Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 6201–6250

Porzellan*
Aufgabennummer: B_514
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Betrieb stellt Tassen und Vasen aus Porzellan her.
a) Am Standort A des Betriebs gelten folgende Produktionseinschränkungen:
Für die Produktion einer Tasse werden 0,2 kg Porzellanmasse benötigt.
Für die Produktion einer Vase wird 1 kg Porzellanmasse benötigt.
Insgesamt können maximal 80 kg Porzellanmasse verarbeitet werden.
Es können maximal 300 Tassen und maximal 50 Vasen produziert werden.
1) Erstellen Sie ein Ungleichungssystem, das die Produktionseinschränkungen für x Tas-
sen und y Vasen beschreibt.
2) Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Lösungsbereich dieses Unglei-
chungssystems ein.
y
x
400 350 300 250 200 150 100 50 0 450
60
50
40
30
20
10
70
0
80
Anzahl der Vasen
Anzahl der Tassen
Jemand behauptet: „Wenn 90 kg Porzellanmasse verarbeitet werden, ist es möglich,
250 Tassen und 40 Vasen zu produzieren.“
3) Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Behauptung richtig ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Produktionseinschränkungen am Standort B des Betriebs sind in der nachstehenden
Abbildung dargestellt.
400 350 300 250 200 150 100 50 0 450 500 550
60
50
40
30
20
10
70
0
y
x
b
c
d
e
a
Anzahl der Vasen
Anzahl der Tassen
1) Vervollständigen Sie die nachstehende Gleichung der Geraden e durch Eintragen der
fehlenden Zahlen.
y = ∙ x +
2) Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils die entsprechende Gerade zu.
Eine Gleichung der Geraden ist
gegeben durch:
– x + 15 · y = 700
Die zugehörige Ungleichung beschreibt
die Mindestproduktionsmenge für eines
der beiden Produkte.
A a
B b
C c
D d
Der Verkaufspreis für eine Tasse beträgt € 8, jener für eine Vase € 12.
Der Erlös soll maximiert werden.
3) Stellen Sie eine Gleichung der Zielfunktion E für den Erlös auf.
E ( x , y ) =
4) Ermitteln Sie die optimalen Produktionsmengen für den Standort B .
Porzellan 2

Hotelrenovierung (2)
Aufgabennummer: B_180
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Hotel wird renoviert.
a) Ein Viertel aller Hotelzimmer wird als Raucherzimmer angeboten. Bei der Renovierung
wurden zwei Drittel aller Raucherzimmer und 40 % aller Nichtraucherzimmer erneuert.
– Erstellen Sie ein Baumdiagramm mit allen gegebenen Daten.
– Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewähltes Zimmer reno-
viert wurde.
b) Für weitere Renovierungsarbeiten benötigt der Hotelbesitzer einen Kredit in Höhe von
€ 80.000. Seine Hausbank bietet ihm an, dass er den Kreditbetrag innerhalb von 5 Jah-
ren in Form von nachschüssigen Jahresraten in Höhe von € 17.900 begleichen kann.
– Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz, der diesem Kredit zugrunde liegt.
Der Hotelbesitzer möchte anstelle der Jahresraten den Kredit bei gleicher Laufzeit durch
nachschüssige Semesterraten in Höhe von € 8.950 begleichen.
– Argumentieren Sie, warum sich bei dieser Zahlungsvariante ein höherer effektiver Jah-
reszinssatz ergibt.
c) Während der Renovierungsarbeiten möchte der Hotelbesitzer eine Reisegruppe einquar-
tieren. Leider stehen dafür 2 Zimmer zu wenig zur Verfügung. Aus Erfahrung weiß man,
dass im Schnitt 12 % aller Buchungen wieder kurzfristig storniert werden. Das Hotel
nimmt daher die Buchung der Reisegruppe an. Dabei wird angenommen, dass Einzel -
stornierungen voneinander unabhängig sind.
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet wird,
dass bei der Annahme von 50 Buchungen mindestens 2 storniert werden. [1 aus 5]
1 –
( )
50
1
∙ 0,12
1
∙ 0,88
49
–
( )
50
2
∙ 0,12
2
∙ 0,88
48
1 –
( )
50
0
∙ 0,12
0
∙ 0,88
50
+
( )
50
1
∙ 0,12
1
∙ 0,88
49
1 –
( )
50
0
∙ 0,12
0
∙ 0,88
50
–
( )
50
1
∙ 0,12
1
∙ 0,88
49
1 –
( )
50
1
∙ 0,88
1
∙ 0,12
49
+
( )
50
2
∙ 0,88
2
∙ 0,12
48
1 – ( )
50
0
∙ 0,88
0
∙ 0,12
50
+ ( )
50
1
∙ 0,88
1
∙ 0,12
49
d) Im Zuge der Renovierung wurden neue Shampoo-Fläschchen bestellt. Die Füllmenge der
Fläschchen kann als annähernd normalverteilte Zufallsvariable angenommen werden. Die
Füllmenge von 95 % aller Fläschchen liegt im unten dargestellten symmetrischen Intervall
um den Erwartungswert.
46,1 53,9 Füllmenge in ml
95 %
– Bestimmen Sie den Erwartungswert und die zugehörige Standardabweichung.
– Beschreiben Sie, wie sich die Kurve ändern würde, wenn die Standardabweichung bei
gleichbleibendem Erwartungswert kleiner wäre.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Hotelrenovierung (2) 2

Fruchtsäfte*
Aufgabennummer: B_400
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Unternehmen erzeugt Fruchtsäfte (Apfel-, Birnen-, Trauben- und Orangensaft).
a) Die beiden Hauptprodukte des Unternehmens sind Apfelsaft und Birnensaft.
Aus Kapazitätsgründen können insgesamt pro Tag höchstens 200 Mengeneinheiten (ME)
von diesen beiden Säften produziert werden.
Das Unternehmen kann pro Tag maximal 40 ME Birnensaft produzieren.
– Erstellen Sie die beiden Ungleichungen, die diese Produktionseinschränkungen für x ME
Apfelsaft und y ME Birnensaft beschreiben.
b) Das folgende Ungleichungssystem beschreibt die Produktionseinschränkungen für x ME
Apfelsaft und y ME Traubensaft:
x + 10 ∙ y ≤ 200
x + 5 ∙ y ≤ 125
x ≤ 100
x ≥ 0
y ≥ 0
– Zeichnen Sie den Lösungsbereich dieses Ungleichungssystems in der nachstehenden
Abbildung ein.
x in ME
y in ME
120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 130
20
15
10
5
0
25
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In der nachstehenden Abbildung ist der Lösungsbereich der Produktionseinschränkungen
für die tägliche Produktion von x ME Apfelsaft und y ME Orangensaft dargestellt.
y in ME
x in ME
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 110 120 0
70
60
50
40
30
20
10
0
110
100
90
80
120
Der Gewinn beim Verkauf jeder Flasche Apfelsaft beträgt € 0,12. Der Gewinn beim Ver-
kauf jeder Flasche Orangensaft beträgt € 0,20. Dabei gilt: 1 ME = 1 000 Flaschen.
– Stellen Sie eine Gleichung der Zielfunktion zur Beschreibung des Gewinns auf.
– Zeichnen Sie diejenige Gerade, für die der optimale Wert der Zielfunktion angenommen
wird, in der obigen Abbildung ein.
– Ermitteln Sie den maximalen Gewinn pro Tag in €.
Aufgrund einer weiteren Produktionseinschränkung können pro Tag nur maximal 60 ME
Apfelsaft hergestellt werden.
– Begründen Sie, warum sich der maximale Gewinn pro Tag dadurch nicht verändert.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Fruchtsäfte 2