Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5401–5450

Scheunentor*
Aufgabennummer: A_277
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Scheunentor besteht aus 2 symmetrischen Flügeln. Die Vorderseite des Scheunentors
(Rechteck mit einem aufgesetzten Bogen) ist in der nachstehenden Abbildung vereinfacht
dargestellt.
a) Der Bogen des Scheunentors kann näherungsweise durch den Graphen einer quadrati-
schen Funktion mit folgender Gleichung beschrieben werden (vergleiche nachstehende
Abbildung):
y = a · x
2
+ b
x , y ... Koordinaten in m
0,4
3,0
y in m
x in m
2,0 2,0
1) Berechnen Sie die Koeffizienten a und b .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Für ein anderes Scheunentor, dessen Flügel jeweils 2,5 m breit sind, lässt sich der Bogen
näherungsweise durch den Graphen der quadratischen Funktion f beschreiben:
f ( x ) = –0,08 · x
2
+ 4
x ... Koordinate in m
f ( x ) ... Höhe des Scheunentors an der Stelle x in m
1) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Vorderseite des Scheunentors.
c) Der Flächeninhalt der Vorderseite eines anderen Scheunentors beträgt 16 m
2
. Das Scheu-
nentor hat eine Dicke von 8 cm. Für die Stärke der Verankerung ist es wichtig, die Masse
des Tors zu kennen.
Die Masse ist das Produkt aus Volumen und Materialdichte.
Die Materialdichte beträgt 0,7 kg/dm
3
.
1) Ermitteln Sie die Masse des Scheunentors in Tonnen.
Scheunentor 2

Medikamentenabbau (3)*
Aufgabennummer: A_278
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Eine Ärztin verschreibt einem Patienten zur Behandlung seines Bluthochdrucks ein
Medikament mit einer Wirkstoffmenge von 240 mg pro Tablette, welches im Körper
exponentiell mit einer Halbwertszeit von 3 Stunden abgebaut wird. Man nimmt an, dass
der Wirkstoff nach Einnahme einer Tablette sofort in das Blut übergeht.
a) Ein Patient nimmt um 7 Uhr und um 19 Uhr jeweils eine Tablette ein.
1) Stellen Sie die Wirkstoffmenge des Medikaments im Körper des Patienten als Funktion
der Zeit für die ersten 24 Stunden nach der ersten Einnahme in der unten stehenden
Abbildung grafisch dar.
18 12 6 0 24 21 15 9 3
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
260
Zeit nach der ersten Einnahme in h
Wirkstoffmenge im Körper in mg
b) 1) Argumentieren Sie, weshalb der Wirkstoff bei einmaliger Einnahme nach diesem Modell
nach 24 Stunden nicht vollständig aus dem Körper verschwunden sein kann.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Ein anderer Patient nimmt einmalig nur um 7 Uhr Früh 2 Tabletten ein. Das Medikament
wirkt bei einer Mindestmenge von 50 mg, darunter ist seine Wirkung vernachlässigbar.
1) Bestimmen Sie, wie lange das Medikament wirkt.
Medikamentenabbau (3) 2

Statistische Verteilung der Körpermassen
von 12-Jährigen*
Aufgabennummer: A_279
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die Körpermassen von 12-jährigen Schülerinnen, die bei einer Stichprobe erhoben
wurden, sind in folgendem Boxplot dargestellt:
Körpermasse in kg
56 54 52 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 58
1) Lesen Sie die beiden statistischen Kennzahlen Median und 3. Quartil ab.
In einer Tageszeitung wird behauptet: „Die Stichprobe zeigt: Mehr als die Hälfte der
12-jährigen Schülerinnen ist schwerer als 42 kg.“
2) Begründen Sie mithilfe des Boxplots, warum die Behauptung in der Tageszeitung
falsch ist.
b) Eine Schulärztin hat die Körpermassen von 10 Schülerinnen und Schülern aufgezeich-
net (Angaben in kg):
37 34 38 48 68 38 40 48 38 47
1) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Es kann davon ausgegangen werden, dass die Körpermassen von 12-jährigen Schü-
lern österreichweit annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 42 kg und
der Standardabweichung σ = 3,5 kg sind.
1) Veranschaulichen Sie in einer Skizze der Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit,
dass ein zu fällig ausgewählter 12-jähriger Schüler eine Körpermasse von mehr als
45 kg hat.
2) Berechnen Sie dasjenige symmetrische Intervall um μ , in dem die Körpermasse
eines zufällig ausgewählten 12-jährigen Schülers mit einer Wahrscheinlichkeit von
90 % liegt.
Statistische Verteilung der Körpermassen von 12-Jährigen 2

Die Adria-Wien-Pipeline*
Aufgabennummer: A_280
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Österreich muss einen Großteil seines Erdölbedarfs durch Importe von Rohöl decken. Diese
Importe werden vorwiegend über die Adria-Wien-Pipeline durchgeführt, die von Triest nach
Wien-Schwechat führt.
a) Die folgende Tabelle gibt die nach Österreich importierten Rohölmengen in den Jahren
2006 bis 2014 an:
Jahr 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
importierte Rohölmenge
in Millionen Tonnen
7,7 7,6 7,9 7,4 6,8 7,3 7,4 7,8 7,5
Quelle: https://www.wko.at/branchen/industrie/mineraloelindustrie/jahresberichte.html [22.11.2018].
1) Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der importierten
Rohölmengen für diesen Zeitraum in Millionen Tonnen.
b) Modellhaft betrachtet ist die Pipeline ein Drehzylinder mit dem Durchmesser d und der
Höhe l .
Der Innendurchmesser der Pipeline beträgt d = 457,2 mm. Die Länge der Pipeline beträgt
rund l = 416 km.
In der Erdölindustrie wird für das Volumen von Rohöl häufig die Einheit Barrel verwendet.
Es gilt: 1 Barrel ≈ 0,159 m
3
1) Berechnen Sie, wie viele Barrel Rohöl die vollständig befüllte Pipeline fasst.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Das Gesamtvolumen an Rohöl, das im Zeitintervall [0; t ] einen Kontrollpunkt in der Pipeline
passiert, kann näherungsweise durch die Funktion R in Abhängigkeit von der Zeit t model-
liert werden. Der Graph der Funktion R ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
R
Zeit t in h
Gesamtvolumen an Rohöl R ( t ) in m
3
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
0
8 000
7 000
6 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
9 000
1) Erstellen Sie mithilfe des oben dargestellten Graphen eine Gleichung der Funktion R .
Die Durchflussrate D ( t ) zum Zeitpunkt t ist die momentane Änderungsrate der Funktion R .
2) Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Durchfluss rate ein.
Zeit t in h
Durchflussrate D ( t ) in m
3
/h
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
0
1 600
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
1 800
Die Adria-Wien-Pipeline 2

Vitamin C*
Aufgabennummer: A_281
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Der Vitamin-C-Gehalt eines Apfels nimmt nach der Ernte exponentiell ab. Alle 4 Wochen
nimmt der Vitamin-C-Gehalt um 20 % bezogen auf den Wert zu Beginn dieser 4 Wochen
ab.
Ein bestimmter Apfel hat bei der Ernte einen Vitamin-C-Gehalt von 18 mg.
Der Vitamin-C-Gehalt dieses Apfels in Milligramm soll in Abhängigkeit von der Zeit t in Wo-
chen beschrieben werden.
1) Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Funktion. Wählen Sie t = 0 für den
Zeitpunkt der Ernte.
2) Berechnen Sie den Vitamin-C-Gehalt dieses Apfels 36 Wochen nach der Ernte.
b) Der Vitamin-C-Gehalt von Tabletten der Sorte Zitruspower ist annähernd normalverteilt mit
dem Erwartungswert μ = 100 mg und der Standardabweichung σ = 5 mg.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Vitamin-C-Gehalt einer zufällig ausge-
wählten Tablette zwischen 92 mg und 110 mg liegt.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Nach der Einnahme einer Vitamin-C-Tablette steigt die Vitamin-C-Konzentration im Blut
zunächst an und sinkt danach wieder ab.
Die Funktion c beschreibt näherungsweise den zeitlichen Verlauf der Vitamin-C-Konzentra-
tion im Blut einer bestimmten Person.
c ( t ) = 24 ∙ ( ℯ
–0,0195 ∙ t
– ℯ
–1,3 ∙ t
) + 3
t ... Zeit seit der Einnahme der Vitamin-C-Tablette in h
c ( t ) ... Vitamin-C-Konzentration im Blut zur Zeit t in Mikrogramm pro Milliliter (μg/ml)
1) Zeigen Sie, dass die maximale Vitamin-C-Konzentration im Blut der Person gerundet
25,18 μg/ml beträgt.
2) Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der die maximale Vitamin-C-Konzentration in mg/L
angibt. [1 aus 5]
0,02518 mg/L
25,18 mg/L
25 180 mg/L
0,00002518 mg/L
25 180 000 mg/L
Vitamin C 2

Glücksspiel*
Aufgabennummer: A_282
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Bei einem Glücksspiel werden aus verschiedenen Gefäßen Kugeln zufällig gezogen.
a) Im ersten Gefäß befinden sich insgesamt a Kugeln. 7 dieser Kugeln sind rot, die anderen
Kugeln sind weiß.
Es wird 1 Kugel aus diesem Gefäß gezogen.
1) Erstellen Sie mithilfe von a einen Ausdruck zur Berechnung der folgenden Wahrschein-
lichkeit:
P („die gezogene Kugel ist weiß“) =
Aus diesem Gefäß mit a Kugeln zieht Elena 1 Kugel und legt diese Kugel anschließend in
das Gefäß zurück. Dann zieht sie wieder 1 Kugel.
2) Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebe-
nen Sachverhalt wiedergibt.
rot weiß
weiß weiß rot rot
Die Wahrscheinlichkeit, dass Elena 2-mal eine rote Kugel zieht, beträgt 12,25 %.
3) Berechnen Sie die Anzahl a .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Im zweiten Gefäß befinden sich 6 schwarze und 2 blaue Kugeln.
Aus diesem Gefäß zieht Susi 1 Kugel und legt diese Kugel anschließend in das Gefäß zu-
rück. Das macht sie insgesamt 5-mal.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Susi dabei genau 3-mal eine schwarze
Kugel zieht.
c) Im dritten Gefäß befinden sich 12 Kugeln. 7 dieser Kugeln sind grün, die anderen Kugeln
sind gelb.
Aus diesem Gefäß zieht Moritz 1 Kugel und legt diese Kugel anschließend in das Gefäß
zurück. Das macht er insgesamt 3-mal.
1) Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen so, dass eine korrekte
Aussage entsteht. [Lückentext]
Die Wahrscheinlichkeit, dass
1
, ist durch den Ausdruck
2
gegeben.
1
alle 3 Kugeln grün sind
mindestens 1 Kugel grün ist
höchstens 1 Kugel grün ist
2
1 –
(
5
12
)
3
1 –
(
7
12
)
3
(
5
12
)
3
Glücksspiel 2

Bahnverkehr in Österreich*
Aufgabennummer: A_283
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Eine Bahnfahrt von Wien nach Graz dauert 2 Stunden und 35 Minuten. Die mittlere Reise
geschwindigkeit beträgt dabei rund 81,83 km/h. Im Jahr 2026 soll der Semmering Basis
tunnel fertiggestellt werden. Dadurch wird sich die Fahrtstrecke um 13,7 Kilometer und die
Fahrtdauer um 50 Minuten verkürzen.
1) Berechnen Sie die mittlere Reisegeschwindigkeit zwischen Wien und Graz für die
verkürzte Fahrt.
b) Die Fahrtstrecke im Semmering Basistunnel wird 27,3 Kilometer lang sein und eine (als
kon stant angenommene) Steigung von 0,84 % haben.
In der folgenden Berechnung des Höhenunterschieds Δ h in Metern auf dieser Fahrtstrecke
ist genau ein Fehler passiert:
Steigungswinkel: α = arctan(0,0084) = 0,48127…°
Δ h =
27 300 m
sin( α )
= 3 250 114,6… m
1) Stellen Sie die Berechnung und das Ergebnis richtig.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Im nachstehenden Diagramm sind die Fahrgastzahlen der Österreichischen Bundesbah
nen für die Jahre 2010 bis 2014 dargestellt.
209,8 209,3
224,1
233,2
235,1
190
200
210
220
230
240
2013 2012 2011 2010 2014
Anzahl der
Fahrgäste in Millionen
Jahr
Datenquelle: Agentur für Passagier und Fahrgastrechte (Hrsg.): Fahrgastrechte-Statistik Bahn 2014 , 2016, S. 4.
https://www.apf.gv.at/files/1 apf Homepage/1g Publikationen/Fahrgastrechtestatistik 2014.pdf [22.11.2018].
1) Berechnen Sie die Spannweite der angegebenen Fahrgastzahlen in Millionen.
Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
235,1 – 209,8
209,8
≈ 0,12
2) Interpretieren Sie das Ergebnis dieser Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
Bahnverkehr in Österreich 2

Sonnenaufgang*
Aufgabennummer: A_284
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Während der Morgendämmerung wird es kontinuierlich heller. Die Be leuchtungsstärke
bei klarem Himmel kann an einem bestimmten Ort in Abhängigkeit von der Zeit
näherungsweise durch folgende Exponential funktion E beschrieben werden:
E ( t ) = 80 · a
t
mit –60 ≤ t ≤ 30
t ... Zeit in min, wobei t = 0 der Zeitpunkt des Sonnenaufgangs ist
E ( t ) ... Beleuchtungsstärke zur Zeit t in Lux
a ... Parameter
1) Interpretieren Sie die Zahl 80 in der Funktionsgleichung von E im gegebenen Sachzu
sammenhang.
Die Beleuchtungsstärke verdoppelt sich alle 5 min.
2) Berechnen Sie den Parameter a .
b) An einem Wintertag wurde die Beleuchtungsstärke E in Lux am Morgen und zu Mittag
gemessen. Die dekadischen Logarithmen (Logarithmen zur Basis 10) der beiden Mess
ergebnisse sind nachstehend dargestellt:
lg( E
Morgen
) lg( E
Mittag
)
lg( E ) 5 4 3 2 1 0 –1 –2 6
Marco behauptet, die Beleuchtungsstärke E sei an diesem Tag zu Mittag 4 mal so hoch
wie am Morgen gewesen.
1) Zeigen Sie, dass Marcos Behauptung falsch ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In der nachstehenden Grafik ist die jeweilige Uhrzeit des Sonnenaufgangs in Wien für die
ersten 150 Tage eines Jahres dargestellt.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
0
5
6
7
8
9
Uhrzeit des Sonnenaufgangs
in Stunden
Zeit seit Jahresbeginn in Tagen
Zeitumstellung
auf Sommerzeit
1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Grafik, wie viele Tage nach der Zeitumstellung der
Sonnenaufgang erstmals zu einer früheren Uhrzeit als unmittelbar vor der Zeitumstel
lung statt findet.
Im Zeitintervall [0; 40] kann die Uhrzeit des Sonnenaufgangs näherungsweise durch eine
quadratische Funktion f modelliert werden.
f ( t ) = a ∙ t
2
+ c
t … Zeit seit Jahresbeginn in Tagen
f ( t ) … Uhrzeit des Sonnenaufgangs am Tag t in Stunden
2) Argumentieren Sie anhand der obigen Grafik, dass der Parameter a dabei negativ sein
muss.
Sonnenaufgang 2

Bluthochdruck bei Erwachsenen / Haupttermin 2022 / A_319 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 12 /24 3. Mai 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP
Aufgabe 5
Bluthochdruck bei Erwachsenen
a) Der Blutdruck wird in der Einheit Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) angegeben. Ab einem
(systolischen) Blutdruck von 140 mmHg spricht man von Bluthochdruck .
Der Blutdruck der Bevölkerung eines bestimmten Landes ist annähernd normalverteilt mit
dem Erwartungswert μ = 130 mmHg und der Standardabweichung σ = 11,9 mmHg. In der
nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
180 160 140 120 100 80
Blutdruck in mmHg
Bluthochdruck
1) Berechnen Sie, wie viel Prozent der Bevölkerung dieses Landes Bluthochdruck haben.
[0 / 1 P.]
Laut einer Studie der Weltgesundheitsorganisation ist der Blutdruck im Idealfall normalverteilt
mit dem Erwartungswert 115 mmHg und einer kleineren Standardabweichung.
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / 1 P.]
Für den Graphen der Dichtefunktion im Idealfall gilt im Vergleich zum oben dargestellten
Graphen: Der Hochpunkt liegt
1
und
2
.
1
weiter links
weiter rechts
an der gleichen Stelle
2
höher
niedriger
auf der gleichen Höhe
Bluthochdruck bei Erwachsenen / Haupttermin 2022 / A_319 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP S. 13 /24
b) In einem bestimmten Land beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte
Person Bluthochdruck hat, p .
Es werden 20 Personen zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt.
1) Kreuzen Sie das Ereignis E an, für dessen Wahrscheinlichkeit gilt:
P ( E ) =
(
20
2
)
∙ p
2
∙ (1 – p )
18
+
(
20
1
)
∙ p
1
∙ (1 – p )
19
+
(
20
0
)
∙ p
0
∙ (1 – p )
20
[1 aus 5]
[0 / 1 P.]
Mindestens 2 Personen haben Bluthochdruck.
Höchstens 2 Personen haben Bluthochdruck.
Genau 2 Personen haben Bluthochdruck.
Mindestens 2 Personen haben keinen Bluthochdruck.
Höchstens 2 Personen haben keinen Bluthochdruck.
250 Personen werden zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt. Jemand berechnet
den Erwartungswert der Anzahl der Personen, die Bluthochdruck haben.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p , bei der sich ein Erwartungswert von 55 ergibt.
[0 / 1 P.]
c) Im Jahr 1975 hatten in einer bestimmten Stadt 40,8 % aller Männer Bluthochdruck. Im Jahr
2015 hatten in dieser Stadt nur noch 25,2 % aller Männer Bluthochdruck.
Jemand argumentiert: „Im Jahr 1975 war die Anzahl der Männer mit Bluthochdruck in dieser
Stadt daher sicher größer als jene im Jahr 2015.“
1) Begründen Sie, warum diese Argumentation unzulässig ist. [0 / 1 P.]

Mathematik-Olympiade*
Aufgabennummer: A_066
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Mathematik-Olympiade ist ein bekannter Wettbewerb für Schü ler/innen.
a) Beim Bundeswettbewerb der Mathematik-Olympiade kann man im ersten Teil maximal
32 Punkte erreichen. Die nachstehenden Boxplots zeigen die erreichte Punkteanzahl der
Teilnehmer/innen im Jahr 2014 und im Jahr 2015.
2014
2015
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 32 1 0
erreichte Punkteanzahl
Lara hat in beiden Jahren beim Bundeswettbewerb teilgenommen. Im Jahr 2014 hat sie
29 Punkte erreicht, im Jahr 2015 waren es 18 Punkte.
1) Argumentieren Sie, dass Lara im Jahr 2015 im Vergleich zu den anderen Teilnehmerin-
nen und Teilnehmern ein besseres Ergebnis als im Jahr 2014 erzielt hat.
2) Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
Der Interquartilsabstand im Jahr 2014 ist mehr als doppelt so groß
wie der Interquartilsabstand im Jahr 2015.
Im Jahr 2015 erreichten mindestens 75 % der Teilnehmer/innen
mindestens 17 Punkte.
Die Spannweite im Jahr 2015 ist um rund 17 % kleiner als die
Spannweite im Jahr 2014.
Im Jahr 2015 ist der Median um 10,5 Punkte kleiner als im
Jahr 2014.
Im Jahr 2015 erreichten mindestens 75 % der Teilnehmer/innen
maximal 17 Punkte.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) 8 Jugendliche haben am Bundeswettbewerb der Mathematik-Olympiade teilgenommen.
Sie möchten das arithmetische Mittel und die Standard abweichung ihrer erreichten
Punkte anzahlen berechnen. Für die Varianz s
2
ergibt sich die nach stehende Berechnung.
s
2
=
1
8
·
(
(16 – 16)
2
+ (22 – 16)
2
+ (21 – 16)
2
+ (30 – 16)
2
+ (4 – 16)
2
+ (11 – 16)
2
+ (9 – 16)
2
+ (15 – 16)
2
)
1) Lesen Sie aus der obigen Berechnung das arithmetische Mittel ab.
c) Die nachstehende Häufigkeitstabelle zeigt die erreichten Punkteanzahlen der 40 Teilneh-
mer/innen des Bundeswettbewerbs der Mathematik-Olympiade im Jahr 2016.
erreichte
Punkteanzahl
Anzahl der
Teilnehmer/innen
0 – 8 7
9 – 16 22
17 – 24 9
25 – 32 2
1) Berechnen Sie, wie viel Prozent der Teilnehmer/innen mindestens 17 Punkte er reicht
haben.
Mathematik-Olympiade 2

Internet (1)*
Aufgabennummer: A_190
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Eine Studie besagt, dass die durchschnittliche tägliche Internet-Nutzungsdauer N von
Jugendlichen annähernd normalverteilt ist. Der Erwartungswert beträgt 180 Minuten
und die Standardabweichung 20 Minuten. Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion
ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
– Tragen Sie die fehlenden Zeiten in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
N in Minuten
Wendepunkt
– Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass für eine
zufällig ausgewählte Person der untersuchten Altersgruppe die durchschnittliche
tägliche Internet-Nutzungsdauer 200 Minuten oder weniger beträgt.
b) Selina verbringt 25 % ihrer Internet-Nutzungsdauer mit Spielen. Ein Achtel dieser
Spielzeit entfällt dabei auf ein bestimmtes Spiel.
– Ermitteln Sie, wie viel Prozent ihrer Internet-Nutzungsdauer Selina für dieses be-
stimmte Spiel aufwendet.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Eine Umfrage unter Schülerinnen und Schülern einer Schulklasse über die durch-
schnittliche tägliche Internet-Nutzungsdauer ergab folgendes Ergebnis (gerundet auf
halbe Stunden):
durchschnittliche tägliche
Internet-Nutzungsdauer
pro Person in Stunden
2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 6,0 10,0
Anzahl der Personen 3 4 5 2 4 1 1
– Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der durch-
schnittlichen täglichen Internet-Nutzungs dauer pro Person aus den gegebenen
Daten.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Internet (1) 2

Der Pauliberg*
Aufgabennummer: A_067
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Der Pauliberg ist Österreichs jüngster erloschener Vulkan und ein beliebtes Ausflugsziel im Bur-
genland.
a) Beim Pauliberg befindet sich eine Fundstätte von großen Brocken aus vulkanischem Ge-
stein. Für die nachfolgenden Aufgaben wird vereinfacht von kugelförmigen Brocken ausge-
gangen.
Ein bestimmter Brocken hat eine Masse von 4,5 t.
Die Dichte des Gesteins beträgt 3 000 kg/m
3
.
Die Masse m ist das Produkt aus Dichte ϱ und Volumen V , also m = ϱ · V .
1) Berechnen Sie den Durchmesser dieses Brockens.
Von zwei solchen Brocken mit gleicher Dichte und verschiedener Masse kennt man jeweils
den Durchmesser:
Brocken 1 Brocken 2
Masse in kg m
1
m
2
Durchmesser 1 m 1 dm
2) Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
m
1
ist das Zehnfache von m
2
.
m
1
und m
2
stehen im Verhältnis 10 000 : 1.
m
2
= 1 000 · π · m
1
m
1
und m
2
stehen im Verhältnis 100 : 1.
m
1
= 1 000 · m
2
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Beim Pauliberg gibt es einen beliebten Wanderweg.
Sarah benötigt für die a Kilometer lange Wanderung b Stunden. Leonie wandert auf der
gleichen Strecke, startet aber 1,5 Stunden später. Sarah und Leonie erreichen gleichzeitig
das Ziel.
1) Erstellen Sie aus a und b eine Formel zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit v
von Leonie in km/h.
v =
c) Unweit des Paulibergs liegt die Burgruine Landsee. Diese kann für private Veranstaltungen
gemietet werden.
Die Raummiete für eine Veranstaltung beträgt € 450. Zusätzlich sind pro teilnehmender
Person € 1,50 zu bezahlen.
Die Gesamtkosten (in €) sollen in Abhängigkeit von der Anzahl der teilnehmenden Perso-
nen x durch eine lineare Kostenfunktion K beschrieben werden.
1) Erstellen Sie eine Funktionsgleichung von K .
Der Vermieter schlägt eine neue Preisgestaltung vor. Zur Veranschaulichung wurde das
folgende Diagramm erstellt:
Gesamtkosten in €
Anzahl der teilnehmenden Personen
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 100
500
400
300
200
100
0
600
2) Ermitteln Sie, ab welcher Anzahl an teilnehmenden Personen die Gesamtkosten mit der
neuen Preisgestaltung höher als bisher sind.
Der Pauliberg 2

Luftverschmutzung*
Aufgabennummer: A_075
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Die Belastung der Luft durch Schwefeldioxid entsteht unter anderem durch Verbrennung
von Heizöl und Kohle. Als gesetzliche Obergrenze für den Schwefeldioxidgehalt der Luft
gilt ein Tagesmittelwert von 120 μg/m
3
. Im Jahr 1986 wurde dieser Wert am „schwarzen
Freitag“ in Linz um 857 % überschritten.
1) Berechnen Sie den Tagesmittelwert des Schwefeldioxidgehalts der Luft in μg/m
3
an
diesem Tag in Linz.
b) In Linz ist die Staubbelastung der Luft im Zeitraum von 1985 bis 1996 stark zurückgegan
gen. Im Jahr 1985 wurde die Luft in Linz mit 11 000 t Staub belastet. Im Jahr 1996 waren
es nur noch 3 000 t.
Im Zuge eines Forschungsprojekts hat man erkannt, dass die Funktion S , die die Staubbe
lastung S ( t ) in Tonnen in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren angibt, annähernd linear ist.
1) Erstellen Sie mithilfe der obigen Daten eine Gleichung dieser linearen Funktion. Wählen
Sie t = 0 für das Jahr 1985.
2) Berechnen Sie den Funktionswert für das Jahr 2001 gemäß diesem Modell.
3) Erklären Sie, warum der berechnete Funktionswert für das Jahr 2001 im gegebenen
Sachzusammenhang nicht sinnvoll ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Kohlenstoffmonoxid entsteht bei Verbrennungsprozessen und ist für Menschen giftig.
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß im Jahr t in einer Region kann näherungsweise folgender
maßen beschrieben werden:
c ( t ) = 1,29 · 0,9659
t
t ... Zeit in Jahren, t = 0 entspricht dem Jahr 1990
c ( t ) ... Kohlenstoffmonoxidausstoß im Jahr t in Tonnen
1) Kreuzen Sie die auf dieses Modell zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß nimmt um 29 %
pro Jahr zu.
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß nimmt im Laufe der
Zeit immer schneller ab.
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß nimmt linear ab.
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß nimmt um 3,41 %
pro Jahr ab.
Der Kohlenstoffmonoxidausstoß nimmt um 96,59 %
pro Jahr ab.
Luftverschmutzung 2

Gewitter*
Aufgabennummer: A_071
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) In drei verschiedenen Städten – A , B und C – werden am Nachmittag laut Wetter prognose
unabhängig voneinander mit folgenden Wahrscheinlichkeiten Gewitter auftreten:
Stadt A B C
Wahrscheinlichkeit für ein Gewitter 50 % 80 % 80 %
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in mindestens einer der drei Städte kein
Gewitter auftreten wird.
b) Um Gebäude vor Blitzeinschlägen zu schützen, werden Blitzableiter verwendet. Dabei wird
eine Metallstange, die sogenannte Fangstange , auf dem Gebäude senkrecht montiert.
Der höchste Punkt einer solchen Fangstange kann als Spitze eines drehkegelförmigen
Schutzbereichs angesehen werden. Alle Objekte, die sich vollständig innerhalb dieses
Schutzbereichs befinden, sind vor direkten Blitzeinschlägen geschützt.
h … Höhe der Fangstange
α … Schutzwinkel
r … Radius der Grundfläche des
Schutzbereichs
Grundfläche des
Schutzbereichs
r
h
α
Fangstange
Flachdach
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Radius r aus α und h .
r =
Auf einem Flachdach ist eine 2 m hohe Fangstange senkrecht montiert. 3 m vom Fuß
punkt der Fang stange entfernt steht eine 1,2 m hohe Antenne senkrecht auf dem Flach
dach. Der Schutzwinkel beträgt 77°.
2) Überprüfen Sie nachweislich, ob sich diese Antenne vollständig innerhalb des Schutz
bereichs befindet.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Während eines Nachmittags, an dem es ein Gewitter gab, wurde die Veränderung der
Temperatur ermittelt. Die Funktion T ′ beschreibt die momentane Änderungsrate der Tem
peratur in Abhängigkeit von der Zeit t (siehe nachstehende Abbildung).
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
T ′ ( t ) in °C/h
T ′
0 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0,25
t in h
t
0
t … Zeit seit Beginn der Messung in h
T ′ ( t ) … momentane Änderungsrate der Temperatur zur Zeit t in °C/h
Die Funktion T ′ hat an der Stelle t
0
eine Nullstelle (siehe obige Abbildung).
1) Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
Jede Stammfunktion von T ′ hat an der
Stelle t
0
eine Maximumstelle.
Jede Stammfunktion von T ′ hat an der
Stelle t
0
eine Minimumstelle.
Jede Stammfunktion von T ′ hat an der
Stelle t
0
eine Nullstelle.
Jede Stammfunktion von T ′ hat an der
Stelle t
0
eine Wendestelle.
Jede Stammfunktion von T ′ hat an der
Stelle t
0
eine positive Steigung.
Die absolute Temperaturänderung in einem Zeitintervall [ t
1
; t
2
] kann durch das Integral
∫
t 2
t 1
T ′ ( t ) d t berechnet werden.
2) Bestimmen Sie mithilfe der obigen Abbildung näherungsweise die absolute Temperatur
änderung im Zeitintervall [1,25; 1,5].
Gewitter 2

Pelletsheizung*
Aufgabennummer: A_068
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Pellets sind Heizmaterial aus gepressten Sägespänen.
a) Die Gesamtkosten für eine Pelletslieferung setzen sich aus einer fixen Grundgebühr und
den Kosten für die Liefermenge zusammen. Dabei ist für jede Tonne Pellets der gleiche
Preis zu bezahlen.
Ein Pelletshändler bietet auf seiner Website einen Online-Rechner an. Eine Kundin ver-
wendet diesen Online-Rechner und notiert die Gesamtkosten für drei verschiedene Liefer -
mengen:
Liefermenge in Tonnen Gesamtkosten in Euro
2 500
4 960
5,5 1 260
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob der Online-Rechner die Gesamtkosten wie oben
beschrieben berechnet.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Temperatur, auf die das Wasser eines Heizsystems erwärmt wird, bezeichnet man als
Vorlauftemperatur . Bei einer Pelletsheizung ist die Vorlauftemperatur abhängig von der Au-
ßentemperatur.
Den Graphen der zugehörigen Funktion V nennt man Heizkurve . In der nachstehenden Ab-
bildung ist eine solche Heizkurve für Außentemperaturen von –15 °C bis 20 °C dargestellt.
Außentemperatur x in °C
Vorlauftemperatur V ( x ) in °C
V
15 10 5 0 20 –10 –15 –20 –5
0
60
50
40
30
20
10
70
1) Kreuzen Sie die auf die Funktion V im Intervall ]0; 20[ zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
V ( x ) > 0 und V ′ ( x ) > 0
V ′ ( x ) > 0 und V ″ ( x ) < 0
V ( x ) < 0 und V ″ ( x ) < 0
V ′ ( x ) < 0 und V ″ ( x ) < 0
V ( x ) < 0 und V ″ ( x ) > 0
Die Funktion V soll im Intervall [–15; 20] durch eine lineare Funktion ersetzt werden. Diese
soll an den Randpunkten des Intervalls die gleichen Funktionswerte wie V haben.
2) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen dieser linearen Funktion ein.
3) Geben Sie an, um wie viel Grad Celsius die Vorlauftemperatur bei einer Außentempera-
tur von 0 °C geringer ist, wenn anstelle der Funktion V die lineare Funktion verwendet
wird.
Pelletsheizung 2
c) Bei einer Lieferung werden die Pellets in einer Höhe von 2 m durch einen Einblasstutzen in
einen Lagerraum waagrecht eingeblasen. Eine aufgehängte Schutzmatte soll dabei verhin-
dern, dass die Pellets brechen, wenn die Einblasgeschwindigkeit zu groß ist. Die Flugbahn
eines Pellets kann modellhaft durch den Graphen der folgenden quadratischen Funktion
beschrieben werden:
h ( x ) = –
5 · x
2
v
0
2
+ 2
x ... waagrechte Entfernung vom Einblasstutzen in m
h ( x ) ... Flughöhe eines Pellets über dem Boden bei der Entfernung x in m
v
0
... Einblasgeschwindigkeit in m/s
1) Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Funktion h für
eine Einblasgeschwindigkeit von v
0
= 4 m/s ein.
Schutzmatte h ( x ) in m
x in m
Boden
Einblasstutzen
2
1,5
1
0,5
0
2,5
3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 3,5
Bei einer anderen Einblasgeschwindigkeit trifft das Pellet gerade noch das untere Ende der
1 m langen Schutzmatte.
2) Bestimmen Sie diese Einblasgeschwindigkeit.
Pelletsheizung 3