Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 6301–6350

Hustensaft
Aufgabennummer: B_138
Technologieeinsatz: möglich ☐ erforderlich S
Ein Unternehmen hat das Monopol auf den Vertrieb eines bestimmten Hustensafts. Der Husten-
saft wird in kleinen Flaschen abgefüllt, deren Füllmenge in Millilitern (ml) angegeben ist.
a) Die Füllmenge für Flaschen einer bestimmten Größe kann als annähernd normalverteilte
Zufallsvariable mit dem Erwartungswert von 40 ml angenommen werden. Die Stan-
dardabweichung beträgt 0,4 ml. Zum Ausschuss zählen alle Flaschen, deren Füllmenge
außerhalb des Toleranzbereichs von [39,5; 40,5] ml liegt.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Flasche zum
Ausschuss zählt.
– Ordnen Sie den durch die schraffierten Flächen dargestellten Wahrscheinlichkeiten in
den beiden Skizzen je eine von den in A bis D gegebenen Füllmengen x richtig zu.
Schreiben Sie den entsprechenden Buchstaben in das leere Feld neben der Skizze.
[2 zu 4]
▆
A { x ∈ ℝ | x ≤ 39,5 ∧ x ≥ 40,5} mit x in ml
B { x ∈ ℝ | x ≥ 39,5 ∧ x ≤ 40,5} mit x in ml
▆
C { x ∈ ℝ | x ≤ 39,5 ∧ x ≤ 40,5} mit x in ml
D { x ∈ ℝ | x ≥ 39,5 ∧ x ≥ 40,5} mit x in ml
x
Füllmenge in ml
38,5 39 39,5 40 40,5 41 41,5 42
x
Füllmenge in ml
38,5 39 39,5 40 40,5 41 41,5 42
Hustensaft 2
b) Das Unternehmen füllt pro Tag 500 Liter Hustensaft in x Flaschen mit 50 ml und y Fla-
schen mit 100 ml ab.
Der Verkaufspreis für eine 50-ml-Flasche beträgt € 5,40.
Für eine 100-ml-Flasche erzielt man einen Preis von € 9,60.
Der Lösungsbereich für die möglichen Verkaufszahlen der beiden unterschiedlichen
Flaschen ist in der nachstehenden Grafik dargestellt.
– Lesen Sie aus der Grafik die Ungleichung der einschränkenden Bedingung I ab.
– Erstellen Sie die Gleichung der Zielfunktion für den maximalen Erlös.
– Zeichnen Sie in die Grafik diejenige Gerade ein, für die der optimale Wert der
Zielfunktion angenommen wird.
– Ermitteln Sie grafisch diejenige Anzahl von Flaschen, die das Unternehmen
von beiden Größen verkaufen sollte, um einen maximalen Erlös zu erzielen.
0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000
0
500
1 000
1 500
2 000
2 500
3 000
3 500
4 000
4 500
5 000
Anzahl der 100-ml-Flaschen
Anzahl der 50-ml-Flaschen
II
I
III
Hustensaft 3
c) Der Zusammenhang zwischen der Anzahl x der abgefüllten 100-ml-Flaschen und dem
Verkaufspreis p pro Flasche wird in der folgenden Tabelle dargestellt.
x 1 5 10 15 20 25 30 35 40
p ( x ) 23,90 22,90 21,80 20,50 19,90 18,10 17,90 17,10 16,60
x … Flaschen in Mengeneinheiten (ME)
p ( x ) … Preis bei einem Absatz von x ME in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME)
– Ermitteln Sie die Funktionsgleichung für die Preis-Absatz-Funktion mithilfe einer
linearen Regression.
– Erstellen Sie die Gleichung der Erlösfunktion.
– Berechnen Sie den maximalen Erlös.
– Erklären Sie den Zusammenhang zwischen der 2. (oberen) Erlösgrenze und der
Sättigungsmenge.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Photovoltaik (2)
Aufgabennummer: B_153
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Eine Bank bietet Frau Zangerl einen Kredit über € 12.560 für die Finanzierung einer
Photovoltaikanlage an. Dieser Kredit soll in 15 Jahren durch nachschüssige Monatsraten
in Höhe von je € 98 getilgt werden. Eine Bearbeitungsgebühr von 3 % der Kreditsumme
wird bei der Auszahlung des Kredits von der Kreditsumme abgezogen. (Weitere Spesen
und Gebühren werden nicht berücksichtigt.)
− Ermitteln Sie den effektiven Jahreszinssatz dieses Angebots.
b) Man rechnet in den nächsten Jahren mit einer Strompreissteigerung von 4 % pro Jahr.
Derzeit kostet eine Kilowattstunde (kWh) Strom € 0,16.
Der Strompreis in Euro pro Kilowattstunde (€/kWh) soll in Abhängigkeit von der Zeit in
Jahren durch eine Funktion beschrieben werden.
– Erstellen Sie eine Gleichung dieser Funktion.
Gewerbliche Photovoltaik-Betreiber werden durch spezielle Fördergelder unterstützt. Für
einen Zeitraum von 13 Jahren wird ihnen garantiert, dass sie überschüssigen Strom zu
einem gleichbleibenden Tarif von € 0,38/kWh ins Netz einspeisen können.
– Überprüfen Sie mithilfe der erstellten Funktion, ob der Strompreis nach 13 Jahren unter
dem garantierten Tarif von € 0,38/kWh liegen wird.
c) Im nachstehenden Boxplot ist der tägliche Solarertrag in kWh einer Photovoltaikanlage in
Eisenstadt für den Herbst 2012 dargestellt.
16 14 12 10 8 6 4 2 0 18 22 20 24 26
Solarertrag in kWh/Tag
– Lesen Sie den minimalen und den maximalen Solarertrag pro Tag aus der Grafik ab.
– Lesen Sie den Interquartilsabstand ab.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Spielzeugautos (2)
Aufgabennummer: B_150
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
In der nachstehenden Grafik ist eine Kostenfunktion für die Produktion eines Spielzeugautos darge-
stellt.
a) – Zeichnen Sie in der Grafik eine Tangente an die Kostenfunktion durch den Koordinaten-
ursprung ein.
Interpretieren Sie diese Tangente als lineare Erlösfunktion.
– Beschreiben Sie die Bedeutung der Steigung dieser Tangente und der x -Koordinate
des Berührpunkts im Sachzusammenhang.
b) Analysen der anfallenden Produktionskosten haben ergeben, dass die mittlere Kostenände-
rung bei einer Erhöhung der Produktionsmenge von 10 ME auf 12 ME 17,5 GE/ME beträgt.
Die Grenzkosten bei einer Produktion von 10 ME betragen 19,7 GE/ME.
– Erklären Sie, warum sich die mittlere Kostenänderung und die Grenzkosten unterscheiden.
c) Die Gleichung der Kostenfunktion K lautet K ( x ) = 0,03 x ³ – 2,05 x ² + 51,7 x + 305, wobei x in
Mengeneinheiten (ME) und K ( x ) in Geldeinheiten (GE) gegeben ist.
Das Produkt kann zum Preis von 35,2 GE/ME verkauft werden.
– Berechnen Sie die Verkaufsmenge x, ab der das Unternehmen mit diesem Produkt
einen Gewinn erzielen kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit pas-
senden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
1 500
1 000
500
x in ME
K ( x ) in GE