Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 6001–6050

Bastelarbeit im Kindergarten*
Aufgabennummer: B_336
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Als Werkarbeit in einem Kindergarten sollen Katzenköpfe aus Modelliermasse gestaltet
werden. Als Vorlage dazu dient eine Ausstechform. Die Begrenzungslinien dieser Aus stech
form können durch die Graphen der Funktionen f und g beschrieben werden:
f ( x ) = –0,5 · x
4
+ 1,8 · x
2
+ 5
g ( x ) = 0,8 · x
2
+ 1
x , f ( x ), g ( x ) ... Koordinaten in cm
Die Graphen dieser Funktionen sind in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
f ( x ), g ( x ) in cm
x in cm
2 1 0 3 –2 –3 –1
0
6
5
4
3
2
1
7
a) 1) Argumentieren Sie mithilfe der Funktionsgleichungen, dass der Graph der Funktion f
die obere Begrenzungslinie und der Graph der Funktion g die untere Begrenzungslinie
beschreibt (und nicht umgekehrt).
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Modelliermasse erhält man in quaderförmigen Packungen mit folgenden Maßen:
(B) 95 mm × (T) 25 mm × (H) 200 mm
1) Berechnen Sie das Volumen einer Packung Modelliermasse in cm
3
.
Jedes Kind soll mithilfe der Form einen 2 cm dicken Katzenkopf ausstechen können.
2) Berechnen Sie, wie viele Packungen Modelliermasse man mindestens benötigt, damit
alle 24 Kinder der Gruppe jeweils einen Katzenkopf basteln können.
c) Um die Werkarbeit der Kinder schön verpacken zu können, sollen Schachteln mit recht-
eckiger Grundfläche gefaltet werden. Jeder Katzenkopf soll in eine solche Schachtel gelegt
werden. Eine Seite der Schachtel-Grundfläche muss mindestens 4 cm lang sein.
1) Berechnen Sie die Mindestabmessung der anderen Seite der Grundfläche.
Bastelarbeit im Kindergarten 2

Puppenrutsche*
Aufgabennummer: B_373
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) In der unten stehenden Abbildung ist eine Puppenrutsche dargestellt. Das seitliche Profil
dieser Puppenrutsche kann annähernd durch eine Polynomfunktion 3. Grades f modelliert
werden:
f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit 0 ≤ x ≤ 24
x , f ( x ) ... Koordinaten in cm
Der Graph der Funktion f hat an den Stellen x = 0 und x = 24 jeweils eine horizontale
Tangente.
f(x) in cm
x in cm
0
16
14
12
10
8
6
4
2
18
–2
0 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 26 2
Bildquelle: http://www.spielzeug-truhe.de/artikel-277.htm [01.12.2014] (adaptiert).
1) Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten dieser Polynomfunktion
berechnet werden können.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Das seitliche Profil einer anderen Spielzeugrutsche kann durch den Graphen der
Funktion g beschrieben werden:
g ( x ) =
1
108
∙ ( x
3
– 18 ∙ x
2
+ 864) mit 0 ≤ x ≤ 12
x , g ( x ) ... Koordinaten in cm
1) Berechnen Sie diejenige Stelle, an der die Rutsche am steilsten ist.
2) Begründen Sie allgemein, warum der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades höchs-
tens 2 Extrempunkte haben kann.
Puppenrutsche 2

Staudamm (2)*
Aufgabennummer: B_442
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Ein Staudamm hat den unten – nicht maßstabgetreu – dargestellten Querschnitt mit den
Punkten P
1
= (10 | 50) und P
2
= (20 | 0). Alle Angaben erfolgen in Metern. Der Verlauf
zwischen den Punkten P
1
und P
2
wird durch den Graphen der Funktion f beschrieben:
f ( x ) = a + b ∙ ln( x )
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
x in m
P
2
P
1
f
0
f ( x ) in m
0
50
1) Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Parameter a und b ermittelt
werden können.
Es wurden folgende Werte für a bzw. b ermittelt:
a = 216,1
b = –72,1
2) Berechnen Sie die Breite des Staudamms auf halber Höhe.
3) Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des Staudamms (graue Fläche).
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Im unten stehenden Diagramm ist der Graph einer Exponentialfunktion f
1
eingezeichnet.
1) Zeichnen Sie in diesem Diagramm den Graphen der zugehörigen Umkehrfunktion f
2
ein.
y
x
0 4 3 2 1 5 –2 –3 –4 –5 –1
0
4
3
2
1
5
–2
–3
–4
–5
–1
f
1
2) Beschreiben Sie, welche Bedeutung die Gerade y = x für den Zusammenhang der
Graphen der Funktionen f
1
und f
2
hat.
Staudamm (2) 2

Studienabschlüsse*
Aufgabennummer: B_450
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Mehrere Personen wurden befragt, warum sie ihr Studium nicht abgeschlossen haben.
Zur Auswahl standen folgende 3 Gründe: „Zeitprobleme“, „private Gründe“ und „fachliche
Defizite“. Mehrfachnennungen waren möglich.
Die Ergebnisse der Befragung von 76 Personen sind im nachstehenden Venn-Diagramm
dargestellt.
15
9
10 13 20
7 2
Z
F P
Z ... Menge aller Personen, die Zeitprobleme angegeben haben
P ... Menge aller Personen, die private Gründe angegeben haben
F ... Menge aller Personen, die fachliche Defizite angegeben haben
1) Beschreiben Sie die Menge ( F ∩ Z ) \ P im gegebenen Sachzusammenhang.
2) Ermitteln Sie, wie viele Personen genau 1 der 3 Gründe angegeben haben.
3) Kennzeichnen Sie im nachstehenden Venn-Diagramm die Menge derjenigen Personen,
die sowohl Zeitprobleme als auch private Gründe als auch fachliche Defizite angegeben
haben.
Z
F P
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Folgende Tabelle gibt die jeweilige Anzahl der Studienabschlüsse an öffentlichen Universi-
täten in Österreich in den Jahren 2007 bis 2014 an:
Jahr 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Anzahl der
Studienabschlüs-
se an öffentlichen
Universitäten
22 121 23 910 27 232 27 926 31 115 34 460 37 312 34 300
Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Bildung in Zahlen 2014/15. Tabellenband. Wien: Statistik Austria 2016, S. 320.
Jemand vermutet, dass sich die Anzahl der Studienabschlüsse in Abhängigkeit von der
Zeit t näherungsweise durch eine lineare Funktion beschreiben lässt.
1) Ermitteln Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der zugehörigen linearen
Funktion f . Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2007.
2) Beurteilen Sie mithilfe des Korrelationskoeffizienten, ob die Regressionsfunktion ein
ge eignetes Modell darstellt, um die Entwicklung der Anzahl der Studienabschlüsse zu
beschreiben.
3) Ermitteln Sie, mit wie vielen Studienabschlüssen gemäß diesem Modell im Jahr 2020
zu rechnen ist.
Studienabschlüsse 2
c) Folgendes Diagramm zeigt den Frauenanteil bei den Studienabschlüssen an öffentlichen
Universitäten in Österreich für zwei verschiedene Studienjahre:
0 20 40 60 80 100
Montanistik
Technik
Darstellende Kunst
Theologie
Bodenkultur
Sozial- und Wirtschaftswissenschaften
Medizin
Rechtswissenschaften
Musik
Bildende und angewandte Kunst
Naturwissenschaften
individuelles Studium
Geisteswissenschaften
Veterinärmedizin
insgesamt
Studienabschlüsse an öffentlichen Universitäten nach
Fachrichtungen 2003/04 und 2013/14
in Prozent
Frauenanteil 2003/04
Frauenanteil 2013/14
51,8
56,5
75,3
83,2
73,9
76,2
19,7
67,8
66,3
63,6
58,6
62,6
61,1
59,9
49,3
55,5
56,7
52,5
45,6
52,4
40,7
51,6
37,5
50,2
65,0
45,3
17,8
26,0
15,8
22,6
Quelle: https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/soziales/gender-statistik/bildung/index.html
[14.02.2017] (adaptiert).
1) Lesen Sie aus dem obigen Diagramm ab, in welchen Fachrichtungen der Frauenanteil
im Studienjahr 2013/14 geringer als im Studienjahr 2003/04 war.
Jemand behauptet:
„Im Bereich individuelles Studium ist der Frauenanteil in den dargestellten Studienjahren
von 19,7 % auf 67,8 % gestiegen. Das heißt, dass 2013/14 viel mehr Frauen als 2003/04
ein individuelles Studium abgeschlossen haben.“
2) Erklären Sie, warum diese Argumentation unzulässig ist.
Studienabschlüsse 3

Bahnsteige (2)*
Aufgabennummer: B_451
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Auf dem Bahnhof Linz wird eine Beton-
konstruktion zur Überdachung eines
Bahnsteigs verwendet.
Bildquelle: BMBWF
Die nebenstehende Abbildung zeigt eine
vereinfachte Darstellung der Beton-
konstruktion.
f ( x ) in m
–1
0
4
3
2
1
5
3 2 1 0 –1 –2 –3 –4
Bahnsteig x in m
Bahnsteigdach
f
Säule
1) Erstellen Sie eine Formel zur
Berechnung des Inhalts A der
grau markierten Fläche.
A =
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Skizze ist eine Holzkonstruktion zur Überdachung eines Bahnsteigs
dargestellt.
y in m
x in m Bahnsteig F
C
D
E
B
A
α
β
1) Erstellen Sie mithilfe von AE , AD und α eine Formel zur Berechnung von DF .
DF =
Es gilt: A = (0 | 4), B = (0 | 2,8), α = 104° und β = 123°
2) Berechnen Sie die Länge BC .
Bahnsteige (2) 2

Brücken zwischen Gebäuden (2)*
Aufgabennummer: B_466
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Gebäude können durch Brücken verbunden werden.
a) Eine 30 m lange Brücke wird im Punkt M auf zwei Stützen der Länge s gelagert (siehe
nachstehende Abbildung).
35 m
Gebäude 1 Gebäude 2
30 m
A
M
B
D
s
α
s
15 m
1) Berechnen Sie die Länge s einer Stütze.
Die Stütze MB soll durch eine neue Stütze MD ersetzt werden.
2) Berechnen Sie den Winkel α .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Eine Brücke soll zwei Gebäude verbinden. Die Brücke mit 10 m Länge wird auf einem
parabel förmigen Bogen gelagert, der als Graph einer Funktion p mit p ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
modelliert werden kann. Der Bogen wird im Punkt A = (0|–1) an der linken Gebäudemauer
befestigt, der Scheitel ist im Punkt S = (5|2,5) (siehe nachstehende Abbildung).
10 m
p ( x ) in m
A
0 x
1
x
2
p
S
x in m
0
2,5 m
1) Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion p .
2) Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Fläche, deren Inhalt mit dem folgen-
den Ausdruck berechnet werden kann:
10 ∙ 2,5 –
∫
x 2
x 1
p ( x ) d x
Im Punkt A wird die Tangente an den Graphen der Funktion p gelegt. Diese Tangente
schließt mit der senkrechten Achse den spitzen Winkel β ein.
3) Kreuzen Sie die zutreffende Formel zur Berechnung des Winkels β an. [1 aus 5]
β = 90° – arctan( p ′ (0))
β = arctan
(
5
3,5
)
β = p ′ (0)
β = tan
(
5
p (0)
)
β = tan( p ′ (0))
Brücken zwischen Gebäuden (2) 2

Internet (2)*
Aufgabennummer: B_467
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) In der nachstehenden Tabelle sind Daten zur weltweiten Nutzung des Internets angegeben.
Zeit t seit dem Ende des Jahres 1995 in Jahren 1 2 3 4 5
Anzahl der Internetnutzer/innen in Millionen 16 36 70 147 248
Datenquelle: https://www.internetworldstats.com/emarketing.htm [27.08.2019].
Die Anzahl der Internetnutzer/innen in Millionen soll in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren
durch die Exponentialfunktion f beschrieben werden.
1) Ermitteln Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung dieser Exponential
funktion f in der Form f ( t ) = a · b
t
.
2) Beschreiben Sie die Bedeutung des Parameters a im gegebenen Sachzusammenhang.
b) Im Jahr 2012 betrug die weltweit über das Internet übertragene Datenmenge 333,6 Millio
nen Terabyte.
1) Tragen Sie die fehlende Zahl in Gleitkommadarstellung der Form a ∙ 10
k
mit
1 ≤ a < 10 in der nachstehenden Umwandlung ein.
333,6 Millionen Terabyte = Byte
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Eine Verbindung mit dem Internet erfolgt über ein sogenanntes Modem . Dieses kann eine
Verbindung mit dem Internet kabelgebunden oder über ein Mobilfunknetz herstellen.
Ein bestimmtes Modem kann eine Verbindung mit dem Internet nur kabelgebunden und
nicht über ein Mobilfunknetz herstellen.
1) Kennzeichnen Sie im nachstehenden Mengendiagramm denjenigen Bereich, in dem
dieses Modem enthalten ist.
K M
K ... Menge aller Modems, die eine Verbindung mit dem Internet kabelgebunden
herstellen können
M ... Menge aller Modems, die eine Verbindung mit dem Internet über ein Mobilfunk
netz herstellen können
Internet (2) 2

Navigationsgeräte*
Aufgabennummer: B_465
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Moderne Navigationsgeräte (Navis) haben eine Reihe von Zusatzfunktionen.
a) Für einen bestimmten Straßenabschnitt ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stau auftritt,
konstant.
Die Meldung „Stau“ oder „kein Stau“ am Navi ist jedoch nur mit einer gewissen Wahr-
scheinlichkeit richtig. Dieser Sachverhalt ist im nachstehenden Baumdiagramm dargestellt.
80 %
kein Stau
Navi meldet: Stau Navi meldet: kein Stau
2 % 98 %
20 %
Stau
Navi meldet: Stau Navi meldet: kein Stau
93 % 7 %
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufällig ausgewählten Fahrt auf
diesem Straßenabschnitt ein Stau auftritt und dieser vom Navi gemeldet wird.
2) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahr-
scheinlichkeit folgendermaßen berechnet wird: P ( E ) = 0,2 · 0,93 + 0,8 · 0,02
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Entlang einer 45 km langen Teststrecke auf einer Autobahn sind insgesamt 8 Radarboxen
in gleichen Abständen zur Überwachung der Geschwindigkeit aufgestellt. Eine dieser
Radarboxen steht am Anfang und eine am Ende der Strecke.
Die Abstände der Radarboxen vom Streckenanfang lassen sich durch eine Folge
( a
1
, a
2
, ... , a
8
) modellieren.
1) Geben Sie an, welche Art von Folge hierfür in Frage kommt. Begründen Sie Ihre Ent-
scheidung.
2) Stellen Sie für diese Folge ein explizites Bildungsgesetz auf.
Die 8 Radarboxen werden unabhängig voneinander mit der Wahrscheinlichkeit 0,95 vom
Navi erkannt.
3) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Radarboxen auf dieser Strecke
nicht erkannt werden.
Navigationsgeräte 2
c) Entlang einer 200 km langen Strecke fährt jemand die erste Hälfte des Weges mit einer
Geschwindigkeit von 100 km/h und die zweite Hälfte des Weges mit einer Geschwindig-
keit von 50 km/h.
Die Geschwindigkeiten auf den beiden Weghälften werden dabei modellhaft als jeweils
konstant angenommen.
1) Stellen Sie diese Fahrt im nachstehenden Weg-Zeit-Diagramm dar.
Zeit in h
zurückgelegter Weg in km
2,5 2 1,5 1 0,5 3 0
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
200
Jemand behauptet, dass die mittlere Geschwindigkeit für die gesamte Fahrt 75 km/h
be trägt.
2) Zeigen Sie, dass diese Behauptung falsch ist.
Navigationsgeräte 3

Skulptur*
Aufgabennummer: B_464
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine Skulptur wird von oben betrachtet. Die Deckfläche ist waagrecht und eben. Sie ist in der
nachstehenden Abbildung in einem Koordinatensystem dargestellt. Dabei ist die Deckfläche
symmetrisch zur y -Achse und wird durch die Graphen der Funktionen f , g , h und i begrenzt.
y in cm
x in cm
h i
g
f
3 2 1 0 4 –2 –3 –4 –1
0
4
3
2
1
5
a) 1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A der grau markierten
Deckfläche.
A =
b) Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = a · x
4
+ b · x
2
+ c
Es gilt: f ′ (1) = –1
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b und c .
2) Berechnen Sie die Koeffizienten a , b und c .
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Auf die Deckfläche der Skulptur soll ein Viereck nach bestimmten Vorgaben gemalt werden.
Ausgehend vom Punkt (0 | 3) wird der Vektor a =
( )
3
1
als Pfeil aufgezeichnet.
Vom Endpunkt dieses Pfeils ausgehend wird nun der Vektor b =
( )
–3
–3
als Pfeil aufge-
zeichnet.
1) Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung die Vektoren a und b wie oben beschrie-
ben als Pfeile ein.
y in cm
x in cm
3 2 1 0 4 –2 –3 –4 –1
0
4
3
2
1
5
Der Vektor c entsteht durch Spiegelung des Vektors a an der y -Achse.
2) Ergänzen Sie die Koordinaten dieses Vektors:
c =
( )
Sind die Vektoren a und b wie oben beschrieben als Pfeile eingezeichnet und spiegelt man
diese Pfeile an der y -Achse, so entsteht das Viereck.
3) Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.
Skulptur 2