Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5701–5750

Ressourcen*
Aufgabennummer: B_512
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Im Zeitraum von 1970 bis 2010 hat der jährliche globale Rohstoffverbrauch von 22 Milliarden
Tonnen auf 70 Milliarden Tonnen zugenommen.
1
Im selben Zeitraum hat sich die Weltbevölkerung auf 7 Milliarden verdoppelt.
a) 1) Berechnen Sie auf Basis dieser Angaben den durchschnittlichen jährlichen Rohstoffver-
brauch pro Person im Jahr 1970.
Die zeitliche Entwicklung des globalen Rohstoffverbrauchs kann durch eine arithmetische
Folge oder durch eine geometrische Folge modelliert werden.
Im Modell A wird das jährliche prozentuelle Wachstum bezogen auf das jeweilige Vorjahr
als konstant angenommen.
2) Erstellen Sie für das Modell A ein explizites Bildungsgesetz für den globalen Rohstoff-
verbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr
2010.
Im Modell B wird das jährliche absolute Wachstum als konstant angenommen.
3) Erstellen Sie für das Modell B ein rekursives Bildungsgesetz für den globalen Rohstoff-
verbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr
2010.
Für das Jahr 2050 wird ein jährlicher globaler Rohstoffbedarf von 180 Milliarden Tonnen
angenommen.
4) Tragen Sie die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene Kästchen ein.
180 Milliarden Tonnen = 1,8 ∙ 10 kg
* ehemalige Klausuraufgabe
1
Vgl. http://derstandard.at/2000041471018/Weltweiter-Rohstoffverbrauch-seit-1970-mehr-als-verdreifacht
[26.11.2020].
b) Die zeitliche Entwicklung des jährlichen globalen Rohstoffverbrauchs kann durch die streng
monoton steigende lineare Funktion g oder durch die streng monoton steigende Exponen-
tialfunktion h modelliert werden (siehe nachstehende Abbildung).
g ( t ), h ( t ) in Milliarden Tonnen
t in Jahren
g
h
70
22
2010 1970
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zu-
treffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Für
1
von g und h gilt:
2
.
1
genau 1 Stelle
genau 2 Stellen
mehr als 2 Stellen
2
g ( t ) = h ( t ) = 0
g ′ ( t ) = h ′ ( t )
g ″ ( t ) = h ″ ( t )
Ressourcen 2
c) Die zeitliche Entwicklung des jährlichen globalen Rohstoffverbrauchs kann durch verschie-
dene Polynomfunktionen modelliert werden.
1) Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils den entsprechenden Funktionsgraphen aus
A bis D zu.
Für alle t mit
2010 < t < 2050 gilt:
f ″ ( t ) > 0
Für genau ein t mit
1970 < t < 2050 gilt:
f ′ ( t ) = 0 und f ″ ( t ) < 0
A
f ( t )
t
1970 2010 2050
f
B
1970 2010 2050
f
f ( t )
t
C
1970 2010 2050
f
f ( t )
t
D
1970 2010 2050
f
f ( t )
t
Ressourcen 3

Ferienwohnungen / Haupttermin 2023 / B_585 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 18 /24 3. Mai 2023 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP
Aufgabe 7
Ferienwohnungen
Im Zuge der Urlaubsplanung vergleicht Familie Hadek verschiedene Angebote für Ferienwohnungen.
a) Die 1. Woche in der Ferienwohnung Rosenhof kostet 1.200 Euro.
Jede weitere Woche kostet um 10 % weniger als die vorangegangene Woche.
Die Kosten der n -ten Woche können durch eine Folge beschrieben werden.
1) Geben Sie an, ob es sich dabei um eine arithmetische oder eine geometrische Folge handelt.
Begründen Sie Ihre Entscheidung. [0 / 1 P.]
2) Erstellen Sie ein explizites Bildungsgesetz für diese Folge. [0 / 1 P.]
3) Berechnen Sie die Kosten für die 4. Woche in dieser Ferienwohnung. [0 / 1 P.]
b) Die jeweiligen Kosten der n -ten Woche in den Ferienwohnungen Seeblick und Bergschlössl
können durch Folgen beschrieben werden.
Die 1. Woche in der Ferienwohnung Bergschlössl kostet 1.750 Euro.
Jede weitere Woche ist um 100 Euro billiger als die jeweils vorangegangene Woche.
Die 1. Woche in der Ferienwohnung Seeblick kostet 1.450 Euro.
Jede weitere Woche ist um 50 Euro billiger als die jeweils vorangegangene Woche.
1) Ordnen Sie den beiden Ferienwohnungen jeweils den zutreffenden Zusammenhang aus
A bis D zu. [0 / 1 P.]
Bergschlössl
Seeblick
A ( an ) mit an
= an
+ 1
– 100
B ( bn ) mit bn
+ 1
= bn
– 3
– 200
C ( cn ) mit cn
+ 2
= cn
+ 1
+ 50
D ( dn ) mit dn
– 1
= dn
+ 1
+ 200
2) Erstellen Sie ein explizites Bildungsgesetz für die Kosten der n -ten Woche in der Ferien-
wohnung Bergschlössl . [0 / 1 P.]
3) Ermitteln Sie für die Ferienwohnung Bergschlössl diejenige Woche, die erstmals um
mindestens 25 % billiger als die 1. Woche ist. [0 / 1 P.]
Ferienwohnungen / Haupttermin 2023 / B_585 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2023 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP S. 19 /24
c) Im Ferienort Almdorf werden Ferienwohnungen mit verschiedenen Ausstattungen angeboten.
45 Ferienwohnungen verfügen über eine Waschmaschine.
62 Ferienwohnungen verfügen über einen Balkon.
20 Ferienwohnungen verfügen über eine Sauna.
Jede Ferienwohnung verfügt über mindestens eine der obigen Ausstattungen.
Im nachstehenden Venn-Diagramm sollen die Ferienwohnungen im Ferienort Almdorf nach
ihren Ausstattungen eingeteilt werden.
B
W S
41
3
6
0
W ... Menge der Ferienwohnungen, die über
eine Waschmaschine verfügen
B ... Menge der Ferienwohnungen, die über
einen Balkon verfügen
S ... Menge der Ferienwohnungen, die über
eine Sauna verfügen
1) Tragen Sie im obigen Venn-Diagramm die fehlenden Anzahlen in die dafür vorgesehenen
Kästchen ein. [0 / 1 P.]
Familie Hadek möchte eine Ferienwohnung im Ferienort Almdorf, die über einen Balkon und
eine Waschmaschine verfügt. Ob die Ferienwohnung über eine Sauna verfügt, ist Familie
Hadek egal.
2) Berechnen Sie, wie viel Prozent der Ferienwohnungen im Ferienort Almdorf für Familie
Hadek infrage kommen. [0 / 1 P.]
Im Ferienort Buchensee verfügt jede Ferienwohnung über mindestens 2 der obigen Aus-
stattungen.
3) Markieren Sie im nachstehenden Venn-Diagramm denjenigen Bereich, in dem die Ferien-
wohnungen im Ferienort Buchensee enthalten sind. [0 / 1 P.]
B
W S

Blockflöte
Aufgabennummer: B_239
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Die Blockflöte ist ein Holzblasinstrument.
a) Für die Qualität des Klanges ist die Länge einer Blockflöte sehr wichtig. Die Längen der
produzierten Blockflöten können annähernd als normalverteilt angenommen werden.
Die unten blau dargestellte Fläche entspricht der Wahrscheinlichkeit der Sigmaumge-
bung um den Erwartungswert ( μ ± σ ).
– Lesen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung aus der Grafik ab.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge einer Blockflöte kleiner als
46,9 cm ist.
b) Die Tonhöhe eines Tones, der mit einer Holzblockflöte erzeugt wird, ändert sich mit der
Temperatur. Die Tonhöhenänderung wird in Cent angegeben.
Eine Messung hat folgende Werte ergeben:
Temperatur in °C 19 21 24 25 29 31
Tonhöhenänderung in Cent 0 6 15 18 30 36
Der Zusammenhang zwischen Temperatur und Tonhöhenänderung soll mithilfe einer
Funktion modelliert werden.
T … Temperatur in °C
f ( T ) … Tonhöhenänderung in Cent bei der Temperatur T in °C
– Zeichnen Sie die in der Tabelle gegebenen Datenpunkte in ein geeignetes Koordina-
tensystem.
Länge in cm
Blockflöte 2
– Kreuzen Sie diejenige Funktion an, die den Zusammenhang korrekt beschreibt. [1 aus 5]
f ( T ) = 3 T – 57 ☐
f ( T ) = –3 T + 19 ☐
f ( T ) = 6 T + 19 ☐
f ( T ) = 6 T + 57 ☐
f ( T ) = 3 T + 19 ☐
– Erklären Sie, warum die Messdaten durch ein lineares und nicht durch ein exponen-
tielles Modell beschrieben werden können.
c) Die Schallgeschwindigkeit beeinflusst die Tonhöhe der Blockflöte. Der Zusammenhang
zwischen der Schallgeschwindigkeit und der Temperatur kann durch die folgende
Funktion c dargestellt werden:
c ( T ) = 331,5 ∙ 1 +
T
273,15
T ... Temperatur in °C
c ( T ) ... Schallgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) bei einer Temperatur T in °C
– Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Schallgeschwindigkeit von 19 °C bis
35 °C.
– Dokumentieren Sie, wie man die Steigung der Tangente an die Funktion c an der
Stelle T = 20 °C berechnen kann.
d) In einer Schulklasse von 31 Schülerinnen/Schülern spielen 15 Blockflöte, 12 Querflöte
und 14 Gitarre. 6 Schüler/innen spielen Blockflöte und Querflöte, 7 spielen Querflöte
und Gitarre, 5 spielen Blockflöte und Gitarre. 4 Schüler/innen spielen sowohl Blockflöte
als auch Querflöte und Gitarre.
B ... Menge der Schüler/innen, die Blockflöte spielen
Q ... Menge der Schüler/innen, die Querflöte spielen
G ... Menge der Schüler/innen, die Gitarre spielen
– Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm, das den beschriebenen Sachverhalt darstellt.
Blockflöte 3
– Ordnen Sie den beiden angegebenen Mengen jeweils die zutreffende Aussage aus
A bis D zu. [2 zu 4]
B \ ( Q ⋃ G ) ▆
A
die Menge der Schüler/innen, die
Gitarre oder Querflöte, aber nicht
Blockflöte spielen
B
die Menge der Schüler/innen, die
Querflöte und Blockflöte, aber
nicht Gitarre spielen
( B ⋂ Q ) \ G ▆
C
die Menge der Schüler/innen, die
Querflöte, aber nicht Gitarre und
nicht Blockflöte spielen
D
die Menge der Schüler/innen, die
Blockflöte, aber nicht Querflöte
und nicht Gitarre spielen
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Kinderhort
Aufgabennummer: B_234
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In einem Kinderhort sind 36 Kinder für die Nachmittagsbetreuung angemeldet. 22 Kinder kom-
men aus der Volksschule, 7 aus der Neuen Mittelschule (NMS), 4 aus der AHS-Unterstufe und
3 aus der Sonderschule.
a) – Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten der Kinder aus den verschiedenen Schulen.
– Erstellen Sie ein geeignetes Diagramm, das die Schultypen der Kinder wiedergibt.
b) An einem bestimmten Tag sind beim Mittagessen 26 Kinder anwesend. Es gibt als Mittag-
essen Nudelsuppe, Schnitzel und Obst. Im untenstehenden Venn-Diagramm ist darge-
stellt, wie sich die Kinder ihr Menü zusammenstellen. Es gibt kein Kind, das überhaupt
nichts isst.
6 2
0
0
10 1
Schnitzel Suppe
Obst
– Vervollständigen Sie das obige Mengendiagramm durch Eintragen der fehlenden Anzahl.
– Ermitteln Sie, wie viele Portionen Suppe, Hauptspeise und Nachspeise verzehrt wurden,
wenn auch die beiden Hortpädagoginnen alle 3 Gerichte essen.
c) An einem anderen Tag notiert ein Praktikant, wie viele Minuten die Kinder für die Haus-
übung brauchen:
70, 32, 25, 15, 18, 20, 60, 22, 15, 30, 27, 30, 60, 12, 33, 75, 33, 35, 40, 48, 30, 20, 65,
10, 35, 95, 18, 32, 23, 29, 24
– Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, den Median, die Standardabweichung und die
Quartile.
– Argumentieren Sie, ob in diesem Fall das arithmetische Mittel oder der Median aussage-
kräftiger ist.
d) Unter den Hortkindern aus der NMS und der AHS werden 2 Karten für ein Konzert ver-
lost. Ein Kind darf höchstens 1 Karte gewinnen.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
(1) beide Kinder, die eine Konzertkarte gewinnen, aus der NMS sind,
(2) das 1. Kind, das bei der Verlosung gewinnt, aus der AHS und das 2. Kind, das bei
der Verlosung gewinnt, aus der NMS ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Kinderhort 2