Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 6901–6914

Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Wasserflöhe
Wasserflöhe werden in Gartenteichen für die natürliche Reinigung eingesetzt.
Aufgabenstellung:
a) Familie Hausmann züchtet in einem Aquarium Wasserflöhe.
Modellhaft wird angenommen, dass sich die Wasserflöhe im Aquarium exponentiell vermehren.
Die Anzahl der Wasserflöhe hat sich 3 Tage nach Beginn der Zucht verdoppelt und es befinden
sich nun 100 Wasserflöhe im Aquarium.
Die zeitliche Entwicklung der Anzahl der Wasserflöhe im Aquarium in den ersten 20 Tagen
nach Beginn der Zucht kann durch die Exponentialfunktion A beschrieben werden.
t ... Zeit in Tagen mit t = 0 für den Beginn der Zucht
A ( t ) ... Anzahl der Wasserflöhe im Aquarium zum Zeitpunkt t
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von A auf.
A ( t ) = [0 / 1 P.]
2) Geben Sie denjenigen Zeitpunkt an, zu dem die Anzahl der Wasserflöhe im Aquarium 800
beträgt.
t = Tage [0 / 1 P.]
b) In einem bestimmten Gartenteich befinden sich Wasserflöhe.
Die momentane Änderungsrate der Anzahl der Wasserflöhe im Gartenteich in den ersten
30 Tagen nach Beobachtungsbeginn kann durch die Funktion v beschrieben werden.
v ( t ) = –1,12 · t
3
+ 45 · t
2
– 490 · t + 1 450
t ... Zeit in Tagen mit t = 0 für den Beobachtungsbeginn
v ( t ) ... momentane Änderungsrate der Anzahl der Wasserflöhe im Gartenteich zum Zeitpunkt t
in Wasserflöhen pro Tag
1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzu-
sammenhang unter Angabe der zugehörigen Einheit.
1
t 2 – t 1
·
∫
t 2
t 1
v ( t ) d t = 270 [0 / 1 P.]
Zum Zeitpunkt t = 0 sind 2 500 Wasserflöhe im Gartenteich vorhanden.
2) Ermitteln Sie die maximale Anzahl der Wasserflöhe im Gartenteich. [0 / 1 P.]

Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Seegrundstück
An einem See liegt ein Grundstück. Dieses Grundstück ist in der nachstehenden Abbildung in der
Ansicht von oben als grau markierte Fläche dargestellt.
f ( x ) in m
x in m
See
Zufahrtsstraße 50 0
25
0
f
34 m
Der Graph der Polynomfunktion f : [0; 50] → ℝ , x ↦ f ( x ) beschreibt modellhaft die Uferlinie des
Grundstücks ( x in m, f ( x ) in m).
Aufgabenstellung:
a) Die Polynomfunktion f ist durch die Gleichung f ( x ) = –0,0002 ∙ x
3
+ 0,013 ∙ x
2
+ c ∙ x + d
mit c , d ∈ ℝ
+
gegeben.
1) Ermitteln Sie c und d . [0 / 1 P.]
Das Grundstück soll in zwei Grundstücke mit gleich großem Flächeninhalt geteilt werden.
Die Teilungslinie verläuft parallel zur senkrechten Achse durch die Stelle x 0 .
2) Ermitteln Sie x 0 . [0 / 1 P.]
b) An einer der Grundstücksgrenzen wird ein 34 m langer Zaun aus n Brettern errichtet.
Die verwendeten Bretter sind jeweils b cm breit und werden in einem Abstand von jeweils
a cm auf Querbalken befestigt. Der Zaun beginnt und endet mit einem Brett.
Ein Teil des Zaunes ist in der nachstehenden nicht maßstabgetreuen Abbildung dargestellt.
b b a b a b b a
34 m
1) Stellen Sie eine Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen a , b und n beschreibt.
[0 / 1 P.]
Als Sonnenschutz wird ausgehend von der Zaunoberkante in einer Höhe von 2,5 m eine Plane
mit einer Seitenlänge von 2 m gespannt. Der Winkel zwischen Plane und Zaun beträgt 80°.
Der Einfallswinkel der Sonnenstrahlen zu einer bestimmten Tageszeit wird mit α bezeichnet.
Zu dieser Tageszeit hat der Schattenbereich eine Länge von 4 m. (Siehe nachstehende nicht
maßstabgetreue Abbildung in der Ansicht von der Seite.)
Sonnenstrahlen
2 m
Plane
Schattenbereich
Zaun 2,5 m
4 m
80°
α
2) Berechnen Sie α . [0 / 1 P.]

Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Spielwürfel
Bei den folgenden Spielen werden ein oder mehrere faire Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5
und 6 geworfen.
Das Würfelergebnis entscheidet über den weiteren Spielverlauf.
Aufgabenstellung:
a) Beim Spiel Monopoly werden zwei Würfel geworfen. Bei einem Pasch zeigen beide Würfel
nach dem Werfen die gleiche Augenzahl (siehe nachstehende Abbildung).
Wird ein Pasch geworfen, dann wird ein weiteres Mal gewürfelt. Erzielt man 3 Pasch-Würfe in
Folge, dann muss man seine Spielfigur auf das sogenannte Gefängnisfeld setzen.
Leo wirft die beiden Würfel.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Leo 3 Pasch-Würfe in Folge erzielt. [0 / 1 P.]
b) Beim Spiel Die Legenden von Andor wird je nach Spielfigur nach unterschiedlichen Regeln
gewürfelt.
Für eine bestimmte Runde dieses Spieles gilt:
Patrick spielt die Figur Bogenschütze und darf mit einem Würfel bis zu 2-mal würfeln.
Ist die geworfene Augenzahl beim ersten Wurf 5 oder 6, dann ist die jeweilige Augenzahl
Patricks Würfelergebnis in dieser Runde.
Ist die geworfene Augenzahl beim ersten Wurf unter 5, dann würfelt er genau ein weiteres
Mal, und die zweite geworfene Augenzahl ist Patricks Würfelergebnis in dieser Runde.
Die Zufallsvariable X gibt Patricks Würfelergebnis in dieser Runde an.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( X ≥ 5). [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie den Erwartungswert E ( X ). [0 / 1 P.]
c) Bei einer Variante des Spieles Kniffel wird mit 5 verschiedenfärbigen Würfeln gewürfelt. Dabei
werden die auftretenden Augenzahlen zu unterschiedlichen Kategorien zusammengefasst.
Werden alle 5 Würfel auf einmal geworfen, können insgesamt 7 776 mögliche Ausgänge auf-
treten.
Paul wirft alle 5 Würfel auf einmal. Für zwei ausgewählte Kategorien sind in der nachstehenden
Tabelle jeweils die Anzahl der dafür günstigen Ausgänge sowie die gerundete Wahrscheinlich-
keit des Eintretens angeführt.
Kategorie Beschreibung
Anzahl der günstigen
Ausgänge
Wahrscheinlichkeit
Kniffel 5 gleiche Augenzahlen 6 a
Full House 3 gleiche Augenzahlen und
2 gleiche andere Augenzahlen
b 3,8580 %
1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit a und die Anzahl der günstigen Ausgänge b .
a = %
b = [0 / ½ / 1 P.]

Aufgabe 25 (Teil 2)
Hallenbad
Ein neues Hallenbad wurde eröffnet.
Aufgabenstellung:
a) In diesem Hallenbad werden nur Tageskarten und Abendkarten für Erwachsene sowie Kinder
verkauft.
Die Tageskarte für Erwachsene kostet p Euro.
Die Abendkarte für Erwachsene kostet um 30 % weniger als die Tageskarte für Erwachsene.
Die Tages- bzw. Abendkarte für Kinder kostet jeweils nur 60 % der Tages- bzw. Abendkarte
für Erwachsene.
In der nachstehenden Tabelle sind die Anzahlen der an einem bestimmten Tag verkauften
Tageskarten und Abendkarten angegeben.
Anzahl der
Tageskarten
Anzahl der
Abendkarten
Erwachsene e
1
e
2
Kinder k
1
k
2
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Einnahmen E des Hallenbads an diesem Tag
auf. Verwenden Sie dabei e
1
, e
2
, k
1
, k
2
und p .
E = [0 / 1 P.]
b) In der nachstehenden Abbildung ist der Querschnitt des Schwimmbeckens im neuen Hallen-
bad modellhaft dargestellt.
x
x
h
1
h
2
a
α
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf.
Verwenden Sie dabei a , x , h
1
und h
2
.
α = [0 / 1 P.]
Das leere Schwimmbecken wird mit Wasser befüllt. Der Wasserstand nach 3 Stunden beträgt
W
3
, der Wasserstand nach 7 Stunden beträgt W
7
( W
3
, W
7
in cm).
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass in jedem Fall eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Der Term
1
gibt die relative Änderung des Wasserstands im Zeitinter-
vall [3 h; 7 h] an; der Term
2
gibt die absolute Änderung des Wasserstands
im Zeitintervall [3 h; 7 h] an.
1
W
7
W 3
W
7
W 3
– 1
1 –
W
3
W 7
2
W
3
W 7
W
7
– W
3
4
W
7
– W
3
c) In diesem Hallenbad gibt es auch einen Whirlpool. In der nachstehenden Abbildung ist die
Grundfl äche dieses Whirlpools als grau markierte Fläche modellhaft dargestellt.
f ( x ) in m
x in m
f
4
0
6 0
Die grau markierte Fläche wird durch zwei achsenparallele Seiten und durch den Graphen der
Funktion f : [0; 6] → ℝ mit f ( x ) = –4 · ( x – 1) · ℯ
– x
begrenzt ( x in m, f ( x ) in m).
1) Berechnen Sie den Flächeninhalt der grau markierten Fläche. [0 / 1 P.]

Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Polynomfunktionen dritten Grades
Aufgabenstellung:
Gegeben ist eine Polynomfunktion 3. Grades f mit f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit
a , b , c , d ∈ ℝ und a ≠ 0.
Der Graph der Funktion f hat den Wendepunkt W . Die Tangente an den Graphen von f im Wen-
depunkt W wird mit tW bezeichnet.
Es gilt:
tW : 7 ∙ x + y = 2
a) Die Tangente tW schließt mit der x -Achse den Winkel α mit 0° < α < 90° ein.
1) Berechnen Sie α . [0 / 1 P.]
Die Tangente an den Graphen von f im Punkt P wird mit tP bezeichnet.
Das Skalarprodukt eines Richtungsvektors der Tangente tP mit einem Richtungsvektor der
Tangente tW ergibt 0.
2) Tragen Sie in der nachstehenden Parameterdarstellung die fehlenden Zahlen in die dafür
vorgesehenen Kästchen ein.
tP : X = P + λ ∙
( )
mit λ ∈ ℝ [0 / 1 P.]
b) Für die 2. Ableitungsfunktion f ″ der Funktion f gilt:
f ″ ( x ) = 18 ∙ x – 18
1) Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunkts W des Graphen von f . [0 / 1 P.]
c) Gegeben ist eine Polynomfunktion 3. Grades g mit g ( x ) = a
1
∙ x
3
+ b
1
∙ x
2
+ c
1
∙ x + d
1
mit
a
1
, b
1
, c
1
, d
1
∈ ℝ und a
1
≠ 0.
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die Polynomfunktion 3. Grades g hat
1
; das Krümmungsverhalten des
Graphen von g ist unabhängig von der Wahl der Parameter
2
.
1
entweder keine oder genau eine Extremstelle
entweder keine oder genau zwei Extremstellen
in jedem Fall genau zwei Extremstellen
2
a
1
und c
1
b
1
und c
1
c
1
und d
1

Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Siebenkampf der Frauen
Aufgabenstellung:
Beim Siebenkampf der Frauen müssen Sportlerinnen die sieben Disziplinen Kugelstoßen, Speer-
wurf, Hochsprung, Weitsprung, 100-m-Hürdenlauf, 200-m-Lauf und 800-m-Lauf absolvieren.
Die Leistung einer Sportlerin wird in jeder Disziplin mit Punkten bewertet. Diese Punkte werden mit
einer für die jeweilige Disziplin entwickelten Formel berechnet und auf ganze Zahlen abgerundet.
Die Gesamtpunktzahl für eine Sportlerin ergibt sich als Summe der auf ganze Zahlen abgerundeten
erhaltenen Punkte aus allen sieben Disziplinen.
a) Die Verteilung der Gesamtpunktzahlen der Sportlerinnen im Finale des Siebenkampfs der
Frauen bei den Leichtathletik-Weltmeisterschaften 2022 ist im nachstehenden Boxplot dar-
gestellt.
Gesamtpunktzahl
6 900 6 800 6 700 6 600 6 500 6 400 6 300 6 200 6 100 6 000 5 900 7 000
6 713,5 6 452 6 143,5 5 959 6 947
1) Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] [0 / 1 P.]
Die Gesamtpunktzahl der Sportlerin mit den wenigsten Punkten ist um 20 %
niedriger als die Gesamtpunktzahl der Sportlerin mit den meisten Punkten.
Die Spannweite der Gesamtpunktzahlen beträgt mehr als 1 000.
Es gibt zumindest eine Sportlerin, die eine Gesamtpunktzahl von 6 947
erreicht hat.
Mehr als 50 % der Sportlerinnen haben eine Gesamtpunktzahl von mehr
als 6 713,5 erreicht.
Mindestens 75 % der Sportlerinnen haben eine Gesamtpunktzahl von
mindestens 6 143,5 erreicht.
b) Die Punkte, die eine Sportlerin beim Speerwurf erhält, hängen von der Wurfweite x (in m) ab.
Um die Punkte zu ermitteln, wird die Wurfweite x in die nachstehende Funktion S eingesetzt
und der Funktionswert S ( x ) auf eine ganze Zahl abgerundet.
S ( x ) = 15,9803 · ( x – 3,8)
b
mit x ≥ 3,8 und b ∈ ℝ
+
Für die Wurfweite 58,29 m ergibt sich der Funktionswert S (58,29) = 1 021,77.
1) Berechnen Sie mithilfe des obigen Verfahrens die Punkte für die Wurfweite 43,80 m.
[0 / 1 P.]
Die Geschwindigkeit eines Speers beim Abwurf kann durch
den Vektor v =
(
vx
vy
)
mit vx
, vy
> 0 beschrieben werden (siehe
nebenstehende Abbildung).
v
y
v
x
α
v
2) Stellen Sie mithilfe von vx
und vy
eine Formel zur Berechnung von α auf.
α = [0 / 1 P.]
c) Die Laufbewerbe werden auf einer sogenannten 400-m-Bahn ausgetragen, die aus mehreren
nebeneinander liegenden und unterschiedlich langen Laufbahnen besteht (siehe nachstehende
Abbildung).
84,39 m
1,12 m
73,60 m
A
2
A
1
z
B
1
C
B
2
Um die unterschiedlichen Längen der Laufbahnen auszugleichen, starten die Sportlerinnen an
verschiedenen Stellen.
Sportlerin 1 startet im Punkt A
1
und läuft entlang des inneren Halbkreises nach B
1
und weiter
zu C .
Sportlerin 2 startet im Punkt A
2
und läuft entlang des benachbarten Halbkreises nach B
2
und
weiter zu C .
Die dabei von den beiden Sportlerinnen zurückgelegten Wege sind gleich lang.
1) Berechnen Sie mithilfe der obigen Abbildung die Länge des Kreisbogens z . [0 / 1 P.]

Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Bevölkerungsentwicklung der USA
Die nachstehende Tabelle beschreibt die Bevölkerungsentwicklung der USA im Zeitraum von
1900 bis 2000.
Jahr Einwohnerzahl der USA in Mio.
1900 76
1920 106
1940 132
1960 179
1980 227
2000 281
Aufgabenstellung:
a) Für den Zeitraum von 1900 bis 2000 soll die Bevölkerungsentwicklung der USA durch eine
Exponentialfunktion f mit f ( t ) = a ∙ b
t
in Abhängigkeit von der Zeit t modelliert werden.
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1900
f ( t ) ... Einwohnerzahl der USA zur Zeit t in Mio.
a , b ∈ ℝ
+
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von f auf. Verwenden Sie dafür die in der obigen Tabelle
angegebenen Werte für 1900 und 1940. [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie, um wie viel Prozent f (100) von dem zugehörigen Wert in der Tabelle ab-
weicht. [0 / 1 P.]
b) Der belgische Mathematiker Pierre-François Verhulst hat im Jahr 1845 ein Modell zur Berech-
nung der Bevölkerungsentwicklung der USA erstellt.
Nach diesem Modell gilt:
B ( t ) =
3,9
0,01977 + 0,98023 ∙ ℯ
– 0,03134 ∙ t
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1790
B ( t ) ... Einwohnerzahl der USA zur Zeit t in Mio.
1) Ermitteln Sie, wie viele Jahre nach 1790 die momentane Änderungsrate der Einwohnerzahl
in diesem Modell am größten war. [0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie, wie viele Jahre nach 1790 erstmals die momentane Änderungsrate der Ein-
wohnerzahl in diesem Modell halb so groß wie jene im Jahr 1910 war. [0 / 1 P.]