Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5501–5550

Diätplan
Aufgabennummer: A_134
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Zu Beginn einer Diät beträgt die Körpermasse einer Person 110,7 kg.
a) Die Hausärztin empfiehlt im Rahmen der Diät eine kontinuierliche Abnahme von 600 g pro
Woche, bis eine Körpermasse von 86 kg erreicht ist.
– Erklären Sie, mit welchem mathematischen Modell sich die Körper masse im Verlauf der
Diät beschreiben lässt.
– Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis das Diät-Ziel erreicht ist, wenn die Empfehlung
der Hausärztin eingehalten wird.
b) Die Person folgt einem speziellen Diätplan. Um den Verlauf dieses Diätplans zu dokumentie-
ren, wurden folgende Werte erhoben:
Zeit seit Beginn der Diät
in Wochen
Körpermasse in kg
6 101,6
10 98,0
Die Werte der Körpermasse im Verlauf der Diät können näherungsweise durch die
Funktion m beschrieben werden.
m ( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c mit 0 ≤ t ≤ 15
t ... Zeit seit Beginn der Diät in Wochen
m ( t ) ... Körpermasse in kg nach t Wochen
– Erstellen Sie mithilfe der Tabellenwerte und der Körpermasse zu Beginn der Diät ein Glei-
chungssystem zur Ermittlung der Koeffizienten a , b und c .
– Berechnen Sie die Koeffizienten a , b und c .
c) Der Body-Mass-Index (BMI) ist eine Maßzahl für die Bewertung der Körpermasse eines
Menschen in Relation zu seiner Körpergröße. Es gilt:
BMI =
m
l
2
m ... Körpermasse in kg
l ... Körpergröße in m
– Berechnen Sie, wie viel Kilogramm die Person abnehmen muss, wenn sie eine Körper -
größe von 186 cm hat und einen BMI von 22 kg/m
2
erreichen will.
– Begründen Sie anhand der angegebenen Formel, warum auch der BMI um 10 % sinkt,
wenn die Körpermasse um 10 % abnimmt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Diätplan 2

Natur in Zahlen
Aufgabennummer: A_136
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Bestimmte Tropfsteine wachsen mit einer Geschwindigkeit von etwa 0,8 mm pro Jahr.
In Mexiko gibt es eine Höhle mit Riesenkristallen, die Schätzungen zufolge mit einer Ge-
schwindigkeit von 1,4 ∙ 10
–5
nm pro Sekunde gewachsen sind.
Jemand behauptet, dass die Tropfsteine um mehr als 1 500-mal schneller wachsen als die
Riesenkristalle.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Behauptung zutrifft.
b) Das Volumen eines Baumstamms kann mithilfe der folgenden Methode
abgeschätzt werden:
Vereinfacht wird der Stamm als Drehkegel betrachtet. Man ermittelt
die Höhe H des Stamms und misst außerdem den Stammdurch-
messer d in der Höhe h über dem Boden (siehe nebenstehende
Skizze). Aus diesen 3 Größen kann das Volumen V des Drehkegels
berechnet werden.
H
d
h
– Stellen Sie mithilfe von d , h und H eine Formel für V auf.
V =
Der General Sherman Tree ist – bezogen auf den Stamm – der volumenmäßig größte leben-
de Baum der Erde. Der Stamm ist 83,8 m hoch und hat in 1,37 m Höhe einen Durchmes-
ser von 7,7 m.
– Schätzen Sie mithilfe der oben beschriebenen Methode das Volumen dieses Stamms.
c) Erdmännchen sind Raubtiere, die im südlichen Afrika leben. Es wird angenommen: In freier
Wildbahn beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jungtier überlebt, unabhängig voneinan-
der 25 %.
In einer Erdmännchen-Kolonie werden 20 Jungtiere geboren.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 30 % davon überleben.
Ein Erdmännchen-Weibchen bringt 3 Jungtiere zur Welt.
– Ordnen Sie den beiden Wahrscheinlichkeiten jeweils das passende Ereignis aus A bis D
zu. [2 zu 4]
P ( E ) = 0,25
3
P ( E ) = 1 – 0,25
3
A E = „alle 3 Jungtiere überleben“
B E = „keines der Jungtiere überlebt“
C E = „mindestens 1 Jungtier überlebt“
D E = „mindestens 1 Jungtier überlebt nicht“
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Natur in Zahlen 2

Marillenernte
Aufgabennummer: A_139
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In einer bestimmten Region werden Marillen geerntet.
a) Man geht davon aus, dass in dieser Region 12 % der Marillen Schäden aufweisen.
– Beschreiben Sie ein Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrschein-
lichkeit durch den Ausdruck
( )
50
3
∙ 0,12
3
∙ 0,88
47
berechnet wird.
Aus der gesamten Ernte wird eine Zufallsstichprobe von n Stück Marillen ausgewählt.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung folgender Wahrscheinlichkeit:
P („keine der ausgewählten Marillen weist Schäden auf“) =
b) Eine mehrjährig laufende Untersuchung zur Erntequalität von Marillen in dieser Region
ergab unterschiedliche Ergebnisse bei den Sorten A und B . Der relative Anteil schadhafter
Marillen an der gesamten Ernte pro Erntejahr und Sorte ist in den nachstehenden Boxplots
veranschaulicht.
Anteil schadhafter Marillen in Prozent
16 14 12 10 8 6 4 2 0 18
B
A
– Kreuzen Sie diejenige Aussage an, die aufgrund der obigen Boxplots sicher richtig ist.
[1 aus 5]
Insgesamt waren in keinem Jahr weniger als 4 % der Marillen in dieser Region
schadhaft.
Bei Sorte B waren in mehr Erntejahren mindestens 6 % der Marillen schadhaft
als bei Sorte A .
Bei beiden Sorten waren in mindestens der Hälfte der Erntejahre mindestens
12 % der Marillen schadhaft.
Bei Sorte A waren in mindestens
3
4
der Erntejahre höchstens 14 % der Marillen
schadhaft.
In jedem Erntejahr waren zumindest bei einer der beiden Sorten weniger als
16 % der Marillen schadhaft.
c) Die Masse der pro Jahr verkauften Marillen X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert
μ = 16 Tonnen und der Standardabweichung σ = 0,06 Tonnen.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr höchstens 15,9 Tonnen Maril-
len verkauft werden.
– Ordnen Sie den gekennzeichneten Flächen jeweils die entsprechende Wahrscheinlichkeit
aus A bis D zu. [2 zu 4]
Masse in t
16,2 16,15 16,1 16,05 16 15,8 15,95 15,9 15,85 16,25
Masse in t
16,2 16,15 16,1 16,05 16 15,8 15,95 15,9 15,85 16,25
A 1 – P ( X ≥ 16,05)
B P ( X ≥ 16,05)
C 1 – 2 ∙ P ( X ≥ 16,05)
D P ( X ≤ 15,95) – P ( X ≤ 16,05)
d) Ein Obstbauer hat 30 Tonnen Marillen geerntet. 75 % seiner diesjährig geernteten Marillen
sind einwandfrei und können direkt verkauft werden. 15 % der schadhaften Marillen können
zur Herstellung von Marillenschnaps verwendet werden. Alle übrigen Marillen sind Abfall.
– Berechnen Sie, wie viel Prozent der Ernte Abfall ist.
1 kg einwandfreier Marillen kann um € 1,50 und 1 kg Marillen zum Schnapsbrennen kann
um € 0,40 verkauft werden.
– Berechnen Sie die Einnahmen des Obstbauern.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Marillenernte 2

Dinosaurier / A_142 / Übungsaufgabe S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Dinosaurier
a) Um das Körpervolumen eines Dinosauriers zu schätzen, werden Messungen an dessen
Skelett durchgeführt. Die Form des Körperquerschnitts wird dann – wie in der nachstehenden
Abbildung dargestellt – mithilfe einer Funktion f modelliert:
f ( x ) = 1 – a ∙ x
2
mit a > 0
Der Graph von f bildet die obere Begrenzung des Körperquerschnitts, die untere Begrenzung
verläuft dazu symmetrisch bezüglich der x -Achse.
Für die Bestimmung von a ist das Verhältnis von Breite zu Tiefe des Körpers des untersuchten
Dinosauriers ausschlaggebend.
1) Zeigen Sie, dass bei der Modellierung des Körperquerschnitts mithilfe der Funktion f gilt:
Breite : Tiefe =
1
a

Zur Berechnung der Körperquerschnittsfläche mithilfe des Integrals wird eine Stammfunktion
von f benötigt.
2) Stellen Sie eine Gleichung derjenigen Stammfunktion F von f auf, für die gilt: F (0) = 0
Quelle: Etemenanki3 – own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.
wikimedia.org/wiki/File:Diplodocus_longus_Denver_1.jpg
[15.01.2020].
y
x
f
0
0
Breite
Tiefe
Dinosaurier / A_142 / Übungsaufgabe S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
b) Aus der Körperlänge L (in Metern) eines Dinosauriers kann mithilfe der nachstehenden Formel
seine Körpermasse M (in Kilogramm) geschätzt werden.
M = a ∙ L
b
Die Werte der Parameter a und b haben für verschiedene Gruppen von Dinosauriern
unterschiedliche Werte. Für zwei dieser Gruppen sind die Werte in der nachstehenden Tabelle
angegeben.
Gruppe a b
Prosauropoden 12,32 2,40
Theropoden 0,73 3,63
Der Tyrannosaurus Rex gehört zur Gruppe der Theropoden.
1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Formel die Masse (in Tonnen) eines 13 m langen
Tyrannosaurus Rex.
Für die Gruppe der Prosauropoden kann die Formel folgendermaßen angeschrieben werden:
M = 12,32 ∙

5
L
2) Ergänzen Sie den fehlenden Exponenten in der obigen Formel im dafür vorgesehenen
Kästchen.
Dinosaurier / A_142 / Übungsaufgabe S. 3/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
c) Die nachstehende Abbildung zeigt die vermutliche Wachstumskurve für einen
durchschnittlichen Tyrannosaurus Rex. Sie stellt die Körpermasse in Abhängigkeit vom
Lebensalter dar.
24 20 16 12 8 4 0 28
Körpermasse in kg
Alter in Jahren
4 000
3 000
2 000
1 000
0
5 000
Einer der 5 Graphen in der nachstehenden Abbildung stellt die zugehörige momentane
Änderungsrate der Körpermasse richtig dar.
1) Kreuzen Sie den richtigen Graphen an. [1 aus 5]
Graph (1)
Graph (2)
Graph (3)
Graph (4)
Graph (5)
24 20 16 12 8 4 0 28
momentane Änderungsrate der
Körpermasse in kg/Jahr
Alter in
Jahren
1 000
750
500
250
0
2 750
2 500
2 250
2 000
1 750
1 500
1 250
3 000
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

WM-Abfahrt / A_146 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
WM-Abfahrt
Die alpine Skiweltmeisterschaft 2015 fand in Vail/Beaver Creek (USA) statt.
a) Bei der 2 623 m langen Abfahrt der Herren betrug die Siegerzeit 1 Minute und
43,18 Sekunden. Der beste Österreicher hatte auf den Sieger einen Rückstand von
92 Hundertstelsekunden.
1) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Siegers in km/h.
2) Berechnen Sie, um wie viel Promille der beste Österreicher langsamer als der Sieger war.
b) Das größte Gefälle der Abfahrtsstrecke Birds of Prey beträgt 45 %. In der nachstehenden
Abbildung ist dieses Gefälle durch ein Steigungsdreieck veranschaulicht.
1) Kreuzen Sie den auf die Seitenlängen a und b zutreffenden Zusammenhang an. [1 aus 5]
a
b
= 0,45
b
a
= 45
b =
45
100
· a
b = a ∙ tan(45°)
arctan
(
b
a
)
= 45°
a
b
WM-Abfahrt / A_146 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
c) Die Geschwindigkeit eines bestimmten Rennläufers auf einem Teilabschnitt der
Abfahrtsstrecke kann näherungsweise durch die Funktion v beschrieben werden.
v ( t ) = –0,05 ∙ t
2
+ 4,51 ∙ t – 69,6 mit 30 ≤ t ≤ 60
t … Zeit in s
v ( t ) … Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion v dargestellt.
1) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Weg, den der Rennläufer in
diesem Teilabschnitt zurücklegt.
Die mittlere Geschwindigkeit v im Zeitintervall [ a ; b ] kann durch die nachstehende Formel
berechnet werden.
v =
1
b – a
∫
b
a
v ( t ) d t
2) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Rennläufers im Zeitintervall [30; 60].
40
30
20
10
0
–10
10 20 30 40 50 60 70 80
v ( t ) in m/s
t in s
v

Zimt
Aufgabennummer: A_164
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Zimt ist eines der ältesten bekannten Gewürze und wird aus der getrockneten Rinde von Zimt-
bäumen gewonnen.
a) Zimt gibt Feuchtigkeit ab. Werden die Zimtstangen in geschlossenen Containern transpor-
tiert, so steigt der Feuchtigkeitsgehalt im Behälter, was zu einer Beeinträchtigung der Qua-
lität führen kann. Die in einem bestimmten Container gemessene relative Luftfeuchtigkeit
kann näherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden:
f ( t ) = 30 ∙ ( 1 – ℯ
– t
2 ) + b
t ... Zeit nach Verschluss des Containers in Wochen
f ( t ) ... relative Luftfeuchtigkeit zur Zeit t in Prozent
b ... Parameter (in Prozent)
– Ermitteln Sie unter Verwendung des nachstehend abgebildeten Graphen der Funktion f
den Parameter b .
f ( t ) in Prozent
t in Wochen
70
60
50
40
30
20
10
0
80
5 4 3 2 1 0 6
f
– Beschreiben Sie die Bedeutung des Parameters b im gegebenen Sachzusammenhang.
b) Zimt wird in speziellen Mühlen zur gewünschten Korngröße vermahlen. Die Durchmesser
der Körner nach dem Mahlvorgang sind annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert
μ = 175 μm und der Standardabweichung σ = 35 μm.
– Ermitteln Sie, wie viel Prozent aller Körner einen Durchmesser zwischen 100 μm und
250 μm haben.
Durch einen Verarbeitungsfehler hat sich der Erwartungswert der Durchmesser (bei gleich-
bleibender Standardabweichung) auf den Wert μ
1
= 180 μm verschoben.
– Erläutern Sie anhand einer geeigneten Skizze der Gauß’schen Glockenkurve, ob der
Prozentsatz der Körner mit einem Durchmesser zwischen 100 μm und 250 μm dadurch
kleiner wird, größer wird oder gleich bleibt.
c) Für die Qualitätsprüfung „rinnt“ das gemahlene Gewürz aus einer Abfüllanlage und bildet
einen Schüttkegel. Das Zimtpulver bildet dabei annähernd einen Drehkegel mit einem Öff-
nungswinkel von 86° (siehe nachstehende Abbildung).
d
h
86°
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Höhe h aus dem Durchmesser d des
Grundkreises.
h =
d) Das Zimtpulver wird in einer Anlage automatisch in Säckchen verpackt. Aus Erfahrung weiß
man, dass 2 % der Säckchen nicht korrekt verschlossen sind. Eine Zufallsstichprobe von
50 Säckchen wird kontrolliert.
– Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrschein-
lichkeit mit dem folgenden Ausdruck berechnet wird:
P(E) = 0,98
50
+ 50 ∙ 0,02 ∙ 0,98
49
+
( )
50
2
∙ 0,02
2
∙ 0,98
48
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Zimt 2

Entwicklung von Katzen und Hunden*
Aufgabennummer: A_098
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Viele Tiere altern schneller als Menschen. Ein 9 Jahre alter großer Hund ist beispielsweise
etwa so „alt“ wie ein 80-jähriger Mensch. Für einige Haustiere ist der Zusammenhang
zwischen Tieralter und Menschenalter in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Menschenalter in Jahren
Tieralter in Jahren
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 20
100
80
60
40
20
0
120
kleiner Hund
großer Hund
Katze
Für eine Katze kann der Zusammenhang zwischen dem Tieralter in Jahren und dem
Menschenalter in Jahren in einem bestimmten Bereich durch eine lineare Funktion K be-
schrieben werden:
K ( t ) = k · t + d
t ... Tieralter in Jahren mit t ≥ 2
K ( t ) ... das dem Tieralter t der Katze entsprechende Menschenalter in Jahren
1) Erstellen Sie unter Zuhilfenahme von 2 Punkten aus der obigen Grafik eine Gleichung
der linearen Funktion K für t ≥ 2.
* ehemalige Klausuraufgabe
Für einen kleinen Hund kann dieser Zusammenhang durch eine lineare Funktion H model-
liert werden:
H ( t ) = k
1
· t + d
1
t ... Tieralter in Jahren mit t ≥ 2
H ( t ) ... das dem Tieralter t des kleinen Hundes entsprechende Menschenalter in Jahren
2) Geben Sie an, welcher Zusammenhang zwischen den Parametern k und k
1
besteht.
Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe der obigen Abbildung.
b) Bei einer Studie wurde die Körpermasse von ausgewachsenen Katzen einer bestimmten
Rasse als annähernd normalverteilt mit einem Erwartungswert von μ = 3,6 kg und einer
Standardabweichung von σ = 0,7 kg angenommen.
Die schwersten 10 % der ausgewachsenen Katzen wurden in dieser Studie als über -
gewichtig bezeichnet.
1) Bestimmen Sie diejenige Körpermasse, ab der eine ausgewachsene Katze in dieser
Studie als übergewichtig bezeichnet wurde.
Entwicklung von Katzen und Hunden 2

Baumhaus*
Aufgabennummer: A_116
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Eine Familie plant, ein Baumhaus aus Holz zu errichten. Der Baum dafür steht in einem
horizontalen Teil des Gartens.
a) Eine 3,2 m lange Leiter wird angelehnt und reicht dann vom Boden genau bis zum Einstieg
ins Baumhaus in einer Höhe von 2,8 m.
1) Berechnen Sie denjenigen Winkel, unter dem die Leiter gegenüber dem horizontalen
Boden geneigt ist.
b) Die Fenster des Baumhauses sollen eine spezielle Form haben (siehe grau markierte
Fläche in der nachstehenden Abbildung).
f ( x ) in cm
x in cm
f
40 0
40
0
Die obere Begrenzungslinie des Fensters kann näherungsweise durch den Graphen der
Funktion f beschrieben werden.
f ( x ) = –0,003 · x
3
+ 0,164 · x
2
– 2,25 · x + 40 mit 0 ≤ x ≤ 40
x , f ( x ) ... Koordinaten in cm
1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Fensterfläche in der dargestellten Form kleiner
als die Fensterfläche eines quadratischen Fensters mit der Seitenlänge 40 cm ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Das Baumhaus wird mit gewellten Kunststoffplatten überdacht.
Dem Querschnitt liegt der Graph der Funktion f mit f ( x ) = cos( x ) zugrunde. Dieser ist in
der nachstehenden Abbildung dargestellt.
f ( x )
f
x in rad
0
1) Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene
Kästchen ein.
In der nachstehenden Abbildung ist ein Winkel α im Einheitskreis dargestellt.
y
x
1
–1
–1 1
α
2) Zeichnen Sie im obigen Einheitskreis denjenigen Winkel β ein, für den gilt:
sin( β ) = sin( α ) mit β ≠ α und 0° ≤ β ≤ 360°.
Baumhaus 2

Kontrolle der Geschwindigkeit*
Aufgabennummer: A_117
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem bestimmten Abschnitt der Westautobahn ein Fahr
zeug mit überhöhter Geschwindigkeit unterwegs ist, beträgt 4 %.
Eine Zufallsstichprobe von 1 500 Fahrzeugen wird überprüft.
Die binomialverteilte Zufallsvariable X gibt die Anzahl derjenigen Fahrzeuge an, die dort mit
überhöhter Geschwindigkeit unterwegs sind.
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass genau a Fahr
zeuge dieser Zufallsstichprobe mit überhöhter Geschwindigkeit unterwegs sind.
P ( X = a ) =
b) Es wird angenommen, dass die Geschwindigkeiten der Fahrzeuge an einer bestimmten
Stelle, an der die erlaubte Höchstgeschwindigkeit 50 km/h beträgt, annähernd normal
verteilt sind.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
Geschwindigkeit in km/h
80 60 40 20 30 50 70 90
1) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass die Ge
schwindigkeit mehr als 15 km/h über der erlaubten Höchstgeschwindigkeit von
50 km/h liegt.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Der nachstehend dargestellte Graph zeigt annähernd den Geschwindigkeitsverlauf eines
im Stadtgebiet fahrenden Autos.
Zeit in s
40 35 30 25 20 15 10 5 0 45
20
15
10
5
0
Geschwindigkeit in m/s
1) Ermitteln Sie näherungsweise die Länge des im Zeitintervall [0; 45] zurückgelegten
Weges.
2) Lesen Sie die Höchstgeschwindigkeit des Autos ab. Geben Sie das Ergebnis in km/h an.
Kontrolle der Geschwindigkeit 2

Eiffelturm*
Aufgabennummer: A_287
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Der Eiffelturm ist ein Wahrzeichen der Stadt Paris.
a) Die Metallkonstruktion des Eiffelturms hat eine Masse von 7 300 Tonnen, das sind
7,3 ∙ 10 Kilogramm.
1) Tragen Sie den fehlenden Exponenten in das obige Kästchen ein.
Die Masse m ist das Produkt aus Dichte ϱ und Volumen V , also m = ϱ · V .
Das Metall des Eiffelturms hat eine Dichte von 7 800 kg/m
3
.
Die Grundfläche des Eiffelturms ist quadratisch und hat eine Seitenlänge von 125 m.
Stellen Sie sich vor, die Metallkonstruktion des Eiffelturms würde eingeschmolzen und zu
einem Quader mit der gleichen Grundfläche gegossen.
2) Berechnen Sie die Höhe dieses Quaders in Zentimetern.
b) Im Jahr 1950 besuchten rund 1 027 000 Personen den Eiffelturm, im Jahr 1980 waren es
rund 3 594 000 Personen.
Für den Zeitraum von 1950 bis 1980 kann die Anzahl der Personen, die den Eiffelturm pro
Jahr besuchten, näherungsweise durch eine lineare Funktion b beschrieben werden.
t … Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1950
b ( t ) … Anzahl der Personen, die den Eiffelturm pro Jahr besuchten, zur Zeit t
1) Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion b . Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1950.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Von Punkt P aus sieht man den höchsten Punkt des H Meter hohen Eiffelturms unter dem
Höhenwinkel α und die h Meter hohe Spitze unter dem Sehwinkel β (siehe nachstehende
Abbildung).
β
α
h
H
d
P
1) Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen
Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht. [Lückentext]
Die Höhe
1
ist durch den Ausdruck
2
gegeben.
1
H
h
H – h
2
d ∙ tan( α + β )
d ∙ tan( α – β )
d ∙ tan( β )
Eiffelturm 2

Fressverhalten von Furchenwalen*
Aufgabennummer: A_288
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Bei einem Beutestoß nehmen Furchenwale mit weit geöffnetem Maul eine große Menge
Meerwasser und die darin enthaltene Beute auf. Forscher/innen beobachteten dieses
Fress verhalten. Sie ermittelten mithilfe von Sensoren die Geschwindigkeit des Furchenwals
bei einem Beutestoß, die Größe der Maulöffnung und das gesamte Wasservolumen, das
dabei aufgenommen wird.
Datenquelle: Goldbogen, Jeremy A.: Schwieriger Krillfang der Wale. In: Spektrum der Wissenschaft November 2010, S. 60 – 67.
a) Die Geschwindigkeit eines Furchenwals bei einem Beutestoß, der insgesamt 20 s dauert,
kann näherungsweise durch die Funktion v beschrieben werden (siehe nachstehende Ab
bildung).
Geschwindigkeit in m/s
v
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 20
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
3,5
Zeit seit Beginn des Beutestoßes in s
1) Schätzen Sie die Länge s desjenigen Weges ab, der bei diesem Beutestoß zurück
gelegt wird.
s ≈ m
Ein Forscher behauptet:
„Der Furchenwal erreicht bei diesem Beutestoß eine maximale Geschwindigkeit von
15 km/h.“
2) Weisen Sie nach, dass diese Behauptung falsch ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Größe der Maulöffnung bei einem Beutestoß eines Furchenwals kann näherungsweise
durch die Funktion m beschrieben werden:
m ( t ) =
1
175
∙ (–17 ∙ t
4
+ 204 ∙ t
3
– 922,5 ∙ t
2
+ 1 863 ∙ t ) mit 0 ≤ t ≤ 6
t ... Zeit seit Beginn des Öffnens des Mauls in s
m ( t ) ... Größe der Maulöffnung zur Zeit t in m
2
1) Ermitteln Sie die maximale Größe der Maulöffnung.
Fressverhalten von Furchenwalen 2
c) Die Funktion w beschreibt näherungsweise das gesamte Wasservolumen, das ein Furchen
wal während eines Beutestoßes aufnimmt (siehe nachstehende Abbildung).
w ( t ) in m
3
t in s
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70
w
t ... Zeit seit Beginn der Wasseraufnahme in s
w ( t ) ... gesamtes aufgenommenes Wasservolumen bis zur Zeit t in m
3
1) Kreuzen Sie den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion w ′ an. [1 aus 5]
w ′ ( t ) in m 3 /s
t in s
6 5 4 3 2 1 0
0
–10
–20
–30
–40
–50
–60
10
w ′ ( t ) in m 3 /s
t in s
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70 w ′ ( t ) in m 3 /s
t in s
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70 w ′ ( t ) in m
3
/s
t in s
6 5 4 3 2 1 0
60
50
40
30
20
10
0
70 w ′ ( t ) in m 3 /s
t in s
Fressverhalten von Furchenwalen 3

Kochzeit von Eiern*
Aufgabennummer: A_289
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Physiker Werner Gruber hat mit Hühnereiern experimentiert.
Er hat festgestellt, dass die Kochzeit von Eiern
unter anderem abhängt von:
d
• dem Durchmesser d des Eies (siehe nebenstehende Abbildung)
• der Lagertemperatur x vor dem Kochen
Datenquelle: Gruber, Werner: Die Genussformel. Kulinarische Physik. Salzburg: Ecowin 2008, S. 79 – 84.
a) Ein Ei soll weich gekocht werden. Die Kochzeit kann in Abhängigkeit vom Durchmesser d
unter bestimmten Bedingungen näherungsweise durch die quadratische Funktion W be-
schrieben werden:
W ( d ) = a ∙ d
2
d ... Durchmesser des Eies in mm
W ( d ) ... Kochzeit bei einem Durchmesser d in min
a ... positiver Parameter
Bei einem Durchmesser von 45 mm ergibt sich eine Kochzeit von 5 min.
1) Ermitteln Sie den Parameter a .
Zwei Eier mit unterschiedlichen Durchmessern werden weich gekocht. Der Durchmesser
von Ei B ist um 10 % größer als der Durchmesser von Ei A .
2) Zeigen Sie, dass die Kochzeit von Ei B um mehr als 10 % länger ist als die Kochzeit
von Ei A .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die quadratische Funktion Z beschreibt näherungsweise die Kochzeit für ein weich ge-
kochtes Ei in Abhängigkeit von der Lagertemperatur:
Z ( x ) = –0,024 ∙ x
2
– 2,16 ∙ x + 252
x ... Lagertemperatur in °C
Z ( x ) ... Kochzeit bei der Lagertemperatur x in s
Ein Ei wird anstatt bei einer Temperatur von 4 °C (Kühlschranktemperatur) bei einer Tem-
peratur von 20 °C (Raumtemperatur) gelagert.
1) Ermitteln Sie, um wie viele Sekunden die Kochzeit dadurch kürzer ist.
Kochzeit von Eiern 2
c) Die Kochzeit für weich gekochte Eier ist unter bestimmten Bedingungen annähernd normal-
verteilt mit dem Erwartungswert μ = 5,5 min und der Standardabweichung σ = 0,35 min.
1) Ermitteln Sie dasjenige um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die
Kochzeit für ein zufällig ausgewähltes Ei mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
Die Kochzeit für hart gekochte Eier ist unter bestimmten Bedingungen annähernd normal-
verteilt mit dem Erwartungswert μ = 9 min und der Standardabweichung σ = 0,5 min. Der
Graph der zugehörigen Dichtefunktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Kochzeit für hart gekochte Eier in min
10,5 10 9,5 9 8,5 8 7,5 7 11
X ... Kochzeit für hart gekochte Eier in min
2) Kreuzen Sie die auf diese Dichtefunktion nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
P ( X ≥ 9) = 0,5
P ( X ≥ 10) = P ( X ≤ 8)
P (8,5 ≤ X ≤ 9,5) ≈ 0,68
P (8 ≤ X ≤ 10) = 1 – P ( X ≥ 10)
P (7 ≤ X ≤ 11) ≈ 1
Kochzeit von Eiern 3

Standseilbahnen*
Aufgabennummer: A_290
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die Wägen von Standseilbahnen fahren auf Schienen und können große Steigungen be
wältigen.
a) Eine bestimmte Standseilbahn hat eine konstante Steigung von 40 %. Der Streckenverlauf
dieser Bahn soll im unten stehenden Koordinatensystem dargestellt werden.
Die beiden Achsen des Koordinatensystems haben die gleiche Skalierung.
Die Talstation der Bahn liegt im Koordinatenursprung. Nur einer der Punkte A , B , C , D und E
kommt als Bergstation der Bahn infrage.
Talstation
A
E
D
C
B
horizontale Entfernung von der Talstation
Höhenunterschied zur Talstation
1) Kreuzen Sie denjenigen Punkt an, der als Bergstation infrage kommt. [1 aus 5]
A
B
C
D
E
2) Berechnen Sie, welchen Höhenunterschied ein Wagen dieser Bahn überwindet, wenn
er von der Talstation bis zur Bergstation eine Fahrstrecke von 180 m zurücklegt.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Bei den meisten Standseilbahnen gibt es in der Mitte der Strecke eine Ausweichstelle, bei
der der talwärts fahrende Wagen dem bergwärts fahrenden Wagen ausweichen kann.
In der nachstehenden Abbildung ist eine solche Ausweichstelle modellhaft dargestellt.
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1
2
3
f
y in m
x in m
Der Funktionsgraph von f schließt an den Stellen 0 und 3 knickfrei an die eingezeichneten
Geradenstücke an. „Knickfrei“ bedeutet, dass die Funktionen an denjenigen Stellen, an
denen ihre Graphen aneinander anschließen, den gleichen Funktionswert und die gleiche
Steigung haben.
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = a ∙ x ³ + b ∙ x ² + c ∙ x + d
x , f ( x ) … Koordinaten in m
Die Koeffizienten a , b , c und d können mithilfe eines linearen Gleichungssystems berech-
net werden. Der Ansatz für zwei der benötigten Gleichungen lautet:
27 ∙ a + 9 ∙ b + 3 ∙ c + d =
27 ∙ a + 6 ∙ b + c =
1) Vervollständigen Sie mithilfe der obigen Abbildung die beiden Gleichungen, indem Sie
jeweils die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene Kästchen schreiben.
2) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Wert des Koeffizienten d ab.
c) Der Umsatz des Weltmarktführers im Seilbahnbau betrug im Geschäftsjahr 2015/16 rund
834 Millionen Euro und lag somit um 5,04 % über dem Umsatz im Geschäftsjahr 2014/15.
1) Berechnen Sie den Umsatz im Geschäftsjahr 2014/15 in Millionen Euro.
Standseilbahnen 2