Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 6351–6400

Vitrinen
Aufgabennummer: B_124
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Eine Firma stellt Vitrinen in den 2 verschiedenen Modellen Roma und Vienna her. Die Stückzahl
der pro Monat erzeugten Roma -Modelle soll mit x und jene der Vienna -Modelle mit y bezeich-
net werden. Die Modelle werden in den Größen large , medium und mini gefertigt.
a) Der Stückgewinn bei der Vitrine Roma large beträgt durchschnittlich € 40, jener bei der
Vienna large ungefähr € 70.
Beide Produkte werden von 3 Maschinen gefertigt.
Die 1. Maschine ist pro Monat maximal 650 Stunden, die 2. Maschine 400 Stunden
und die 3. Maschine 320 Stunden für den Zusammenbau der Vitrinen verfügbar.
Die Arbeitszeit für den Bau der Vitrine Roma beträgt 6 Stunden an der 1. Maschine,
5 Stunden an der 2. Maschine und 1,5 Stunden an der 3. Maschine.
Der Zusammenbau der Vitrine Vienna beansprucht die 1. Maschine 4,5 Stunden, die
2. Maschine 1,2 Stunden und die 3. Maschine 3,3 Stunden.
– Stellen Sie alle für diese Bedingungen relevanten Ungleichungen und die Gleichung
der Zielfunktion für den maximalen Gewinn auf.
b) Das folgende Ungleichungssystem beschreibt den möglichen Lösungsbereich für die
Herstellung von x Vitrinen Roma medium und y Vitrinen Vienna medium unter den in der
Fabrik vorgegebenen Bedingungen.
– Stellen Sie den möglichen Lösungsbereich grafisch dar.
– Ermitteln Sie anhand der Grafik die Koordinaten der Eckpunkte des Lösungsbereichs
(gerundet auf ganze Zahlen).
3 x + 2,2 y ≤ 170
2,5 x + y ≤ 110
2 x + 2,8 y ≤ 180
x ≥ 0
y ≥ 0
Vitrinen 2
c) Für die Zielfunktion Z für den Gewinn bei x Vitrinen Roma mini und bei y Vitrinen Vienna
mini gilt:
Z ( x , y ) = 36 x + 40 y
– Zeichnen Sie die Gerade, für die der optimale Wert der Zielfunktion angenommen
wird, in die nachstehende Grafik ein.
– Bestimmen Sie den maximalen Gewinn, den man mit dem in der Grafik dargestell-
ten Lösungsbereich erzielen kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Weinbau und Weinkonsum
Aufgabennummer: B_133
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
In einem Weinbaugebiet sollen neue Anbauflächen für Reben optimal genutzt werden.
a) Auf einer Fläche von höchstens 30 Hektar (ha) werden 2 verschiedene Rebsorten A und
B angebaut. Die nachstehende Tabelle enthält die Prognose pro Hektar für die Arbeits-
kosten in Euro (€), den Ernteertrag in Tonnen (t) und die erwartete Weinmenge in Litern (L).
Außerdem ist der Verkaufspreis des Weins in Euro pro Liter (€/L) angegeben.
Arbeitskosten
in €/ha
Ernteertrag
in t/ha
Weinmenge
in L/ha
Preis pro Liter
in €/L
Sorte A 500 7,5 3 200 2
Sorte B 950 5,3 4 000 1,8
Man möchte für dieses Gebiet nicht mehr als € 24.000 für die Arbeitskosten ausgeben
und kann nur insgesamt 220 t Trauben zu Wein verarbeiten.
Die Anbaufläche soll zwischen den Sorten A und B so aufgeteilt werden, dass der
Weinverkauf einen maximalen Erlös ergibt.
– Erstellen Sie eine Gleichung der Zielfunktion und alle für den möglichen Lösungs-
bereich notwendigen Ungleichungen.
b) Auf einer weiteren Anbaufläche sollen die Sorten C und D angebaut werden. Die Be-
dingungen für die Aufteilung der Anbaufläche werden durch die folgenden Ungleichun-
gen beschrieben:
x ≥ 0 … Anbaufläche für Sorte C in ha
y ≥ 0 … Anbaufläche für Sorte D in ha
x + y ≤ 32
7 ∙ x + 5 ∙ y ≤ 210
400 ∙ x + 760 ∙ y ≤ 21 280
Der Erlös in Euro (€) soll maximal sein und wird durch die Zielfunktion E mit
E ( x , y ) = 7 200 ∙ x + 6 400 ∙ y beschrieben.
– Zeichnen Sie den Lösungsbereich dieses Ungleichungssystems und die Gerade, für die
der optimale Wert der Zielfunktion angenommen wird, in ein geeignetes Koordinaten-
system.
– Berechnen Sie diejenige Aufteilung der Anbaufläche für die Reben der Sorte C bzw. D ,
die einen maximalen Erlös ergibt.
Weinbau und Weinkonsum 2
c) In der nachstehenden Tabelle ist der Weinkonsum in Österreich von 2001 bis 2010 in
Millionen Hektolitern (hl) dargestellt.
Jahrgang 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Mio. hl 2,477 2,291 2,403 2,263 2,443 2,643 2,680 2,410 2,438 2,664
– Stellen Sie die Daten grafisch mithilfe eines Balken- oder Säulendiagramms dar.
– Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert und die Standardabweichung des
konsumierten Weines von 2001 bis 2010.
– Lesen Sie die Spannweite des jährlichen Weinkonsums in Österreich ab.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Weinhandel
Aufgabennummer: B_121
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Zwei Weinhändler bieten je eine spezielle Sorte von Rot- und Weißwein als Sonderangebot in einem
Festzelt an. Die Zahl der an diesem Tag verkauften Weißweinflaschen ist mit x bezeichnet, jene der
Rotweinflaschen mit y .
a) Der Weinhändler Weininger kann erfahrungsgemäß bei diesem Fest höchstens 20 Flaschen
pro Sorte verkaufen. Er kann an diesem Tag aber nur höchstens 30 Flaschen bei seinem
Verkaufsstand unterbringen.
Der Gewinn beträgt bei einer Flasche Weißwein € 1,50 und bei einer Flasche Rotwein € 2,50.
Der Händler möchte die Lieferung so gestalten, dass er maximalen Gewinn hat.
– Stellen Sie alle notwendigen Ungleichungen auf, die diese Bedingungen beschreiben.
– Stellen Sie die Gleichung der Zielfunktion für den Gewinn auf.
b) Der Verkauf von Weiß- und Rotweinflaschen des Weinhändlers Fassbinder bei diesem Fest
wird durch folgende Grafik veranschaulicht:
– Lesen Sie die Ungleichungen ab, die den Lösungsbereich bestimmen.
– Interpretieren Sie aus der Grafik, wie viele Weiß- und Rotweinflaschen dieser Händler
jeweils höchstens zu seinem Stand im Festzelt mitnehmen sollte.
Weinhandel 2
c) Beim Weinhändler Fassbinder beträgt die Zielfunktion für den Gewinn Z ( x , y ) = 2 x + 4 y .
– Zeichnen Sie die Gerade, für die der optimale Wert der Zielfunktion angenommen wird,
in die nachstehende Grafik ein.
– Berechnen Sie mithilfe der passenden Werte aus der Grafik den maximalen Gewinn.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit
passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

70 60 50 40 30 20 10 0 80
20
15
10
5
0
25
K ′ ( x ), K
_
( x ) in GE/ME
K
_
( x )
K ′
x in ME
Kostenanalyse
Aufgabennummer: B_141
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Ein Betrieb stellt im Wesentlichen 2 verschiedene Produkte her. Um gewinnbringend zu produ-
zieren, wurden jeweils die bei der Produktion anfallenden Kosten in Abhängigkeit von der pro-
duzierten Menge untersucht. Dabei werden folgende Bezeichnungen verwendet:
x … erzeugte Menge in Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) … Gesamtkosten bei x erzeugten ME in Geldeinheiten (GE)
a) In der nachstehenden Tabelle sind die Gesamtkosten des 1. Produkts bei unterschied-
lichen Produktionsmengen aufgelistet.
x 0 10 20 30 40 50 60
K ( x ) 49 58 74 100 132 173 222
– Stellen Sie die Wertepaare in einem Koordinatensystem dar.
Die Abhängigkeit der Kosten von der Produktionsmenge soll durch eine Polynomfunktion
beschrieben werden.
– Ermitteln Sie die Gleichung der quadratischen Kostenfunktion mittels Regression.
b) Die nebenstehende Grafik stellt die Stückkosten K und die Grenzkosten K ′ im Herstel-
lungsprozess des 2. Produkts in Abhängigkeit von der Produktionsmenge dar.
– Interpretieren Sie die Bedeutung
der x -Koordinate des Schnitt-
punkts dieser Funktionsgraphen
im Sachzusammenhang.
– Lesen Sie die langfristige Preis-
untergrenze aus der Grafik ab.
– Dokumentieren Sie in Worten,
wie man das Betriebsoptimum
und die langfristige Preisunter-
grenze mithilfe der Differenzial-
rechnung berechnen kann.
Kostenanalyse 2
c) Der Betrieb kann täglich die in der nachstehenden Grafik im schraffierten Lösungsbe-
reich angezeigten Mengen x des 1. Produkts und y des 2. Produkts herstellen. Die
Mengen sind in Mengeneinheiten (ME) angegeben.
Die Herstellungskosten für 1 ME des 1. Produkts betragen 21 GE/ME, jene für das
2. Produkt 15 GE/ME.
Die Verkaufspreise betragen für 1 ME des 1. Produkts 51 GE/ME und für das
2. Produkt 39 GE/ME.
Die Produktionsmengen der beiden Produkte sollen so gewählt werden, dass insge-
samt ein möglichst hoher Gewinn erwirtschaftet wird.
– Stellen Sie die zugehörige Zielfunktion zur Berechnung des maximalen Gewinns auf.
– Zeichnen Sie die zur Zielfunktion passende Gerade durch den Koordinatenursprung in
die obige Grafik ein.
– Ermitteln Sie, wie viel von jedem Produkt gefertigt werden soll, damit der Gewinn ma-
ximal ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
80 60 40 20 0
140
120
100
80
60
40
20
0
y in ME
x in ME

Masse der Eier in Gramm
Hühnerfarm
Aufgabennummer: B_184
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
Auf einer Hühnerfarm werden Eier produziert.
a) In einer Stichprobe von n = 12 Eiern wurden folgende Massen in Gramm (g) gemessen:
62,4 68,1 54,3 65,4 71,8 52,6 55,7 62,8 67,1 66,2 61,0 70,1
– Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung dieser Stich-
probe.
b) Die Masse von Hühnereiern kann als normalverteilt betrachtet werden.
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der entsprechenden Dichtefunktion.
– Lesen Sie den Erwartungswert aus der Abbildung ab.
– Erklären Sie anhand der Abbildung, warum die Angabe einer Standardabweichung von
5 g nicht korrekt sein kann.
Hühnerfarm 2
c) Die Eier werden nach Gewichtskategorien in mittlere und große Eier eingeteilt.
Sechser- und Viererpackungen von Eiern werden zum Verkauf angeboten.
Die Sechserpackung kostet € 2,50 und beinhaltet je 3 große und 3 mittlere Eier.
Die Viererpackung kostet € 1,70 und beinhaltet je 1 großes Ei und 3 mittlere Eier.
Mindestens 60 große und 80 mittlere Eier sollen für eine Großküche eingekauft werden.
Für den Einkauf stehen maximal € 65 zur Verfügung.
– Stellen Sie dasjenige Ungleichungssystem auf, das beschreibt, welche Anzahl an
Viererpackungen y bei welcher Anzahl von Sechserpackungen x die Großküche kau-
fen kann.
– Stellen Sie den Lösungsbereich des Ungleichungssystems grafisch dar.
– Beurteilen Sie anhand des Lösungsbereichs, ob die Großküche 12 Sechserpackungen
und 25 Viererpackungen kaufen kann.
d) Die Hühnerfarm soll durch den Ankauf eines der Nachbargrundstücke vergrößert wer-
den. Es liegen zwei Angebote vor:
• Angebot 1 umfasst das Grundstück mit 2 000 m².
Der Kaufpreis soll in 12 nachschüssigen Jahresraten zu je € 1.050 getilgt werden.
• Angebot 2 umfasst das Grundstück mit 2 200 m².
Der Kaufpreis soll in 24 nachschüssigen Jahresraten zu je € 510 getilgt werden.
Für beide Angebote ist ein Zinssatz von 2,5 % p. a. vereinbart. Es soll das Grundstück
mit dem niedrigeren Quadratmeterpreis gekauft werden.
– Dokumentieren Sie in Worten, wie man das günstigere Angebot ermitteln kann.
– Berechnen Sie den Kaufpreis pro Quadratmeter für das Angebot 2.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.