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Aufgabe B_488: Strandbar
Aufgabe als kompakte PDF öffnenStrandbar*
Aufgabennummer: B_488
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine kleine Strandbar bietet zwei Eisdesserts an: Eiskaffee und Bananensplit.
x ... Anzahl der Eiskaffees
y ... Anzahl der Bananensplits
a) Für einen Eiskaffee benötigt man 2 Kugeln Vanilleeis und 1 Portion Obers.
Für ein Bananensplit benötigt man 3 Kugeln Vanilleeis und 1 Portion Obers.
Es ist Vanilleeis für maximal 80 Kugeln vorhanden.
Der Obersvorrat reicht für die Herstellung von maximal 30 Eisdesserts.
1) Erstellen Sie ein Ungleichungssystem, das diesen Sachverhalt beschreibt.
2) Überprüfen Sie nachweislich, ob die Herstellung von 5 Eiskaffees und 25 Bananensplits
möglich ist.
b) Die Zielfunktion E beschreibt den Gesamterlös in Euro bei einem Verkauf von x Eiskaffees
und y Bananensplits.
E ( x , y ) = p
1
∙ x + p
2
∙ y
Der Preis eines Bananensplits ist um 20 % höher als der Preis eines Eiskaffees.
1) Erstellen Sie mithilfe von p
1
eine Formel zur Berechnung von p
2
.
p
2
=
Der Gesamterlös bei einem Verkauf von 10 Eiskaffees und 5 Bananensplits beträgt € 72.
2) Ermitteln Sie p
1
und p
2
.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Im nächsten Sommer werden die Rezepte und die Preise verändert. In der nachstehenden
Abbildung ist der Lösungsbereich für die Herstellung von x Eiskaffees und y Bananensplits
dargestellt.
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 65
y
Anzahl Eiskaffees
Anzahl Bananensplits
x
a
35
30
25
20
15
10
5
0
40
1) Vervollständigen Sie die nachstehende Gleichung der Geraden a durch Eintragen der
fehlenden Zahl.
x + ∙ y = 80
Ein Eiskaffee wird um € 4,60 und ein Bananensplit um € 6,00 verkauft.
Die Kosten für die Herstellung betragen € 1,10 für einen Eiskaffee und € 1,50 für ein
Bananensplit.
2) Erstellen Sie eine Gleichung der Zielfunktion zur Beschreibung des Gewinns in Euro.
3) Ermitteln Sie diejenigen Verkaufsmengen, bei denen der Gewinn maximal ist.
Strandbar 2
Offizielle Lösungserwartung als HTML-Text anzeigen
Lösung zu Strandbar
Lösung als kompakte PDF öffnenStrandbar 3
Möglicher Lösungsweg
a1) I : 2 ∙ x + 3 ∙ y ≤ 80
II : x + y ≤ 30
a2) Es ist nicht möglich, weil die Ungleichung I in diesem Fall nicht erfüllt ist.
2 ∙ 5 + 3 ∙ 25 > 80
b1) p
2
= 1,2 ∙ p
1
b2) 72 = p
1
∙ 10 + (1,2 ∙ p
1
) ∙ 5 ⇒ p
1
= 4,5
p
2
= 1,2 ∙ 4,5 = 5,4
c1) x + 2 ∙ y = 80
c2) G ( x , y ) = 3,5 ∙ x + 4,5 ∙ y
c3) G (0, 35) = 157,5
G (10, 35) = 192,5
G (20, 30) = 205
G (50, 0) = 175
Der maximale Gewinn wird bei einem Verkauf von 20 Eiskaffees und 30 Bananensplits
erzielt.
Eine grafische Lösungsmethode ist ebenfalls zulässig.
Lösungsschlüssel
a1) 1 × A: für das richtige Erstellen des Ungleichungssystems
Die Angabe der Nichtnegativitätsbedingungen ist nicht erforderlich.
a2) 1 × D: für das richtige nachweisliche Überprüfen
b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
b2) 1 × B: für das richtige Ermitteln von p
1
und p
2
c1) 1 × A1: für das richtige Vervollständigen der Gleichung
c2) 1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung der Zielfunktion
c3) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Verkaufsmengen, bei denen der Gewinn maximal ist