Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 6551–6600

Marmelade*
Aufgabennummer: B_280
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Sarah und Daniel stellen im Rahmen eines Schulprojekts selbstgemachte Marmelade her und
füllen sie in Gläser ab. Es werden x Gläser Erdbeermarmelade und y Gläser Mehrfruchtmarme
lade abgefüllt.
a) Für ein Glas Erdbeermarmelade benötigen sie 160 g Erdbeeren.
Für ein Glas Mehrfruchtmarmelade benötigen sie 60 g Erdbeeren, 60 g Himbeeren und
40 g Heidelbeeren.
Sie haben insgesamt 15 kg Erdbeeren, 4 kg Himbeeren und 2 kg Heidelbeeren zur Ver
fügung.
Insgesamt wollen sie mindestens 70 Gläser Erdbeermarmelade produzieren.
1) Erstellen Sie ein Ungleichungssystem, das die obigen Mengenbeschränkungen für die
Herstellung der beiden Marmeladesorten beschreibt.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Nach einer Besprechung der Projektgruppe ergeben sich die folgenden Mengenbeschrän
kungen für die Herstellung der beiden Marmeladesorten:
I : 150 · x + 50 · y ≤ 18 000
II : x + y ≥ 100
III : y ≥ 50
IV : y ≤ 120
V : x ≥ 0
Anzahl der Gläser Erdbeermarmelade
Anzahl der Gläser Mehrfruchtmarmelade
140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 150 20 10 0
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
160
x
y
1) Zeichnen Sie im obigen Koordinatensystem die Begrenzungsgeraden der Ungleichun
gen I , II , III und IV ein.
2) Markieren Sie im obigen Koordinatensystem den Lösungsbereich des Ungleichungs
systems.
3) Interpretieren Sie die Bedeutung der Ungleichungen III und IV im gegebenen Sachzu
sammenhang.
Marmelade 2
c) In der nachstehenden Grafik sind die Mengenbeschränkungen nach einer weiteren Über
arbeitung des Projekts dargestellt.
Anzahl der Gläser Erdbeermarmelade
Anzahl der Gläser Mehrfruchtmarmelade
140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 150 20 10 0
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
160
x
y
Die Gleichung der Zielfunktion Z zur Ermittlung der Kosten in Euro bei der Herstellung lau
tet:
Z ( x , y ) = 2,50 · x + 3 · y
1) Zeichnen Sie in der obigen Grafik diejenige Gerade ein, für die der minimale Wert der
Zielfunktion angenommen wird.
Nachdem Sarah ihrer Tante von ihrem Schulprojekt erzählt hat, stellt diese Himbeeren
kostenlos zur Verfügung. Die Kosten pro Glas Mehrfruchtmarmelade sinken dadurch auf
€ 2,50 pro Glas.
2) Erstellen Sie eine Gleichung der neuen Zielfunktion Z
1
zur Ermittlung der Kosten.
3) Überprüfen Sie nachweislich, ob Sarah und Daniel durch diese Kostensenkung auch
die Produktionsmengen ändern müssen, wenn ihre Gesamtkosten minimal bleiben
sollen.
Marmelade 3