Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 6601–6650

Fahrräder*
Aufgabennummer: B_460
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die Verkaufszahlen für E-Bikes in Österreich sind in den letzten Jahren gestiegen.
In der nachstehenden Tabelle sind die Verkaufszahlen (gerundet auf 1 000) für ausgewählte
Jahre angegeben.
Jahr 2008 2010 2012 2013
Anzahl der pro Jahr verkauften
E-Bikes
8 000 20 000 41 000 43 000
Die Anzahl der pro Jahr verkauften E-Bikes soll in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben
werden.
1) Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion. Wählen Sie
t = 0 für das Jahr 2008.
2) Interpretieren Sie den Wert der Steigung der linearen Regressionsfunktion im gegebe-
nen Sachzusammenhang.
b) Ein Fahrradverleih möchte x E-Bikes und y Citybikes anschaffen.
Insgesamt möchte er höchstens 100 Fahrräder (E-Bikes und Citybikes) anschaffen.
Er möchte um mindestens 30 E-Bikes mehr als Citybikes anschaffen.
1) Erstellen Sie die beiden Ungleichungen, die diesen Sachverhalt beschreiben.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) 1) Ordnen Sie den beiden Ungleichungen jeweils die richtige grafische Darstellung
aus A bis D zu. [2 zu 4]
A
0 50 100 150 –50 –100
y
x 0
150
100
50
200
–50
B
0 50 100 150 –50 –100
y
x 0
150
100
50
200
–50
C
0 50 100 150 –50 –100
y
x 0
150
100
50
200
–50
D
0 50 100 150 –50 –100
y
x 0
150
100
50
200
–50
1
2
· x ≤ y + 50
1
2
· y ≤ x + 50
Fahrräder 2
d) Ein anderer Fahrradverleih möchte x E-Bikes und y Citybikes anschaffen.
In der nachstehenden Abbildung sind bereits die beiden Begrenzungsgeraden für die
Un gleichungen y ≤ –1,5 · x + 160 und y ≤ –0,5 · x + 100 eingezeichnet.
100 80 60 40 20 0
y
Anzahl E-Bikes
Anzahl Citybikes
x
80
100
60
40
20
0
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die Begrenzungsgerade für die Ungleichung
x ≤ 80 ein.
Die 3 genannten Ungleichungen bilden ein Ungleichungssystem.
2) Markieren Sie in der obigen Abbildung den Lösungsbereich dieses Ungleichungs -
systems.
Fahrräder 3
e) In der nachstehenden Abbildung ist der Lösungsbereich für einen weiteren Fahrradverleih
dargestellt.
50 70 60 80 40 30 20 10 0
y
Anzahl E-Bikes
Anzahl Citybikes
x
40
90
80
70
60
50
100
30
20
10
0
Die Zielfunktion für den Erlös in Euro pro Tag bei diesem Fahrradverleih lautet:
E ( x , y ) = 30 · x + 20 · y
x ... Anzahl der E-Bikes
y ... Anzahl der Citybikes
Es soll ermittelt werden, wie viele E-Bikes und Citybikes pro Tag verliehen werden müssen,
um den maximalen Erlös zu erzielen.
1) Argumentieren Sie, dass es dafür keine eindeutige Lösung gibt.
Fahrräder 4

Zeitschriften (1)*
Aufgabennummer: B_461
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Die Kosten für die Produktion der Sport-Zeitschrift Bike and Run können durch eine er-
tragsgesetzliche Kostenfunktion K modelliert werden:
K ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + 79
x ... Produktionsmenge in ME
K ( x ) ... Kosten bei der Produktionsmenge x in GE
Bei einer Produktion von 10 ME betragen die Kosten 100 GE und die Grenzkosten
1,5 GE/ME.
1) Erstellen Sie die beiden Gleichungen, die diesem Sachverhalt entsprechen.
Weiters gilt: K ″ (10) = –0,1
2) Interpretieren Sie das Vorzeichen von K ″ (10) in Bezug auf den Verlauf des Funktions -
graphen von K .
3) Ermitteln Sie die Koeffizienten a , b und c der Kostenfunktion K .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Kostenfunktion K , der Graph der
Erlösfunktion E und der Graph der Gewinnfunktion G für die Zeitschrift Adventure darge-
stellt.
x in ME
K ( x ), E ( x ), G ( x ) in GE
40 30 20 10 0 80 70 60 50 90
K
E
G
200
150
100
50
0
250
Bei einer bestimmten Absatzmenge ist der Gewinn maximal.
1) Ermitteln Sie den Preis der Zeitschrift Adventure bei dieser Absatzmenge.
c) Von einer linearen Preisfunktion der Nachfrage kennt man den Höchstpreis p
h
und die
Sättigungsmenge x
s
.
1) Kreuzen Sie den zutreffenden Ausdruck für die Steigung der Preisfunktion der Nachfrage
an. [1 aus 5]
p h
x
s
–
p h
x
s
x s
p
h
–
x s
p
h
p h – x s
x
s
Zeitschriften (1) 2