Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5451–5500

Trinkwasser / Wintertermin 2022 / A_311 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP S. 7 /18
Aufgabe 3
Trinkwasser
a) Ein Teil des Wiener Trinkwassers wird über die II. Wiener Hochquellenleitung aus dem
Hochschwabgebiet nach Wien geleitet. Das Gefälle dieser Leitung beträgt durchschnittlich
rund 2,1 ‰.
Eine der nachstehenden Abbildungen veranschaulicht ein Gefälle von 2,1 ‰.
1) Kreuzen Sie die zutreffende Abbildung an. [1 aus 5] [0 / 1 P.]
210 m
100 km
2,1 cm
100 m
1 m
1,021 m
0,21 m
1 m
0,21°
Durch die II. Wiener Hochquellenleitung fließen pro Tag durchschnittlich 210 000 m
3
Wasser.
2) Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Wasser durchschnittlich pro Sekunde durch die
II. Wiener Hochquellenleitung fließen. [0 / 1 P.]
Trinkwasser / Wintertermin 2022 / A_311 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP S. 8 /18
b) Der pH-Wert des Trinkwassers wird regelmäßig überprüft. Der pH-Wert ist folgendermaßen
defi niert:
pH = –log10( a )
a … Wasserstoffi onen-Aktivität ( a > 0)
Der Ausdruck –log10( a ) soll umgeformt werden.
1) Vervollständigen Sie die nachstehende Umformung durch Eintragen in die beiden Kästchen.
–log10( a ) = log10
(
a
)
= log10
(
1
)
[0 / 1 P.]
Ein pH-Wert von 6,5 entspricht einer Wasserstoffi onen-Aktivität von 10
–6,5
.
Die Zahl 10
–6,5
kann auch in der Form

10
z
geschrieben werden, wobei z eine ganze Zahl ist.
2) Geben Sie diese Zahl z an.
z = [0 / 1 P.]
c) In der nachstehenden Abbildung ist der Querschnitt eines Trinkbrunnens mit Wasserbecken
schematisch dargestellt.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
2
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
y in cm
x in cm
P
Wasserbecken
Der Wasserstrahl kann vom Austritt im Punkt P bis zum Auftreffen auf das Wasserbecken
näherungsweise durch den Graphen einer quadratischen Funktion f beschrieben werden.
1) Skizzieren Sie den Graphen einer solchen Funktion f vom Austritt bis zum Auftreffen auf
das Wasserbecken, wenn gilt: f ′ (10) = 0 und f ″ (10) < 0. [0 / 1 P.]

Patchwork
Aufgabennummer: A_072
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Beim Patchwork werden Stoffstücke zusammengenäht und auf diese Weise neue Textilien
angefertigt. Ein Handarbeitsgeschäft bietet Patchworkkurse an.
a) Eine Patchworkarbeit enthält gleichschenkelige, rechtwinkelige Stoffdreiecke mit einer
Kathetenlänge von 4 cm. Um die Dreiecke zusammennähen zu können, müssen sie jedoch
größer zugeschnitten werden. Der zusätzliche Rand ist auf allen Seiten 7 mm breit (siehe
nachstehende Abbildung, Maße in Millimetern).
7
40
a
b
– Weisen Sie nach, dass gilt: a = 7 mm und b = 7 ∙

2 mm
– Berechnen Sie Länge der Hypotenuse des zugeschnittenen Stoffdreiecks.
b) Für eine Decke stehen 12 verschiedene Farben zur Auswahl. Die 5 teilnehmenden Perso-
nen wählen unabhängig voneinander jeweils eine Farbe aus. (Dabei kann eine Farbe auch
von mehreren Personen gewählt werden.)
– Ordnen Sie den beiden Ausdrücken jeweils dasjenige Ereignis aus A bis D zu, dessen
Wahrscheinlichkeit damit berechnet wird. [2 zu 4]
12
12
∙
11
12
∙
10
12
∙
9
12
∙
8
12
12 ∙ (
1
12
)
5
A
Alle Personen wählen
unterschiedliche Farben.
B
Alle Personen wählen die
gleiche Farbe.
C
Mindestens 2 Personen
wählen die gleiche Farbe.
D
Höchstens 2 Personen
wählen die gleiche Farbe.
c) Für einen neuen Kursraum werden n Stück Nähmaschinen benötigt. Der Preis einer solchen
Maschine beträgt exklusive 20 % Mehrwertsteuer p Euro. Es wird ein Mengenrabatt von
r % gewährt.
– Erstellen Sie aus n , p und r eine Formel zur Berechnung der Anschaffungskosten K inklu-
sive Mehrwertsteuer (in Euro).
K =
d) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Kostenfunktion für die Abhaltung eines
Kurses dargestellt.
10 5 0 15
1 500
1 250
1 000
750
500
250
0
1 750
Gesamtkosten in €
Anzahl der Teilnehmer/innen
– Ermitteln Sie, welche zusätzlichen Kosten pro teilnehmender Person anfallen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Patchwork 2

Das perfekte Ei / A_073 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Das perfekte Ei
a) Der österreichische Physiker Werner Gruber entwickelte folgende Formel für das Kochen von
Eiern:
t = 0,0016 ∙ d
2
∙ ln (
2 ∙ ( T
S
– T
A
)
T
S
– T
Ei
)
t … Kochzeit des Eies in min
T
A
… Ausgangstemperatur des Eies in °C
T
S
… Siedetemperatur des Wassers in °C
T
Ei
… gewünschte Innentemperatur des Eies in °C
d … Durchmesser des Eies an der dicksten Stelle in mm
Die Siedetemperatur des Wassers nimmt mit steigender Seehöhe (Höhe über dem
Meeresspiegel) ab. Eine Höhenzunahme um 300 m bewirkt dabei eine Abnahme der
Siedetemperatur um jeweils 1 °C.
1) Ergänzen Sie die fehlende Zahl in der nachstehenden Formel zur Berechnung der
Siedetemperatur.
T
S
= ∙ h + 100
h … Seehöhe in m
Ein bestimmtes Ei hat an der dicksten Stelle einen Durchmesser von 44 mm und eine
Ausgangstemperatur von 5 °C. Es soll auf einer Seehöhe von 160 m eine Innentemperatur
von 82 °C erreichen.
2) Berechnen Sie die dafür erforderliche Kochzeit in Minuten und Sekunden.
Das perfekte Ei / A_073 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
In der Formel zur Berechnung der Kochzeit kommt der nachstehende Ausdruck vor:
ln
(
2 ∙ ( T
S
– T
A
)
T
S
– T
Ei
)
3) Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der zu diesem Ausdruck äquivalent
(gleichwertig) ist. [1 aus 5]
ln
(
2 ∙ T
A
T
Ei
)
2 ∙ ln
(
T
S
– T
A
T
S
– T
Ei
)
ln(2) +
ln( T
S
)
ln( T
A
)
–
ln( T
S
)
ln( T
Ei
)
ln(2) + ln( T
S
– T
A
) – ln( T
S
– T
Ei
)
ln(2) + ln( T
S
) – ln( T
A
) – ln( T
S
) + ln( T
Ei
)
b) Im Kühlschrank liegt eine Packung mit 10 Eiern, deren Mindesthaltbarkeitsdatum stark
überschritten ist. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass jedes dieser Eier mit einer
Wahrscheinlichkeit von 15 % verdorben ist.
1) Stellen Sie ein Formel zur Berechnung der folgenden Wahrscheinlichkeit auf:
P („es sind genau a Eier der 10er-Packung verdorben“) =

Basketball
Aufgabennummer: A_081
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Beim Basketball versuchen die Spieler/innen, den Ball in den Korb der gegnerischen Mann-
schaft zu werfen.
a) Beim Freiwurf wird der Ball von der Freiwurflinie aus geworfen. Die Mitte des Korbrings hat
von der Freiwurflinie eine waagrechte Entfernung von 4,191 m und ist in 3,05 m Höhe mon-
tiert. Die Flugbahn des Basketballs bei einem bestimmten Freiwurf kann annähernd durch
die Funktion h beschrieben werden:
h ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
x … waagrechte Entfernung von der Freiwurflinie in m
h ( x ) … Höhe des Balles in der Entfernung x in m
Der Ball wird aus 2 m Höhe geworfen und fällt mit einem
Einfallswinkel von 32° genau durch die Mitte des Korbrings
(siehe nebenstehende Abbildung).
h ( x ) in m
x in m
32°
3
2
1
0
4
4 3 2 1 0
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b und c .
b) Bei besonders gelungenen Würfen fällt der Ball ohne
Berührung des Korbrings ins Netz. Der kleinste
Einfallswinkel α , bei dem dies möglich ist, ist in der
nebenstehenden Abbildung dargestellt.
(Die „Dicke“ des kreisförmigen Korbrings wird bei dieser
Überlegung vernachlässigt.)
α
– Erstellen Sie aus dem Durchmesser d des Balles und dem Durchmesser D des Korbrings
eine Formel zur Berechnung von α .
α =
c) Laut Vorgabe des Weltbasketballverbands FIBA darf bei Wettkämpfen der Umfang des
(kugelförmigen) Balles nicht weniger als 749 mm und nicht mehr als 780 mm betragen.
– Berechnen Sie, um wie viel dm
3
sich das Volumen des größten erlaubten Balles von je-
nem des kleinsten erlaubten Balles unterscheidet.
d) Auf der Basis von statistischen Aufzeichnungen geht man davon aus, dass ein bestimmter
Spieler bei jedem Freiwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 87,7 % in den Korb trifft. Der
Spieler wettet, dass er bei 10 Freiwürfen mindestens 9 Treffer erzielt.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler die Wette verliert.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Basketball 2

Immobilienmarkt / A_083 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Immobilienmarkt
a) In zwei Wohnblöcken wurden die Nutzflächen der Wohnungen vermessen:
Wohnblock 1 Wohnblock 2
Nutzfläche Anzahl der Wohnungen
45 m
2
13
60 m
2
13
80 m
2
7
95 m
2
16
150 m
2
4
Nutzfläche Anzahl der Wohnungen
45 m
2
5
60 m
2
10
80 m
2
10
95 m
2
3
150 m
2
2
Diese Daten können auf unterschiedliche Arten grafisch dargestellt werden.
1) Ordnen Sie den beiden Wohnblöcken jeweils die passende grafische Darstellung aus
A bis D zu.
2) Berechnen Sie für den Wohnblock 1 das arithmetische Mittel der Nutzflächen.
Wohnblock 1
Wohnblock 2
A
60 m
2
80 m
2
95 m
2
150 m
2
45 m
2
15 10 5 0 20
Anzahl der Wohnungen
B
45 m
2
60 m
2
80 m
2
150 m
2
95 m
2
C
120 100 80 60 40 20 0 140
Nutzfläche in m
2
D
120 100 80 60 40 20 0 140
Nutzfläche in m
2
Immobilienmarkt / A_083 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
b) In einer Wohnungsanzeige ist der Grundrissplan einer Wohnung abgebildet. Dieser wurde im
Maßstab 1 : m angefertigt. Ein rechteckiger Raum dieser Wohnung hat in diesem Plan eine
Länge von a cm und eine Breite von b cm.
1) Stellen Sie mithilfe von a , b und m eine Formel zur Berechnung des tatsächlichen
Flächeninhalts A dieses Raums in m
2
auf.
A =
c) Die Miete für ein Büro beträgt 1.350 Euro pro Monat. Dieser Betrag soll folgendermaßen auf
4 Mieterinnen aufgeteilt werden:
Mieterin B zahlt ein Drittel des Betrags von Mieterin A . Mieterin C zahlt um 50 Euro mehr als
Mieterin A . Mieterin D zahlt die Hälfte des Betrags von Mieterin C .
1) Stellen Sie eine Gleichung zur Berechnung des Betrags von Mieterin A auf.
2) Berechnen Sie den Betrag von Mieterin A .

Erwärmung von Substanzen
Aufgabennummer: A_096
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine Substanz wird aus dem Kühlschrank (Temperatur T
1
) genommen und in einen Raum mit
der Umgebungstemperatur T
2
gebracht. Der zeitliche Verlauf der Temperatur dieser Substanz
kann näherungsweise durch die Funktion T beschrieben werden:
T ( t ) = T
2
– ( T
2
– T
1
) ∙ 0,94
t
mit T
2
> T
1
t … Zeit seit der Entnahme aus dem Kühlschrank in min
T ( t ) … Temperatur zur Zeit t in °C
a) – Ordnen Sie den beiden Ausdrücken jeweils die zutreffenden Eigenschaften aus A bis D
zu. [2 zu 4]
( T
2
– T
1
) ∙ 0,94
t
T
2
– ( T
2
– T
1
) ∙ 0,94
t
A
Der Ausdruck ist für alle t ∈ ℝ
+
positiv.
Der Ausdruck wird mit zunehmender Zeit t
immer größer.
Für t = 0 hat der Ausdruck den Wert T
2
.
Für t → ∞ nähert sich der Ausdruck der Zahl 0.
B
Der Ausdruck ist für alle t ∈ ℝ
+
positiv.
Der Ausdruck wird mit zunehmender Zeit t
immer kleiner.
Für t = 0 hat der Ausdruck den Wert 0.
Für t → ∞ nähert sich der Ausdruck der Zahl T
1
.
C
Der Ausdruck ist für alle t ∈ ℝ
+
positiv.
Der Ausdruck wird mit zunehmender Zeit t
immer größer.
Für t = 0 hat der Ausdruck den Wert T
1
.
Für t → ∞ nähert sich der Ausdruck der Zahl T
2
.
D
Der Ausdruck ist für alle t ∈ ℝ
+
positiv.
Der Ausdruck wird mit zunehmender Zeit t
immer kleiner.
Für t = 0 hat der Ausdruck den Wert T
2
– T
1
.
Für t → ∞ nähert sich der Ausdruck der Zahl 0.
b) In der folgenden Berechnung wurde ein Fehler gemacht:
T
2
– ( T
2
– T
1
) ∙ 0,94
t
= T
2
– T
2
+ T
1
∙ 0,94
t
= T
1
∙ 0,94
t
– Erklären Sie, welcher Fehler gemacht wurde.
c) Die Substanz muss bei einer Temperatur von 13 °C weiterverarbeitet werden.
– Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis die Substanz nach Entnahme aus dem Kühl-
schrank diese Temperatur erreicht hat, wenn T
1
= 6 °C und T
2
= 24 °C beträgt.
d) Die Funktion T kann auch in der folgenden Form angegeben werden:
T ( t ) = T
2
– ( T
2
– T
1
) ∙ ℯ
– λ ∙ t
– Berechnen Sie λ .
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der die 1. Ableitung von T richtig angibt. [1 aus 5]
T ′ ( t ) = λ ∙ ( T
2
– T
1
) ∙ ℯ
– λ ∙ t
T ′ ( t ) = – λ ∙ ( T
2
– T
1
) ∙ ℯ
– λ ∙ t
T ′ ( t ) = –( T
2
– T
1
) ∙ ℯ
– λ ∙ t
T ′ ( t ) = – λ ∙ ( T
2
– T
1
) ∙ ℯ
– λ ∙ t – 1
T ′ ( t ) = λ ∙ ( T
2
– T
1
) ∙ ℯ
– λ ∙ t – 1
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Ausdrucks T ′ (5) im gegebenen Sachzusammen-
hang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
e) Ergänzen Sie die fehlende Zahl in der nachstehenden Funktionsgleichung so, dass die
Funktion T
neu
einen Erwärmungsvorgang beschreibt, der langsamer verläuft als der durch
die Funktion T beschriebene.
T
neu
( t ) = T
2
– ( T
2
– T
1
) ∙
t
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Erwärmung von Substanzen 2

Schiefe Türme
Aufgabennummer: A_112
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Einer Legende zufolge soll Galileo Galilei am Schiefen Turm von Pisa Fallversuche durchge-
führt haben.
Der beim freien Fall zurückgelegte Weg einer Kugel kann näherungsweise mit der Funkti-
on s beschrieben werden:
s ( t ) = 5 ∙ t
2
t … Zeit ab dem Loslassen der Kugel in s
s ( t ) … bis zur Zeit t zurückgelegter Weg in m
Eine Kugel wird aus 55 m Höhe fallen gelassen. Die Funktion h beschreibt die Höhe h ( t ) der
Kugel über dem Boden (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden).
– Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion h .
– Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Kugel beim Aufprall auf den Boden.
b) Der Schiefe Turm von Suurhusen ist ein Kirchturm in
Ostfriesland. Er hat eine vertikale Höhe von 27,37 m und
einen Überhang von 2,47 m.
Der Schiefe Turm von Pisa hat einen Neigungswinkel von
rund 4°.
Neigungswinkel
vertikale Höhe
Überhang
– Ermitteln Sie, welcher der beiden Türme einen größeren Neigungswinkel aufweist.
c) Im Vermessungswesen werden Winkel manchmal in der Einheit Gon gemessen.
Dabei gilt: 400 gon = 360°
Der Schiefe Turm von Dausenau weist eine Neigung von 5,8 gon auf.
– Geben Sie diese Neigung in der Einheit Grad (°) an.
– Ergänzen Sie die fehlende Zahl in der nachstehenden Umrechnungsvorschrift, mit der von
der Einheit Gon in das Bogenmaß umgerechnet werden kann.
1 gon =
π
rad
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Schiefe Türme 2

Virusinfektion / A_115 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Virusinfektion
Die Anzahl der Viren in 1 ml Blut im Verlauf einer leichten Viruserkrankung lässt sich
näherungsweise durch die Funktion v beschreiben.
t … Zeit seit Beginn der Erkrankung in Tagen
v ( t ) … Anzahl der Viren in 1 ml Blut zur Zeit t
a) Die Gleichung v ( t ) = 3 ∙ 10
6
hat die positiven Lösungen t
1
und t
2
(mit t
1
< t
2
).
1) Markieren Sie in der obigen Abbildung die Lösungen t
1
und t
2
.
2) Interpretieren Sie t
1
und t
2
im gegebenen Sachzusammenhang.
b) Die Funktion v ist eine Polynomfunktion.
1) Begründen Sie unter Bezugnahme auf die obige Abbildung, warum v mindestens den
Grad 3 haben muss.
c) Die Funktion v kann in folgender Form angegeben werden: v ( t ) = a ∙ (6 – t ) ∙ t ²
Es gilt: v ′ ( t
3
) = 0 und v ″ ( t
3
) < 0
1) Kennzeichnen Sie t
3
in der obigen Abbildung.
Jemand behauptet: Die Koordinaten des Wendepunkts von v hängen nicht vom Faktor a ab.
2) Beurteilen Sie die Richtigkeit dieser Behauptung.
v ( t )
7 6 5 4 3 2 1 0 8
t in Tagen
v
3 000 000
2 000 000
1 000 000
0
4 000 000
Virusinfektion / A_115 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
d) Die Funktion v kann in folgender Form angegeben werden:
v ( t ) = a ∙ (6 – t ) ∙ t ² mit a ∈ ℝ
+
Nach 4 Tagen befinden sich 4 Millionen Viren in 1 ml Blut.
1) Berechnen Sie den Parameter a .

Lichtverhältnisse
Aufgabennummer: A_118
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
In verschiedenen Situationen werden unterschiedliche Lichtverhältnisse benötigt.
a) Die Decke des Untergeschoßes eines Hauses wird um 1 000 mm nach vorne gezogen, um
den unteren Wohnungsbereich zu beschatten (siehe nachstehende Abbildung).
1 000 mm
Raumhöhe
2 650 mm
Einfallswinkel
Sonnenstrahlen
Fensterglas
Die Sonnenstrahlen haben zu einem bestimmten Zeitpunkt einen Einfallswinkel von 65,2°.
– Berechnen Sie, wie weit die Sonne unter diesen Bedingungen in den Raum hineinstrahlt.
b) Im Zusammenhang mit Beleuchtung können manche Sachverhalte durch exponentielle
Modelle beschrieben werden: beim Durchdringen von Glas nimmt die Lichtintensität ex-
ponentiell ab; die Menge an künstlichen Lichtquellen hat in der Vergangenheit annähernd
exponentiell zugenommen; …
– Ordnen Sie den beiden exponentiellen Modellen jeweils die passende Funktionsgleichung
aus A bis D zu. [2 zu 4]
exponentielles Wachstum
exponentielle Abnahme
A f ( x ) =
(
4
5
)
1
x
B f ( x ) =
(
4
5
)
x
C f ( x ) =
(
4
5
)
– x
D f ( x ) =
(
4
5
)
2
c) Die Beleuchtungsstärke an einem bestimmten Ort kann durch die nachstehende Formel
berechnet werden.
E =
I
r
2
E … Beleuchtungsstärke in Lux
I … Lichtstärke der Lichtquelle in Candela
r … Entfernung zur Lichtquelle in m
Ein Buch befindet sich in r Metern Entfernung von der Lichtquelle.
– Argumentieren Sie, wie sich die Beleuchtungsstärke verändert, wenn man die Entfernung
verdoppelt.
Die Entfernung des Buches zur Lichtquelle wird um a % von r vergrößert. Die Lichtstärke
der Lichtquelle bleibt unverändert. Die Beleuchtungsstärke an der neuen Position des
Buches ist E
neu
.
– Stellen Sie aus I , r und a eine Formel zur Berechnung von E
neu
auf.
E
neu
=
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Lichtverhältnisse 2

Körpermaße von Föten und Neugeborenen
Aufgabennummer: A_121
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die durchschnittliche Größe und die durchschnittliche Masse von menschlichen Föten und
Babys wurden statistisch erfasst.
a) Die Länge eines Fötus (vom Scheitel bis zum Steiß) kann für einen bestimmten Zeitraum
während der Schwangerschaft näherungsweise durch die Funktion L beschrieben werden:
L ( t ) = 1,3 ∙ t – 9,8 mit 8 ≤ t ≤ 20
t … Zeit seit Beginn der Schwangerschaft in Wochen
L ( t ) … Länge des Fötus zur Zeit t in cm
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Koeffizienten 1,3 im gegebenen Sachzusammen-
hang.
Der Ausdruck
L ( t + 1) – L ( t )
L ( t )
gibt die relative Längenzunahme des Fötus im Zeitintervall
[ t ; t + 1] an (für 8 ≤ t ≤ 19).
– Argumentieren Sie, dass diese relative Längenzunahme mit zunehmender Zeit t immer
kleiner wird.
b) Die Masse eines Fötus kann für einen bestimmten Zeitraum während der Schwangerschaft
näherungsweise durch die Funktion m beschrieben werden:
m ( t ) =
4 900
1 + 681 ∙ ℯ
–0,185 ∙ t
mit 17 ≤ t ≤ 40
t … Zeit seit Beginn der Schwangerschaft in Wochen
m ( t ) … Masse des Fötus zur Zeit t in Gramm
In der nachstehenden Abbildung des Graphen von m sind die zwei Größen a und b veran-
schaulicht.
m ( t ) in Gramm
t in Wochen
m
a
b 22 30
1
3 000
0
0
– Berechnen Sie a .
– Interpretieren Sie den Wert von a im gegebenen Sachzusammenhang.
– Berechnen Sie b .
c) Die Masse von in Österreich geborenen Mädchen bei ihrer Geburt ist annähernd normalver-
teilt mit einem Erwartungswert von 3 276 g und einer Standardabweichung von 512 g.
– Berechnen Sie diejenige Masse, die von genau 5,5 % der neugeborenen Mädchen unter-
schritten wird.
Körpermaße von Föten und Neugeborenen 2
d) Die Masse von in Österreich geborenen Buben bei ihrer Geburt ist annähernd normalver-
teilt.
Die Masse von 95 % aller Buben liegt in dem zum Erwartungswert symmetrischen Intervall
[2 334 g; 4 482 g]:
Masse in g 4 482 2 334
95 %
f ist die Dichtefunktion, F die Verteilungsfunktion dieser normalverteilten Zufallsvariablen.
– Ordnen Sie den beiden Ausdrücken jeweils den richtigen Wert aus A bis D zu. [2 zu 4]
∫
3 408
2 334
f ( x ) d x =
1 – F (2 334) =
A 0,025
B 0,05
C 0,475
D 0,975
– Erstellen Sie mithilfe von F einen Ausdruck, der dem in der obigen Abbildung markierten
Flächeninhalt entspricht.
= 95 %
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Körpermaße von Föten und Neugeborenen 3

Helligkeit / A_125 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Helligkeit
Die Leuchtdichte ist ein Maß für den Helligkeitseindruck, der von beleuchteten Flächen ausgeht.
Sie wird in der Einheit Candela pro Quadratmeter (cd/m
2
) angegeben.
a) Die nachstehende Funktion beschreibt den Zusammenhang zwischen der Leuchtdichte und
der menschlichen Empfindungsstärke.
E ( L ) = c ∙ lg
(
L
L
0
)
L … Leuchtdichte in cd/m
2
E ( L ) … Empfindungsstärke bei der Leuchtdichte L
L
0
… minimale wahrnehmbare Leuchtdichte in cd/m
2
c > 0 … Konstante
1) Weisen Sie nach, dass die Empfindungsstärke bei der Leuchtdichte L
0
unabhängig von
c ist.
Die Formel E = c ∙ lg
(
L
L
0
)
wird nach L
0
umgeformt.
2) Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der ein richtiges Ergebnis dieser Umformung ist.
[1 aus 5]
L
0
=
L ∙ 10
E
10
c
L
0
=
L ∙ c
10
E
L
0
=
10
L
c ∙ 10
E
L
0
=
L
10
E
c
L
0
=
c ∙ 10
L
10
E
Helligkeit / A_125 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
b) Unter bestimmten Bedingungen nimmt die wahrgenommene Helligkeit unter Wasser
pro 1 m Tiefe um 7 % des vorherigen Wertes ab. Die wahrgenommene Helligkeit an der
Wasseroberfläche ist H
0
.
In der nachstehenden Abbildung ist diese Abnahme dargestellt.
wahrgenommene Helligkeit
Wassertiefe in m
0
0
0,65 · H
0
H
0
1) Tragen Sie den fehlenden Wert in das dafür vorgesehene Kästchen ein.

Flugzeuge
Aufgabennummer: A_126
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Ein Verkehrsflugzeug folgt beim Landeanflug einem Gleitpfad, der eine geradlinige Ver
bindung zwischen der aktuellen Position des Flugzeugs F und dem Landepunkt P ist.
Der Gleitpfad schließt mit der horizontalen Landebahn einen Winkel von 3° ein (siehe
nachstehende nicht maßstabgetreue Skizze).
3°
Gleitpfad
P
x
h
F
– Erstellen Sie mithilfe der Höhe h eine Formel zur Berechnung der horizontalen Ent
fernung x .
x =
– Berechnen Sie, in welcher Höhe h sich das Flugzeug befindet, wenn es eine Horizontal
entfernung von 10 km vom Landepunkt hat.
b) Der Kerosinverbrauch wird üblicherweise pro Passagier pro 100 km angegeben. Die nach
stehende Abbildung stellt die Abnahme des Kerosinverbrauchs von Flugzeugen in den
vergangenen Jahrzenten dar.
Kerosinverbrauch in Litern pro Passagier pro 100 km
Jahr
2005 2000 1995 1990 1985 1980 1975 1970 1965 2010 1960
7,5
7
6,5
6
5,5
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
8
– Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die mittlere Änderungsrate des Kerosinver
brauchs im Zeitintervall [1960; 1995].
– Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die momentane Änderungsrate des Kerosin
verbrauchs im Jahr 1970.
c) Der Kerosinverbrauch von Flugzeugen kann ab dem Jahr 1960 näherungsweise durch die
Funktion f beschrieben werden.
f ( t ) = 5,3 ∙ 0,935
t
+ 2,9
t … Zeit nach 1960 in Jahren
f ( t ) … Kerosinverbrauch in Litern pro Passagier pro 100 km
– Berechnen Sie mithilfe der Funktion f , in welchem Jahr der Kerosinverbrauch 3 Liter pro
Passagier pro 100 km beträgt.
– Interpretieren Sie die Bedeutung der Zahl 2,9 in der Funktionsgleichung von f im ge
gebenen Sachzusammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Flugzeuge 2

Tunnelzelte
Aufgabennummer: A_131
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufblasbare Tunnelzelte erfreuen sich als Messestände immer größerer Beliebtheit.
a) In der nebenstehenden Abbildung ist die innere
Querschnittsfläche eines Tunnelzelts dargestellt.
Sie kann durch den Graphen einer quadratischen
Funktion f mit f ( x ) = a ∙ x ² + b ∙ x + c
beschrieben werden.
f ( x ) in m
f
x in m
0 2 –2
2
0
– Kreuzen Sie die für die Koeffizienten von f zutreffenden Bedingungen an. [1 aus 5]
a > 0, b = 0, c > 0
a < 0, b = 0, c > 0
a > 0, b > 0, c < 0
a < 0, b < 0, c > 0
a > 0, b > 0, c > 0
b) In der nebenstehenden Abbildung ist die
Querschnittsfläche eines Tunnelzelts
dargestellt. Die Querschnittsfläche der
Innenhaut wird durch den Graphen der
Funktion g , jene der Außenhaut durch
den Graphen der Funktion h beschrieben.
g ( x ) = –0,48 · x
2
+ 2,496 ∙ x – 0,2448
h ( x ) = –0,45 ∙ x
2
+ 2,34 ∙ x
x , g ( x ), h ( x ) … Koordinaten in m
g ( x ), h ( x ) in m
x in m
4 3 2 1 0 5
h
g
2
1
0
3
Der Bereich zwischen der Innen- und der Außenhaut muss mit Luft gefüllt werden.
– Berechnen Sie das zum Aufblasen benötigte Luftvolumen bei einer Zeltlänge von 5 m.
c) Die nachstehende allgemeine Gasgleichung beschreibt den Zusammenhang verschiedener
physikalischer Größen für ein Gas (z. B. Luft):
p ∙ V = n ∙ 8,314 ∙ T
p … Druck in Pascal (Pa)
V … Volumen in m³
n … Stoffmenge in Mol
T … Temperatur in Kelvin (K)
1 Mol Luft enthält rund 6,022 ∙ 10
23
Teilchen.
Zum Aufblasen eines Zeltes werden 4 m
3
Luft benötigt.
– Berechnen Sie, wie viele Teilchen in diesem Luftvolumen unter einem Druck von
303 000 Pa bei einer Temperatur von 293 K enthalten sind.
Tunnelzelte 2
d) In der nachstehenden Abbildung ist die Außenhülle eines Zeltes, die durch den Graphen
einer geraden Funktion p modelliert wurde, dargestellt.
p ( x ) in m
p
x in m
2 1 0 –1 –2 3 –3
0
3
2
1
4
In einer Höhe von 2 m werden an der linken und an der rechten Seite der Außenhülle Seile
angebracht. Diese werden so gespannt und am Boden befestigt, dass sie wie eine Tangen-
te an die Außenhülle verlaufen.
– Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die Seile ein.
Eine Funktion f wird gerade genannt, wenn für alle x aus ihrem Definitionsbereich gilt:
f ( x ) = f (– x )
Eine Funktion f wird ungerade genannt, wenn für alle x aus ihrem Definitionsbereich gilt:
f ( x ) = – f (– x )
Mit der folgenden Rechnung wird gezeigt, dass die Ableitung jeder geraden Funktion f
ungerade ist:
(1)
f ( x ) = f (– x ) ⇒ f ′ ( x ) = f ′ (– x ) ∙ (–1) = – f ′ (– x )
– Erklären Sie den mit (1) gekennzeichneten Rechenschritt unter Angabe der entsprechen-
den Ableitungsregel.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Tunnelzelte 3