x)

Grenzkosten (€/Stück)

K(x)

Gesamtkosten (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Leite die Gesamtkostenfunktion K nach der Menge x ab.
2. Setze die aktuelle Produktionsmenge ein.
3. Interpretiere K′(x) als lokale Zusatzkosten und vergleiche sie bei Entscheidungen mit Grenzerlös oder Stückkosten.

Bedeutung

Die Grundfläche G ist jene ebene Fläche, auf der ein Körper gedanklich aufgebaut wird. Bei Prisma und Zylinder bleibt sie in parallelen Schnitten gleich groß; bei Pyramide und Kegel läuft der Körper zur Spitze zusammen. Ihre Form bestimmt die passende Flächenformel.

Formel

Größen und Zeichen

G

Flächeninhalt der Grundfläche (Quadrateinheit)

h

senkrechte Körperhöhe (Längeneinheit)

V

Volumen (Kubikeinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Erkenne die Form der Grundfläche in Skizze oder Angabe.
2. Berechne G mit der passenden ebenen Flächenformel.
3. Setze G anschließend in die Körperformel ein und beachte den Faktor 1/3.

Bedeutung

Hekto- ist eine SI-Vorsilbe und steht für den Faktor 10² = 100. Das Zeichen h wird ohne Abstand direkt vor das Einheitenzeichen gesetzt. Damit lassen sich sehr große oder sehr kleine Messwerte übersichtlich angeben.

Formel

Größen und Zeichen

h

Zeichen der Vorsilbe Hekto-

E

Einheit ohne Vorsilbe

Vorgehen bei der Matura

1. Ersetze die Vorsilbe Hekto- durch den Faktor 10² = 100.
2. Multipliziere den Zahlenwert mit diesem Faktor, wenn du in die Einheit ohne Vorsilbe umrechnest.
3. Schreibe das Ergebnis mit Einheit und kontrolliere die Größenordnung.

Bedeutung

Die Heron’sche Flächenformel bestimmt die Dreiecksfläche allein aus den drei Seitenlängen. Zuerst wird der halbe Umfang s berechnet. Die Seiten müssen die Dreiecksungleichung erfüllen.

Formel

Größen und Zeichen

a, b, c

Seitenlängen des Dreiecks (Längeneinheit)

s

halber Umfang (Längeneinheit)

A

Flächeninhalt (Quadrateinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne s = (a + b + c)/2.
2. Bilde die vier Faktoren s, s − a, s − b und s − c.
3. Multipliziere sie, ziehe die Quadratwurzel und gib die Quadrateinheit an.

Bedeutung

Der Höchstpreis ist der Preis, den Nachfragende im Modell bei einer Absatzmenge von null gerade noch akzeptieren würden. Er ist der y-Achsenabschnitt der Preisfunktion der Nachfrage.

Formel

Größen und Zeichen

p_H

Höchstpreis (€/Stück)

p_N(x)

Preisfunktion der Nachfrage (€/Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Identifiziere die Nachfrage- beziehungsweise Preis-Absatz-Funktion.
2. Setze für die Absatzmenge x = 0 in die Preisfunktion ein.
3. Interpretiere den Achsenabschnitt als Modellgrenze und nicht als tatsächlich erzielten Umsatz.

Bedeutung

Bei einer homogenen linearen Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstantem Koeffizienten ist die rechte Seite null. Die Lösung beschreibt die freie Entwicklung des Systems ohne äußere Anregung. Für y′ + ay = 0 ergibt sich eine Exponentialfunktion mit einer frei bestimmbaren Konstante.

Formel

Größen und Zeichen

yₕ

homogene Lösung

a

konstanter Koeffizient der Differenzialgleichung

C

durch eine Anfangsbedingung bestimmbare Konstante

Vorgehen bei der Matura

1. Bringe die Gleichung auf die Form y′ + ay = 0 und lies die Konstante a ab.
2. Bilde die allgemeine Lösung C·e^(−ax).
3. Bestimme C aus der Anfangsbedingung und kontrolliere die Lösung durch Ableiten und Einsetzen.

Bedeutung

Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel und zugleich die längste Seite eines rechtwinkeligen Dreiecks. In der üblichen Beschriftung heißt sie c. Ihre Länge folgt aus dem Satz des Pythagoras.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

Katheten (Längeneinheit)

c

Hypotenuse (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Kennzeichne den rechten Winkel und damit die gegenüberliegende Hypotenuse c.
2. Quadriere beide Katheten und addiere die Ergebnisse.
3. Ziehe die positive Quadratwurzel und prüfe, ob c die längste Seite ist.

Bedeutung

Im trigonometrisch beschrifteten rechtwinkeligen Dreieck ist c die Hypotenuse. Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und dient als Nenner bei Sinus und Cosinus. Zugleich gilt der Satz des Pythagoras.

Formel

Größen und Zeichen

a

Gegenkathete zu α (Längeneinheit)

b

Ankathete zu α (Längeneinheit)

c

Hypotenuse (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Finde den rechten Winkel und kennzeichne die gegenüberliegende Seite als c.
2. Wähle Pythagoras oder eine Winkelfunktion anhand der bekannten Größen.
3. Berechne c und kontrolliere, dass sie länger als beide Katheten ist.

Bedeutung

In der Komponentenform z = a + b · i ist b der Imaginärteil; der Ausdruck b · i heißt imaginärer Anteil. Der Imaginärteil selbst ist eine reelle Zahl und beschreibt die vertikale Koordinate von z in der gaußschen Zahlenebene.

Formel

Größen und Zeichen

z

komplexe Zahl

a

Realteil von z

b

Imaginärteil von z

i

imaginäre Einheit mit i² = −1

Vorgehen bei der Matura

1. Bringe die komplexe Zahl durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen in die Form a + b · i.
2. Fasse alle reellen Terme zu a und alle Koeffizienten vor i zu b zusammen.
3. Lies b ohne die imaginäre Einheit i ab und kontrolliere das Vorzeichen.

Bedeutung

Eine inhomogene lineare Differenzialgleichung besitzt eine von null verschiedene rechte Seite, die das System von außen antreibt. Ihre allgemeine Lösung setzt sich aus der homogenen Lösung und einer speziellen partikulären Lösung zusammen. Anfangswerte bestimmen anschließend die verbleibende Konstante.

Formel

Größen und Zeichen

yₕ

Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung

yₚ

eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung

s(x)

Stör- oder Anregungsfunktion

Vorgehen bei der Matura

1. Löse zuerst die zugehörige homogene Gleichung und erhalte yₕ.
2. Bestimme eine passende partikuläre Lösung yₚ, etwa durch einen Ansatz oder einen integrierenden Faktor.
3. Addiere yₕ und yₚ, passe die Konstante an die Anfangsbedingung an und setze zur Kontrolle ein.

Bedeutung

Ein Integral beschreibt das Aufsummieren kontinuierlich verteilter Beiträge und ist eng mit der Stammfunktion verbunden. Das unbestimmte Integral liefert eine Funktionsfamilie, das bestimmte Integral einen Zahlenwert über ein Intervall. In Sachaufgaben kann es etwa aus einer Rate die gesamte Bestandsänderung bestimmen.

Formel

Größen und Zeichen

f

zu integrierende Funktion beziehungsweise Rate

F

Stammfunktion mit F′ = f

C

beliebige Integrationskonstante

a, b

Integrationsgrenzen beim bestimmten Integral

Vorgehen bei der Matura

1. Kläre, ob eine Stammfunktion oder ein aufsummierter Wert zwischen zwei Grenzen gesucht ist.
2. Bestimme eine passende Stammfunktion und prüfe sie durch Ableiten.
3. Füge beim unbestimmten Integral C hinzu oder werte beim bestimmten Integral F(b) − F(a) aus.

Bedeutung

Der interne Zinssatz ist jener Kalkulationszinssatz, bei dem der Kapitalwert einer Investition genau null wird. Er beschreibt eine projektinterne Rendite und wird mit einer geforderten Mindestverzinsung verglichen.

Formel

Größen und Zeichen

i_int

interner Zinssatz

A₀

Anschaffungskosten (€)

Rₜ

Rückfluss in Periode t (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Stelle die Kapitalwertgleichung mit dem unbekannten Zinssatz i_int auf.
2. Löse die nichtlineare Gleichung mit Technologieeinsatz oder Interpolation.
3. Vergleiche i_int mit dem Kalkulationszinssatz und prüfe bei wechselnden Vorzeichen, ob mehrere Lösungen möglich sind.

Bedeutung

Der Interquartilsabstand ist die Differenz zwischen oberem und unterem Quartil und umfasst die mittleren 50 % der geordneten Daten. Er ist robust gegenüber einzelnen extremen Werten. Der Begriff ist inhaltlich gleichbedeutend mit Quartilsabstand.

Formel

Größen und Zeichen

IQR

Interquartilsabstand

Q₁

unteres Quartil

Q₃

oberes Quartil

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne die Daten und bestimme Q₁ und Q₃ nach der in der Aufgabe verwendeten Quartilsregel.
2. Subtrahiere Q₁ vom größeren Quartil Q₃.
3. Interpretiere das Ergebnis als Breite des mittleren Datenbereichs und vergleiche Streuungen nur bei gleicher Einheit.

Bedeutung

Die inverse Matrix A⁻¹ macht die Multiplikation mit einer quadratischen Matrix A rückgängig. Sie existiert nur, wenn A invertierbar ist; bei einer 2 × 2-Matrix ist dafür die Determinante ad − bc ungleich null erforderlich.

Formel

Größen und Zeichen

A

invertierbare quadratische Matrix

A⁻¹

inverse Matrix zu A

ad − bc

Determinante der 2 × 2-Matrix

E

Einheitsmatrix passender Größe

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe zuerst, ob die Matrix quadratisch ist und ihre Determinante nicht null ist.
2. Berechne A⁻¹ mit der Formel oder der Matrixfunktion des zugelassenen elektronischen Hilfsmittels.
3. Kontrolliere das Ergebnis durch A · A⁻¹ = E und beachte die Reihenfolge bei weiteren Produkten.

Bedeutung

Die dynamische Investitionsrechnung beurteilt Projekte, deren Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen. Kapitalwert, interner Zinssatz und Endwert beruhen darauf, sämtliche Zahlungen auf einen gemeinsamen Zeitpunkt zu beziehen.

Formel

Größen und Zeichen

C₀

Kapitalwert (€)

A₀

Anschaffungskosten (€)

Rₜ

Netto-Rückfluss (€)

i

Kalkulationszinssatz

Vorgehen bei der Matura

1. Erstelle eine vollständige Zeitachse aller projektbezogenen Ein- und Auszahlungen.
2. Wähle den geforderten Vergleichszeitpunkt und den passenden Zinssatz.
3. Berechne die Kennzahl und formuliere eine Entscheidung mit wirtschaftlicher Interpretation.

Bedeutung

Der Jahreszinssatz gibt die relative Veränderung eines Kapitals innerhalb eines Jahres an. Je nach Angabe kann er nominal oder effektiv sein; für Rechnungen wird er als Dezimalzahl eingesetzt.

Formel

Größen und Zeichen

p

Jahreszinssatz in Prozent (%)

i

Jahreszinssatz als Dezimalzahl

q

Jahresfaktor

Vorgehen bei der Matura

1. Kläre, ob der Zinssatz effektiv oder nominal angegeben ist.
2. Wandle p % durch Division durch 100 in i um.
3. Verwende q = 1 + i für jährliche Aufzinsung oder rechne einen passenden Periodenzins aus.

Bedeutung

In der Investitionsrechnung ist der Jahreszinssatz der periodengerechte Vergleichszins für Ab- oder Aufzinsung. Er kann Kalkulations-, Finanzierungs- oder Wiederveranlagungszinssatz sein und erfüllt damit eine andere Rolle als ein bloßer Sparzinssatz.

Formel

Größen und Zeichen

i

für die Bewertung verwendeter Jahreszinssatz

t

Abstand zum Bezugszeitpunkt in Jahren

Vorgehen bei der Matura

1. Lies aus der Aufgabe ab, welche wirtschaftliche Funktion der Zinssatz besitzt.
2. Wandle die Prozentangabe in i um und ordne jeder Zahlung den richtigen Exponenten t zu.
3. Führe eine Sensitivitätsüberlegung durch: Ein höherer Kalkulationszins senkt Barwerte zukünftiger Rückflüsse.

Bedeutung

Der kalkulatorische Zinssatz ist die vom Unternehmen geforderte Mindestverzinsung und dient zum Abzinsen zukünftiger Rückflüsse. Er bildet Opportunitätskosten und Risiko in einer vorgegebenen Modellannahme ab.

Formel

Größen und Zeichen

i

kalkulatorischer Zinssatz

C₀

Kapitalwert beim Zinssatz i (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Übernimm den vorgegebenen Kalkulationszins als Dezimalzahl.
2. Zinse alle zukünftigen Netto-Rückflüsse damit auf t = 0 ab.
3. Akzeptiere nach dem Kapitalwertkriterium nur Projekte mit C₀ ≥ 0, sofern keine weitere Bedingung genannt ist.

Bedeutung

Die Kapazitätsgrenze S ist die obere langfristige Bestandsgrenze eines Modells für beschränktes oder logistisches Wachstum. Mathematisch ist sie der Grenzwert von N(t) für t → ∞ und wird in den üblichen Modellen nur asymptotisch angenähert. Bei einer beschränkten Abnahme ist S dagegen ein unterer Grenzwert und keine Kapazitätsgrenze.

Formel

Größen und Zeichen

S

obere Kapazitätsgrenze beim Wachstumsmodell

N(t)

Bestandsfunktion

t

Zeit

Vorgehen bei der Matura

1. Erkenne im Modell den konstanten Wert, dem sich der Bestand langfristig nähert.
2. Bilde gedanklich oder rechnerisch den Grenzwert t → ∞ und lasse abklingende Terme verschwinden.
3. Deute S mit Einheit und prüfe, ob berechnete Bestände im vorgesehenen Modellbereich plausibel bleiben.

Bedeutung

Der Kapitalwert ist die Summe aller auf den Zeitpunkt 0 abgezinsten Ein- und Auszahlungen einer Investition. Ein positiver Kapitalwert bedeutet, dass die geforderte Verzinsung erreicht und zusätzlich ein Wertüberschuss erzielt wird.

Formel

Größen und Zeichen

C₀

Kapitalwert bei t = 0 (€)

A₀

Anschaffungsauszahlung (€)

Rₜ

Netto-Rückfluss in Jahr t (€)

i

Kalkulationszinssatz

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde für jedes Jahr den Netto-Rückfluss aus Einzahlungen minus Auszahlungen.
2. Zinse jeden Rₜ mit (1 + i)ᵗ auf t = 0 ab und berücksichtige A₀ mit negativem Vorzeichen.
3. Addiere und entscheide: C₀ > 0 vorteilhaft, C₀ = 0 gerade ausreichend, C₀ < 0 nicht ausreichend.

Bedeutung

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. In der Standardbezeichnung sind dies a und b; c ist die Hypotenuse. Eine fehlende Kathete wird durch Subtraktion der Quadrate berechnet.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

Katheten (Längeneinheit)

c

Hypotenuse (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme die Hypotenuse c als Seite gegenüber dem rechten Winkel.
2. Subtrahiere das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse.
3. Ziehe die positive Quadratwurzel und kontrolliere, dass die Kathete kürzer als c ist.

Bedeutung

Katheten sind die beiden Seiten, die im rechtwinkeligen Dreieck den rechten Winkel einschließen. Bezogen auf einen spitzen Winkel heißt eine davon Gegenkathete und die andere Ankathete. Welche Rolle eine Kathete hat, ändert sich mit dem betrachteten Winkel.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

Katheten (Längeneinheit)

c

Hypotenuse (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Markiere zuerst die Hypotenuse c.
2. Ordne dem betrachteten Winkel Gegen- und Ankathete zu.
3. Wähle Pythagoras oder die passende Winkelfunktion und löse nach der Kathete.

Bedeutung

Die Kettenregel wird verwendet, wenn eine Funktion in eine andere eingesetzt ist. Man leitet zuerst die äußere Funktion ab, lässt den inneren Ausdruck stehen und multipliziert anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion.

Formel

Größen und Zeichen

f

äußere Funktion

g

innere Funktion

h = f ∘ g

verkettete Funktion

Vorgehen bei der Matura

1. Kennzeichne den inneren Ausdruck g(x) und die darum liegende äußere Funktion f.
2. Leite die äußere Funktion ab, wobei g(x) zunächst unverändert eingesetzt bleibt.
3. Multipliziere mit g′(x) und vereinfache das vollständige Ergebnis.

Bedeutung

Kilo- ist eine SI-Vorsilbe und steht für den Faktor 10³ = 1 000. Das Zeichen k wird ohne Abstand direkt vor das Einheitenzeichen gesetzt. Damit lassen sich sehr große oder sehr kleine Messwerte übersichtlich angeben.

Formel

Größen und Zeichen

k

Zeichen der Vorsilbe Kilo-

E

Einheit ohne Vorsilbe

Vorgehen bei der Matura

1. Ersetze die Vorsilbe Kilo- durch den Faktor 10³ = 1 000.
2. Multipliziere den Zahlenwert mit diesem Faktor, wenn du in die Einheit ohne Vorsilbe umrechnest.
3. Schreibe das Ergebnis mit Einheit und kontrolliere die Größenordnung.

Bedeutung

Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen um die imaginäre Einheit i mit i² = −1; in technischen Anwendungen wird dafür häufig j geschrieben. Jede komplexe Zahl besitzt einen Real- und einen Imaginärteil und kann als Punkt oder Vektor in der gaußschen Zahlenebene dargestellt werden. Dadurch lassen sich etwa Gleichungen wie x² + 1 = 0 lösen.

Formel

Größen und Zeichen

z

komplexe Zahl

a = Re(z)

Realteil von z

b = Im(z)

Imaginärteil von z

i bzw. j

imaginäre Einheit

Vorgehen bei der Matura

1. Ersetze auftretende Quadrate der imaginären Einheit konsequent durch i² = −1.
2. Führe die verlangte Rechnung aus und sammle danach reelle sowie imaginäre Terme getrennt.
3. Gib das Ergebnis in der Standardform a + b · i an und prüfe beide Komponenten.

Bedeutung

Die Komponentenform z = a + b · i zeigt Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl unmittelbar. Sie eignet sich besonders zum Addieren und Subtrahieren sowie zum Ablesen der Koordinaten in der gaußschen Zahlenebene.

Formel

Größen und Zeichen

a

Realteil beziehungsweise horizontale Koordinate

b

Imaginärteil beziehungsweise vertikale Koordinate

r

Betrag der komplexen Zahl

φ

Argument beziehungsweise Winkel

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme bei gegebener Polarform den Betrag r und das Argument φ einschließlich des richtigen Quadranten.
2. Berechne den Realteil mit a = r · cos(φ) und den Imaginärteil mit b = r · sin(φ).
3. Schreibe beide Werte als z = a + b · i und vereinfache Vorzeichen sowie Nullanteile.

Bedeutung

Ein Konfidenzintervall liefert aus Stichprobendaten einen plausiblen Bereich für den unbekannten Erwartungswert μ einer normalverteilten Zufallsvariablen. Bei bekannter Populationsstandardabweichung σ wird das z-Quantil verwendet; ist σ unbekannt und wird durch die korrigierte Stichprobenstandardabweichung sₙ₋₁ geschätzt, ist das t-Quantil mit n − 1 Freiheitsgraden richtig. Das Zentrum des Intervalls ist in beiden Fällen der beobachtete Stichprobenmittelwert x̄.

Formel

Größen und Zeichen

x̄

beobachteter Stichprobenmittelwert

σ, sₙ₋₁

bekannte Populations- beziehungsweise korrigierte Stichprobenstandardabweichung

n

Stichprobenumfang

α

Irrtumswahrscheinlichkeit; Konfidenzniveau 1 − α

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme das Konfidenzniveau und ob die Populationsstandardabweichung σ bekannt oder unbekannt ist.
2. Wähle z oder bei unbekanntem σ das t-Quantil mit ν = n − 1 und berechne den Standardfehler.
3. Multipliziere Quantil und Standardfehler zur Fehlerspanne, bilde beide Grenzen und interpretiere das Intervall fachlich korrekt.

Bedeutung

Ein geometrischer Körper ist dreidimensional und besitzt Volumen sowie äußere Flächen. Seine Bauart entscheidet, ob eine Prisma-, Pyramiden-, Zylinder-, Kegel- oder Kugelformel passt. Reale Objekte werden bei der Matura oft durch solche idealisierten Körper modelliert.

Formel

Größen und Zeichen

O

Oberflächeninhalt (Quadrateinheit)

V

Rauminhalt (Kubikeinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne das reale Objekt einem Grundkörper oder einer Zusammensetzung von Körpern zu.
2. Markiere alle gegebenen Maße und gesuchten Flächen beziehungsweise Volumina.
3. Berechne Teilgrößen mit einheitlichen Einheiten und setze sie passend zusammen.

Bedeutung

Der Pearson-Korrelationskoeffizient r misst Richtung und Stärke eines linearen Zusammenhangs zweier metrischer Merkmale. Er liegt zwischen −1 und 1 und ist einheitenlos. Ein Wert nahe 0 schließt einen nichtlinearen Zusammenhang nicht aus und Korrelation beweist keine Ursache.

Formel

Größen und Zeichen

r

Pearson-Korrelationskoeffizient

xᵢ, yᵢ

zusammengehörige Beobachtungspaare

x̄, ȳ

Mittelwerte der x- und y-Werte

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe im Streudiagramm, ob ein ungefähr linearer Zusammenhang plausibel ist und ob starke Ausreißer vorliegen.
2. Berechne die Mittelwerte und die Summen aus Abweichungsprodukten und Abweichungsquadraten.
3. Berechne r und interpretiere Vorzeichen und Betrag, ohne daraus Kausalität abzuleiten.

Bedeutung

Die Kosten- und Preistheorie verbindet Kosten-, Preis-, Erlös- und Gewinnfunktionen mit ökonomischen Entscheidungen. Nullstellen, Ableitungen und Extremwerte erhalten dabei eine konkrete betriebliche Bedeutung.

Formel

Größen und Zeichen

x

Produktions- beziehungsweise Absatzmenge (Stück)

p(x)

Preis (€/Stück)

K,E,G

Kosten, Erlös und Gewinn (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Lege den ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich fest.
2. Stelle K(x), p(x), E(x) und G(x) sauber mit Einheiten auf.
3. Wähle je nach Frage Nullstellen, Ungleichungen oder Ableitungen und formuliere die betriebliche Interpretation.

Bedeutung

Der kostendeckende Preis bezeichnet in der Matura-Formelsammlung die langfristige Preisuntergrenze. Er ist der minimale Wert der gesamten Stückkosten k(x) und wird bei der Betriebsoptimumsmenge x_opt erreicht. Zu diesem Preis werden langfristig variable und fixe Kosten gedeckt.

Formel

Größen und Zeichen

p_k

kostendeckender Preis beziehungsweise langfristige Preisuntergrenze (€/Stück)

k(x)

gesamte Stückkosten (€/Stück)

x_opt

Betriebsoptimumsmenge (Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde aus der Gesamtkostenfunktion die Stückkosten k(x) = K(x)/x für x > 0.
2. Bestimme die zulässige Minimumstelle x_opt von k, etwa mit k′(x_opt) = 0 und einer Minimumsprüfung.
3. Setze x_opt in k ein; der erhaltene Minimalwert ist der kostendeckende Preis.

Bedeutung

Die Kostenfunktion ordnet jeder Produktionsmenge die gesamten Kosten zu. Sie setzt sich aus fixen und variablen Kosten zusammen und bildet die Grundlage für Stück- und Grenzkosten.

Formel

Größen und Zeichen

K(x)

Gesamtkosten (€)

F

Fixkosten (€)

Kᵥ(x)

variable Kosten (€)

x

Produktionsmenge (Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne konstante Kosten dem Fixkostenblock F und mengenabhängige Terme Kᵥ zu.
2. Stelle K(x) im vorgegebenen Bereich auf.
3. Kontrolliere K(0) = F und leite bei Bedarf Grenz- oder Stückkosten ab.

Bedeutung

Die Kostenkehre ist der Wendepunkt einer typischen ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. Dort wechselt der Verlauf von degressiv zu progressiv und die Grenzkosten erreichen ihr Minimum.

Formel

Größen und Zeichen

x_K

Menge an der Kostenkehre (Stück)

K″(x)

Krümmung der Kostenfunktion

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne K″(x) und löse K″(x) = 0.
2. Prüfe den Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv oder verwende K‴(x_K) > 0.
3. Setze x_K in K ein, wenn die Koordinaten des Wendepunkts verlangt sind.

Bedeutung

Eine resultierende Kraft verändert nach dem zweiten Newtonschen Gesetz den Bewegungszustand eines Körpers. Sie ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung; mehrere Einzelkräfte müssen zuvor unter Beachtung ihrer Richtungen zur resultierenden Kraft zusammengefasst werden.

Formel

Größen und Zeichen

F_res

resultierende Kraft (N)

m

Masse (kg)

a

Beschleunigung (m/s²)

Vorgehen bei der Matura

1. Zeichne bei mehreren Kräften ein Kräftebild und lege positive Richtungen fest.
2. Bilde die vektorielle beziehungsweise vorzeichenbehaftete resultierende Kraft.
3. Setze F_res = m · a ein, löse nach der gesuchten Größe und prüfe die Einheit N = kg·m/s².

Bedeutung

Die Kreislinie besteht aus allen Punkten einer Ebene mit demselben Abstand r vom Mittelpunkt; die Kreisfläche umfasst auch alle Punkte im Inneren mit einem Abstand höchstens r. Der Umfang wächst proportional zu r, die Fläche proportional zu r² und der Durchmesser ist 2r.

Formel

Größen und Zeichen

r

Radius (Längeneinheit)

d

Durchmesser (Längeneinheit)

A, u

Flächeninhalt und Umfang

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist, und berechne nötigenfalls r = d/2.
2. Wähle je nach Frage Flächen- oder Umfangsformel.
3. Rechne mit π und runde erst beim Endergebnis.

Bedeutung

Ein Kreisbogen ist ein Teil des Kreisumfangs. Seine Länge entspricht demselben Anteil am Gesamtumfang wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel. Im Bogenmaß vereinfacht sich die Beziehung zu b = rφ.

Formel

Größen und Zeichen

b

Bogenlänge (Längeneinheit)

r

Radius (Längeneinheit)

α

Mittelpunktswinkel im Gradmaß (Grad)

φ

Mittelpunktswinkel im Bogenmaß (Radiant)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Radius und Mittelpunktswinkel samt Winkelmaß.
2. Berechne beim Gradmaß den Anteil α/360° am Gesamtumfang.
3. Multipliziere mit 2πr und gib eine Längeneinheit an.

Bedeutung

Die Kreisfrequenz ω beschreibt die Winkeländerung einer harmonischen Schwingung pro Zeit. Sie ist 2π-mal so groß wie die Frequenz f, weil eine volle Periode 2π rad umfasst. Ihre Einheit ist rad/s.

Formel

Größen und Zeichen

ω

Kreisfrequenz (rad/s)

f

Frequenz (Hz)

T

Periodendauer (s)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Frequenz f oder Periodendauer T.
2. Setze in ω = 2πf beziehungsweise ω = 2π/T ein.
3. Gib das Ergebnis in rad/s an und runde angemessen.

Bedeutung

Ein Kreissektor ist der von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzte Teil eines Kreises. Sein Flächenanteil entspricht dem Anteil des Mittelpunktswinkels am Vollwinkel. Im Bogenmaß gilt A_S = r²φ/2.

Formel

Größen und Zeichen

A_S

Flächeninhalt des Sektors (Quadrateinheit)

r

Radius (Längeneinheit)

α

Mittelpunktswinkel im Gradmaß (Grad)

φ

Mittelpunktswinkel im Bogenmaß (Radiant)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Radius und Mittelpunktswinkel.
2. Berechne den Winkelanteil α/360° beziehungsweise verwende φ im Bogenmaß.
3. Multipliziere mit der Kreisfläche und gib eine Quadrateinheit an.

Bedeutung

Eine Kugel besteht aus allen Raumpunkten mit höchstens dem Abstand r vom Mittelpunkt; ihre Begrenzungsfläche heißt Kugeloberfläche. Volumen und Oberfläche hängen ausschließlich vom Radius ab. Das Volumen wächst mit r³, die Oberfläche mit r².

Formel

Größen und Zeichen

r

Kugelradius (Längeneinheit)

V

Kugelvolumen (Kubikeinheit)

O

Kugeloberfläche (Quadrateinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme den Radius; halbiere einen gegebenen Durchmesser.
2. Wähle Volumen- oder Oberflächenformel.
3. Potenziere r korrekt, rechne mit π und ergänze die passende Einheit.

Bedeutung

Die kurzfristige Preisuntergrenze ist das Minimum der variablen Stückkosten. Kurzfristig kann ein Betrieb Fixkosten als ohnehin anfallend betrachten, muss aber zumindest die zusätzlichen variablen Kosten decken.

Formel

Größen und Zeichen

p_kurz

kurzfristige Preisuntergrenze (€/Stück)

kᵥ(x)

variable Stückkosten (€/Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde kᵥ(x) = Kᵥ(x)/x.
2. Bestimme das Minimum im zulässigen Bereich.
3. Vergleiche den Marktpreis mit p_kurz und interpretiere eine Produktion darunter als kurzfristig nicht sinnvoll.

Bedeutung

Lagemaße beschreiben, wo das Zentrum einer Datenverteilung liegt. Wichtige Lagemaße sind arithmetisches Mittel, Median und Modalwert; sie können bei schiefen Daten deutlich voneinander abweichen. Die Wahl soll zur Datenart und zur Fragestellung passen.

Größen und Zeichen

x̄

arithmetisches Mittel

x̃

Median

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe Skalenniveau, Verteilungsform und mögliche Ausreißer der Daten.
2. Berechne oder lies die passenden Lagemaße ab.
3. Vergleiche die Werte und begründe, welches Maß die typische Lage am besten beschreibt.

Bedeutung

Die langfristige Preisuntergrenze ist das Minimum der gesamten Stückkosten. Langfristig muss der Preis sowohl variable als auch fixe Kosten pro Einheit decken.

Formel

Größen und Zeichen

p_lang

langfristige Preisuntergrenze (€/Stück)

k(x)

gesamte Stückkosten (€/Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde k(x) = K(x)/x einschließlich Fixkosten.
2. Bestimme das Minimum und prüfe den Definitionsbereich.
3. Interpretiere den minimalen Wert als langfristig mindestens erforderlichen Preis.

Bedeutung

Bei einem Laplace-Versuch sind alle elementaren Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Dann kann eine Ereigniswahrscheinlichkeit als Anzahl günstiger durch Anzahl möglicher Ergebnisse berechnet werden. Sind die Elementarereignisse nicht gleich wahrscheinlich, ist diese Quotientenregel nicht zulässig.

Formel

Größen und Zeichen

|A|

Anzahl der für A günstigen Elementarereignisse

|Ω|

Anzahl aller gleich wahrscheinlichen Elementarereignisse

Vorgehen bei der Matura

1. Beschreibe einen Ergebnisraum mit gleich wahrscheinlichen Elementarereignissen.
2. Zähle alle möglichen und alle für A günstigen Ergebnisse ohne Doppelzählung.
3. Bilde den Quotienten |A|/|Ω| und kürze oder wandle ihn in Prozent um.

Bedeutung

Die leere Menge besitzt kein einziges Element. Sie wird mit ∅ oder {} bezeichnet und hat die Mächtigkeit null. Sie tritt etwa als Lösungsmenge einer unlösbaren Gleichung auf.

Formel

Größen und Zeichen

|M|

Anzahl der Elemente einer Menge M

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme alle Objekte, welche die vorgegebene Bedingung erfüllen könnten.
2. Zeige, dass keines davon die Bedingung erfüllt.
3. Gib die Lösungs- oder Ergebnismenge als ∅ an.

Bedeutung

Die Leistung misst, wie viel Arbeit beziehungsweise Energie pro Zeit umgesetzt wird. Dieselbe Arbeit erfordert bei kürzerer Zeit eine größere mittlere Leistung.

Formel

Größen und Zeichen

P

Leistung (W = J/s)

W

Arbeit beziehungsweise umgesetzte Energie (J)

Δt

Zeitdauer (s)

F

Kraft (N)

v

Geschwindigkeit (m/s)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme die verrichtete Arbeit oder Energie und die dafür benötigte Zeit in Joule und Sekunden.
2. Berechne P = W/Δt; verwende F · v nur bei der angegebenen passenden Bewegungssituation.
3. Gib das Ergebnis in Watt oder einer passenden Vorsatzeinheit an und ordne seine Größenordnung ein.

Bedeutung

Bei linearer Abnahme wird pro Zeiteinheit stets derselbe absolute Betrag k abgezogen. Der Graph ist eine fallende Gerade; ein negatives Ergebnis außerhalb des sinnvollen Zeitbereichs zeigt, dass das Modell dort nicht mehr verwendet werden darf.

Formel

Größen und Zeichen

N₀

Anfangsbestand

k

konstanter absoluter Rückgang (Bestand/Zeiteinheit)

t

verstrichene Zeit

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme den Anfangswert und den festen Rückgang je Zeiteinheit mit passenden Einheiten.
2. Multipliziere den Rückgang k mit der Zeit t und subtrahiere ihn von N₀.
3. Prüfe den zulässigen Zeitraum und verwerfe negative Bestände als sachlich unzulässig.

Bedeutung

Ein lineares Gleichungssystem fasst mehrere lineare Gleichungen zusammen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. In Matrizenschreibweise stehen die Koeffizienten in A, die Unbekannten in x und die rechten Seiten in b. Bei invertierbarem A besitzt das quadratische System die eindeutige Lösung x = A⁻¹b.

Formel

Größen und Zeichen

A

Koeffizientenmatrix

x

Vektor der unbekannten Größen

b

Vektor der rechten Seiten

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne in allen Gleichungen die Variablen gleich und übertrage ihre Koeffizienten zeilenweise in A.
2. Schreibe die Unbekannten in x und die rechten Seiten in b und löse das System mit einem geeigneten Verfahren.
3. Setze die gefundene Lösung in die ursprünglichen Gleichungen ein und prüfe jede Gleichung.

Bedeutung

Die lineare Regression passt eine Gerade ŷ = a + bx an Beobachtungspaare an, sodass die Summe der quadrierten vertikalen Residuen minimal wird. Die Steigung b beschreibt die vorhergesagte Änderung von y je zusätzlicher x-Einheit. Vorhersagen weit außerhalb des beobachteten x-Bereichs sind Extrapolationen und besonders unsicher.

Formel

Größen und Zeichen

b

Steigung der Regressionsgeraden

a

y-Achsenabschnitt

ŷ

durch das Modell vorhergesagter y-Wert

yᵢ − ŷᵢ

Residuum des i-ten Punkts

Vorgehen bei der Matura

1. Zeichne oder prüfe das Streudiagramm und begründe, ob ein lineares Modell sinnvoll ist.
2. Berechne b und danach a = ȳ − bx̄ oder bestimme beide mit einer Regressionsfunktion.
3. Setze einen x-Wert zur Prognose ein und beurteile Ergebnis, Einheit und Lage innerhalb oder außerhalb des Datenbereichs.

Bedeutung

Die lineare Substitution vereinfacht Integrale, in denen ein Ausdruck ax + b als inneres Argument vorkommt. Mit u = ax + b wird du = a dx, wodurch der konstante innere Ableitungsfaktor ausgeglichen wird. Bei bestimmten Integralen können entweder die Grenzen mittransformiert oder nach der Integration wieder x eingesetzt werden.

Formel

Größen und Zeichen

u

neue Variable mit u = ax + b

a, b

Konstanten der linearen inneren Funktion

F

Stammfunktion von f

Vorgehen bei der Matura

1. Setze u = ax + b und forme dx = du/a um.
2. Ersetze den inneren Ausdruck und bei einem bestimmten Integral auch die Grenzen.
3. Integriere bezüglich u, setze bei Bedarf zurück und werte die Grenzen aus.

Bedeutung

Der lineare Mittelwert einer Funktion ist jener konstante Funktionswert, der über dasselbe Intervall denselben vorzeichenbehafteten Flächeninhalt ergibt. Er verallgemeinert das arithmetische Mittel auf kontinuierlich verteilte Werte. Der Mittelwert kann bei negativen Funktionswerten auch kleiner als null sein.

Formel

Größen und Zeichen

m

linearer Mittelwert der Funktion

a, b

Grenzen des betrachteten Intervalls

f(x)

zu mittelnde Funktion

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne das bestimmte Integral von f über [a; b].
2. Bestimme die Intervalllänge b − a.
3. Dividiere den Integralwert durch b − a und interpretiere das Ergebnis in der Einheit von f.

Bedeutung

Bei linearem Wachstum kommt in gleichen Zeitabständen immer derselbe absolute Betrag hinzu. Der Graph ist eine Gerade mit konstanter Steigung k; die relative prozentuelle Zunahme wird dabei mit wachsendem Bestand kleiner.

Formel

Größen und Zeichen

N₀

Anfangsbestand

k

konstanter absoluter Zuwachs (Bestand/Zeiteinheit)

t

verstrichene Zeit

Vorgehen bei der Matura

1. Lies den Bestand zum Startzeitpunkt und den absoluten Zuwachs je Zeiteinheit ab.
2. Bringe Zeitangabe und Rate auf dieselbe Zeiteinheit und berechne k · t.
3. Addiere den Gesamtzuwachs zu N₀ und interpretiere das Ergebnis mit Einheit.

Bedeutung

Ein Linearfaktor x − x₀ gehört zu einer Nullstelle x₀ eines Polynoms. Ein Polynom lässt sich, soweit es über dem betrachteten Zahlenbereich zerfällt, als Produkt seiner Linearfaktoren schreiben. Mehrfache Nullstellen führen zu mehrfach vorkommenden Faktoren.

Formel

Größen und Zeichen

x₁, …, xₙ

Nullstellen des Polynoms

a

führender Koeffizient, a ≠ 0

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme sämtliche Nullstellen des Polynoms.
2. Bilde zu jeder Nullstelle xᵢ den Faktor (x − xᵢ).
3. Bestimme den Vorfaktor a durch Vergleich des führenden Koeffizienten oder durch Einsetzen eines Punktes.

Bedeutung

Ein Logarithmus gibt den Exponenten an, mit dem eine positive Basis potenziert werden muss, um einen positiven Wert zu erhalten. Er macht unbekannte Exponenten in Exponentialgleichungen zugänglich. Für die Basis gilt a > 0 und a ≠ 1, für das Argument b > 0.

Formel

Größen und Zeichen

a

positive Basis ungleich 1

b, u, v

positive Logarithmusargumente

x, r

Exponenten

Vorgehen bei der Matura

1. Isoliere die Potenz beziehungsweise den logarithmischen Ausdruck.
2. Logarithmiere beide Seiten und hole unbekannte Exponenten mit der Potenzregel nach vorne.
3. Löse nach der Unbekannten und führe eine Probe im ursprünglichen Ausdruck durch.

Bedeutung

Logistisches Wachstum startet bei 0 < N₀ < S, wird in der Nähe der positiven Kapazitätsgrenze S gebremst und nähert sich ihr in einer S-Kurve. Die Darstellungen mit aᵗ und e^(−λt) sind bei derselben Zeiteinheit genau dann gleichwertig, wenn λ = −ln(a) gilt.

Formel

Größen und Zeichen

N₀

positiver Anfangsbestand unterhalb von S

S

positive Kapazitätsgrenze

c

aus S und N₀ bestimmter Formparameter

a

Faktor mit 0 < a < 1

λ

zu a gehörende positive Wachstumskonstante mit λ = −ln(a) (1/Zeiteinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Anfangswert N₀ und Kapazitätsgrenze S und berechne c = (S − N₀)/N₀.
2. Ermittle den Zeitfaktor a oder die Konstante λ und verbinde beide bei Bedarf mit λ = −ln(a).
3. Berechne N(t) und prüfe Anfangswert, S-förmigen Verlauf sowie die langfristige Grenze S.

Bedeutung

Die lokale Änderungsrate beschreibt die Veränderung einer Funktion unmittelbar an einer bestimmten Stelle. Sie ist der Wert der Ableitung an dieser Stelle und entspricht geometrisch der Steigung der Tangente am Graphen.

Formel

Größen und Zeichen

x₀

betrachtete Stelle

f′

Ableitungsfunktion

f′(x₀)

lokale Änderungsrate an x₀

Vorgehen bei der Matura

1. Leite die gegebene Funktion nach der unabhängigen Variable ab.
2. Setze die konkrete Stelle x₀ in die Ableitungsfunktion ein.
3. Deute Vorzeichen, Größe und Einheit als lokale Zu- oder Abnahme.

Bedeutung

Die Mantelfläche umfasst die seitlichen Flächen eines Körpers ohne Grund- und Deckfläche. Beim geraden Prisma ist sie Grundumfang mal Höhe; beim Zylinder ergibt das Abrollen ein Rechteck. Beim Kegel wird statt der Körperhöhe die Mantellinie verwendet.

Formel

Größen und Zeichen

M

Mantelfläche (Quadrateinheit)

u_G

Umfang der Grundfläche (Längeneinheit)

h

Körperhöhe (Längeneinheit)

s

Mantellinie eines Kegels (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme, welcher Körper vorliegt und welche Flächen zum Mantel gehören.
2. Berechne den Grundumfang beziehungsweise die nötige Mantellinie.
3. Setze in die passende Mantelformel ein und gib eine Quadrateinheit an.

Bedeutung

Im Marktgleichgewicht stimmen Angebots- und Nachfragepreis bei derselben Menge überein. Der Schnittpunkt liefert Gleichgewichtsmenge und Gleichgewichtspreis.

Formel

Größen und Zeichen

p_A(x)

Angebotspreis (€/Stück)

p_N(x)

Nachfragepreis (€/Stück)

x_G

Gleichgewichtsmenge (Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Setze Angebots- und Nachfragefunktion gleich.
2. Löse nach x_G und kontrolliere den gemeinsamen Definitionsbereich.
3. Setze x_G in eine Preisfunktion ein und gib den Punkt mit Menge und Preis an.

Bedeutung

Die Masse ist ein Maß für die Trägheit eines Körpers und wird in Kilogramm angegeben. Sie ist weder mit der Stoffmenge (Einheit mol) noch mit der Gewichtskraft in Newton gleichzusetzen. In den Formeln dieses Abschnitts kann sie etwa aus Dichte und Volumen oder aus Kraft und Beschleunigung bestimmt werden.

Formel

Größen und Zeichen

m

Masse (kg)

ρ

Dichte (kg/m³)

V

Volumen (m³)

F_res

resultierende Kraft (N)

a

Beschleunigung (m/s²)

Vorgehen bei der Matura

1. Wähle anhand der gegebenen Größen die passende Beziehung und forme sie gegebenenfalls nach m um.
2. Vereinheitliche alle Einheiten, besonders Volumen- und Dichteeinheiten.
3. Setze ein und prüfe, ob die erhaltene Masse positiv und für das beschriebene Objekt plausibel ist.

Bedeutung

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, mit der sich lineare Zusammenhänge und Daten kompakt darstellen lassen. Addition ist nur bei gleicher Dimension möglich; für A · B muss die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B sein. Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht vertauschbar.

Formel

Größen und Zeichen

aᵢⱼ

Eintrag von A in Zeile i und Spalte j

A, B

zu verknüpfende Matrizen

C

Produktmatrix

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe vor jeder Operation die Dimensionen und bestimme die Dimension der Ergebnismatrix.
2. Bei Addition rechne elementweise; bei Multiplikation bilde für jeden Eintrag Zeile von A mal Spalte von B.
3. Kontrolliere einzelne Einträge und vertausche die Faktoren nur, wenn dies ausdrücklich zulässig und geprüft ist.

Bedeutung

Der Median teilt eine geordnete Datenreihe so, dass mindestens die Hälfte der Werte nicht größer und mindestens die Hälfte nicht kleiner ist. Bei ungeradem n ist er der mittlere Wert, bei geradem n üblicherweise das Mittel der beiden mittleren Werte. Gegen Ausreißer ist er wesentlich robuster als das arithmetische Mittel.

Formel

Größen und Zeichen

x̃

Median

x₍ᵢ₎

i-ter Wert der geordneten Datenreihe

n

Anzahl der Beobachtungen

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne alle Werte aufsteigend und bestimme n.
2. Wähle je nach geradem oder ungeradem n die mittlere Position beziehungsweise die beiden mittleren Positionen.
3. Lies den Wert ab oder bilde das Mittel der beiden mittleren Werte und interpretiere die Teilung der Daten.

Bedeutung

Mega- ist eine SI-Vorsilbe und steht für den Faktor 10⁶ = 1 000 000. Das Zeichen M wird ohne Abstand direkt vor das Einheitenzeichen gesetzt. Damit lassen sich sehr große oder sehr kleine Messwerte übersichtlich angeben.

Formel

Größen und Zeichen

M

Zeichen der Vorsilbe Mega-

E

Einheit ohne Vorsilbe

Vorgehen bei der Matura

1. Ersetze die Vorsilbe Mega- durch den Faktor 10⁶ = 1 000 000.
2. Multipliziere den Zahlenwert mit diesem Faktor, wenn du in die Einheit ohne Vorsilbe umrechnest.
3. Schreibe das Ergebnis mit Einheit und kontrolliere die Größenordnung.

Bedeutung

Eine Menge fasst eindeutig bestimmbare Objekte zu einer Einheit zusammen. Die Reihenfolge und eine mehrfache Nennung der Elemente ändern die Menge nicht. Mengen können aufgezählt oder durch eine Eigenschaft beschrieben werden.

Formel

Größen und Zeichen

A

Name der Menge

x

mögliches Element der Menge

Vorgehen bei der Matura

1. Lege fest, welche Eigenschaft ein Objekt erfüllen muss.
2. Prüfe jedes betrachtete Objekt anhand dieser Eigenschaft.
3. Notiere die passenden Elemente ohne Wiederholungen in Mengenklammern.

Bedeutung

Mikro- ist eine SI-Vorsilbe und steht für den Faktor 10⁻⁶ = 0,000001. Das Zeichen µ wird ohne Abstand direkt vor das Einheitenzeichen gesetzt. Damit lassen sich sehr große oder sehr kleine Messwerte übersichtlich angeben.

Formel

Größen und Zeichen

µ

Zeichen der Vorsilbe Mikro-

E

Einheit ohne Vorsilbe

Vorgehen bei der Matura

1. Ersetze die Vorsilbe Mikro- durch den Faktor 10⁻⁶ = 0,000001.
2. Multipliziere den Zahlenwert mit diesem Faktor, wenn du in die Einheit ohne Vorsilbe umrechnest.
3. Schreibe das Ergebnis mit Einheit und kontrolliere die Größenordnung.

Bedeutung

Milli- ist eine SI-Vorsilbe und steht für den Faktor 10⁻³ = 0,001. Das Zeichen m wird ohne Abstand direkt vor das Einheitenzeichen gesetzt. Damit lassen sich sehr große oder sehr kleine Messwerte übersichtlich angeben.

Formel

Größen und Zeichen

m

Zeichen der Vorsilbe Milli-

E

Einheit ohne Vorsilbe

Vorgehen bei der Matura

1. Ersetze die Vorsilbe Milli- durch den Faktor 10⁻³ = 0,001.
2. Multipliziere den Zahlenwert mit diesem Faktor, wenn du in die Einheit ohne Vorsilbe umrechnest.
3. Schreibe das Ergebnis mit Einheit und kontrolliere die Größenordnung.

Bedeutung

Mit Mittelwert ist in deskriptiv-statistischen Aufgaben ohne weiteren Zusatz meist das arithmetische Mittel gemeint. Bei einer Häufigkeitsverteilung ist es ein gewichteter Durchschnitt aller Ausprägungen. Es beschreibt die Lage, aber nicht, wie stark die Einzelwerte schwanken.

Formel

Größen und Zeichen

xⱼ

mögliche Merkmalsausprägung

Hⱼ

absolute Häufigkeit von xⱼ

n

Summe aller Häufigkeiten

Vorgehen bei der Matura

1. Multipliziere jede Ausprägung mit ihrer absoluten Häufigkeit.
2. Addiere die Produkte und bestimme n als Summe der Häufigkeiten.
3. Dividiere die gewichtete Summe durch n und deute den Durchschnitt im Sachzusammenhang.

Bedeutung

Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Änderung einer Größe je Einheit der unabhängigen Variable über ein Intervall. Geometrisch ist sie die Steigung der Sekante durch die beiden Randpunkte des Funktionsgraphen.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

Anfang und Ende des Intervalls

f(a), f(b)

Funktionswerte an den Grenzen

m

mittlere Änderungsrate

Vorgehen bei der Matura

1. Lies das betrachtete Intervall und berechne beide Randwerte der Funktion.
2. Teile die Änderung der Funktionswerte durch die Länge des Intervalls.
3. Formuliere das Ergebnis als durchschnittliche Änderung pro Einheit der unabhängigen Größe.

Bedeutung

Der modifizierte interne Zinssatz i_mod ist im Matura-Modell jener konstante Jahreszinssatz, mit dem die Anschaffungskosten A₀ bis zum Ende der Nutzungsdauer auf denselben Betrag wachsen wie der Endwert E der zum Zinssatz i_W wiederveranlagten Rückflüsse. Dadurch wird nicht unterstellt, dass Zwischenrückflüsse zum internen Zinssatz angelegt werden.

Formel

Größen und Zeichen

i_mod

modifizierter interner Zinssatz pro Jahr

A₀

Anschaffungskosten bei t = 0 (€)

E

Endwert der mit i_W wiederveranlagten Rückflüsse (€)

n

Nutzungsdauer in Jahren

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne zuerst E, indem du alle Rückflüsse mit dem Wiederveranlagungszinssatz i_W bis t = n aufzinst.
2. Stelle die Gleichung A₀ · (1 + i_mod)ⁿ = E auf und dividiere durch A₀.
3. Ziehe die n-te Wurzel, subtrahiere 1 und vergleiche i_mod mit der in der Aufgabe verlangten Mindestverzinsung.

Bedeutung

Die momentane Änderungsrate gibt an, wie schnell sich eine Größe genau zu einem bestimmten Zeitpunkt oder an einer bestimmten Stelle ändert. Mathematisch ist sie der Ableitungswert; bei einer Wegfunktion entspricht sie beispielsweise der Momentangeschwindigkeit.

Formel

Größen und Zeichen

f

Bestands-, Weg- oder andere Ausgangsfunktion

x₀

betrachteter Zeitpunkt beziehungsweise Ort

f′(x₀)

momentane Änderungsrate

Vorgehen bei der Matura

1. Identifiziere die Funktion und die Stelle, auf die sich das Wort „momentan“ bezieht.
2. Bestimme die Ableitungsfunktion mit den passenden Ableitungsregeln.
3. Setze die Stelle ein und interpretiere den Wert samt Vorzeichen und Einheit.

Bedeutung

Im offenen Produktionsmodell enthält der Nachfragevektor n jene Produktmengen, die außerhalb des betrachteten Produktionssystems benötigt werden. Er ist daher der Teil des Produktionsvektors, der nach Abzug des innerbetrieblichen Verbrauchs A · x übrig bleibt.

Formel

Größen und Zeichen

n

externe Nachfrage nach den Produkten

x

gesamter Produktionsvektor

A

quadratische Verflechtungsmatrix

E

Einheitsmatrix passender Größe

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne mit A · x zuerst, welche Mengen intern für die Produktion benötigt werden.
2. Subtrahiere diesen innerbetrieblichen Bedarf komponentenweise vom gesamten Produktionsvektor x.
3. Interpretiere jede Komponente von n als für den externen Markt verfügbare beziehungsweise verlangte Menge.

Bedeutung

Nachschüssige Zahlungen erfolgen jeweils am Ende einer Periode. Bei einer Rente liegt die erste Rate daher bei t = 1 und die letzte bei t = n.

Formel

Größen und Zeichen

R

Rate am Periodenende (€)

q

Aufzinsungsfaktor

n

Anzahl der Zahlungen

Vorgehen bei der Matura

1. Markiere die Zahlungen am rechten Ende jeder Periode.
2. Verwende die nachschüssige Grundformel für Bar- oder Endwert.
3. Kontrolliere am Endwert: Die letzte Rate liegt bereits am Endzeitpunkt und erhält keinen weiteren Zins.

Bedeutung

Nano- ist eine SI-Vorsilbe und steht für den Faktor 10⁻⁹ = 0,000000001. Das Zeichen n wird ohne Abstand direkt vor das Einheitenzeichen gesetzt. Damit lassen sich sehr große oder sehr kleine Messwerte übersichtlich angeben.

Formel

Größen und Zeichen

n

Zeichen der Vorsilbe Nano-

E

Einheit ohne Vorsilbe

Vorgehen bei der Matura

1. Ersetze die Vorsilbe Nano- durch den Faktor 10⁻⁹ = 0,000000001.
2. Multipliziere den Zahlenwert mit diesem Faktor, wenn du in die Einheit ohne Vorsilbe umrechnest.
3. Schreibe das Ergebnis mit Einheit und kontrolliere die Größenordnung.

Bedeutung

Die natürlichen Zahlen werden zum Zählen verwendet und hier einschließlich null mit ℕ bezeichnet. Ohne null schreibt man häufig ℕ* oder ℕ⁺. Welche Konvention gilt, muss aus Angabe oder Formelheft hervorgehen.

Formel

Größen und Zeichen

ℕ

natürliche Zahlen einschließlich null

ℕ*

positive natürliche Zahlen ohne null

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe, ob der Wert ganzzahlig und nicht negativ ist.
2. Kläre anhand der verwendeten Schreibweise, ob null zugelassen ist.
3. Gib die Zugehörigkeit mit ∈ oder ∉ an.

Bedeutung

Der natürliche Logarithmus ln besitzt die Eulersche Zahl e als Basis. Er ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion eˣ und tritt deshalb bei kontinuierlichem Wachstum und Zerfall auf. Das Argument von ln muss positiv sein.

Formel

Größen und Zeichen

e

Eulersche Zahl, ungefähr 2,71828

u

positives Argument des Logarithmus

x

beliebiger reeller Exponent

y

Exponent zur Basis e

Vorgehen bei der Matura

1. Isoliere den Ausdruck mit der e-Potenz.
2. Wende ln auf beide Seiten an und nutze ln(eʸ) = y.
3. Löse die verbleibende Gleichung und prüfe Einheit und Größenordnung.

Bedeutung

Ein Normalvektor steht senkrecht auf einem gegebenen, von null verschiedenen Richtungsvektor oder auf einer Geraden. In der Ebene entsteht aus a = (a₁ | a₂) beispielsweise n = (−a₂ | a₁); jedes von null verschiedene Vielfache davon ist ebenfalls ein Normalvektor.

Formel

Größen und Zeichen

a

gegebener, von null verschiedener Richtungsvektor

n

Normalvektor zu a

k

von null verschiedener Skalierungsfaktor

Vorgehen bei der Matura

1. Vertausche bei einem zweidimensionalen Richtungsvektor die beiden Komponenten.
2. Ändere bei genau einer der beiden Komponenten das Vorzeichen.
3. Kontrolliere mit dem Skalarprodukt a · n = 0, ob die Vektoren tatsächlich orthogonal sind.

Bedeutung

Die Normalverteilung ist eine stetige, symmetrische Glockenverteilung, die durch Erwartungswert μ und Standardabweichung σ festgelegt wird. μ bestimmt die Lage und σ die Breite. Wahrscheinlichkeiten werden über die Verteilungsfunktion oder nach einer Standardisierung berechnet.

Formel

Größen und Zeichen

μ

Erwartungswert und Symmetriezentrum (Einheit von X)

σ

Standardabweichung mit σ > 0 (Einheit von X)

z

standardisierter Wert ohne Einheit

Vorgehen bei der Matura

1. Identifiziere μ, σ und die gesuchte Grenze beziehungsweise den gesuchten Bereich.
2. Standardisiere Grenzen mit z = (x − μ)/σ oder verwende direkt eine Normalverteilungsfunktion.
3. Wähle die richtige Fläche, berechne sie und interpretiere die Wahrscheinlichkeit im Kontext.

Bedeutung

Der Nullphasenwinkel φ₀ legt fest, an welcher Stelle der Schwingungszyklus bei t = 0 beginnt. Für ω ≠ 0 bewirkt er in A · sin(ωt + φ₀) eine horizontale Verschiebung. Wegen der Periodizität sind Verschiebungen, die sich um eine ganze Periodendauer T unterscheiden, gleichwertig.

Formel

Größen und Zeichen

φ₀

Nullphasenwinkel (Radiant)

ω

von null verschiedener Frequenzkoeffizient (rad pro Zeiteinheit)

t_V

horizontale Verschiebung (Zeiteinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bringe das Argument der Sinusfunktion auf die Form ωt + φ₀.
2. Lies φ₀ einschließlich seines Vorzeichens ab.
3. Berechne die zeitliche Verschiebung mit t_V = −φ₀/ω und prüfe den Startwert.

Bedeutung

Die Nutzungsdauer ist der Zeitraum, über den eine Investition wirtschaftlich betrachtet wird. Sie bestimmt Anzahl und Exponenten der Rückflüsse sowie den Zeitpunkt eines möglichen Restwerts.

Formel

Größen und Zeichen

n

Anzahl der Bewertungsperioden

t

Zeitpunkt eines Rückflusses

Vorgehen bei der Matura

1. Lege Beginn t = 0 und Ende t = n auf der Zeitachse fest.
2. Ordne alle laufenden Rückflüsse und einen möglichen Restwert den Perioden zu.
3. Vergleiche Projekte unterschiedlicher Dauer nur mit einer dafür vorgesehenen Methode oder einem gemeinsamen Betrachtungszeitraum.

Bedeutung

Die Oberfläche ist die Summe aller außen liegenden Flächen eines Körpers. Bei Prisma und Zylinder besteht sie aus Mantel sowie Grund- und Deckfläche. Offene Flächen werden nur mitgezählt, wenn sie tatsächlich vorhanden sind.

Formel

Größen und Zeichen

O

Oberflächeninhalt (Quadrateinheit)

G

Grundfläche (Quadrateinheit)

M

Mantelfläche (Quadrateinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Markiere in einer Skizze jede tatsächlich vorhandene Außenfläche.
2. Berechne Grundflächen und Mantelfläche getrennt.
3. Addiere alle äußeren Flächen genau einmal.

Bedeutung

Zwei von null verschiedene Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Das Kriterium eignet sich für Richtungs- und Normalvektoren sowie zum Nachweis eines rechten Winkels in geometrischen Aufgaben.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

zu prüfende, von null verschiedene Vektoren

a · b

Skalarprodukt der Vektoren

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe zuerst, ob keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist.
2. Berechne das Skalarprodukt als Summe der Produkte entsprechender Komponenten.
3. Ist das Ergebnis genau null, folgere Orthogonalität; andernfalls liegt kein rechter Winkel vor.

Bedeutung

Zwei von null verschiedene Vektoren sind parallel, wenn einer ein von null verschiedenes skalares Vielfaches des anderen ist. Ein negativer Faktor bedeutet entgegengesetzte Orientierung, ändert aber nichts an der Parallelität.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

zu prüfende, von null verschiedene Vektoren

k

gemeinsamer Proportionalitätsfaktor

Vorgehen bei der Matura

1. Vergleiche die entsprechenden Komponenten und bestimme daraus mögliche Quotienten.
2. Prüfe, ob für alle Komponenten derselbe Faktor k gilt; Nullkomponenten separat beachten.
3. Formuliere das Ergebnis und deute das Vorzeichen von k nur als gleiche oder entgegengesetzte Orientierung.

Bedeutung

In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Der Flächeninhalt ist Grundseite mal zugehörige senkrechte Höhe. Eine schräge Seitenlänge ist nur dann eine Höhe, wenn sie normal auf der Grundseite steht.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

Seitenlängen (Längeneinheit)

hₐ, hᵦ

zugehörige senkrechte Höhen (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Wähle eine Seite als Grundseite.
2. Ordne ihr die senkrecht gemessene Höhe zu.
3. Multipliziere Grundseite und Höhe und ergänze die Quadrateinheit.

Bedeutung

Die Parameterdarstellung erzeugt alle Punkte einer Geraden aus einem Stützpunkt und einem Richtungsvektor. Sie funktioniert sowohl in der Ebene als auch im Raum und ist besonders geeignet für Punktproben, Schnitt- und Lageaufgaben.

Formel

Größen und Zeichen

P

Stützpunkt auf der Geraden

v

Richtungsvektor der Geraden

t

reeller Parameter

X

laufender Geradenpunkt

Vorgehen bei der Matura

1. Trage den bekannten Punkt P und einen von null verschiedenen Richtungsvektor v ein.
2. Schreibe die Vektorgleichung komponentenweise, wenn ein Parameter oder eine Punktprobe gesucht ist.
3. Löse alle Komponentengleichungen mit demselben t und kontrolliere das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

Bedeutung

Die Periodendauer T ist die Zeitspanne, nach der sich ein periodischer Vorgang vollständig wiederholt. Sie ist der Kehrwert der Frequenz. Bei y = sin(ωt) ergibt sie sich aus der Kreisfrequenz.

Formel

Größen und Zeichen

T

Periodendauer (Zeiteinheit, meist s)

f

Frequenz (Hz)

ω

von null verschiedener Frequenzkoeffizient (rad/s)

Vorgehen bei der Matura

1. Lies f oder den Koeffizienten ω aus Angabe beziehungsweise Funktion ab.
2. Berechne T mit 1/f oder 2π/|ω|.
3. Prüfe das Ergebnis am Abstand zweier gleicher Phasenlagen im Graphen.

Bedeutung

Pico- ist eine SI-Vorsilbe und steht für den Faktor 10⁻¹² = 0,000000000001. Das Zeichen p wird ohne Abstand direkt vor das Einheitenzeichen gesetzt. Damit lassen sich sehr große oder sehr kleine Messwerte übersichtlich angeben.

Formel

Größen und Zeichen

p

Zeichen der Vorsilbe Pico-

E

Einheit ohne Vorsilbe

Vorgehen bei der Matura

1. Ersetze die Vorsilbe Pico- durch den Faktor 10⁻¹² = 0,000000000001.
2. Multipliziere den Zahlenwert mit diesem Faktor, wenn du in die Einheit ohne Vorsilbe umrechnest.
3. Schreibe das Ergebnis mit Einheit und kontrolliere die Größenordnung.

Bedeutung

Polarformen beschreiben eine komplexe Zahl durch ihren Betrag r und ihr Argument φ statt durch zwei kartesische Komponenten. Die trigonometrische Form kann mit klar gekennzeichnetem Grad- oder Bogenmaß verwendet werden; in der Eulerform e^(iφ) muss φ im Bogenmaß eingesetzt werden.

Formel

Größen und Zeichen

r

Betrag von z mit r ≥ 0

φ

Argument von z; in der Eulerform im Bogenmaß und modulo 2π

a

Realteil von z

b

Imaginärteil von z

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne aus z = a + b · i zuerst den Betrag r = √(a² + b²).
2. Bestimme φ mit atan2(b, a) oder über Tangens und korrigiere den Winkel anhand des Quadranten.
3. Setze r und φ in die trigonometrische Form ein; vor der Eulerform wandle φ nötigenfalls ins Bogenmaß um.

Bedeutung

Eine Potenz aⁿ ist für positive ganzzahlige Exponenten eine Kurzschreibweise für die wiederholte Multiplikation derselben Basis. Potenzgesetze erlauben das sichere Zusammenfassen gleicher Basen. Bei einer Division oder einem negativen Exponenten darf die Basis a nicht null sein.

Formel

Größen und Zeichen

a

Basis; bei Division oder negativem Exponenten ungleich null

m, n

ganzzahlige Exponenten

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe, ob die Potenzen dieselbe Basis besitzen.
2. Wähle je nach Multiplikation, Division oder Potenzieren das passende Potenzgesetz.
3. Vereinfache Exponent und Zahlenwert und beachte Definitionsbedingungen.

Bedeutung

Der Preis ist der Geldbetrag pro verkaufter Einheit. In Modellen kann er konstant sein oder als Funktion p(x) von der Absatzmenge abhängen.

Formel

Größen und Zeichen

p(x)

Stückpreis bei Menge x (€/Stück)

E(x)

Gesamterlös (€)

x

Absatzmenge (Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Kläre, ob ein konstanter Preis oder eine Preisfunktion gegeben ist.
2. Bestimme bei Bedarf p(x) aus E(x)/x.
3. Prüfe Höchstpreis, Sättigungsmenge und nichtnegative Preise als Grenzen des Modells.

Bedeutung

Die Preis-Absatz-Funktion gibt an, welcher Stückpreis bei einer bestimmten Absatzmenge am Markt erzielt werden kann. Im Standardmodell fällt der Preis mit wachsender Menge.

Formel

Größen und Zeichen

p_N(x)

Nachfragepreis (€/Stück)

p_H

Höchstpreis (€/Stück)

x

Absatzmenge (Stück)

a

Preisabnahme je zusätzlichem Stück

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Höchstpreis und Sättigungsmenge oder zwei gegebene Punkte.
2. Stelle die lineare oder vorgegebene Preisfunktion auf.
3. Begrenze x so, dass Menge und Preis nicht negativ werden, und bilde bei Bedarf E(x) = x · p_N(x).

Bedeutung

Die Preisfunktion der Nachfrage beschreibt die Zahlungsbereitschaft der Nachfragenden in Abhängigkeit von der angebotenen Menge. Sie ist in einfachen Modellen fallend und entspricht der Preis-Absatz-Funktion.

Formel

Größen und Zeichen

p_N(x)

Nachfragepreis (€/Stück)

p_H

Höchstpreis (€/Stück)

a

Betrag der negativen Steigung

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne die gegebenen Mengen-Preis-Paare der Nachfrage zu.
2. Berechne Steigung und Achsenabschnitt.
3. Bestimme aus p_N(0) den Höchstpreis und aus p_N(x) = 0 die Sättigungsmenge.

Bedeutung

Die Preisfunktion des Angebots beschreibt, zu welchem Mindestpreis Anbieter eine bestimmte Menge bereitstellen. In einfachen Marktmodellen steigt dieser Preis mit der Menge.

Formel

Größen und Zeichen

p_A(x)

Angebotspreis (€/Stück)

b

Angebotspreis bei x = 0 (€/Stück)

a

positive Steigung

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne die gegebenen Punkte der Angebotsseite zu.
2. Bestimme positive Steigung und Achsenabschnitt.
3. Setze p_A für das Marktgleichgewicht gleich p_N und beschränke auf nichtnegative Mengen.

Bedeutung

Ein gerades Prisma besitzt zwei kongruente parallele Grundflächen und rechteckige Seitenflächen. Sein Volumen ist Grundfläche mal senkrechte Höhe. Der Mantel ist Grundumfang mal Höhe.

Formel

Größen und Zeichen

G

Flächeninhalt einer Grundfläche (Quadrateinheit)

u_G

Umfang der Grundfläche (Längeneinheit)

h

Prismahöhe (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne Fläche G und gegebenenfalls Umfang u_G der Grundfigur.
2. Multipliziere G mit der senkrechten Körperhöhe für das Volumen.
3. Berechne für die Oberfläche zusätzlich M = u_Gh und addiere 2G.

Bedeutung

Ein mehrstufiger Produktionsprozess kann durch ein Leontief-Modell beschrieben werden: Ein Teil der Gesamtproduktion wird innerhalb des Systems wieder als Vorleistung benötigt, der Rest deckt die externe Nachfrage. Die Bilanzgleichung x = A · x + n verbindet diese drei Größen.

Formel

Größen und Zeichen

A · x

innerbetrieblicher Bedarf

x

Gesamtproduktion aller Produkte

n

externe Nachfrage

E

Einheitsmatrix

Vorgehen bei der Matura

1. Übersetze die Produktionsbeziehungen in eine quadratische Verflechtungsmatrix A und ordne alle Produkte konsistent.
2. Stelle die Bilanz als (E − A) · x = n auf und löse sie nach dem gesuchten Vektor.
3. Kontrolliere mit x = A · x + n, ob interne Verwendung und externe Nachfrage genau die Produktion ergeben.

Bedeutung

Der Produktionsvektor x enthält die insgesamt herzustellenden Mengen aller betrachteten Produkte. Er muss sowohl die externe Nachfrage als auch jene Vorleistungen abdecken, die während der Produktion innerhalb des Systems verbraucht werden.

Formel

Größen und Zeichen

x

gesuchte Gesamtproduktionsmengen

A

Verflechtungsmatrix des innerbetrieblichen Verbrauchs

n

externer Nachfragevektor

E

Einheitsmatrix

Vorgehen bei der Matura

1. Bilde die Matrix E − A in derselben Produktreihenfolge wie der Nachfragevektor.
2. Löse (E − A) · x = n nach x, sofern die Matrix invertierbar ist.
3. Berechne zur Kontrolle A · x + n und vergleiche das Ergebnis komponentenweise mit x.

Bedeutung

Die Produktregel leitet das Produkt zweier x-abhängiger Funktionen ab. Dabei entstehen zwei Summanden: einmal wird der erste Faktor abgeleitet und einmal der zweite. Für einen konstanten Faktor genügt dagegen die einfachere Faktorregel.

Formel

Größen und Zeichen

f, g

differenzierbare Faktoren

f′, g′

Ableitungen der beiden Faktoren

Vorgehen bei der Matura

1. Lege eindeutig fest, welcher Term f und welcher Term g ist, und berechne beide Ableitungen.
2. Bilde den ersten Summanden f′ · g und den zweiten Summanden f · g′.
3. Addiere die Summanden und klammere gemeinsame Faktoren zur Kontrolle aus.

Bedeutung

Bei progressivem Kostenverlauf steigen die Gesamtkosten mit wachsender Menge immer schneller. Die Grenzkosten nehmen zu; geometrisch ist der Kostengraph linksgekrümmt.

Formel

Größen und Zeichen

K′(x)

Grenzkosten (€/Stück)

K″(x)

Änderung der Grenzkosten

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne erste und zweite Ableitung der Kostenfunktion.
2. Bestimme den Bereich mit K′ > 0 und K″ > 0.
3. Interpretiere steigende Grenzkosten als zunehmenden Kostendruck bei weiterer Produktion.

Bedeutung

Die prozentuelle Änderung ist die relative Änderung, ausgedrückt in Prozent. Sie vergleicht die absolute Änderung mit dem Anfangswert und ermöglicht dadurch Vergleiche zwischen unterschiedlich großen Ausgangsbeständen.

Formel

Größen und Zeichen

f(a)

Anfangswert

f(b)

Endwert

p

prozentuelle Änderung (%)

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne Endwert minus Anfangswert und behalte das Vorzeichen der Änderung bei.
2. Teile die Änderung durch den Anfangswert, sofern dieser nicht null ist.
3. Multipliziere die Dezimalzahl mit 100 % und deute positives oder negatives Vorzeichen.

Bedeutung

Eine Pyramide besitzt eine polygonale Grundfläche und dreieckige Seitenflächen, die in einer Spitze zusammentreffen. Ihr Volumen ist ein Drittel von Grundfläche mal senkrechter Höhe. Für die Oberfläche werden die einzelnen Manteldreiecke ergänzt.

Formel

Größen und Zeichen

G

Grundflächeninhalt (Quadrateinheit)

h

senkrechte Höhe zur Spitze (Längeneinheit)

M

Summe der seitlichen Dreiecksflächen (Quadrateinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Berechne die Grundfläche G.
2. Bestimme die senkrechte Höhe h und unterscheide sie von einer Seitenhöhe.
3. Setze für das Volumen in G · h/3 ein und ergänze bei Bedarf den Mantel.

Bedeutung

Ein Quader besitzt sechs rechteckige Flächen und drei paarweise zueinander normale Kantenlängen. Das Volumen ist das Produkt von Länge, Breite und Höhe. Die Oberfläche enthält jedes der drei verschiedenen Seitenrechtecke zweimal.

Formel

Größen und Zeichen

a, b, c

drei Kantenlängen (Längeneinheit)

d

Raumdiagonale (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bringe alle drei Kantenlängen auf dieselbe Einheit.
2. Multipliziere sie für das Volumen oder berechne die drei Seitenflächen für O.
3. Kontrolliere, ob eine Quadrat- oder Kubikeinheit verlangt ist.

Bedeutung

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Sein Flächeninhalt ist das Quadrat der Seitenlänge, sein Umfang die vierfache Seitenlänge. Aus einer gegebenen Fläche erhält man a durch Wurzelziehen.

Formel

Größen und Zeichen

a

Seitenlänge (Längeneinheit)

d

Diagonale (Längeneinheit)

A

Flächeninhalt (Quadrateinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme, ob Seite, Fläche, Umfang oder Diagonale gegeben ist.
2. Stelle die passende Quadratbeziehung nach der gesuchten Größe um.
3. Berechne und kontrolliere die Einheit.

Bedeutung

Eine quadratische Gleichung lässt sich auf ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 bringen. Die Diskriminante entscheidet, ob es zwei, eine doppelte oder keine reelle Lösung gibt. Lösungen sind zugleich die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion.

Formel

Größen und Zeichen

a

quadratischer Koeffizient, a ≠ 0

b

linearer Koeffizient

c

konstanter Term

D

Diskriminante

Vorgehen bei der Matura

1. Bringe alle Terme auf eine Seite und ordne nach fallenden Potenzen.
2. Lies a, b und c samt Vorzeichen ab und berechne D.
3. Setze in die Lösungsformel ein und prüfe beide Lösungen in der Ausgangsgleichung.

Bedeutung

Ein p-Quantil qₚ ist der kleinste Grenzwert, bei oder unter dem mindestens der Anteil p einer Verteilung liegt. Bei stetigen streng wachsenden Verteilungsfunktionen erfüllt es F(qₚ) = p eindeutig. Quantile werden für Streubereiche, Konfidenzintervalle und kritische Werte benötigt.

Formel

Größen und Zeichen

p

kumulierte Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1

qₚ

p-Quantil der Verteilung

zₚ

p-Quantil der Standardnormalverteilung

Vorgehen bei der Matura

1. Übersetze den verlangten Prozentsatz in p und kläre, ob ein unteres oder oberes Quantil gemeint ist.
2. Bestimme das Quantil mit der inversen Verteilungsfunktion oder standardisiere bei einer Normalverteilung.
3. Setze gegebenenfalls in die ursprüngliche Skala zurück und interpretiere den Grenzwert.

Bedeutung

Quartile teilen eine geordnete Datenreihe in vier Bereiche. Q₁ markiert ungefähr 25 %, Q₂ ist der Median und Q₃ markiert ungefähr 75 % der Daten. Da es mehrere gebräuchliche Berechnungsregeln gibt, ist bei kleinen Datensätzen die in der Aufgabe oder im verwendeten Hilfsmittel festgelegte Konvention entscheidend.

Formel

Größen und Zeichen

Q₁

unteres Quartil

Q₂

Median

Q₃

oberes Quartil

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne die Daten aufsteigend.
2. Bestimme zuerst Q₂ und teile die Daten nach der vorgegebenen Quartilsregel in eine untere und obere Hälfte.
3. Bestimme die Mediane der beiden Hälften als Q₁ und Q₃ und prüfe Q₁ ≤ Q₂ ≤ Q₃.

Bedeutung

Der Quartilsabstand ist die Breite der Box in einem Boxplot und entspricht Q₃ − Q₁. Er misst die Streuung der mittleren Hälfte der Daten und blendet extreme Randwerte weitgehend aus. In vielen Darstellungen wird dafür auch die Abkürzung IQR verwendet.

Formel

Größen und Zeichen

QA

Quartilsabstand

Q₁

unteres Quartil

Q₃

oberes Quartil

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme oder lies Q₁ und Q₃ mit derselben Quartilsdefinition ab.
2. Berechne die positive Differenz Q₃ − Q₁.
3. Vergleiche bei mehreren Datensätzen die Boxbreiten und formuliere eine Streuungsinterpretation.

Bedeutung

Die Quotientenregel wird für einen Bruch aus zwei x-abhängigen Funktionen verwendet. Der Nenner darf im betrachteten Bereich nicht null sein; nach dem Ableiten steht sein Quadrat im Nenner. Häufig kann ein Bruch vorab vereinfacht und dadurch leichter abgeleitet werden.

Formel

Größen und Zeichen

f

Zählerfunktion

g

Nennerfunktion mit g(x) ≠ 0

f′, g′

Ableitungen von Zähler und Nenner

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Zähler f, Nenner g sowie ihre Ableitungen und notiere die Definitionsausschlüsse.
2. Setze in der Reihenfolge f′g − fg′ ein und quadriere den unveränderten Nenner.
3. Vereinfache vorsichtig und prüfe einen verlangten Ableitungswert nur an zulässigen Stellen.

Bedeutung

Eine Rate ist eine regelmäßig wiederkehrende Zahlung in einer Renten- oder Kreditrechnung. Sie kann eine Einzahlung, Auszahlung oder eine Annuität sein und muss eindeutig einem Zeitpunkt pro Periode zugeordnet werden.

Formel

Größen und Zeichen

R

regelmäßige Rate (€)

B

Barwert der Raten (€)

q

Aufzinsungsfaktor

n

Anzahl der Raten

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Bar- oder Endwert, Zinssatz, Zahl der Raten und Zahlungszeitpunkt.
2. Wähle die passende Rentenformel und stelle sie nach R um.
3. Prüfe, ob Rate mal Anzahl ohne Zinsen kleiner beziehungsweise größer als der Zielwert plausibel ist.

Bedeutung

Die Ratenhöhe ist der konkrete Geldbetrag einer gleichbleibenden periodischen Zahlung. Sie wird so bestimmt, dass Barwert oder Endwert der Zahlungsreihe dem vorgegebenen Zielwert entspricht.

Formel

Größen und Zeichen

R

gesuchte Ratenhöhe (€)

E

gewünschter Endwert (€)

q

Aufzinsungsfaktor

n

Anzahl der Raten

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne den gegebenen Zielbetrag als Barwert oder Endwert ein.
2. Stelle die zugehörige Rentenformel algebraisch nach R um.
3. Setze Periodenzins und Ratenanzahl konsistent ein und runde die Zahlung auf Cent.

Bedeutung

Ein rationaler Exponent verbindet Potenzen und Wurzeln. Für eine positive Basis a gibt der positive Nenner n die Wurzel und der ganzzahlige Zähler m die anschließende Potenz an. Negative Basen sind im Reellen nur in passenden Sonderfällen zulässig und sollten erst nach vollständigem Kürzen des Exponenten behandelt werden.

Formel

Größen und Zeichen

a

positive Basis beziehungsweise positiver Radikand

m

ganzzahliger Zähler des Exponenten

n

positiver ganzzahliger Nenner und Wurzelexponent

Vorgehen bei der Matura

1. Kürze den Exponenten m/n vollständig und prüfe den reellen Definitionsbereich der Basis.
2. Berechne nach Möglichkeit zuerst die n-te Wurzel.
3. Potenziere das Zwischenergebnis mit m und kontrolliere den Definitionsbereich.

Bedeutung

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden können. Ihr Dezimalausdruck endet oder ist periodisch. Die Menge wird mit ℚ bezeichnet.

Formel

Größen und Zeichen

p

ganzzahliger Zähler

q

ganzzahliger Nenner ungleich null

Vorgehen bei der Matura

1. Vereinfache den gegebenen Wert.
2. Suche eine Darstellung als Bruch ganzer Zahlen.
3. Ist der Nenner ungleich null, gehört der Wert zu ℚ.

Bedeutung

Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten. Ihre Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander. Die Fläche kann über Seite und Höhe oder über die Diagonalen berechnet werden.

Formel

Größen und Zeichen

a

Seitenlänge (Längeneinheit)

hₐ

Höhe auf a (Längeneinheit)

e, f

Diagonalen (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Wähle je nach gegebenen Größen die Höhen- oder Diagonalenformel.
2. Setze vollständige Längen in derselben Einheit ein.
3. Berechne die Fläche und gib eine Quadrateinheit an.

Bedeutung

In der Komponentenform z = a + b · i ist a der Realteil der komplexen Zahl. Er entspricht der horizontalen Koordinate in der gaußschen Zahlenebene und ist selbst eine reelle Zahl.

Formel

Größen und Zeichen

z

komplexe Zahl

a

Realteil von z

b

Imaginärteil von z

Vorgehen bei der Matura

1. Vereinfache den Ausdruck vollständig und ersetze dabei jedes i² durch −1.
2. Ordne das Ergebnis in der Form a + b · i mit getrennten reellen und imaginären Termen.
3. Lies den Term ohne i als Realteil a ab und kontrolliere sein Vorzeichen.

Bedeutung

Ein Rechteck hat vier rechte Winkel und paarweise gleich lange Gegenseiten. Sein Flächeninhalt ist das Produkt benachbarter Seiten. Der Umfang ist die Summe aller vier Seiten.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

benachbarte Seitenlängen (Längeneinheit)

d

Diagonale (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Bringe beide Seitenlängen auf dieselbe Einheit.
2. Multipliziere für die Fläche oder addiere die Seiten doppelt für den Umfang.
3. Gib das Ergebnis mit der passenden Längen- oder Quadrateinheit an.

Bedeutung

Ein rechtwinkeliges Dreieck besitzt genau einen Winkel von 90°. Die gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse, die beiden anderen Seiten sind Katheten. Dadurch gelten Satz des Pythagoras und die elementaren Winkelfunktionen.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

Katheten (Längeneinheit)

c

Hypotenuse (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Kennzeichne den rechten Winkel und benenne die gegenüberliegende Seite c.
2. Wähle Pythagoras für Seiten oder Sinus, Cosinus beziehungsweise Tangens für Winkel.
3. Prüfe, ob die Hypotenuse die längste Seite und die Winkelsumme 180° ist.

Bedeutung

Im rechtwinkeligen Dreieck verbinden Sinus, Cosinus und Tangens Seitenverhältnisse mit den beiden spitzen Winkeln. Die Hypotenuse liegt gegenüber 90°, die Katheten werden relativ zum betrachteten Winkel benannt. Zusätzlich gilt der Satz des Pythagoras.

Formel

Größen und Zeichen

a

Gegenkathete zu α (Längeneinheit)

b

Ankathete zu α (Längeneinheit)

c

Hypotenuse (Längeneinheit)

α

betrachteter spitzer Winkel (Grad oder Radiant)

Vorgehen bei der Matura

1. Markiere 90°, Hypotenuse und den betrachteten Winkel α.
2. Benenne Gegen- und Ankathete relativ zu α.
3. Wähle die Winkelfunktion mit den gegebenen und gesuchten Größen und löse die Gleichung.

Bedeutung

Die reellen Zahlen ℝ umfassen alle rationalen und irrationalen Zahlen auf der Zahlengeraden. Dazu gehören etwa ganze Zahlen, Brüche, √2 und π. In vielen Matura-Aufgaben ist ℝ der vorausgesetzte Lösungsbereich.

Formel

Größen und Zeichen

ℝ

Menge der reellen Zahlen

ℚ

Menge der rationalen Zahlen

Vorgehen bei der Matura

1. Prüfe, ob der Ausdruck im Reellen definiert ist.
2. Beachte insbesondere Nenner, gerade Wurzeln und Logarithmen.
3. Gib nur Lösungen an, die im reellen Definitionsbereich liegen.

Bedeutung

Eine Reihe entsteht durch das Addieren von Folgengliedern. Bei einer endlichen Reihe wird eine feste Anzahl von Gliedern summiert; bei einer unendlichen Reihe untersucht man zusätzlich, ob die Partialsummen gegen einen endlichen Grenzwert konvergieren.

Formel

Größen und Zeichen

aᵢ

i-tes Glied der zugrunde liegenden Folge

sₙ

n-te Partialsumme

n

Anzahl der summierten Glieder

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme die zugrunde liegenden Folgenglieder und die untere sowie obere Summationsgrenze.
2. Wähle eine passende Summenformel oder addiere bei wenigen Gliedern direkt.
3. Unterscheide bei unendlich vielen Gliedern zwischen Partialsummen und ihrem möglichen Grenzwert.

Bedeutung

Ein rekursives Bildungsgesetz berechnet ein Folgenglied aus einem oder mehreren vorherigen Gliedern. Damit die Folge eindeutig festgelegt ist, müssen zusätzlich genügend Anfangswerte angegeben sein.

Formel

Größen und Zeichen

aₙ, bₙ

aktuelles Folgenglied

aₙ₊₁, bₙ₊₁

darauffolgendes Folgenglied

d

konstante Differenz

q

konstanter Faktor

Vorgehen bei der Matura

1. Notiere den gegebenen Anfangswert und die Vorschrift für den Übergang zum nächsten Glied.
2. Setze das aktuelle Glied in die Rekursionsvorschrift ein und berechne das nächste.
3. Wiederhole den Vorgang bis zum gesuchten Index und kontrolliere das erkennbare Muster.

Bedeutung

Die relative Änderung setzt die absolute Änderung ins Verhältnis zum Anfangswert. Sie ist dimensionslos und wird als Dezimalzahl oder nach Multiplikation mit 100 als Prozentsatz angegeben. Bei einem Anfangswert von null ist sie nicht definiert.

Formel

Größen und Zeichen

f(a)

Anfangswert und Bezugsgröße

f(b)

Endwert

r

relative Änderung ohne Einheit

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme Anfangs- und Endwert und kontrolliere, dass der Anfangswert nicht null ist.
2. Bilde Endwert minus Anfangswert und teile durch den Anfangswert.
3. Deute das Vorzeichen und wandle den Wert bei Bedarf durch Multiplikation mit 100 in Prozent um.

Bedeutung

Die relative Häufigkeit ist der Anteil einer Ausprägung an allen Beobachtungen. Sie liegt zwischen 0 und 1 und kann als Prozentwert angegeben werden. Bei wachsendem Stichprobenumfang stabilisiert sie sich unter geeigneten Bedingungen in der Nähe der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit.

Formel

Größen und Zeichen

hᵢ

relative Häufigkeit der Ausprägung i

Hᵢ

absolute Häufigkeit der Ausprägung i

n

Stichprobenumfang

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme die absolute Häufigkeit Hᵢ und den Gesamtumfang n.
2. Dividiere Hᵢ durch n.
3. Wandle den Dezimalwert bei Bedarf durch Multiplikation mit 100 in Prozent um und prüfe bei vollständigen Kategorien die Summe 1 beziehungsweise 100 %.

Bedeutung

Die Rentenrechnung behandelt mehrere gleich hohe Zahlungen in gleichen Zeitabständen. Ihre Formeln entstehen aus der Summe einer geometrischen Folge, weil jede Rate unterschiedlich lange verzinst wird.

Formel

Größen und Zeichen

R

regelmäßige Zahlung (€)

E

Endwert (€)

B

Barwert (€)

q

Periodenfaktor

n

Ratenanzahl

Vorgehen bei der Matura

1. Zeichne Zahlungen und Bezugszeitpunkt auf einer Zeitachse.
2. Entscheide zwischen Barwert/Endwert und vor-/nachschüssig.
3. Setze in die passende geometrische Summenformel ein und interpretiere den Wert am markierten Zeitpunkt.

Bedeutung

Die Restschuld ist der noch nicht zurückgezahlte Kreditbetrag zu einem bestimmten Zeitpunkt. Nach jeder Rate sinkt sie um den Tilgungsanteil, während vorher auf die alte Restschuld Zinsen anfallen.

Formel

Größen und Zeichen

Sₖ

Restschuld nach k Raten (€)

A

Annuität (€)

K₀

ursprünglicher Kredit (€)

q

Periodenfaktor

k

bereits bezahlte Raten

Vorgehen bei der Matura

1. Lege fest, ob die Restschuld unmittelbar vor oder nach einer Rate gesucht ist.
2. Zinse den ursprünglichen Kredit bis k auf und ziehe den Endwert der bereits geleisteten Raten ab.
3. Kontrolliere alternativ zeilenweise: alte Restschuld plus Zinsen minus Rate.

Bedeutung

Rhombus ist die fachsprachliche Bezeichnung für eine Raute. Alle vier Seiten sind gleich lang, gegenüberliegende Winkel sind gleich und die Diagonalen stehen normal aufeinander. Die Fläche ergibt sich aus Seite und Höhe oder aus den Diagonalen.

Formel

Größen und Zeichen

a

Seitenlänge (Längeneinheit)

hₐ

senkrechte Höhe (Längeneinheit)

e, f

Diagonalen (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Lies ab, ob Seite und Höhe oder beide Diagonalen gegeben sind.
2. Setze die Größen in die passende Flächenformel ein.
3. Berechne und kennzeichne das Ergebnis als Fläche.

Bedeutung

Ein Richtungsvektor gibt an, in welche Richtung eine Gerade verläuft. Aus zwei verschiedenen Punkten P und Q erhält man ihn als Q − P; jedes von null verschiedene Vielfache beschreibt dieselbe Richtung der Geraden.

Formel

Größen und Zeichen

P

Ausgangspunkt

Q

zweiter, von P verschiedener Punkt

v

Richtungsvektor von P nach Q

Vorgehen bei der Matura

1. Lege fest, welcher Punkt als Anfang P und welcher als Ende Q verwendet wird.
2. Subtrahiere komponentenweise die Koordinaten von P von den Koordinaten von Q.
3. Kürze den Vektor bei Bedarf durch einen gemeinsamen Faktor und prüfe, dass er nicht null ist.

Bedeutung

Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Fläche um eine Achse gedreht wird. Bei Rotation des Graphen y = f(x) um die x-Achse ist jeder senkrechte Querschnitt eine Kreisscheibe mit Radius |f(x)|. Das Volumen ergibt sich aus der Summe dieser Kreisflächen.

Formel

Größen und Zeichen

V

Volumen des Rotationskörpers (VE)

f(x)

Radius des Querschnitts an der Stelle x (LE)

a, b

Grenzen entlang der Rotationsachse (LE)

Vorgehen bei der Matura

1. Identifiziere Rotationsachse, Intervall und den Abstand des Graphen von dieser Achse.
2. Quadriere den Radius und stelle das Integral der Querschnittsfläche π·f(x)² auf.
3. Berechne das bestimmte Integral und gib das Ergebnis in Volumeneinheiten an.

Bedeutung

Rückflüsse sind die periodischen Nettozahlungen, die eine Investition erzeugt. Sie ergeben sich aus projektbezogenen Einzahlungen minus projektbezogenen Auszahlungen und nicht aus buchhalterischen Gewinnen allein.

Formel

Größen und Zeichen

Rₜ

Netto-Rückfluss in Periode t (€)

Vorgehen bei der Matura

1. Erfasse für jede Periode alle zahlungswirksamen Ein- und Auszahlungen.
2. Bilde den Netto-Rückfluss mit korrektem Vorzeichen.
3. Ordne Rₜ dem tatsächlichen Zahlungszeitpunkt zu und zinse ihn für die gewünschte Kennzahl auf oder ab.

Bedeutung

Eine Sättigungsfunktion beschreibt beschränktes Wachstum von einem Anfangswert unterhalb des Sättigungswerts S. Der noch fehlende Abstand zur Grenze nimmt exponentiell ab, weshalb die Funktionswerte steigen, die Zuwächse aber kleiner werden.

Formel

Größen und Zeichen

N(t)

Bestand zum Zeitpunkt t

N₀

Anfangsbestand

S

Sättigungswert

a

verbleibender Anteil des Abstands je Zeiteinheit

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme den Sättigungswert und ziehe den Anfangswert ab, um den anfänglichen Abstand zu erhalten.
2. Multipliziere diesen Abstand mit aᵗ und ziehe den verbleibenden Abstand von S ab.
3. Kontrolliere N(0) = N₀ und die Annäherung der Werte an S von unten.

Bedeutung

Die Sättigungsmenge ist jene theoretische Absatzmenge, bei der der Nachfragepreis auf null fällt. Sie bildet die rechte Grenze des üblichen Definitionsbereichs einer Preis-Absatz-Funktion.

Formel

Größen und Zeichen

x_S

Sättigungsmenge (Stück)

p_N(x)

Preisfunktion der Nachfrage (€/Stück)

Vorgehen bei der Matura

1. Setze die Nachfragefunktion gleich null.
2. Löse nach x und prüfe x ≥ 0.
3. Verwende 0 ≤ x ≤ x_S als ökonomischen Bereich, sofern keine engere Kapazität gilt.

Bedeutung

Der Sättigungswert S ist jener Bestand, dem sich eine beschränkte oder logistische Entwicklung langfristig nähert. Er ist eine waagrechte Asymptote und wird bei den üblichen Modellen in endlicher Zeit nicht exakt erreicht.

Formel

Größen und Zeichen

S

langfristiger Grenzwert des Bestands

N(t)

Bestandsfunktion

t

Zeit

Vorgehen bei der Matura

1. Untersuche, welcher konstante Wert in der Modellgleichung als langfristige Grenze erscheint.
2. Lasse für t → ∞ alle Potenz- oder Exponentialterme mit Faktor zwischen 0 und 1 gegen null gehen.
3. Gib S mit der Einheit des Bestands an und vergleiche konkrete Werte mit dieser Grenze.

Bedeutung

Der Satz des Pythagoras verknüpft die drei Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat. Umgekehrt kann die Gleichung auch zum Nachweis eines rechten Winkels dienen.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

Katheten (Längeneinheit)

c

Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Identifiziere c als längste Seite gegenüber dem rechten Winkel.
2. Setze die bekannten Seitenquadrate ein und stelle nach der fehlenden Seite um.
3. Ziehe die positive Wurzel und kontrolliere die Seitenlängen.

Bedeutung

Der Satz von Bayes kehrt eine bedingte Wahrscheinlichkeit um und verbindet Vorwissen mit einer neuen Beobachtung. Der Nenner berücksichtigt alle Wege, auf denen die beobachtete Bedingung eintreten kann. Das Ergebnis wird auch als aktualisierte oder nachträgliche Wahrscheinlichkeit bezeichnet.

Formel

Größen und Zeichen

P(A)

Ausgangswahrscheinlichkeit von A

P(B|A)

Wahrscheinlichkeit der Beobachtung B unter A

P(B)

Gesamtwahrscheinlichkeit der Beobachtung B

Vorgehen bei der Matura

1. Definiere Ursache A und beobachtetes Ereignis B und trage die gegebenen Wahrscheinlichkeiten in einen Baum oder eine Vierfeldertafel ein.
2. Berechne P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A) und P(B) als Summe aller zu B führenden Pfade.
3. Dividiere P(A ∩ B) durch P(B) und interpretiere die aktualisierte Wahrscheinlichkeit.

Bedeutung

Der Satz von Vieta verbindet Summe und Produkt der Nullstellen mit den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung. In der normierten Form x² + px + q = 0 ist die Summe −p und das Produkt q. Er eignet sich besonders, wenn ganzzahlige Lösungen leicht erkennbar sind.

Formel

Größen und Zeichen

p

Koeffizient von x in der normierten Gleichung

q

konstanter Term der normierten Gleichung

x₁, x₂

Lösungen beziehungsweise Nullstellen

Vorgehen bei der Matura

1. Dividiere gegebenenfalls durch den Koeffizienten von x², sodass vor x² eine 1 steht.
2. Suche zwei Zahlen mit Summe −p und Produkt q.
3. Prüfe beide Werte in der Ausgangsgleichung oder durch Ausmultiplizieren der Linearfaktoren.

Bedeutung

Die Schwingungsdauer ist die Zeit für eine vollständige Hin- und Herbewegung und entspricht der Periodendauer T. Mehr Schwingungen pro Sekunde bedeuten eine kürzere Schwingungsdauer. Sie ist der Kehrwert der Frequenz.

Formel

Größen und Zeichen

T

Schwingungsdauer (s)

Δt

beobachtete Gesamtzeit (s)

n

Anzahl vollständiger Schwingungen

f

Frequenz (Hz)

Vorgehen bei der Matura

1. Zähle nur vollständige Schwingungen im beobachteten Zeitintervall.
2. Dividiere die Gesamtzeit Δt durch ihre Anzahl n.
3. Kontrolliere das Ergebnis mit f = 1/T.

Bedeutung

Sigma-Umgebungen sind symmetrische Intervalle um den Erwartungswert einer Normalverteilung. Innerhalb von μ ± σ, μ ± 2σ und μ ± 3σ liegen ungefähr 68,27 %, 95,45 % und 99,73 % der Werte. Diese Prozentwerte gelten speziell für normalverteilte Zufallsvariablen.

Formel

Größen und Zeichen

Uₖ

k-Sigma-Umgebung

μ

Erwartungswert

σ

Standardabweichung

k

Anzahl der Standardabweichungen

Vorgehen bei der Matura

1. Bestimme μ, σ und die verlangte Anzahl k der Standardabweichungen.
2. Berechne die Grenzen μ − kσ und μ + kσ.
3. Ordne bei einer Normalverteilung die passende ungefähre Abdeckung zu und formuliere die Aussage in der Einheit von X.

Bedeutung

Im rechtwinkeligen Dreieck ist der Sinus eines spitzen Winkels das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Im Einheitskreis ist sin(α) die y-Koordinate des zugehörigen Punktes. Der Sinus eignet sich daher für Höhen und andere gegenüberliegende Strecken.

Formel

Größen und Zeichen

α

betrachteter Winkel (Grad oder Radiant)

a

Gegenkathete zu α (Längeneinheit)

c

Hypotenuse (Längeneinheit)

Vorgehen bei der Matura

1. Markiere Winkel α, Gegenkathete a und Hypotenuse c.
2. Setze in sin(α) = a/c ein.
3. Stelle nach der Seite um oder verwende arcsin für einen gesuchten Winkel.

Bedeutung

Eine Sinusfunktion modelliert glatte periodische Vorgänge. In der üblichen Darstellung wird A ≥ 0 als Amplitude gewählt; ist der Sinuskoeffizient negativ, beträgt die tatsächliche Amplitude sein Betrag. Kreisfrequenz ω, Nullphasenwinkel φ₀ und Mittellage d bestimmen Lage und Periodendauer.

Formel

Größen und Zeichen

A

nichtnegative Amplitude; allgemein Betrag des Sinuskoeffizienten

ω

Kreisfrequenz (rad pro Zeiteinheit)

φ₀

Nullphasenwinkel (Radiant)

d

Mittellage

Vorgehen bei der Matura

1. Lies Mittellage und Amplitude aus Funktion oder Extremwerten ab.
2. Bestimme aus ω die Periodendauer und aus φ₀ die Phasenverschiebung.
3. Setze einen verlangten Zeitpunkt ein und interpretiere Funktionswert und Einheit.

Bedeutung

Der Sinussatz setzt in einem allgemeinen Dreieck jede Seite ins Verhältnis zum Sinus ihres Gegenwinkels. Er ist besonders geeignet, wenn ein vollständiges Gegenüberpaar sowie eine weitere Seite oder ein weiterer Winkel bekannt sind. Bei zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel kann es zwei Lösungen geben.

Formel

Größen und Zeichen

a, b, c

Seiten gegenüber α, β und γ (Längeneinheit)

α, β, γ

Innenwinkel (Grad oder Radiant)

Vorgehen bei der Matura

1. Ordne jede Seite ihrem Gegenwinkel zu.
2. Wähle ein vollständig bekanntes Paar und das Paar mit der gesuchten Größe.
3. Löse die Verhältnisgleichung und prüfe Winkelsumme sowie einen möglichen zweiten Winkel.

Bedeutung

Das Skalarprodukt zweier gleichdimensionaler Vektoren ist eine reelle Zahl. Es verbindet die Komponentenrechnung mit geometrischen Aussagen über Winkel und Orthogonalität: Bei zwei von null verschiedenen Vektoren bedeutet a · b = 0 einen rechten Winkel.

Formel

Größen und Zeichen

a, b

gleichdimensionale Vektoren

aᵢ, bᵢ

zugehörige Komponenten

φ

Winkel zwischen den Vektoren

Vorgehen bei der Matura

1. Multipliziere jeweils die Komponenten an derselben Position miteinander.
2. Addiere sämtliche Komponentenprodukte zu einer reellen Zahl.
3. Interpretiere das Ergebnis: null bedeutet orthogonal; für einen Winkel durch |a| · |b| teilen.