Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 6051–6100

Vergnügungspark (4)
Aufgabennummer: B_293
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein neuer Vergnügungspark wird geplant.
a) Das zur Verfügung stehende viereckige Gelände wird an zwei Seiten durch die geradlinig
verlaufenden Straßenstücke a = 486 m und b = 480 m begrenzt. Die beiden anderen Be
grenzungslinien ( c = 143 m und d ) schließen einen rechten Winkel ein. Die Eckpunkte A
und C des Geländes sind 621 m voneinander entfernt.
D C
B
A
d
c
b
e
a
Straße
Straße
α
– Berechnen Sie den Winkel α , den die beiden Straßenstücke miteinander einschließen.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A des gesamten Geländes
unter Verwendung der gegebenen Größen.
A =
b) Im Park wird eine Achterbahn gebaut. Das nachstehende Geschwindigkeit Zeit Diagramm
zeigt den Verlauf der Geschwindigkeit für die ersten 12 s der Fahrt.
– Interpretieren Sie die Bedeutung der Fläche unter dem Graphen der Geschwindig
keit Zeit Funktion im Zeitintervall [0; 9] im gegebenen Sachzusammenhang.
– Beschreiben Sie die Bedeutung der negativen Steigung der Geschwindigkeit Zeit
Funktion im Zeitintervall [8; 9].
Im Zeitintervall [10; 12] kann der Verlauf der Geschwindigkeit durch die Geschwindig
keit Zeit Funktion v beschrieben werden.
v ( t ) = –4,5 ∙ t
3
+ 148,5 ∙ t
2
– 1 620 ∙ t + 5 850
t ... Zeit in s mit 10 ≤ t ≤ 12
v ( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
– Berechnen Sie die maximale Beschleunigung in diesem Zeitintervall.
Vergnügungspark (4) 2
c) Im Vergnügungspark wird es einen Glücksspielautomaten mit den 3 nachstehend darge
stellten Rädern geben.
Wirft man eine 1 Euro Münze ein, drehen sich die Räder unabhängig voneinander und
kommen nach einer kurzen Zeit zum Stillstand, wobei pro Rad genau eine zufällige Zahl
sichtbar ist. Die Zufallsvariable X bezeichnet die Anzahl der sichtbaren Einsen auf den
3 Rädern.
– Ordnen Sie den beiden Wahrscheinlichkeiten jeweils die passende Berechnung aus
A bis D zu. [2 zu 4]
A
1
4
·
2
3
·
1
2
+
3
4
·
2
3
·
1
2
+
3
4
·
1
3
·
1
2
B 1 –
3
4
·
1
3
·
1
2
C
1
4
·
1
3
·
1
2
+
3
4
·
2
3
·
1
2
+
3
4
·
1
3
·
1
2
D 1 –
1
4
·
1
3
·
1
2
P ( X = 1)
P ( X ≥ 1)
Erscheint auf allen 3 Rädern die Zahl 1, so ist der Gewinn G = € 5. Erscheint auf allen
3 Rädern die Zahl 0, so ist der Gewinn G = € 2. Bei allen anderen Resultaten verfällt der
Einsatz, also G = € –1.
– Berechnen Sie den zu erwartenden Gewinn für diesen Glücksspielautomaten.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Vergnügungspark (4) 3

Weihnachtsmarkt*
Aufgabennummer: B_479
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Auf einem Weihnachtsmarkt werden Lebkuchensterne, Marmelade und Socken verkauft.
Während des ersten Tages wurden 25 Personen bedient. Jede dieser Personen kaufte
mindestens ein Produkt.
L ... Menge der Personen, die Lebkuchensterne kauften
M ... Menge der Personen, die Marmelade kauften
S ... Menge der Personen, die Socken kauften
6 Personen kauften sowohl Marmelade als auch Lebkuchensterne, aber keine Socken.
8 Personen kauften Socken.
1) Vervollständigen Sie das nachstehende Venn-Diagramm durch Eintragen der fehlenden
Werte in die dafür vorgesehenen Kästchen.
2) Markieren Sie im nachstehenden Venn-Diagramm die Menge ( L ∩ S ) \ M .
3) Beschreiben Sie die Menge ( L ∩ S ) \ M im gegebenen Sachzusammenhang.
L
S M
4
2
1
2
* ehemalige Klausuraufgabe
Auch für die folgenden Tage wurden Venn-Diagramme erstellt.
4) Ordnen Sie den beiden Venn-Diagrammen jeweils die passende Aussage aus A bis D
zu. [2 zu 4]
L
S M
7
4 5
2
1
0 5
L
S M
9
4 4
0
1
2 4
A
Es gab mehr Personen, die genau
2 verschiedene Produkte kauften, als
Personen, die nur Lebkuchensterne
kauften.
B
Es gab gleich viele Personen, die
sowohl Socken als auch Lebkuchen-
sterne kauften, wie Personen, die nur
Marmelade kauften.
C
Es gab mehr Personen, die alle
3 Produkte kauften, als Personen, die
nur Marmelade kauften.
D
Es gab weniger Personen, die sowohl
Lebkuchensterne als auch Socken
kauften, als Personen, die sowohl Mar-
melade als auch Socken kauften.
Weihnachtsmarkt 2
b) In der nachstehenden Abbildung ist eine Ausstechform für Lebkuchensterne dargestellt.
Es handelt sich dabei um einen regelmäßigen 5-zackigen Stern.
α
a
b
a
Zur Berechnung der Länge einer Strecke x wird folgender Ausdruck aufgestellt:
x =

a
2
+ a
2
– 2 ∙ a ∙ a ∙ cos( α )
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die Strecke x ein.
Für eine bestimmte Ausstechform gilt:
a = 2 cm
b = 5 cm
α = 72°
2) Berechnen Sie den Flächeninhalt eines mit dieser Ausstechform ausgestochenen Leb -
kuchensterns.
c) Aus einem Teig werden mit einer Ausstechform Lebkuchenherzen
ausgestochen. Der Flächeninhalt eines solchen Lebkuchen-
herzens beträgt A (in cm
2
), die Dicke beträgt d (in cm).
N Lebkuchenherzen haben insgesamt ein Volumen V (in cm
3
).
1) Erstellen Sie aus A , V und d eine Formel zur Berechnung
von N .
N =
Weihnachtsmarkt 3
d) Jemand beobachtete auf dem Weihnachtsmarkt das Kaufverhalten und bestimmte die
folgenden Wahrscheinlichkeiten:
Anzahl n der
Marmeladegläser
Wahrscheinlichkeit für den Kauf von
n Marmeladegläsern pro Person
0 0,24
1 0,38
2 0,16
3 0,12
4
≥ 5 0
1) Vervollständigen Sie die obige Tabelle durch Eintragen des fehlenden Wertes.
2) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der gekauften Marmeladegläser pro
Person.
Weihnachtsmarkt 4

Sozialausgaben (1)*
Aufgabennummer: B_481
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebens lagen
zur Verfügung stellt.
Die Sozialausgaben in Österreich für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1990 bis 2015
sind in der nach stehenden Tabelle angegeben (Werte gerundet).
Jahr
Sozialausgaben
in Milliarden Euro
1990 35,5
1995 51,0
2000 59,8
2005 71,2
2010 87,8
2015 102,5
Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2017. Wien: Verlag Österreich 2016, S. 224.
a) Die Sozialausgaben sollen in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren ab 1990 näherungs
weise durch eine lineare Funktion beschrieben werden.
1) Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion S
1
.
Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1990.
2) Interpretieren Sie den Wert der Steigung von S
1
im gegebenen Sachzusammenhang.
3) Ermitteln Sie mithilfe von S
1
eine Prognose für die Sozialaus gaben im Jahr 2020.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Eine Sozialwissenschaftlerin geht von der Annahme aus, dass die Sozialausgaben in
Österreich seit dem Jahr 2015 jährlich um 2,5 % bezogen auf das jeweilige Vorjahr steigen.
Dieses Modell soll durch eine Funktion S
2
beschrieben werden.
t ... Zeit ab 2015 in Jahren
S
2
( t ) ... Sozialausgaben zur Zeit t in Milliarden Euro
1) Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion S
2
.
Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2015.
c) In der nachstehenden Abbildung sind das Bruttoinlandsprodukt und die Sozialausgaben
Österreichs für den Zeitraum von 1990 bis 2015 dargestellt.
Weiters ist die Regressionsgerade für das Bruttoinlandsprodukt für diesen Zeitraum einge
zeichnet.
Beträge in Mrd. €
Bruttoinlandsprodukt
Sozialausgaben
Jahr
2010 2005 2000 1995 1990 2015
300
250
200
150
100
50
0
350
1) Ermitteln Sie den Wert der Steigung der Regressionsgeraden für das Bruttoinlands
produkt.
Die Sozialquote ist das Verhältnis der Sozialausgaben zum Bruttoinlandsprodukt.
2) Ermitteln Sie die Sozialquote für das Jahr 2015.
Sozialausgaben (1) 2
d) Die Verteilung der Sozialausgaben von insgesamt 102,5 Milliarden Euro für das Jahr 2015
ist in der nach stehenden Abbildung dargestellt. Der Bereich „Familie / Kinder“ ist markiert.
35°
Krankheit / Gesundheitsversorgung
Familie / Kinder
Hinterbliebene
Invalidität / Gebrechen
Alter
Arbeitslosigkeit
Wohnen
1) Ermitteln Sie den Betrag, der im Jahr 2015 für den Bereich „Familie / Kinder“ ausgegeben
worden ist.
Sozialausgaben (1) 3

Roborowski-Zwerghamster*
Aufgabennummer: B_177
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die durchschnittliche Körpermasse von Zwerghamstern wird bei der Geburt mit 1,2 g an-
gegeben, nach 1 Woche mit 4,3 g, nach 2 Wochen mit 8,7 g, nach 3 Wochen mit 12,5 g
und nach 4 Wochen mit 14,2 g.
Die zeitliche Entwicklung der durchschnittlichen Körpermasse von Zwerghamstern soll
für die ersten 4 Lebenswochen näherungsweise durch eine Polynomfunktion 3. Grades f
beschrieben werden.
1) Ermitteln Sie mithilfe von Regression eine Gleichung dieser Polynomfunktion 3. Grades f .
Wählen Sie t = 0 für den Zeitpunkt der Geburt.
Zur Zeit t
1
gilt: f ″ ( t
1
) = 0 und f ′ ( t
1
) > 0
2) Interpretieren Sie die Bedeutung der Stelle t
1
im gegebenen Sachzusammenhang.
3,5 Wochen nach der Geburt hat ein Zwerghamster 62 % der durchschnittlichen Körper-
masse eines ausgewachsenen Zwerghamsters.
3) Bestimmen Sie mithilfe der Funktion f , welche durchschnittliche Körpermasse ein aus-
gewachsener Zwerghamster gemäß diesem Modell hat.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die täglich aufgenommene Nahrungsmenge eines ausgewachsenen Zwerghamsters hängt
von seiner Körpermasse ab.
Die folgende Formel gibt näherungsweise den Zusammenhang zwischen der täglich auf-
genommenen Nahrungsmenge N und der Körpermasse M an:
N = 1,422 · ln( M ) – 1,78
N … täglich aufgenommene Nahrungsmenge in g
M … Körpermasse in g
1) Berechnen Sie die täglich aufgenommene Nahrungsmenge bei einer Körpermasse von
30 g.
2) Formen Sie die Formel nach M um.
M =
c) Im nachstehenden Boxplot sind die Kopf-Rumpf-Längen einer Zwerghamsterpopulation
dargestellt.
Kopf-Rumpf-Länge in cm
9 8,5 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 9,5
1) Ermitteln Sie die Spannweite.
Jemand behauptet: „Es gibt in dieser Zwerghamsterpopulation mindestens 1 Zwerg -
hamster mit einer Kopf-Rumpf-Länge von 7 cm.“
2) Argumentieren Sie, dass diese Behauptung nicht zwingend richtig sein muss.
Roborowski-Zwerghamster 2

Regenschirm*
Aufgabennummer: B_181
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) An den Enden eines Regenschirms ist eine 110 cm lange Schnur befestigt. Der Schirm ist
so an einen Haken C gehängt, dass die beiden Schnurabschnitte einen Winkel von 120°
einschließen. Der Punkt A ist 25 cm weit vom Haken C entfernt. (Siehe nachstehende
nicht maßstabgetreue Skizze.)
C
A
B
120°
1) Berechnen Sie die Länge AB des Regenschirms.
Derselbe Regenschirm wird nun so aufgehängt, dass die beiden Schnurabschnitte einen
rechten Winkel einschließen. Dadurch ändert sich die Länge der Schnurabschnitte.
2) Berechnen Sie, welche Entfernungen der Punkt A in diesem Fall vom Haken C haben
kann.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Bespannung des Regenschirms besteht aus Flächenteilen, die jeweils durch 2 Geraden
und den Graphen der Funktion f begrenzt werden (siehe nachstehende Abbildung).
f ( x ) in cm
x in cm
f
0 20 –20
70
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = –
1
98
· x
2
+ 2
x , f ( x ) ... Koordinaten in cm
1) Berechnen Sie den Flächeninhalt des grau markierten Flächenteils.
Regenschirm 2
c) Für einen Kunsthandwerksmarkt werden Regenschirme angefertigt.
Bei der Herstellung der Regenschirme treten unabhängig voneinander 2 Arten von Fehlern
auf. Man weiß aus Erfahrung:
• Bei durchschnittlich 1 von 5 Regenschirmen treten Fehler bei den Nähten auf.
• Bei durchschnittlich 30 % der Regenschirme treten Fehler im Muster auf.
1) Ergänzen Sie die Wahrscheinlichkeiten im nachstehenden Baumdiagramm.
Fehler bei
den Nähten
Fehler im
Muster
kein Fehler
im Muster
kein Fehler bei
den Nähten
Fehler im
Muster
kein Fehler
im Muster
Regenschirme, die beide Fehler aufweisen („III. Wahl“), werden um € 2 pro Stück verkauft.
Regenschirme, die nur einen von beiden Fehlern aufweisen („II. Wahl“), werden um € 15
pro Stück verkauft.
Regenschirme, die keinen Fehler aufweisen („I. Wahl“), werden um € 30 pro Stück ver-
kauft.
2) Vervollständigen Sie die nachstehende Tabelle.
I. Wahl II. Wahl III. Wahl
Einnahmen pro
Regenschirm in Euro
30 15 2
Wahrscheinlichkeit
3) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Einnahmen pro verkauftem Regenschirm.
Regenschirm 3

Kfz-Bestand (2)*
Aufgabennummer: B_302
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die nachstehende Tabelle gibt den Kraftfahrzeug-Bestand (Kfz-Bestand) in Österreich für
ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1992 bis 2012 jeweils zum Jahresende an.
Ende des Jahres ... Kfz-Bestand in Millionen
1992 4,5
1997 5,2
2002 5,4
2007 5,8
2012 6,3
Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2015 . Wien: Verlag Österreich 2014, S. 446.
a) Die zeitliche Entwicklung des Kfz-Bestands soll mit den Daten der obigen Tabelle durch
eine lineare Regressionsfunktion K beschrieben werden.
1) Ermitteln Sie eine Gleichung dieser linearen Regressionsfunktion. Wählen Sie t = 0 für
das Ende des Jahres 1992.
2) Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Funktion im gegebenen Sachzusam-
menhang.
3) Berechnen Sie, nach welcher Zeit gemäß diesem Modell mit einem Kfz-Bestand von
8 Millionen zu rechnen ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Um die zeitliche Entwicklung des Kfz-Bestands mit einem anderen mathematischen
Modell zu beschreiben, wurden, ausgehend von den Daten der obigen Tabelle, die nach-
stehenden Berechnungen durchgeführt.
6,3
4,5
20
= 1,0169...
1,0169... – 1 = 0,0169... ≈ 1,7 %
1) Interpretieren Sie die Bedeutung der berechneten Zahl 1,7 % im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
Jemand berechnet weiters:
2 = 1,0169...
t
t =
ln(2)
ln(1,0169...)
= 41,20... ≈ 41,2
2) Interpretieren Sie die Bedeutung der berechneten Zahl 41,2 im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
Kfz-Bestand (2) 2

Münzen (2)*
Aufgabennummer: B_493
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Beim Werfen einer fairen Münze treten die beiden Ereignisse „Kopf“ und „Zahl“ jeweils mit
der gleichen Wahrscheinlichkeit auf.
Agnes, Bettina und Celina spielen ein Spiel mit einer fairen Münze.
Agnes wirft die Münze. Zeigt die Münze Kopf, dann gewinnt Agnes und das Spiel ist zu
Ende. Zeigt die Münze Zahl, dann ist Bettina an der Reihe.
Bettina wirft die Münze. Zeigt die Münze Kopf, dann gewinnt Bettina und das Spiel ist zu
Ende. Zeigt die Münze Zahl, ist Celina an der Reihe.
Celina wirft die Münze. Zeigt die Münze Kopf, dann gewinnt Celina und das Spiel ist zu
Ende. Zeigt die Münze Zahl, ist Runde 1 beendet und Agnes beginnt Runde 2.
Dieses Spiel wird auf die gleiche Art fortgesetzt.
In der unten stehenden Tabelle sind die Gewinnwahrscheinlichkeiten für die ersten 3 Run-
den teilweise eingetragen.
1) Vervollständigen Sie diese Tabelle durch Eintragen der fehlenden Gewinnwahrscheinlich-
keiten.
Agnes
gewinnt das Spiel
in dieser Runde
Bettina
gewinnt das Spiel
in dieser Runde
Celina
gewinnt das Spiel
in dieser Runde
Runde 1
1
8
Runde 2
1
32
1
64
Runde 3
1
128
1
512
Die Wahrscheinlichkeit, dass Celina in Runde n gewinnt, lässt sich durch eine geometrische
Folge modellieren.
2) Stellen Sie ein explizites Bildungsgesetz dieser Folge auf.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die australische 50-Cent-Münze besteht – von oben betrachtet – aus 12 gleich großen
gleichschenkeligen Dreiecken.
Legt man 2 solche Münzen aneinander, ergibt sich folgende geometrische Situation:
30°
β
α
1) Ermitteln Sie die Winkel α und β .
c) In einer Geldbörse sind 5 Ein-Euro-Münzen und 7 Zwei-Euro-Münzen. Dorian zieht nach-
einander und ohne Zurücklegen 2 zufällig ausgewählte Münzen.
Die Zufallsvariable X gibt diejenigen Geldbeträge an, die Dorian erhalten kann.
P ( X = x
i
) ist die Wahrscheinlichkeit, genau den Geldbetrag x
i
zu er halten.
1) Vervollständigen Sie die nachstehende Tabelle für das oben beschriebene Zufallsexperi-
ment.
x
i
P ( X = x
i
)
2) Berechnen Sie den Erwartungswert von X .
Münzen (2) 2

Fitnessgymnastik*
Aufgabennummer: B_494
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) An einem Fitnessgymnastik-Kurs nehmen weibliche und männliche Personen unterschiedli-
chen Alters teil.
W ... Menge der weiblichen Personen
S ... Menge der Seniorinnen und Senioren
N ... Menge der neu eingeschriebenen Personen
G ... Menge aller teilnehmenden Personen
Insgesamt nehmen am Kurs 20 Personen teil.
Es gibt keine neu eingeschriebenen Seniorinnen oder Senioren.
Unter den insgesamt 15 weiblichen Personen sind 9 Seniorinnen. 3 weibliche Personen
sind neu eingeschrieben.
Unter den insgesamt 5 männlichen Personen sind 2 Senioren. 2 männliche Personen sind
neu eingeschrieben.
W S
N
3
2
0
1
G
Im obigen Venn-Diagramm ist bereits die Zahl 1 eingetragen.
1) Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Zahl im gegebenen Sachzusammenhang.
2) Vervollständigen Sie das obige Venn-Diagramm durch Eintragen der richtigen Anzahlen.
3) Kennzeichnen Sie im obigen Venn-Diagramm die Menge ( W ∪ S ) \ N .
4) Kreuzen Sie den zutreffenden Zusammenhang an. [1 aus 5]
w = 1,5 ∙ k
m = 2 ∙ k
k = 2 ∙ w
k = 1,5 ∙ m
m = 2 ∙ w
w ... Prozentsatz der neu eingeschriebenen Personen
unter den weiblichen Personen
m ... Prozentsatz der neu eingeschriebenen Personen
unter den männlichen Personen
k ... Prozentsatz der neu eingeschriebenen Personen
unter allen teilnehmenden Personen
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In einem Kurs werden dehnbare Fitnessbänder benützt. Bei einer Übung wird ein Ende des
Fitnessbands mit einem Fuß fixiert. Das andere Ende wird mit dem gestreckten Arm nach
oben gezogen. (Siehe unten stehende vereinfachte Abbildung.)
1) Zeichnen Sie in dieser Abbildung denjenigen Winkel φ ein, für den gilt:
sin( φ ) =
x ∙ sin( β )
a
a ... Armlänge
s ... Schulterhöhe
x ... Länge des gedehn-
ten Fitnessbands
α
β
s
a
x
2) Erstellen Sie mithilfe von a , s und α eine Formel zur Berechnung von x .
x =
Für eine bestimmte Person gilt: a = 0,7 m, s = 1,5 m, α = 48°
3) Berechnen Sie x für diese Person.
Fitnessgymnastik 2
c) Bei einer Übung wird ein Ende eines dehnbaren Fitnessbands mit dem Fuß fixiert (Koordi-
natenursprung in der unten stehenden Abbildung). Das andere Ende wird mit dem in der
Abbildung nicht dargestellten Arm gehalten.
Zu Beginn der Übung ist das Fitnessband ungedehnt und kann durch den Vektor b =
( )
0,4
1
beschrieben werden (Maße in Metern).
1) Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Vektor b als Pfeil ausgehend vom
Ko ordinatenursprung ein.
0,8 0,6 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 1 –0,6
0
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
1,8
y in m
x in m
2) Berechnen Sie den Winkel, den der Vektor b mit der y -Achse einschließt.
3) Berechnen Sie die Länge des ungedehnten Fitnessbands. Runden Sie das Ergebnis auf
ganze Zentimeter.
Fitnessgymnastik 3