Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5951–6000

Deiche an der Nordseeküste*
Aufgabennummer: B_425
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Um das Land vor Sturmfluten zu schützen, baut man Schutzwälle, sogenannte Deiche.
a) Auf einer Informationstafel ist ein Deichquerschnitt skizziert (nicht maßstabgetreu). Der
Deich hat eine Höhe von 6 m, die Deichkrone ist 5 m breit. Der Inhalt seiner Querschnitts-
fläche beträgt 192 m
2
.
α
Deichkrone
Innenböschung Außenböschung
Höhe
Breite des Deichs
– Berechnen Sie die Breite dieses Deichs.
Die Außenböschung ist 36,5 m lang.
– Bestimmen Sie den Neigungswinkel α der Außenböschung.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In einer Region werden die Deiche in Deichabschnitte unterteilt.
22 Deichabschnitte werden von Schafen beweidet, aber nicht gemäht.
60 Deichabschnitte werden gemäht, aber nicht von Schafen beweidet.
27 Deichabschnitte werden sowohl von Schafen beweidet als auch gemäht.
19 Deichabschnitte werden gar nicht gepflegt.
D … Menge aller Deichabschnitte
W … Menge der Deichabschnitte, die von Schafen beweidet werden
M … Menge der Deichabschnitte, die gemäht werden
M W
D
– Kennzeichnen Sie W ∩ M im obigen Mengendiagramm.
– Beschreiben Sie die Bedeutung von W ∩ M im gegebenen Sachzusammenhang.
– Geben Sie die Menge derjenigen Deichabschnitte, die gar nicht gepflegt werden, in
Mengensymbolik an.
– Berechnen Sie, wie viel Prozent der Deichabschnitte gar nicht gepflegt werden.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Deiche an der Nordseeküste 2

Sitzreihen*
Aufgabennummer: B_436
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine Schule plant eine Theateraufführung im Turnsaal. Der Schulwart hat die Idee, die Zu
schauer stühle wie folgt um die Bühne aufzubauen (siehe nach stehende Abbildung).
Sektor
I
Sektor
II
Sektor
III
Bühne
a) Im Sektor I stehen in der ersten Sitzreihe 8 Stühle. In jeder folgenden Sitzreihe erhöht sich
die Anzahl der Stühle jeweils um 3.
– Begründen Sie mathematisch, warum die Anzahlen der Stühle in den jeweiligen Sitz
reihen eine arithmetische Folge a
n
bilden.
– Stellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz für a
n
auf.
b) Im Sektor II stehen in der ersten Sitzreihe 5 Stühle, in jeder folgenden Sitzreihe erhöht sich
die Anzahl der Stühle jeweils um 1.
– Stellen Sie ein explizites Bildungsgesetz auf, mit dem man die Anzahl der Stühle in der
n ten Sitzreihe berechnen kann.
Die Gesamtanzahl der Stühle in den ersten n Sitzreihen des Sektors II ist
(9 + n ) · n
2
.
– Berechnen Sie, aus wie vielen Sitzreihen der Sektor II besteht, wenn 126 Stühle für die
sen Sektor verwendet werden.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Für den Sektor III ist eine Sitzordnung vorgesehen, bei der die Anzahl der Stühle in der
n ten Sitzreihe durch folgendes explizites Bildungsgesetz beschrieben wird:
a
n
= 5 + ( n – 1) · 4
– Interpretieren Sie die Bedeutung der Zahlen 5 und 4 im gegebenen Sachzusammen
hang.
– Berechnen Sie, wie viele Stühle in der 7. Sitzreihe stehen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe
Sitzreihen 2

Wiener Öffis*
Aufgabennummer: B_187
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Wien betreibt das fünftgrößte Straßenbahnnetz weltweit und das fünftgrößte U-Bahn-Netz in
der Europäischen Union. Seit 1995 steigt die Zahl der Passagiere ständig an.
a)
Jahr 2002 2005 2008 2011
Fahrgastzahl der Wiener Linien in
Millionen
722,4 746,8 803,7 875,0
– Interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im gegebenen Sach -
zusammen hang:
875,0 – 722,4
722,4
≈ 0,21
Es wird angenommen, dass der Zusammenhang zwischen der Zeit t in Jahren und der
Fahrgastzahl der Wiener Linien in Millionen pro Jahr näherungsweise durch eine lineare
Funktion beschrieben werden kann.
– Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion. Wählen Sie
t = 0 für das Jahr 2002.
– Ermitteln Sie mithilfe dieser Regressionsfunktion eine Prognose für die Fahrgastzahl im
Jahr 2018.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Im Folgenden ist ein kleiner Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes abgebildet:
Friedensbrücke
Roßauer Lände
Taborstraße
Nestroy-
platz
Kaisermühlen-VIC
Donauinsel
Vorgartenstraße
Praterstern
Messe-Prater
Krieau
Schottenring
Schottentor
Schweden-
platz
... U1
... U2
... U4
U1 U4
U2
Die Mengen der Haltestellen der Linien U1, U2 und U4, die in diesem Ausschnitt darge-
stellt sind, werden mit U1, U2 bzw. U4 bezeichnet.
– Tragen Sie in jeden Teilbereich des nachstehenden Diagramms die entsprechende An-
zahl an Haltestellen für den abgebildeten Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes ein.
U1 U2
U4
2
– Geben Sie die Namen derjenigen Haltestellen an, die in der folgenden Menge liegen:
U1 \ (U2 ∪ U4)
Aus dem abgebildeten Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes wird eine Haltestelle zufällig
ausgewählt.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um eine Haltestelle handelt,
die an mehr als einer U-Bahn-Linie liegt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Wiener Öffis 2

Schokoriegel*
Aufgabennummer: B_107
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Schokoriegel wurden bisher in Packungen zu 5 Stück zu einem Preis von € 1,79 pro
Packung ve rk auft. Nun werden sie in Packungen zu 6 Stück zu einem Preis von € 2,49 pro
Packung verkauft.
1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent ein einzelner Schokoriegel in der neuen Packung
teurer ist als ein einzelner Schokoriegel in der alten Packung.
b) Die Masse von bestimmten Schokoriegeln ist annähernd normalverteilt mit einem Erwar-
tungswert von 48 g und einer Standardabweichung von 1,3 g.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
Wendepunkt
Masse in g
1) Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen
Kästchen ein.
2) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Masse eines zufällig ausgewählten
Schoko riegels weniger als 45 g beträgt.
3) Berechnen Sie, welche Masse ein zufällig ausgewählter Schokoriegel mindestens hat,
wenn er zu den schwersten 20 % der Schokoriegel zählt.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In einer Schale sind zwei verschiedene Sorten Schokoriegel: 5 Riegel mit Kokos, 10 Riegel
ohne Kokos.
Man bietet Ihnen folgendes Spiel an:
Sie erhalten 12 Spielmünzen. Sie müssen ohne Hinsehen 2-mal hintereinander einen
Schoko riegel aus der Schale ziehen und behalten. Jedes Mal, wenn Sie einen Schokorie-
gel mit Kokos ziehen, wird die Anzahl Ihrer Spielmünzen verdoppelt, andernfalls wird sie
halbiert.
1) Tragen Sie im nachstehenden Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten in die weißen
Kästchen ein.
2) Tragen Sie im nachstehenden Baumdiagramm die Anzahl Ihrer Spielmünzen am Ende
des Spiels in die grauen Kästchen ein.
12
24 6 mit Kokos ohne Kokos
mit Kokos ohne Kokos mit Kokos ohne Kokos
Im Folgenden betrachtet man die Zufallsvariable X :
X … Anzahl Ihrer Spielmünzen am Ende des Spiels
3) Tragen Sie in der nachstehenden Tabelle alle auftretenden Werte für X und die zugehö-
rigen Wahrscheinlichkeiten ein.
Anzahl Ihrer Spielmünzen
am Ende des Spiels
Wahrscheinlichkeit
4) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X .
Schokoriegel 2

Museum
Aufgabennummer: B_255
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Museum in einer Stadt führt verschiedene Recherchen durch.
a) Das nachstehende Säulendiagramm wird in einer Zeitung veröffentlicht. Es veranschau-
licht, wie sich die Besucherzahlen des Vorjahres auf die einzelnen Wochentage verteilen.
Die Zeitung schreibt: „Man kann aus dem Diagramm ablesen, dass die Besucheranzahl
am Dienstag weniger als die Hälfte wie am Mittwoch beträgt.“
24 189
23 000
24 000
22 347
23 724
Donnerstag
Mittwoch Dienstag
Montag
Freitag
24 000
23 500
23 000
22 500
22 000
21 500
24 500
21 000
Besucheranzahl
– Argumentieren Sie anhand der Grafik, warum diese Aussage nicht stimmt.
– Berechnen Sie die Einnahmen aus dem Vorjahr, wenn davon ausgegangen wird, dass
80 % der Besucher/innen den regulären Preis von € 3,50 und 20 % der Besucher/innen
einen ermäßigten Preis von € 2 bezahlten.
Das Museum hatte 52 Wochen pro Jahr an 5 Tagen pro Woche geöffnet. Die durch-
schnittliche tägliche Besucherzahl im Museum soll berechnet werden.
– Kreuzen Sie die richtige Berechnung an. [1 aus 5]
(24 000 + 22 347 + 24 189 + 23 000 + 23 724) ∙ 5 ∙ 52
24 000 + 22 347 + 24 189 + 23 000 + 23 724
52
∙ 5
24 000
5
+
22 347
5
+
24 189
5
+
23 000
5
+
23 724
5
∙ 52
24 000 + 22 347 + 24 189 + 23 000 + 23 724
5 · 52
24 000 · 52
5
+
22 347 · 52
5
+
24 189 · 52
5
+
23 000 · 52
5
+
23 724 · 52
5
b) Um die Meinung der Besucher/innen über die Attraktivität der Ausstellungsstücke festzu-
stellen, wird eine Umfrage mit einem Fragebogen durchgeführt.
Die Besucher/innen können die Attraktivität der Ausstellungsstücke mit den Kategorien
„Sehr gut“, „Gut“, „Zufriedenstellend“ und „Nicht zufriedenstellend“ bewerten. Das folgen-
de Kreisdiagramm gibt eine Zusammenfassung der Ergebnisse wieder.
Sehr gut 18 %
Gut 22 %
Zufriedenstellend 46 %
Nicht zufriedenstellend 14 %
– Berechnen Sie, wie viele Personen an der Umfrage teilgenommen haben, wenn 63 Per-
sonen die Kategorie „Nicht zufriedenstellend“ angekreuzt haben.
– Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Anzahl derjenigen, die mit „Sehr gut“ stimmten,
kleiner ist als die Anzahl derjenigen, die mit „Gut“ abgestimmt haben.
c) Bei einer Ausstellung eines berühmten französischen Künstlers werden die Kunstwerke
B 1 bis B 7 nach den folgenden Kategorien aufgestellt:
„Ölgemälde“ Ö = { B 1; B 2; B 4; B 5; B 7}
„Kunstwerke bis zum 30. Lebensjahr des Künstlers“ K 30 = { B 2; B 4; B 5; B 6}
„Kunstwerke, die höher als 2 m sind“ H 2 m = { B 2; B 3; B 4; B 6}
– Erstellen Sie ein Venn-Diagramm, aus dem man die thematische Gliederung (Kategorien)
aller Bilder ablesen kann.
– Ordnen Sie den beiden Verknüpfungsmengen jeweils die zutreffende Menge aus A bis D
zu. [2 zu 4]
Ö ∩ K 30 ∩ H 2 m
A { B 1; B 7}
B { B 2; B 4}
Ö \( K 30 ∪ H 2 m )
C { B 4; B 5}
D { B 6; B 7}
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Museum 2

Brettspiel
Aufgabennummer: B_288
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Bei einem Spiel gewinnt diejenige Person, die als erstes ein vorgegebenes Muster auf ihrem
Spielbrett mit roten und grünen Farbsteinen ausgelegt hat.
Bei einem Spielzug wird zuerst mit 2 Zahlenwürfeln („normale“ Würfeln mit den Augenzahlen
1 bis 6) geworfen. Die aus den Augenzahlen gebildete Summe (Augensumme) bestimmt, wie
viele Farbsteine man auf das Spielbrett legen darf.
Anschließend wird für jeden zu legenden Farbstein die Farbe gewürfelt. Dazu wird ein spezieller
Farbwürfel mit 4 grünen und 2 roten Seiten verwendet.
Ein Spielzug besteht daher aus dem Werfen der 2 Zahlenwürfel und dem darauffolgenden
mehrmaligen Werfen des Farbwürfels.
a) Die Augensumme der beiden Zahlenwürfel kann als Zufallsvariable X betrachtet werden.
– Erstellen Sie eine Tabelle, in der man für alle möglichen Augensummen der beiden Wür-
fel die jeweilige Wahrscheinlichkeit ablesen kann.
– Interpretieren Sie den Ausdruck
Σ
12
i = 2
( i ∙ P ( X = i )) = 7 im gegebenen Sachzusammenhang.
b) Ein Kind darf den Farbwürfel 3-mal werfen.
– Erstellen Sie ein Baumdiagramm, in dem die möglichen Farbabfolgen und die zugehöri-
gen Wahrscheinlichkeiten dargestellt sind.
– Dokumentieren Sie, wie man mithilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass
3 rote Farbsteine auf das Spielbrett gelegt werden dürfen, bestimmen kann.
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind bei 3-maligem Werfen des Farbwür-
fels 1 roten Stein und 2 grüne Steine auf das Spielbrett legen darf.
c) Ein Kind wirft in einem Spielzug 7-mal den Farbwürfel.
– Ordnen Sie den beiden gegebenen Ausdrücken jeweils das passende Ereignis aus
A bis D zu. [2 zu 4]
Σ
4
k = 0
( )
7
k
·
(
1
3
)
k
·
(
2
3
)
7 – k
A
Es werden weniger als 5 grüne
Steine gelegt.
B
Es werden maximal 5 rote
Steine gelegt.
Σ
5
k = 0
( )
7
k
·
(
2
3
)
k
·
(
1
3
)
7 – k
C
Es werden weniger als 5 rote
Steine gelegt.
D
Es werden maximal 5 grüne
Steine gelegt.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Kind mindestens 4-mal die Farbe Grün
würfelt.
d) Ein Kind steht kurz vor dem Gewinn des Spiels. Es benötigt im nächsten Spielzug zum
Fertigstellen des Musters noch genau 2 rote Steine.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Kind nach dem Würfeln genau 2 Steine,
die beide rot sind, zur Verfügung hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Brettspiel 2

Allergie
Aufgabennummer: B_289
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Es kommen immer mehr Kinder mit unterschiedlichen Allergien in den Kindergarten.
a) Im Kindergarten befinden sich insgesamt 53 Kinder mit mindestens einer Allergie. Es wer-
den generell die verschiedenen Allergien in die Gruppen Lebensmittelallergie ( L ), Tierhaar-
allergie ( T ) und Pollenallergie ( P ) eingeteilt. Das folgende Venn-Diagramm zeigt die Vertei-
lung der Kinder auf die einzelnen Allergiegruppen.
– Bestimmen Sie die Anzahl der Kinder
in der grau markierten Schnittmenge.
– Interpretieren Sie die Bedeutung der
Menge L \ ( T ∪ P ) im gegebenen
Sachzusammenhang.
b) Einem Kind wurde ein Antiallergikum verschrieben. 48 Stunden nach der Einnahme dieses
Antiallergikums sind noch 0,1 % des Wirkstoffs der verabreichten Dosis vorhanden.
– Stellen Sie eine Gleichung derjenigen Exponentialfunktion auf, die die Abnahme der
Menge des Wirkstoffs des Antiallergikums in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden nach
der Einnahme beschreibt. Es wird von einer Anfangsmenge N
0
ausgegangen.
– Bestimmen Sie die Halbwertszeit der Menge des Wirkstoffs des Antiallergikums.
L
T
P
10
9
5
6
1 3
3
c) Im Monat Juni wird die Häufigkeit von allergischen Reaktionen auf Pollen bei einer Gruppe
von 35 Kindern aufgezeichnet.
Anzahl der allergischen Reaktionen 0 1 2 3 4
Anzahl der Kinder 5 6 8 10 6
– Berechnen Sie die relative Häufigkeit der Kinder, die 2 allergische Reaktionen zeigen.
– Geben Sie an, welche statistische Kenngröße mit dem Ausdruck
5 ∙ 0 + 6 ∙ 1 + 8 ∙ 2 + 10 ∙ 3 + 6 ∙ 4
35
berechnet wird.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Allergie 2

Süßigkeiten
Aufgabennummer: B_290
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Es wird eine neue Süßigkeiten-Produktion geplant, die aus Kugeln mit Schokolade- bzw. mit
Kaffee-Füllung besteht.
a) Der Wert der Maschine, die die Kugeln herstellt, nimmt im Laufe der Zeit ab. Diese Wert -
abnahme kann mit einer Folge beschrieben werden. Die einzelnen Folgenglieder geben
den Wert der Maschine im entsprechenden Jahr an. Die Maschine hat im 1. Jahr einen
Wert von € 97.500. Zu Beginn jedes weiteren Jahres verringert sich der Wert der Maschi-
ne jeweils um € 7.500.
– Geben Sie an, um welchen Folgentyp es sich hierbei handelt. Begründen Sie Ihre Aus-
wahl.
– Berechnen Sie die ersten 3 Folgenglieder.
– Stellen Sie ein explizites Bildungsgesetz dieser Folge auf.
– Berechnen Sie, wann die Maschine € 60.000 wert ist.
b) In einer Packung befinden sich 31 Schokolade-Kugeln und 23 Kaffee-Kugeln. Eine Per-
son zieht 3-mal hintereinander zufällig eine Kugel aus der Packung. Da die Person keine
Kaffee- Kugeln mag, legt sie eine gezogene Kaffee-Kugel sofort wieder zurück in die Pa-
ckung. Schokolade-Kugeln werden nicht zurückgelegt.
– Veranschaulichen Sie diesen Sachzusammenhang in einem mit den entsprechenden
Wahrscheinlichkeiten beschrifteten Baumdiagramm.
– Kennzeichnen Sie im Baumdiagramm alle Pfade, in denen genau eine Schokolade-Ku-
gel gezogen wird.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Person 3-mal hintereinander eine
Kaffee- Kugel zieht.
c) Verschiedene Packungen enthalten eine unterschiedliche Anzahl an Schokolade-Kugeln.
Es werden 34 Packungen untersucht. Die nachstehende Tabelle gibt an, wie viele Pa-
ckungen eine bestimmte Anzahl an Schokolade-Kugeln enthält.
Anzahl an Packungen 8 7 6 6 5 2
Anzahl an Schokolade-Kugeln
pro Packung
30 32 33 34 36 38
– Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Anzahl an Schokolade-Kugeln pro Packung.
– Berechnen Sie den relativen Anteil der Packungen, die 30 Schokolade-Kugeln enthalten
bezogen auf alle untersuchten Packungen.
– Interpretieren Sie die Bedeutung der Summe
30 ∙ 8 + 32 ∙ 7 + 33 ∙ 6 + 34 ∙ 6 + 36 ∙ 5 + 38 ∙ 2 im gegebenen Sachzusammenhang.
d) Bei einer Umfrage kosten 50 Personen die Süßigkeiten. Die nachstehende Tabelle gibt
das Ergebnis dieser Umfrage an.
„Mir schmeckt
keine Kugel.“
„Mir schmecken
nur Schokolade-
Kugeln.“
„Mir schmecken
nur Kaffee-
Kugeln.“
„Mir schmecken
beide Kugeln.“
Anzahl der
Nennungen
5 10 9 26
– Übertragen Sie die Informationen aus der obigen Tabelle in ein Venn-Diagramm.
– Ordnen Sie den beiden Venn-Diagrammen jeweils diejenige Mengenschreibweise aus
A bis D zu, die die markierte Teilmenge beschreibt. [2 zu 4]
K S
A S ∩ K
B K \ S
K S
C S \ K
D S ∪ K
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Süßigkeiten 2