Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5901–5950

Lieblingsspielformen*
Aufgabennummer: B_388
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine Gruppe von Kindergartenkindern wurde nach ihren Lieblingsspielformen befragt. Zur Aus-
wahl standen: Konstruktionsspiele, Bewegungsspiele und Regelspiele. Dabei waren Mehrfach-
nennungen möglich. Das Ergebnis kann man der nachstehenden Tabelle entnehmen.
Lieblingsspielform Anzahl der Nennungen
Konstruktionsspiele (K) 7
Bewegungsspiele (B) 14
Regelspiele (R) 7
Tabelle 1
Einige dieser Kinder haben sich für genau 2 Spielformen entschieden.
Lieblingsspielform Anzahl der Nennungen
Konstruktionsspiele und Bewegungsspiele 3
Konstruktionsspiele und Regelspiele 1
Bewegungsspiele und Regelspiele 2
Tabelle 2
2 Kinder haben sogar alle 3 Spielformen genannt.
a) – Veranschaulichen Sie die Ergebnisse dieser Befragung in einem Venn-Diagramm (Men-
gendiagramm). Tragen Sie die entsprechenden Anzahlen in das Venn-Diagramm ein.
– Ermitteln Sie, wie viele Kinder sich insgesamt für nur eine Spielform als Lieblingsspiel-
form entschieden haben.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Im nachstehenden Venn-Diagramm ist eine bestimmte Menge grau hervorgehoben.
K
R
B
– Geben Sie die grau hervorgehobene Menge des obigen Mengendiagramms mithilfe der
Mengensymbolik (Mengenoperationen: Vereinigung, Durchschnitt, Differenz) an.
– Beschreiben Sie die grau hervorgehobene Menge im gegebenen Sachzusammenhang
in Worten.
c) – Erstellen Sie mithilfe von Tabelle 1 ein Säulen- oder ein Balkendiagramm mit den absolu-
ten Häufigkeiten der Nennung von Konstruktionsspielen, Bewegungsspielen und Regel-
spielen.
Lieblingsspielformen 2

Sportgeschäft
Aufgabennummer: B_263
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Während des Winterschlussverkaufs wurde die Anzahl der Kunden eines Sportgeschäfts,
die in verschiedenen Abteilungen eingekauft haben, aufgezeichnet. Insgesamt haben 5 776
Kunden im Sportgeschäft eingekauft.
2166
Fitness
722 1083
Skiausrüstung Fitness
alle Kunden
des Sportgeschäfts
– Berechnen Sie die Anzahl der Kunden, die weder in der Abteilung Skiausrüstung noch in
der Abteilung Fitness eingekauft haben.
– Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils den richtigen Prozentsatz aus A bis D zu. [2 zu 4]
Der Prozentsatz der Kunden,
die nur Skiausrüstung kaufen,
beträgt …
A 50 %
B 12,5 %
Der Prozentsatz der Kunden,
die sowohl Skiausrüstung als
auch Fitnessartikel kaufen,
beträgt …
C 37,5 %
D 18,75 %
b) Ein Sportgeschäft verleiht tageweise Ski. Erfahrungsgemäß müssen bei etwa 6 % der zu-
rückgebrachten Paar Ski Reparaturen durchgeführt werden.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Zufallsauswahl von 10 Paar ausgelie-
henen Ski mindestens 2 Paar Ski repariert werden müssen.
c) Für den einkommensschwachen Monat Februar möchte ein Sportgeschäft eine Marke-
ting-Strategie entwickeln. Dafür wird ausgewertet, wie viel Geld die einzelnen Kunden bei
einem Einkauf im Monat Jänner jeweils ausgegeben haben.
Das Ergebnis der Auswertung wird im nachstehenden Boxplot dargestellt.
ausgegebenes Geld pro Kundeneinkauf in Euro im Monat Jänner
– Lesen Sie den Median und den Interquartilsabstand ab.
– Interpretieren Sie den Boxplot hinsichtlich desjenigen Anteils an Kunden, die zwischen
€ 150 und € 425 pro Kundeneinkauf ausgegeben haben.
d) Als Werbestrategie wird den Besuchern ein Gewinnspiel angeboten. Jeder Besucher darf
mit einem fairen Spielwürfel, bei dem die Augenzahlen 1 bis 6 mit jeweils gleicher Wahr-
scheinlichkeit auftreten, einmal würfeln. Zeigt der Würfel die Augenzahl 6, gewinnt man
einen 10-Euro-Gutschein, bei der Augenzahl 5 gewinnt man einen 5-Euro-Gutschein. Bei
jeder anderen Augenzahl gewinnt man nichts.
– Berechnen Sie den Erwartungswert des Gewinns eines Besuchers.
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Erwartungswerts im gegebenen Sachzusammen-
hang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Sportgeschäft 2

Lego*
Aufgabennummer: B_409
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Legosteine sind Bausteine aus Kunststoff, die von einem dänischen Unternehmen produziert
werden.
a) Könnte man 40 Milliarden Legosteine gleicher Höhe aufeinanderstecken, so würde der
dabei entstehende „Turm“ bis zum Mond reichen. Die Entfernung des Monds von der
Erde beträgt etwa 384 400 km.
– Berechnen Sie die Höhe eines Legosteins, der dieser Überlegung zugrunde liegt,
in Zentimetern.
b) Am 80. Jahrestag der Gründung des Unternehmens gab es auf der Welt
etwa 564,6 Milliarden Lego steine.
– Kreuzen Sie diejenige Zahl an, die nicht diesem Wert entspricht. [1 aus 5]
0,5646 · 10
12
56 460 · 10
7
56,46 · 10
10
564,6 · 10
9
564 600 · 10
5
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Tobias spielt mit 5 Legosteinen: 2 Steine mit 3 Noppen in einer Reihe und 3 Steine mit
4 Noppen in einer Reihe (siehe nachstehende Abbildung).
Er zieht zufällig (also ohne die Anzahl der Noppen zu sehen oder zu ertasten) einen Lego-
stein nach dem anderen und legt sie aneinander. Er zieht so lange, bis die entstehende
Mauer mindestens 7 Noppen lang ist.
Das nachstehende Baumdiagramm zeigt seine möglichen Züge und die zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten.
1
1
4
1
2
1
2
2
5
3
5
3
4
– Beschreiben Sie, welches Ereignis E durch den fett gezeichneten Pfad beschrieben
wird.
Die Zufallsvariable X beschreibt die gesamte Anzahl der Noppen in der Mauer.
– Bestimmen Sie die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Baumdiagramms und
tragen Sie diese in der nachstehenden Tabelle ein.
x
i
7 8 10
P ( X = x
i
)
Die Zufallsvariable Y beschreibt die Anzahl der Züge, die Tobias benötigt, um eine Mauer
mit mindestens 7 Noppen zu erhalten.
– Berechnen Sie den Erwartungswert dieser Zufallsvariablen Y .
Lego 2
d) Legosteine unterscheiden sich in der Farbe und in der Anzahl der Noppen.
Es gelten folgende Bezeichnungen:
N … Menge aller Legosteine mit genau 6 Noppen
R … Menge aller Legosteine, die rot sind
– Beschreiben Sie die Bedeutung der Menge N ∩ R im gegebenen Sachzusammenhang.
– Beschreiben Sie die Bedeutung der Menge R \ N im gegebenen Sachzusammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Lego 3

Bienenwaben*
Aufgabennummer: B_404
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
Bienen bauen ihre Waben, indem sie mit einer einzigen sechseckigen Zelle (Anfangszelle)
starten und dann weitere sechseckige Zellen ringförmig um die erste Zelle bauen.
Anfangszelle 1. Ring 2. Ring
n = 1 n = 2
a) Die Anzahlen der Zellen in den jeweiligen Ringen bilden eine arithmetische Folge. Die An-
fangszelle wird dabei nicht als Ring gezählt.
– Geben Sie die ersten 4 Glieder dieser arithmetischen Folge an.
– Stellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz für diese arithmetische Folge auf.
– Stellen Sie ein explizites Bildungsgesetz für diese arithmetische Folge auf.
b) Mit der Formel s
n
= 1 + 3 ∙ n + 3 ∙ n
2
kann man berechnen, wie viele Zellen insgesamt bis
zum n -ten Ring gebildet worden sind.
Eine Wabe besteht aus insgesamt 271 Zellen.
– Ermitteln Sie, aus wie vielen Ringen diese Wabe besteht.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Auf einer Fläche von 1 dm
2
befinden sich durchschnittlich 850 Zellen. Eine Zelle enthält im
Mittel 0,3 Milliliter (ml) Honig mit einer Dichte von 1,4 g/ml. Die Masse ist das Produkt von
Volumen und Dichte.
– Berechnen Sie die Masse des Honigs, die man auf einer Fläche von 3 dm
2
erwarten
kann.
d) In der nachstehenden Abbildung ist die Entwicklung der Bienenvölker in Österreich darge-
stellt.
Bienenvölker in Österreich
Entwicklung 1990 – 2012
1990 1995 2000 2003 2006 2010 2011 2012
480 000
430 000
380 000
330 000
280 000
Anzahl der Bienenvölker
Jahr
Datenquelle: http://www.biene-oesterreich.at/struktur-der-bienenhaltung-in-oesterreich+2500+1135143?env=Y2Q9Mg
[20.04.2016].
Ein Betrachter der vorliegenden Darstellung behauptet: „Im Jahr 2010 gab es rund 3-mal
so viele Bienenvölker wie im Jahr 2006. Das erkenne ich daran, dass die Säule für das
Jahr 2010 rund 3-mal so hoch ist wie jene für das Jahr 2006.“
– Erklären Sie, warum diese Argumentation falsch ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Bienenwaben 2