Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5801–5850

Kinderlieder*
Aufgabennummer: B_511
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine Pädagogin fragt die 26 Kinder ihrer Gruppe, ob sie das Kinderlied Aramsamsam und ob
sie das Kinderlied Backe, backe Kuchen kennen.
7 Kinder kennen beide Kinderlieder.
Insgesamt 13 Kinder kennen das Kinderlied Aramsamsam .
3 Kinder kennen keines der beiden Kinderlieder.
a) Die Pädagogin wählt 2 verschiedene Kinder aus den 26 Kindern ihrer Gruppe zufällig aus.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder sowohl das Kinderlied
Aramsamsam als auch das Kinderlied Backe, backe Kuchen kennen.
2) Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen
Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
P ( E ) =
3
26
∙
2
25
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Tabelle sollen für diesen Sachverhalt die zugehörigen Prozentsätze
für die Gruppe von 26 Kindern eingetragen werden.
kennen genau eines der beiden Kinderlieder %
kennen beide Kinderlieder %
kennen keines der beiden Kinderlieder 11,54 %
1) Tragen Sie in der obigen Tabelle die beiden fehlenden Zahlen ein.
2) Vervollständigen Sie das nachstehende Kreisdiagramm so, dass es den durch die
Tabelle beschriebenen Sachverhalt wiedergibt.
Kinderlieder 2
c) 1) Vervollständigen Sie das nachstehende Venn-Diagramm durch Eintragen aller Anzahlen
in die dafür vorgesehenen Kästchen.
G ... Menge aller Kinder der
Gruppe
A ... Menge der Kinder, die
das Kinderlied Aram-
samsam kennen
B ... Menge der Kinder, die
das Kinderlied Backe,
backe Kuchen kennen
B A
G
2) Ermitteln Sie die Anzahl der Elemente der Menge ( A ∪ ∪ B ) \ ( A ∩ ∩ B ).
Mit den Kindern, denen beide Kinderlieder bekannt sind, singt die Pädagogin das bis da-
hin allen Kindern der Gruppe unbekannte Kinderlied Twinkle, twinkle, little star .
T ... Menge der Kinder, die das Kinderlied Twinkle, twinkle, little star mit der Pädagogin
singen
3) Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
T ⊆ ( A ∪ B )
T ⊆ ( A ∩ B )
T ⊆ ( G \ B )
T ⊈ ( B \ A )
T ⊈ ( A \ B )
Kinderlieder 3

Klassische Gitarre
Aufgabennummer: B_233
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Eine Gitarre wird standardmäßig gleichstufig (= gleichtemperiert) gestimmt. Dabei wird die Ok-
tave (= Tonumfang von 8 Tönen) in 12 identische Halbtonschritte aufgeteilt.
Halbtonschritt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Bezeichnung
des Tons
c
cis/
des
d
dis/
es
e f
fis/
ges
g
gis/
as
a
ais/
b
h
Die mathematische Vorschrift zur Bestimmung der Frequenz f der Töne auf der gesamten Ton-
leiter der gleichstufigen Stimmung ist eine geometrische Folge und lautet:
fi = f 0 ◊ 2
i
12
i … Anzahl der Halbtonschritte ausgehend vom gewählten Ausgangston (Das Vorzeichen von i
ist bei Tönen, die höher sind als der Ausgangston, positiv und bei Tönen, die tiefer sind als
der Ausgangston, negativ.)
f 0 … Frequenz eines beliebigen Ausgangstons in Hertz (Hz)
fi … Frequenz beim i -ten Halbtonschritt in Hz
a) Der gemeinsame Ton, auf den die Instrumente eines Ensembles gestimmt werden, ist
das eingestrichene „a“ mit einer Frequenz von 440 Hz („Kammerton“).
– Berechnen Sie mithilfe obenstehender Tabelle ausgehend vom Kammerton „a“ die
Frequenz des tieferen Tons „e“.
b) – Zeigen Sie anhand der Formel den Zusammenhang zwischen den Frequenzen zweier
Töne, die sich genau um 1 Oktave unterscheiden.
c) – Erstellen Sie eine Formel, mit der man ausgehend von einem beliebigen Ton mit der
Frequenz fn die Frequenz des nächsthöheren Halbtons berechnen kann.
d) Der tiefste Ton einer Gitarre ist das tiefe „E“ mit einer Frequenz von 82,41 Hz, der
höchste auf einer klassischen Gitarre spielbare Ton hat eine Frequenz von 987,77 Hz.
– Berechnen Sie, wie viele Halbtonschritte der Tonumfang einer klassischen Gitarre
umfasst.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Brettspiele*
Aufgabennummer: B_257
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 7
Brettspiele
Beim Würfeln mit einem fairen Spielwürfel treten die Augenzahlen 1 bis 6
jeweils mit gleicher Wahr scheinlichkeit auf.
a) Bei einem Brettspiel wird zu Beginn des Spiels mit einem fairen Spielwürfel gewürfelt.
Um das Spiel beginnen zu können, muss man einen Sechser würfeln. In einem Durchgang
hat man maximal 3 Versuche zur Verfügung. Sobald man einen Sechser gewürfelt hat, ist die
nächste Spielerin / der nächste Spieler an der Reihe.
− Stellen Sie alle möglichen Ausgänge („Sechser“ oder „kein Sechser“) für einen Durchgang
für eine Spielerin/einen Spieler in einem Baumdiagramm dar.
− Tragen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in das Baumdiagramm ein.
− Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Spielerin/ein Spieler in einem Durchgang
das Spiel beginnen kann.
b) Bei einem Brettspiel wird mit einem fairen Spielwürfel gewürfelt und man rückt mit der Spielfi-
gur so viele Felder vor, wie die gewürfelte Augenzahl angibt. Würfelt man im ersten Wurf einen
Sechser, so würfelt man ein zweites Mal und rückt die dabei gewürfelte Augenzahl zusätzlich
vor.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Felder, die man vorrücken darf.
− Stellen Sie eine Tabelle auf, der man alle möglichen Werte dieser Zufallsvariablen X und die
zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entnehmen kann.
− Berechnen Sie den Erwartungswert von X .
− Interpretieren Sie die Bedeutung des Erwartungswertes in diesem Sachzusammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* ehemalige Klausuraufgabe

Lernen*
Aufgabennummer: B_256
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 6
Lernen
a) In einer Schülergruppe wurden die jeweilige Lernzeit (in Minuten) und die erreichte Punktezahl
bei einer Leistungsüberprüfung notiert:
Lernzeit in Minuten 20 34 27 18 16 23 32 22
erreichte Punktezahl 64 84 88 72 61 70 92 77
− Ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen Regressionsgeraden. (Die erreichte Punktezahl
soll in Abhängigkeit von der Lernzeit beschrieben werden.)
− Interpretieren Sie die Steigung der Regressionsgeraden in diesem Sachzusammenhang.
− Berechnen Sie mithilfe dieses Modells, welche Punktezahl man erwarten kann, wenn man
30 Minuten lernt.
b) Die Vergessenskurve nach Ebbinghaus veranschaulicht, wie viel Wissen nach einer bestimmten
Zeit noch vorhanden ist.
Im Internet findet man dazu die folgende Grafik:
Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AVergessenskurve.png
Namensnennung: Rdb [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/
licenses/by-sa/3.0/)], via Wikimedia Commons [23.12.2014]
− Lesen Sie ab, nach welcher Zeit die korrekte Wiedergabe auf 30 % gesunken ist.
− Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der korrekten Wiedergabe im Zeitintervall von
20 Minuten bis 9 Stunden.
Aufgabe 6
Lernen
a) In einer Schülergruppe wurden die jeweilige Lernzeit (in Minuten) und die erreichte Punktezahl
bei einer Leistungsüberprüfung notiert:
Lernzeit in Minuten 20 34 27 18 16 23 32 22
erreichte Punktezahl 64 84 88 72 61 70 92 77
− Ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen Regressionsgeraden. (Die erreichte Punktezahl
soll in Abhängigkeit von der Lernzeit beschrieben werden.)
− Interpretieren Sie die Steigung der Regressionsgeraden in diesem Sachzusammenhang.
− Berechnen Sie mithilfe dieses Modells, welche Punktezahl man erwarten kann, wenn man
30 Minuten lernt.
b) Die Vergessenskurve nach Ebbinghaus veranschaulicht, wie viel Wissen nach einer bestimmten
Zeit noch vorhanden ist.
Im Internet findet man dazu die folgende Grafik:
Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AVergessenskurve.png
Namensnennung: Rdb [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/
licenses/by-sa/3.0/)], via Wikimedia Commons [23.12.2014]
− Lesen Sie ab, nach welcher Zeit die korrekte Wiedergabe auf 30 % gesunken ist.
− Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der korrekten Wiedergabe im Zeitintervall von
20 Minuten bis 9 Stunden.
* ehemalige Klausuraufgabe
4
c) Jugendliche wurden befragt, in welcher Körperhaltung sie Vokabeln lernen.
Folgende Kategorien standen zur Auswahl: sitzend ( S ), liegend ( L ) oder gehend ( G ).
Mehrfachnennungen waren möglich.
Im nachstehenden Venn-Diagramm sind die vollständigen Ergebnisse dieser Erhebung darge-
stellt:
– Kennzeichnen Sie die Menge (S
– Erklären Sie die Bedeutung der Null im oben stehenden Venn-Diagramm im Sachzusam-
– Lesen Sie aus dem oben stehenden Venn-Diagramm ab, wie viele Jugendliche sich nur für
eine Kategorie entschieden haben.
G)\L im oben stehenden Venn-Diagramm. ∪
men hang.
öffentliches Dokument
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben.
Lernen 2