Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5751–5800

Kindersport
Aufgabennummer: B_227
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
Kinder im Kindergarten- und Volksschulalter wurden befragt, welche Sportart sie am liebsten haben.
a) Die Befragung von Fünfjährigen
wurde in der nebenstehenden
Tabelle festgehalten.
– Erstellen Sie ein Mengen-
diagramm mithilfe der Daten
der Tabelle.
Sportart Anzahl der Meldungen
Schifahren ( SF ) gesamt 20
Schwimmen ( SW ) gesamt 28
Eislaufen ( EL ) gesamt 16
nur Schifahren und Eislaufen 5
nur Schwimmen und Eislaufen 3
nur Schifahren und Schwimmen 7
alle drei 4
– Geben Sie an, wie viele Kinder in dieser Gruppe insgesamt befragt wurden, wie viele nur eine
Sportart und wie viele mehr als eine Sportart gewählt haben.
b) Das Ergebnis der Befragung von Vierjährigen ist im nebenste-
henden Mengendiagramm grafisch dargestellt.
Sportarten: SF … Schifahren
SW … Schwimmen
EL … Eislaufen
– Beschreiben Sie mithilfe von Mengensymbolen den farbigen
Bereich des Mengendiagramms, der die von den Kindern
genannten Sportarten wiedergibt.
c) In einer Volksschule wurden 167 Burschen und 133 Mädchen nach der bevorzugten Sportart
befragt. Die Befragung hat das folgende Diagramm ergeben.
– Zeichnen Sie mithilfe der Daten aus dem Kreisdiagramm ein Säulen- oder Balkendiagramm mit
den absoluten Häufigkeiten.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
keine
4%
Tennis
2% Radfahren
11%
Volleyball
8%
Fußball
56%
Turnen
19%

Körpergröße von Kindern
Aufgabennummer: B-C9_03
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich

Die nachstehende Tabelle gibt die durchschnittlich gemessene Körpergröße am Ende eines
Lebensjahres von Buben im Kindesalter im Laufe ihrer Entwicklung an. Als Geburtsgröße wird
eine durchschnittliche Größe von 50 cm angenommen.
t … Alter in Jahren (a)
G … Körpergröße in Zentimetern (cm)
Δ G
Δ t
… jährliche Änderungsrate in cm/a
t in a G in cm
Δ G
Δ t
in cm/a
1 77 27
2 89 12
3 97 8
4 104 7
5 111 7
6 117 6
a) – Stellen Sie die Körpergröße G in Abhängigkeit vom Alter t als Punktediagramm in
einem Koordinatensystem dar.
– Ermitteln Sie den Zusammenhang der beiden Größen über eine lineare Regression
und zeichnen Sie die Trendlinie.
– Beschreiben Sie, was der Korrelationskoeffizient der ermittelten Funktion G aussagt.
b) – Argumentieren Sie, ob die mittlere jährliche Änderungsrate annähernd dem Gesetz einer
arithmetischen Folge, einer geometrischen Folge oder keiner von beiden gehorcht.
c) Die Körpergröße der Kinder ist näherungsweise normalverteilt. Buben im Alter von 8 Jahren
haben eine Körpergröße mit einem Erwartungswert von μ = 130 cm bei einer Standard-
abweichung von σ = 10 cm.
– Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Bub dieses Alters eine Körper-
größe zwischen 135 cm und 145 cm hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Seriationsmaterial
Aufgabennummer: B_242
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
In einem Kindergarten gibt es verschiedene Materialien, mit denen
die Kinder spielerisch Größenverhältnisse erforschen können.
Eines dieser Materialien besteht aus quadratischen Platten aus
festem Schaumstoff, deren Seitenlängen Sn eine geometrische
Folge bilden (Abb. 1). Jedes Quadrat berührt das nächstgrößere
mit seinen Eckpunkten genau im Mittelpunkt der Seiten.
Die größte Platte hat eine Seitenlänge von 1 Meter (m).
a) – Berechnen Sie die Seitenlänge der 2. Platte in Zentimetern (cm).
b) – Begründen Sie, warum der nachstehende Graph in Abb. 2 die geometrische Folge,
die in Abb. 1 dargestellt ist, beschreibt.
c) Ein Spielmaterial besteht aus Holzstäben, deren Länge jeweils um 5 cm zunimmt. Der
kürzeste Stab ist 10 cm lang.
– Erstellen Sie eine Formel, mit der man die Länge an eines beliebigen Stabes be-
rechnen kann.
– Beschreiben Sie alle Variablen, die in der Formel vorkommen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Abb. 1
Abb. 2

Weinbau (2)*
Aufgabennummer: B_413
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Aus nostalgischen Gründen werden in einem kleinen
Weingut Trauben der Sorte Welschriesling mit einer
renovierten Handpresse gepresst.
Der zylinderförmige Korb, in dem die Weintrauben gepresst
werden, hat dabei die folgenden Abmessungen:
Höhe h = 80 cm, Innenradius r = 42 cm.
– Überprüfen Sie nachweislich mithilfe der Volumsformel des Drehzylinders, ob die nach
stehenden Aussagen jeweils richtig sind.
Aussage 1: „Wäre die Presse 1,6 m hoch (bei gleichem Durchmesser), so würde sie
das doppelte Volumen fassen.“
Aussage 2: „Hätte die Presse einen Innenradius von 84 cm (bei gleicher Höhe), so
würde sie das doppelte Volumen fassen.“
Der Korb ist zu 95 % mit Trauben gefüllt. Aus diesen Trauben werden 350 Liter Trauben
most gepresst.
– Berechnen Sie den prozentuellen Anteil des Traubenmosts am ursprünglichen Volumen
der Trauben.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Während der Vergärung von Traubenmost zu Wein wird CO
2
gebildet. In der nachstehen
den Tabelle sind 6 Messwerte eines Ver gärungsprozesses angegeben.
Zeit in Sekunden CO
2
Druck in Kilopascal
0 90
100 100
200 115
300 135
400 155
500 190
Die Abhängigkeit des CO
2
Drucks von der Zeit soll beschrieben werden.
– Ermitteln Sie mithilfe der gegebenen Daten eine Gleichung der zugehörigen exponentiel
len Regressionsfunktion.
c) Weine der Sorten Zweigelt und Grüner Veltliner werden in Kisten zu 12 Flaschen und Kar
tons zu 6 Flaschen verkauft. Die Preise pro Flasche sind unabhängig von der Packungs
größe.
1 Kiste Zweigelt und 1 Karton Grüner Veltliner kosten insgesamt € 47,40.
2 Kisten Grüner Veltliner und 1 Karton Zweigelt kosten insgesamt € 72.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem der Preis für eine Flasche Zweigelt und der
Preis für eine Flasche Grüner Veltliner berechnet werden können.
– Berechnen Sie den Preis für eine Flasche Zweigelt und den Preis für eine Flasche Grüner
Veltliner .
Weinbau (2) 2
d) Der Wein wird mit einem manuellen Reihenfüller in Flaschen abgefüllt. Das Füllvolumen
der Flaschen kann dabei als annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert
μ = 1 005 Milli liter (ml) und der Standardabweichung σ = 5 ml angenommen werden.
– Ermitteln Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem 95 % der Füllvolumina
liegen.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Dichtefunktion dieser Normalverteilung
dargestellt.
990 1 000 1 010 1 020
Füllvolumen in ml
– Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
ausgewählte Flasche ein Füllvolumen von mindestens 1 000 ml hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Weinbau (2) 3

Spielefest (1)
Aufgabennummer: B_249
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Eine Praxisgruppe betreut ein Spielefest in einer Volksschulklasse, bei dem die Kinder ver-
schiedene Spielstationen besuchen können.
a) In einer Kiste befinden sich 10 rote und 40 weiße Kugeln. Jedes Kind darf 3-mal blind
hineingreifen und jeweils 1 Kugel herausholen. Dann werden die Kugeln für das
nächste Kind wieder hineingelegt.
Das nachstehende Baumdiagramm stellt diesen Sachverhalt für ein Kind dar.
– Kennzeichnen Sie im Baumdiagramm alle Möglichkeiten, 2 rote Kugeln ( R ) und 1 weiße
Kugel ( W ) zu ziehen.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind 3 rote Kugeln zieht.
b) Bei einer Station werfen die Kinder aus einer bestimmten Entfernung 5 Tennisbälle in
einen Kübel. Peter hat eine Trefferquote von 80 % pro Wurf.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Peter höchstens 4-mal trifft.
c) Beim Kirschkernweitspucken bekommt jedes Kind 2 Kirschen, deren Kerne es mög-
lichst weit spucken soll. Die Flugbahn eines Kirschkerns kann modellhaft mit einer Poly-
nomfunktion 2. Grades angenommen werden.
Thomas spuckt einen Kern aus einer Höhe von 1 m in einem Winkel von 45° nach oben
weg. Der Kern fällt nach 8 m zu Boden.
– Erstellen Sie eine Skizze der Flugbahn.
– Stellen Sie mithilfe der gegebenen Bedingungen ein Gleichungssystem auf, mit dem
die Funktionsgleichung für die Flugbahn berechnet werden kann.
– Ermitteln Sie die Funktionsgleichung.
R
R
R W R W
W R W
10
50
40
49
9
49
10
49
40
48
8
48
39
48
9
48
38
48
9
48
W
R W R W
40
50
39
49
10
48
39
48
Spielefest (1) 2
d) Beim Spielefest haben 24 Kinder mitgemacht. Insgesamt waren 18 Kinder beim Ball-
werfen (Menge BW ). Beim Kirschkernspucken (Menge KS ) waren insgesamt 14 Kinder.
10 Kinder waren sowohl beim Ballwerfen als auch beim Kirschkernspucken.
– Erstellen Sie ein Venn-Diagramm, das diesen Sachverhalt beschreibt.
– Lesen Sie aus diesem Diagramm ab, wie viele Kinder keine dieser beiden Spiel-
stationen besucht haben.
– Beschreiben Sie, was diese Mengenverknüpfungen im Sachzusammenhang aussagen:
(1) M 1 = KS \ BW
(2) M 2 = KS « BW
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Spracherwerb
Aufgabennummer: B_248
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Die Früh- und Kindergartenpädagogik beschäftigt sich mit der Sprachentwicklung von Kindern
im Vorschulalter.
a) In einem Kindergarten mit 220 Kindern wird die Verwendung der Sprachen Deutsch,
Englisch und Türkisch erhoben. 35 Kinder sprechen ausschließlich Deutsch. 76 Kinder
sprechen nur Deutsch und Englisch, 48 Kinder sprechen alle 3 Sprachen. Es gibt kein
Kind, das als einzige Sprache Englisch spricht. Insgesamt sprechen 95 Kinder Türkisch,
174 Kinder Deutsch und 155 Kinder Englisch.
– Veranschaulichen Sie die Verteilung der Sprachen mithilfe eines vollständig ausge-
füllten Venn-Diagramms.
– Ermitteln Sie, wie viele Kinder keine der 3 Sprachen sprechen.
b) In der nachstehenden Abbildung werden sowohl die österreichweiten Ergebnisse einer
Sprachtestung an Vorschulkindern als auch die Ergebnisse eines Übungskindergartens
dargestellt.
Ist die beim Test erreichte Punktezahl kleiner als 10, besteht sonderpädagogischer
Förderbedarf.
– Lesen Sie den Median für die österreichweiten Ergebnisse ab.
– Ermitteln Sie die Spannweite für die österreichweiten Ergebnisse.
– Begründen Sie, warum die folgende Aussage in einer Zeitung nicht aus dem Boxplot
der gesamtösterreichischen Ergebnisse geschlossen werden kann: „In Österreich
haben nur 20 % aller Vorschulkinder sprachlichen Förderbedarf.“
– Vergleichen Sie die österreichweiten Ergebnisse mit jenen des Übungskindergartens
bezüglich des Anteils der Kinder mit Förderbedarf.
Spracherwerb 2
c) Es wird vermutet, dass der Zweitspracherwerb beim Kind umso erfolgreicher verläuft, je
besser das Kind seine Erstsprache (Muttersprache) beherrscht.
In einer Vorschulgruppe wurden dazu 12 zweisprachige Kinder in ihrer Muttersprache
und ihrer Zweitsprache getestet. Bei den Tests waren jeweils 20 Punkte maximal er-
reichbar. Das Ergebnis der beiden Tests ist in der nachstehenden Tabelle und in der
unten stehenden Abbildung dargestellt:
Punkte
Erstsprache
5 8 9 12 12 13 15 16 17 18 18 19
Punkte
Zweitsprache
4 7 6 7 11 13 8 12 8 11 15 12
– Bestimmen Sie die Regressionsgerade.
– Zeichnen Sie die Regressionsgerade im obigen Koordinatensystem ein, sodass die
Erstsprache die unabhängige und die Zweitsprache die abhängige Variable ist.
– Beurteilen Sie den Wert des Korrelationskoeffizienten im Sachzusammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Stadtlauf (1)
Aufgabennummer: B_245
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
In einer Stadt findet jährlich ein Laufwettbewerb statt.
a) Eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern einer Maturaklasse hat am Stadtlauf teil-
genommen. In der folgenden Tabelle sind ihre Laufzeiten in Minuten aufgelistet:
46 50 43 49 59 61
53 54 53 56 67 39
– Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Laufzeiten.
– Begründen Sie, warum der Median gegenüber extremen Einzelwerten („Ausreißern“)
stabiler ist als das arithmetische Mittel.
b) Die nachstehende Grafik zeigt einen Boxplot über die Laufzeiten aller Teilnehmer/innen
des Stadtlaufs. Die Laufzeiten sind in Minuten angegeben.
– Lesen Sie die ungefähren Werte der 5 Kenngrößen des Boxplots ab.
– Interpretieren Sie anhand der abgelesenen Kenngrößen das obere Quartil in Bezug
auf die erreichten Laufzeiten.
– Begründen Sie, warum man anhand des Boxplots keine Aussage über die Anzahl der
Teilnehmer/innen machen kann.
c) Erfahrungsgemäß nehmen etwa 6,3 % der Hobbyläufer/innen Dopingmittel.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mit der mindestens
1 Person Dopingmittel verwendet hat, wenn n zufällig ausgewählte Personen getestet
werden.
Stadtlauf (1) 2
d) Sabine und Tobias absolvieren
ein Trainingsprogramm für den
nächsten Stadtlauf.
Sabines tägliches Training ist
für einen Zeitraum von 9 Wo-
chen in der nebenstehenden
Grafik dargestellt.
Tobias beginnt ebenfalls mit
2 km täglich und erhöht seine
Laufstrecke jede Woche um
30 % in Bezug auf den jeweils
vorigen Wert.
– Erstellen Sie mithilfe der Grafik eine Formel für Sabines Trainingsprogramm.
– Erstellen Sie eine Formel, mit der Sie die Laufstrecke von Tobias nach beliebig vielen
Wochen berechnen können.
– Zeichnen Sie das Trainingsprogramm von Tobias in die Grafik ein.
– Lesen Sie ab, in welcher Trainingswoche Sabine und Tobias ungefähr das gleiche
Laufpensum absolvieren.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Wintersportwoche
Aufgabennummer: B_243
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
a) Die Teilnehmer/innen einer Wintersport-
woche können sich für eine oder zwei
Sportarten entscheiden.
Vier Sportarten stehen zur Auswahl.
Im nebenstehenden Venn-Diagramm ist
dargestellt, wie sich die Schüler/innen einer
Schule entschieden haben.
– Lesen Sie aus dem Diagramm ab,
wie viele Schüler/innen insgesamt an
der Sportwoche teilnehmen.
– Lesen Sie ab, wie viele Schüler/innen
Schifahren gewählt haben.
– Kennzeichnen Sie die Menge aller
Schüler/innen, die Schifahren oder
Snowboarden, aber nicht Langlaufen
gewählt haben.
b) Sabine wartet an der Talstation einer 6er-Sesselbahn auf ihre Gruppe. Sie beobachtet,
wie viele Personen jeweils auf einem Sessel sitzen.
Die Beobachtung der Belegung von 100 aufeinanderfolgenden 6er-Sesseln einer Ses-
selbahn ist in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst:
Anzahl der Sessel 1 3 7 11 29 34 15
Personenbelegung pro 6er-Sessel 0 1 2 3 4 5 6
– Erstellen Sie ein Säulen- oder Balkendiagramm zur Darstellung der erfassten Daten.
c) Die fortgeschrittenen Snowboarder/innen vergnügen sich in einem Obstacle-Course.
Der Querschnitt eines Hindernisses wird durch die Funktion h modelliert.
h ( x ) = (5,69 · 10
– 4
) · x
4
– (9,1 · 10
– 3
) · x ² mit –9 ≤ x ≤ 9
x … Koordinate der Querschnittsgrundlinie in Metern (m)
h ( x ) … Höhe an der Stelle x in Metern (m)
– Zeichnen Sie den Funktionsgraphen der Funktion h .
– Berechnen Sie die Steigung an der Stelle x = 8.
Schifahren
Langlaufen
Schneeschuh-
wandern
Snowboarden
49
21
4
13
10
8
6
24
Wintersportwoche 2
d) Eine schwarze Piste für geübte Schifahrer/innen hat ein durchschnittliches Gefälle von
60 %.
– Erklären Sie anhand einer Skizze, was dieser Wert bedeutet.
– Berechnen Sie den durchschnittlichen Steigungswinkel dieser Piste.
– Überprüfen Sie anhand eines selbst gewählten Beispiels, ob ein doppelt so großes
Gefälle auch einen doppelt so großen Steigungswinkel bedeutet.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.