Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 6251–6300

Öffentlicher Verkehr in Wien*
Aufgabennummer: B_515
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) In Wien kostet die Jahreskarte für öffentliche Verkehrsmittel bei einmaliger Zahlung € 365.
Alternativ dazu kann die Jahreskarte auch durch 12 monatliche Zahlungen zu je € 33 be
zahlt werden.
1) Berechnen Sie denjenigen effektiven Jahreszinssatz, bei dem 12 vorschüssige Monats
raten in Höhe von € 33 einem Barwert von € 365 entsprechen.
b) Die Anzahl der pro Jahr verkauften Jahreskarten für öffentliche Verkehrsmittel in Wien lässt
sich für den Zeitraum von 2011 bis 2016 näherungsweise durch die Funktion N beschrei
ben.
N ( t ) = 815 000 – 450 000 ∙ a
t
t … Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2011
N ( t ) … Anzahl der pro Jahr verkauften Jahreskarten zur Zeit t
a … Parameter mit 0 < a < 1
1) Erklären Sie, warum der Ordinatenabschnitt (Achsenabschnitt auf der vertikalen Achse)
des Graphen der Funktion N nicht vom Parameter a abhängt.
Im Jahr 2015 wurden 700 000 Jahreskarten verkauft.
2) Berechnen Sie den Parameter a .
Es wird davon ausgegangen, dass die Funktion N auch die zukünftige Entwicklung der
Anzahl der pro Jahr verkauften Jahreskarten richtig beschreibt.
3) Interpretieren Sie die Zahl 815 000 in der obigen Gleichung der Funktion N im gegebe
nen Sachzusammenhang.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Personen, die ein öffentliches Verkehrsmittel ohne gültige Fahrkarte benützen, werden als
Schwarzfahrer/innen bezeichnet.
In der nachstehenden Tabelle ist der Anteil der Schwarzfahrer/innen in den öffentlichen
Verkehrsmitteln in Wien für verschiedene Jahre angegeben.
Jahr 2012 2013 2014 2015 2016
Anteil der Schwarzfahrer/innen in Prozent
bezogen auf alle kontrollierten Personen
2,7 2,4 2,1 1,8 1,7
Datenquelle: https://wien.orf.at/v2/news/stories/2822992/ [27.10.2017].
Der Anteil der Schwarzfahrer/innen in Prozent soll in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren
beschrieben werden.
1) Ermitteln Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der zugehörigen
linearen Funktion f . Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2012.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Regressionsfunktion f dargestellt.
f ( t ) in %
6 0
f
t in Jahren
2) Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen
Kästchen ein.
Öffentlicher Verkehr in Wien 2
d) In einer Straßenbahn befinden sich insgesamt n Fahrgäste, wovon s Fahrgäste keine gülti
ge Fahrkarte besitzen. Eine Kontrollorin wählt nacheinander 2 Fahrgäste zufällig aus.
1) Tragen Sie im nachstehenden Baumdiagramm die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in
die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
gültige Fahrkarte
keine
gültige Fahrkarte
gültige Fahrkarte
keine
gültige Fahrkarte
gültige Fahrkarte
keine
gültige Fahrkarte
1. kontrollierter
Fahrgast:
2. kontrollierter
Fahrgast:
n – s
n
s
n
Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass genau 1 der beiden kontrollierten
Fahrgäste keine gültige Fahrkarte besitzt.
2) Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der diese Wahrscheinlichkeit angibt. [1 aus 5]
2 ∙
s
n
∙
n – s
n – 1
s
n
∙
n – s
n – 1
2 ∙
s
n
∙
n – s
n
s
n
∙
n – s
n
s
n
∙
s – 1
n – 1
Öffentlicher Verkehr in Wien 3

Autokauf (2)
Aufgabennummer: B_143
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein neues Auto kostet € 66.700.
a) Herr Maier möchte dieses Auto kaufen. Innerhalb von 30 Tagen ist die Rechnung zu
bezahlen. Der Verkäufer bietet ihm bei Barzahlung des Wagens innerhalb von 14 Tagen
einen Skonto (Preisnachlass bei Zahlung binnen einer bestimmten Frist) von 1,5 % des
Kaufpreises an. Leider verfügt Herr Maier erst 30 Tage nach dem Autokauf über das not-
wendige Geld. Um das Skonto-Angebot des Verkäufers annehmen zu können, müsste er
sein Konto bei einem Überziehungszinssatz von 12 % p. a. überziehen.
– Überprüfen Sie, ob Herr Maier unter diesen Bedingungen das Auto innerhalb der ersten
14 Tage nach Kauf bezahlen soll.
b) Frau Specht möchte dasselbe Auto kaufen. Allerdings kann sie nicht den vollen Kaufpreis
von € 66.700 zahlen. Sie überlegt daher, das Auto zu leasen. Das Autohaus bietet ihr
folgende Konditionen:
Anzahlung: € 13.340
Laufzeit: 36 Monate
monatlich nachschüssige Rate: € 922
Restwert: € 26.000
– Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz für dieses Leasinggeschäft.
c) Eine Alternative zu einer Leasingfinanzierung ist die Finanzierung mittels eines Kredits. Für
das zum Verkauf stehende Auto (Kaufpreis: € 66.700) wird folgender Kredit angeboten:
Anzahlung: € 13.560
Zinssatz: 5,06 % p. a.
Laufzeit: 60 Monate
– Berechnen Sie, wie hoch bei diesem Angebot die zu leistenden nachschüssigen Monats -
raten sind.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Biogas
Aufgabennummer: B_174
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Biogas ist ein alternativer Energieträger. Es kann unter anderem aus Mais- oder Zuckerrüben
gewonnen werden. Der Hauptbestandteil von Biogas ist Methan.
x … Ackerfläche in Hektar (ha), auf der Mais angebaut wird
y … Ackerfläche in Hektar (ha), auf der Zuckerrüben angebaut werden
a) Eine Landwirtin hat insgesamt höchstens 40 Hektar (ha) Anbaufläche zur Verfügung.
Sie will auf einer Ackerfläche von mindestens 5 ha Mais und auf einer Ackerfläche von
mindestens 10 ha Zuckerrüben anbauen.
Außerdem möchte sie einen Ertrag von mindestens 480 000 m
3
Biogas erzielen.
Sie möchte die Kosten für die Erzeugung von Methan möglichst gering halten.
In der folgenden Tabelle sind die Kosten und Erträge aufgelistet:
Produktionskosten
für Methan
in € /m
3
Methanertrag
in m
3
/ha
Biogasertrag
in m
3
/ha
Energiemais 0,2 6 400 11 000
Zuckerrüben 0,25 7 000 12 600
– Stellen Sie die notwendigen Ungleichungen und die Zielfunktion für eine lineare
Optimierung auf.
Biogas 2
b) Ein Landwirt ermittelt für seine Biogasproduktion folgende Zielfunktion Z der entstehen-
den Kosten in Euro ( € ):
Z ( x , y ) = 1 050 ∙ x + 1 500 ∙ y
– Zeichnen Sie diejenige Gerade, für die der optimale Wert der Zielfunktion angenommen
wird, in die nachstehende Grafik mit dem grau unterlegten Lösungsbereich ein.
– Lesen Sie aus der Grafik diejenigen Ackerflächen für Mais und Zuckerrüben ab, für die
die Kosten minimal werden.
– Berechnen Sie die entstehenden minimalen Kosten.
c) Mögliche Werte für x und y werden durch folgende 6 Ungleichungen beschrieben:
(1) x ≥ 10
(2) x ≤ 62
(3) y ≥ 8
(4) y ≤ 60
(5) y ≥ –0,75 ∙ x + 70
(6) y ≥ –0,52 ∙ x + 62
– Zeichnen Sie diejenige Fläche, die durch diese Ungleichungen bestimmt ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Ackerfläche für Zuckerrüben in ha
Ackerfläche für Mais in ha
0 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 33 1
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36

Getränkeproduktion
Aufgabennummer: B_147
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Ein Getränkehersteller produziert verschiedene Fruchtsäfte.
a) Das Unternehmen stellt zwei Sorten von Nektar her. Sorte 1 enthält 60 % Kirschsaft
und 25 % Apfelsaft, Sorte 2 enthält 40 % Kirschsaft und 45 % Apfelsaft.
Man hat maximal 400 Hektoliter (hl) Kirschsaft und 310 hl Apfelsaft zur Verfügung.
– Übertragen Sie die Anteile und die jeweiligen Maximalmengen der beiden Sorten in
eine Tabelle.
– Erstellen Sie ein Ungleichungssystem, das den Bereich der möglichen Herstellungs-
mengen der beiden Sorten beschreibt.
– Stellen Sie den Lösungsbereich des Ungleichungssystems in einem Koordinaten-
system grafisch dar.
b) Das Unternehmen stellt aus 2 hochwertigen Vitamingetränken eine neue Mischung her,
die bestimmte Mindestmengen von 3 Inhaltsstoffen enthalten muss. Die in der nachste-
henden Grafik dargestellte Lösungsmenge erfüllt diese Bedingungen.
Der 1. Vitaminsaft kostet dem Unternehmen € 300 pro hl, der 2. Saft € 150 pro hl.
Die neue Mischung soll möglichst kostengünstig sein.
600 700 500 400 300 200 100 0 800 –100
–100
700
600
500
400
300
200
100
800
0
Menge in hl
Vitaminsaft 2
Menge in hl
Vitaminsaft 1
Menge in hl e
Vitaminsaft 2 n
Getränkeproduktion 2
– Stellen Sie die Zielfunktion K für die Kosten auf.
– Zeichnen Sie die Gerade, für die der optimale Wert der Zielfunktion angenommen
wird, in die obige Grafik ein.
– Ermitteln Sie, für welche Mischung die Kosten minimal sind.
– Berechnen Sie die minimalen Kosten.
c) Die Säfte werden auf 2 Maschinen in Flaschen abgefüllt. Die Füllmenge pro Flasche
kann als annähernd normalverteilt angenommen werden.
Zum Ausschuss zählen diejenigen Flaschen, die die jeweils tolerierte Mindestfüllmenge
unterschreiten.
Die Füllmenge an der 1. Maschine weist einen Erwartungswert von 750 Millilitern (ml)
und eine Standardabweichung von 15 ml auf. Der Ausschuss an der 1. Maschine be-
trägt erfahrungsgemäß 2,5 %.
Die 2. Maschine füllt ebenfalls mit einem Erwartungswert von 750 ml ab, aber mit einer
Standardabweichung von 10 ml.
– Berechnen Sie die tolerierte Mindestfüllmenge an der 1. Maschine.
– Argumentieren Sie, welche der beiden Maschinen weniger Ausschussware produziert,
wenn man von der gleichen Mindestfüllmenge für beide Maschinen ausgeht.
Die nachstehenden Grafiken zeigen Wahrscheinlichkeiten für Füllmengenbereiche von
Maschine 1.
– Ordnen Sie den beiden grafischen Darstellungen jeweils die zutreffende Wahrschein-
lichkeit aus A bis D zu. [2 zu 4]
▆
A P ( X ≥ μ – σ )
B P ( μ – σ ≤ X ≤ μ + σ )
▆
C P ( μ – σ ≤ X ≤ μ + 2 σ )
D P ( μ – 2 σ ≤ X ≤ μ + σ )
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.