Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5301–5350

Mit Pfeil und Bogen / Herbsttermin 2022 / A_323 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP S. 10 /21
Aufgabe 4
Mit Pfeil und Bogen
Auf einem horizontalen Gelände finden Bogenschießübungen statt.
a) Für die Beschreibung der Flugbahn eines Pfeiles beim Bogenschießen wird die Bewegung
der Pfeilspitze beobachtet. Die Flugbahn kann näherungsweise durch die quadratische
Funktion f mit f ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c beschrieben werden.
x ... horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in m
f ( x ) ... Höhe der Pfeilspitze in der horizontalen Entfernung x in m
Beim ersten Schuss beträgt der Steigungswinkel der Flugbahn im Abschusspunkt 45°.
1) Ermitteln Sie den Koeffizienten b . [0 / 1 P.]
Beim zweiten Schuss befindet sich die Pfeilspitze beim Abschuss in einer Höhe von 2 m. Sie
erreicht ihre maximale Höhe von 10 m in einer horizontalen Entfernung vom Abschusspunkt
von 20 m. Die Flugbahn beim zweiten Schuss kann ebenfalls durch eine quadratische
Funktion beschrieben werden.
2) Geben Sie die Höhe H der Pfeilspitze bei einer horizontalen Entfernung vom Abschuss-
punkt von 40 m an.
H = m [0 / 1 P.]
3) Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem die Flugbahn beim zweiten Schuss im
Intervall [0; 40] ein. [0 / 1 P.]
Höhe der Pfeilspitze in m
horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in m
40 30 20 10 0
8
6
4
2
0
10
12
Mit Pfeil und Bogen / Herbsttermin 2022 / A_323 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP S. 11 /21
b) Ein Bogenschütze trifft bei jedem Schuss mit der konstanten Wahrscheinlichkeit von p = 0,8
den schwarzen Bereich der Zielscheibe. Man geht modellhaft davon aus, dass die Schüsse
unabhängig voneinander sind.
1) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlich-
keit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
P ( E ) = 1 – 0,2
n
[0 / 1 P.]
Beim Training schießt der Bogenschütze 20-mal auf die Zielscheibe.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 17-mal den schwarzen
Bereich der Zielscheibe trifft. [0 / 1 P.]

Wings for Life / A_217 / Übungsaufgabe S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Wings for Life
Der Wings for Life World Run ist ein Lauf, bei dem der Start in vielen Städten auf der ganzen
Welt genau zur selben Zeit erfolgt. Die Läufer/innen laufen jeweils solange, bis sie vom
sogenannten Catcher-Car überholt werden. Die nachstehende Grafik beschreibt die Fahrt
des Catcher-Cars während eines bestimmten Laufes. (Die Zeiten, die das Catcher-Car zur
Beschleunigung benötigt, werden vernachlässigt.)
a) 1) Berechnen Sie die Länge des Weges, den das Catcher-Car nach 2 Stunden zurückgelegt
hat.
2) Ermitteln Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der ein Teilnehmer laufen muss, damit
er nach 15 km vom Catcher-Car eingeholt wird.
7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 8
Zeit nach dem Start in h
30
25
20
15
10
5
0
35
Geschwindigkeit in km/h
Wings for Life / A_217 / Übungsaufgabe S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
b) 1) Zeichnen Sie das Weg-Zeit-Diagramm des Catcher-Cars für die ersten 1,5 Stunden des
Laufes in das unten stehende Koordinatensystem.
2) Ermitteln Sie mithilfe des Weg-Zeit-Diagramms, nach wie vielen Kilometern eine bestimmte
Läuferin vom Catcher-Car eingeholt wird, wenn sie mit einer konstanten Geschwindigkeit
von 9 km/h läuft.
c) Im Jahr 2015 starteten beim Wings for Life Run weltweit 101 280 Personen. Die Ergebnisse
der 10 besten Läufer sind in der nachstehenden Tabelle angeführt.
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
gelaufene
Kilometer
79,90 78,31 78,20 78,06 74,81 74,56 73,51 73,46 72,15 70,66
1) Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der gelaufenen
Kilometer der 10 besten Läufer.
2) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Person auf Rang 1 weiter gelaufen ist als die
Person auf Rang 10.
Weg in km
Zeit nach dem Start in h
1,25 1,5 1 0,75 0,5 0,25 0 1,75
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
14
15
Wings for Life / A_217 / Übungsaufgabe S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
d) Im Jahr 2015 starteten in Österreich 6 408 Personen beim Wings for Life Run , weltweit
waren es 101 280 Personen. Es werden aus dem weltweiten Teilnehmerfeld nacheinander
2 Personen zufällig ausgewählt. P ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur die erste dieser
Personen in Österreich gelaufen ist.
1) Kreuzen Sie den richtigen Ausdruck an. [1 aus 5]
P =
101 280
6 408
P =
6 408
101 280
P =
6 408
101 280
∙
94 872
101 279
P =
6 408
101 280
∙
6 407
101 279
P =
6 408 · 94 872
101 280

Durchhängende Kette
Aufgabennummer: A_214
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine durchhängende Kette zwischen 2 Masten gleicher Höhe, die 2 m voneinander entfernt
sind, kann mit der Funktion f beschrieben werden.
f ( x ) = ℯ
x
+ ℯ
– x
| x | ... Abstand von der vertikalen Achse in m
f ( x ) ... Höhe der Kette über dem Boden in m
a) Die Funktion f ist symmetrisch bezüglich der vertikalen Achse und kann näherungsweise
auch durch eine quadratische Funktion g beschrieben werden. Der Graph der Funktion g
enthält ebenfalls die Punkte A und B und hat den gleichen Tiefpunkt wie die Funktion f .
– Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, das zur Ermittlung der Koeffizienten von g benötigt
wird.
– Stellen Sie eine Gleichung der Funktion g auf.
b) Die oben beschriebene Kette soll an den Punkten A und B an 2 Stangen befestigt werden,
die an den 2 Punkten die gleichen Steigungswinkel wie die Kette haben.
– Berechnen Sie denjenigen Winkel α , den die Stangen mit der Senkrechten einschließen.
f ( x ) in m
x in m
0 −1 1
A B
f ( x ) in m
x in m
0 −1 1 −2 2
A B
α
Stange
Stange
c) Für eine Abstandsberechnung wurden ausgehend von der Gleichung ℯ
x
+ ℯ
– x
= 2,5
folgende Umformungsschritte durchgeführt:
(1) ℯ
x
+
1
ℯ
x
= 2,5
(2) ℯ
2 · x
+ 1 = 2,5 · ℯ
x
(3) ln( ℯ
2 · x
) + ln(1) = ln(2,5 · ℯ
x
)
(4) 2 · x + 0 = ln(2,5) + x
(5) x = ln(2,5)
In der Umformung von Zeile 2 auf Zeile 3 wurde ein Fehler gemacht.
– Erklären Sie, worin der Fehler besteht.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Durchhängende Kette 2

Baumstammwerfen / Herbsttermin 2022 / A_324 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP S. 12 /21
Aufgabe 5
Baumstammwerfen
Baumstammwerfen ist ein traditioneller schottischer Wettkampf.
a) Die dafür verwendeten Baumstämme sind annähernd zylinderförmig.
Ein bestimmter Baumstamm aus Lärchenholz hat eine Länge von 19 Fuß 6 Zoll und einen
Durchmesser von 6 Zoll.
1 Fuß entspricht 12 Zoll.
1 Zoll entspricht 2,54 cm.
Die Masse m ist das Produkt aus Dichte ϱ und Volumen V , also m = ϱ · V .
Lärchenholz hat eine Dichte von 570 kg/m
3
.
1) Berechnen Sie die Masse dieses Baumstamms in der Einheit kg. [0 / 1 / 2 P.]
b) Ein Baumstamm mit der Länge a wurde vom Abwurfpunkt aus geworfen. In der nachstehenden
Abbildung ist der nun auf dem Boden liegende Baumstamm in der Ansicht von oben darge-
stellt (Abmessungen in m).
a
α
β
ℓ
5 m
Abwurfpunkt
1) Vervollständigen Sie mithilfe von a und ℓ die nachstehende Formel.
α = arctan
( )
[0 / 1 P.]
Es gilt: β = 70°
2) Berechnen Sie die Länge a des Baumstamms. [0 / 1 P.]
Baumstammwerfen / Herbsttermin 2022 / A_324 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP S. 13 /21
c) Bei einem Wettbewerb versucht jede teilnehmende Person, innerhalb von drei Minuten
möglichst viele Baumstämme zu werfen. Die Anzahlen der jeweils geworfenen Baumstämme
sollen in Form eines Boxplots dargestellt werden.
Folgende Daten sind bekannt:
Maximum 16
Spannweite 12
Median 9
Anzahl der geworfenen Baumstämme
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 17
1) Vervollständigen Sie den obigen Boxplot. [0 / 1 P.]
Die Zeit, die Sean pro Wurf benötigt, ist annähernd normalverteilt. Die zugehörige Verteilungs-
funktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 28
Wahrscheinlichkeit
Zeit in s
2) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Erwartungswert μ ab.
μ = s [0 / 1 P.]
3) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass Sean für einen
Wurf mindestens 12 s benötigt. [0 / 1 P.]

Betonschutzwand
Aufgabennummer: A_171
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Zur Sicherung von Baustellen auf den Straßen werden verschiedene Betonschutzwände einge-
setzt.
a) Der Querschnitt einer Betonschutzwand ist in der
Abbildung 1 dargestellt.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung
des Flächeninhalts A der Querschnittsfläche.
A =
b 3
b 2
b
1
h 3
h 2
h 1
Abbildung 1
b) Die Abbildung 2 zeigt den Querschnitt einer anderen Betonschutzwand.
h ( x ) =
1
11 560
∙ x
4
–
1
85
∙ x
3
+
2
5
∙ x
2
mit 0 ≤ x ≤ 68
x , h ( x ) … Koordinaten in cm
Höhe in cm
x in cm
h
0
0
20
40
60
80
100
120
140
20 40 60 80 100
Abbildung 2 h ( x ) in cm
– Berechnen Sie den Flächeninhalt der Querschnitts-
fläche dieser Betonschutzwand.
Die Betonschutzwand hat eine Länge von 4 m
und eine Dichte von 2 400 kg/m
3
(Masse = Dichte × Volumen).
– Berechnen Sie die Masse dieser Betonschutzwand
in Tonnen.
c) Bei einem Element einer Betonschutzwand wird in
einer Höhe von 900 mm eine waagrechte Bohrung
gemacht (siehe Abbildung 3). Die rechte Begren-
zungslinie der zur y -Achse symmetrischen
Querschnittsfläche geht durch die
Punkte P
1
= (200|255) und P
2
= (150|1 070).
– Berechnen Sie die Breite des Elements in
900 mm Höhe.
d) Auf einer Baustelle stehen zwei verschieden lange Elemente A und B der Betonschutz -
wände zur Verfügung. Für die Abgrenzung der Baustelle mit einer Länge von 70 m können
entweder 14 Elemente A und 10 Elemente B oder 7 Elemente A und 15 Elemente B
verwendet werden.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Längen der Elemente A und B auf.
– Berechnen Sie die Längen der Elemente A und B .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Betonschutzwand 2
Abbildung 3
h in mm
x in mm
P
2
P
1
900
Höhe in mm
Breite in mm

Fallschirmsprung*
Aufgabennummer: A_261
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Bei einem Fallschirmsprung wurde der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit eines Fallschirm
springers aufge zeichnet. Im nachstehenden Diagramm wird diese Geschwindigkeit für die
ersten 80 Sekunden nach dem Absprung veranschaulicht.
60
50
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Geschwindigkeit in m/s
Zeit nach dem Absprung in s
a) In den ersten Sekunden nach dem Absprung gilt für den Fallschirmspringer annähernd
das Fallgesetz:
s ( t ) =
g
2
· t
2
t ... Zeit nach dem Absprung in s
s ( t ) ... Fallstrecke zur Zeit t in m
g ... Erdbeschleunigung, g = 9,81 m/s
2
– Berechnen Sie mithilfe des Fallgesetzes die Geschwindigkeit des Fallschirmspringers
1,5 Sekunden nach dem Absprung.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) 55 Sekunden nach dem Absprung zieht der Fallschirmspringer die Reißleine, der Fall
schirm öffnet sich.
– Schätzen Sie den Flächeninhalt zwischen der Geschwindigkeitskurve und der Zeitachse
im Intervall [0 s; 55 s] ab.
– Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Flächeninhalts im gegebenen Sachzusammen
hang unter Angabe der entsprechenden Einheit.
c) Der Höhenmesser des Fallschirmspringers zeigt 60 Sekunden nach dem Absprung eine
Meereshöhe von 1 300 Metern an. Ab dieser Meereshöhe sinkt der Fallschirmspringer
jeweils 100 Meter in 14 Sekunden.
Dabei soll die Meereshöhe des Fallschirmspringers (in Metern) in Abhängigkeit von der
Zeit t (in Sekunden) durch eine Funktion h beschrieben werden.
– Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion h . Wählen Sie t = 0 für den Zeitpunkt 60 Se
kunden nach dem Absprung.
Der Fallschirmspringer landet auf einem Feld, das auf einer Meereshöhe von 350 Metern
liegt.
– Berechnen Sie, wie lange der gesamte Fallschirmsprung (vom Absprung bis zur Lan
dung) dauert.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Fallschirmsprung 2

Altenpflege*
Aufgabennummer: A_262
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Katharina und Georg arbeiten als Pflegekräfte in einem Heim. Sie bekommen das gleiche
monatliche Grundgehalt. Im Februar lag in diesem Heim ein besonderer Arbeitsbedarf vor.
Georg leistete 14 Überstunden, Katharina leistete 46 Überstunden. Ihr jeweiliges Gesamt
entgelt setzt sich aus dem Grundgehalt und der Abgeltung für die geleisteten Überstunden
zusammen. Jede Überstunde wird dabei gleich abgegolten.
Das Gesamtentgelt von Georg betrug im Februar € 2.617, jenes von Katharina betrug
€ 3.433.
– Ermitteln Sie das Grundgehalt und die Abgeltung für eine Überstunde.
b) Der Aufzug eines Pflegeheims hat eine rechteckige Grundfläche mit einer Länge von 4 m
und einer Breite von 2,8 m. Ein Pflegebett fährt auf beweglichen Rollen und hat die Außen
maße 2,4 m × 1,1 m (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung).
4 m
1,1 m
2,4 m
2,8 m
Bett
Aufzug-Innenraum von oben gesehen
– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Aufzug breit genug ist, damit das Bett – wie oben
skizziert – um 180° gedreht werden kann.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die nachstehende Tabelle zeigt die Anzahl der Hausbesuche pro Jahr durch mobile Dienste
im Rahmen der Altenpflege in Oberösterreich sowie deren prozentuellen Anstieg jeweils im
Vergleich zur Anzahl 2 Jahre davor.
Jahr
Anzahl der Haus
besuche pro Jahr
prozentueller Anstieg
(gerundet)
1994 498 086
1996 589 168 18,3 %
1998 802 146 36,1 %
2000 1 017 793 26,9 %
2002 1 176 665 15,6 %
2004 1 360 543 15,6 %
Der prozentuelle Anstieg der Anzahl der Hausbesuche pro Jahr betrug sowohl von 2000
auf 2002 als auch von 2002 auf 2004 jeweils rund 15,6 %.
– Erklären Sie in Worten, warum sich die absolute Änderung der Anzahl der Hausbesuche
pro Jahr von 2000 auf 2002 von jener von 2002 auf 2004 unterscheidet, obwohl die
prozentuellen Anstiege in den jeweiligen Zeitintervallen gleich sind.
– Interpretieren Sie das Ergebnis der Berechnung
1 360 543 – 498 086
2004 – 1994
≈ 86 246 im ge
gebenen Sachzusammenhang.
d) Eine Rampe der Länge x überwindet 3 Stufen. Jede Stufe hat die Höhe h und die Breite b .
b
b
b
h
h
h
x
α
y
– Kreuzen Sie die auf den dargestellten Sachverhalt zutreffende Formel an. [1 aus 5]
x =
2 · b
cos( α )
x =
3 · h · sin( α )
2 · b
x = (2 · b + y ) · tan( α )
x =
2 · b + y
cos( α )
x =
3 · h + sin( α )
2 · b
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maß-
einheiten anzugeben.
Altenpflege 2

Die Genussformel*
Aufgabennummer: A_263
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Der Physiker Werner Gruber erklärt in seinem Buch Die Genussformel (Salzburg: Ecowin, 2008)
die kleinen chemischen und physikalischen Tricks der großen Köchinnen und Köche. Dabei
werden auch mathematische Zusammenhänge betrachtet.
a) In der Genussformel betrachtet Gruber den Genuss beim Essen als messbare Größe mit
Werten von 0 (kein Genuss) bis 1 (maximaler Genuss). Für die Abhängigkeit des Genusses
von der Anzahl der Geschmacksrichtungen auf einem Teller gibt Gruber folgende
Funktion G an:
G ( n ) = ℯ
–
( n – 3) 2
0,2746
n ... Anzahl der unterschiedlichen Geschmacksrichtungen auf dem Teller
G ( n ) ... Genuss bei n unterschiedlichen Geschmacksrichtungen auf dem Teller
– Ermitteln Sie diejenige Anzahl an unterschiedlichen Geschmacksrichtungen, bei der man
laut Gruber den maximalen Genuss hat.
b) Für die optimale Bratdauer einer Gans gibt Gruber folgende Werte an:
Masse der Gans
in Kilogramm
Bratdauer
in Minuten
2,0 104
3,0 136
3,8 159
– Zeigen Sie mithilfe des Differenzenquotienten, dass zwischen Masse und Bratdauer kein
exakter linearer Zusammenhang vorliegt.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Ein Ei einer bestimmten Größe wird gekocht. Der zeitliche Verlauf der Innen temperatur
wird mithilfe der Funktion T modelliert:
T ( t ) = 100 – 192 · ℯ
–
25 · t
81 mit t ≥ 3
t ... Kochzeit in min
T ( t ) ... Innentemperatur zur Zeit t in °C
– Berechnen Sie, nach welcher Kochzeit eine Innentemperatur von 84 °C erreicht wird.
Die Potenz ℯ
–
25 · t
81 wird in Wurzelschreibweise und mit positiver Hochzahl dargestellt.
– Kreuzen Sie die zutreffende Darstellung an. [1 aus 5]
1
√ ℯ
25 · t
81
√ ℯ
25 · t
81
– √ ℯ
25 · t
81
– √ ℯ
81 · t
25
1
√ ℯ
81 · t
25
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Die Genussformel 2

Pizzalieferdienst*
Aufgabennummer: A_264
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine Pizzeria liefert Pizzen auf Bestellung aus. Die Kunden sollen möglichst schnell beliefert
werden, damit die Pizzen bei der Zustellung noch heiß sind.
a) Für 100 Pizzen wurden die Zustellzeiten erhoben und in 6 Klassen eingeteilt:
Klasse
Zustellzeit
in Minuten
Klassenmitte
absolute
Häufigkeit
1 [0; 10[ 5 4
2 [10; 20[ 15 48
3 [20; 30[ 25 27
4 [30; 40[ 35 11
5 [40; 50[ 45 5
6 [50; 60[ 55 5
– Geben Sie an, in welcher Klasse der Median der Zustellzeiten liegt.
Mithilfe der Klassenmitten können das arithmetische Mittel x und die Standardabwei-
chung s der Zustellzeiten näherungsweise berechnet werden.
Es gilt: x = 23 min
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, mit dem die zugehörige Standardabweichung s
der Zustellzeiten berechnet werden kann.
(5 – 23) + (15 – 23) + (25 – 23) + (35 – 23) + (45 – 23) + (55 – 23)
6
(5 – 23)
2
+ (15 – 23)
2
+ (25 – 23)
2
+ (35 – 23)
2
+ (45 – 23)
2
+ (55 – 23)
2
6
(5 – 23)
2
· 4 + (15 – 23)
2
· 48 + (25 – 23)
2
· 27 + (35 – 23)
2
· 11 + (45 – 23)
2
· 5 + (55 – 23)
2
· 5
6
(5 – 23)
2
· 4 + (15 – 23)
2
· 48 + (25 – 23)
2
· 27 + (35 – 23)
2
· 11 + (45 – 23)
2
· 5 + (55 – 23)
2
· 5
100
(4 – 23)
2
· 5 + (48 – 23)
2
· 15 + (27 – 23)
2
· 25 + (11 – 23)
2
· 35 + (5 – 23)
2
· 45 + (5 – 23)
2
· 55
100
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Bei einer statistischen Erhebung wurde die Temperatur der gelieferten Pizzen untersucht.
Die erhobenen Daten sind im folgenden Boxplot dargestellt:
Temperatur in °C
50 40 30 60
Es wird auf Basis dieses Boxplots behauptet: „Mindestens 80 % der gelieferten Pizzen
haben eine Temperatur von über 45 °C.“
– Argumentieren Sie anhand des obigen Boxplots, dass diese Behauptung falsch ist.
c) Die Masse der Pizzen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 480 g.
In der nachstehenden Darstellung der Dichtefunktion ist diejenige Fläche markiert, die der
Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Masse einer zufällig ausgewählten Pizza zwischen
480 g und 520 g liegt.
560 540 520 500 480 460 440 420 400 380 580
0,4234
Masse in g
– Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
ausgewählte Pizza eine Masse von mindestens 520 g hat.
– Skizzieren Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Dichtefunktion einer Normalver-
teilung mit einem Erwartungswert von 520 g und einer kleineren Standardabweichung
als jener der gegebenen Dichtefunktion.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Pizzalieferdienst 2

Wahlmöglichkeiten beim Fliegen*
Aufgabennummer: A_265
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Beim Buchen eines Fluges kann man zwischen der Economy Class (E) und der Business
Class (B) wählen. In jeder der beiden Klassen muss man entweder einen Fensterplatz (F),
einen Platz am Gang (G) oder einen Platz in der Mitte (M) wählen.
Erfahrungsgemäß wählen 90 % der Fluggäste die Economy Class, die übrigen 10 % wäh-
len die Business Class.
Von den Fluggästen der Business Class wünschen sich 80 % einen Fensterplatz und
10 % einen Platz in der Mitte.
Von den Fluggästen der Economy Class wünschen sich 75 % einen Fensterplatz und
15 % einen Platz am Gang.
– Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen
Sachverhalt wiedergibt.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein zufällig ausgewählter Fluggast einen
Fensterplatz wünscht.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Auf einem Flug mit Verpflegung steht auch ein vegetarisches Gericht zur Auswahl. Die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Fluggast das vegetarische Gericht wählt, beträgt p . Die Wahl
jedes Fluggastes wird unabhängig von jener der anderen Fluggäste getroffen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der insgesamt n Fluggäste das vegetari-
sche Gericht wählt, beträgt 99 %.
– Kreuzen Sie die für diesen Zusammenhang zutreffende Gleichung an. [1 aus 5]
1 – (1– p )
n
= 0,99
(1– p )
n
= 0,99
1 – (1– p )
n
= 0,01
1 – p
n
= 0,01
1 – p
n
= 0,99
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Wahlmöglichkeiten beim Fliegen 2

Flussläufe und Pegelstände*
Aufgabennummer: A_266
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Während eines Hochwassers wurde über den Zeitraum von einer Woche der Pegelstand
eines Flusses ermittelt. Den Messergebnissen zufolge kann der zeitliche Verlauf des Pegel-
stands näherungsweise durch die Funktion p beschrieben werden:
p ( t ) = –3,5 · 10
–6
· t
3
+ 6,3 · 10
–4
· t
2
– 0,011 · t + 7,661 mit 0 ≤ t ≤ 168
t ... Zeit in h
p ( t ) ... Pegelstand zur Zeit t in m
– Berechnen Sie die Abweichung des höchsten Pegelstands während des Hochwassers
vom „üblichen“ Pegelstand von 2,5 m.
Zur Zeit t
1
gilt: p ″ ( t
1
) = 0
– Interpretieren Sie die Bedeutung von t
1
im gegebenen Sachzusammenhang.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Auf einem annähernd geradlinig verlaufenden Abschnitt eines Flusses soll das Flussbett
verbreitert und vertieft werden. In der nachstehenden Abbildung ist das Flussbett im
Querschnitt dargestellt.
y in m
x in m
f
h
3 m
30 m
35 m
f ... Profillinie des ursprünglichen Flussbetts
h ... Profillinie des neuen Flussbetts
f und h sind Polynomfunktionen 2. Grades mit zur y -Achse symmetrischen Graphen.
Ein Teilstück des Flussbetts mit der Länge L (in m) wird ausgebaggert.
– Interpretieren Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit, was mit dem folgenden
Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird:
2 · |
∫
17,5
0
h ( x ) d x –
∫
15
0
f ( x ) d x
| ·
L
– Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Gleichung der Funktion h .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Flussläufe und Pegelstände 2

Feinstaubemissionen
Aufgabennummer: A_180
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Für den Zeitraum von 1990 bis 2010 wurden die Feinstaubemissionen in verschiedenen Berei-
chen aufgezeichnet.
a) Die Aufzeichnungen der durch den Straßenverkehr hervorgerufenen Feinstaubemissionen
lassen sich annähernd durch die Funktion E modellieren, deren Graph in der nachstehen-
den Abbildung dargestellt ist.
20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 21
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
12 000
E ( t ) in Tonnen pro Jahr
t in Jahren
A
S
0
t … Zeit in Jahren nach Jahresbeginn 1990 mit 0 ≤ t ≤ 20
E ( t ) … Emission zur Zeit t in Tonnen pro Jahr
Die Funktion E verläuft in den ersten 6 Jahren linear und ab dem Zeitpunkt t = 6 quadra-
tisch:
E ( t ) =
a · t
2
+ b · t + c
für 0 ≤ t < 6
für 6 ≤ t ≤ 20
– Ergänzen Sie den fehlenden Ausdruck in der obigen Funktionsgleichung.
– Erstellen Sie mithilfe der Informationen, die Sie den in der obigen Abbildung eingezeich-
neten Punkten A und S (= Scheitelpunkt der Parabel) entnehmen können, ein Glei-
chungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b und c .
– Berechnen Sie die Koeffizienten a , b und c .
b) Die Feinstaubemissionswerte der Industrie lassen sich annähernd durch die Funktion E
mit E ( t ) = 2,5 ∙ t
2
– 50 ∙ t + 12 500 beschreiben.
t … Zeit in Jahren nach Jahresbeginn 1990 mit 0 ≤ t ≤ 20
E ( t ) … Emission zur Zeit t in Tonnen pro Jahr
F ist derjenige Flächeninhalt, der vom Graphen der Funktion E und der horizontalen Achse
im Intervall [0; 20] eingeschlossen wird.
– Berechnen Sie den Flächeninhalt F .
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Flächeninhalts F im gegebenen Sachzusammen-
hang.
c) Aufzeichnungen über die Feinstaubemissionswerte der Landwirtschaft ergaben folgende
Wertetabelle:
Jahr 1990 1995 2010
Emission in Tonnen pro Jahr 6 000 5 950 5 800
– Zeigen Sie, dass die drei Wertepaare Koordinaten von Punkten beschreiben, die auf
einer Geraden liegen.
– Berechnen Sie bei gleichbleibender Entwicklung den voraussichtlichen Emissionswert
im Jahr 2020.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Feinstaubemissionen 2

Medikamentenabbau (2)
Aufgabennummer: A_231
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Bei Seereisen treten immer wieder Fälle von Seekrankheit bei den Passagieren auf. Verschiedene
Medikamente stehen zu deren Behandlung zur Verfügung.
a) Der Medikamentenabbau im Blut erfolgt nach dem exponentiellen Zerfallsgesetz:
N ( t ) = N
0
∙ ℯ
–0,231 ∙ t
t … Zeit in Stunden (h)
N ( t ) … Wirkstoffmenge im Blut zur Zeit t in mg
N
0
… Ausgangsmenge des Wirkstoffs im Blut in mg
– Beschreiben Sie, was mit der Gleichung 0,5 = ℯ
–0,231 ∙ t
im gegebenen Sachzusammen-
hang ermittelt werden kann.
Ein Passagier nimmt um 18:00 Uhr und um 22:00 Uhr je eine Tablette mit 50 mg Wirkstoff-
menge zu sich.
– Ermitteln Sie, wie viel Milligramm Wirkstoffmenge der Passagier am nächsten Tag um
4:00 Uhr noch im Körper hat.
2 Medikamentenabbau (2)
b) Ein neuartiges Medikament steht in zwei Formen A und B zur Verfügung. Der Abbau des
Wirkstoffs wurde für beide Formen in regelmäßigen Zeitabständen gemessen.
Die beiden Wertetabellen zeigen die Wirkstoffmenge W ( t ) in Abhängigkeit von der Zeit t :
Versuchsreihe für A Versuchsreihe für B
t in Stunden W ( t ) in mg/L t in Stunden W ( t ) in mg/L
0 30,0 0 30,00
1 27,0 1 29,25
2 24,3 2 28,50
3 21,87 3 27,75
– Begründen Sie anhand der obigen Tabellen, warum die Versuchsreihe für A durch ein ex-
ponentielles und die Versuchsreihe für B hingegen durch ein lineares Modell beschrieben
werden kann.
– Erstellen Sie eine Funktionsgleichung für den zeitlichen Abbau der Wirkstoffmenge des
Medikaments in der Form B .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Blut und Blutdruck
Aufgabennummer: A_223
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Blutkreislauf ist ein wichtiges Versorgungssystem des menschlichen Körpers.
a) Ein wichtiger Bestandteil des Blutes sind die roten Blutkörperchen. 1 cm
3
Blut enthält
rund 5 Milliarden rote Blutkörperchen.
– Ermitteln Sie, wie viele rote Blutkörperchen sich in 6 L Blut befinden. Geben Sie das
Ergebnis in Gleitkommadarstellung in der Form a · 10
k
mit 1 ≤ a < 10 an.
Der Durchmesser eines roten Blutkörperchens beträgt 7,5 μ m.
Nehmen Sie an, man würde alle Blutkörperchen, die in 6 L Blut enthalten sind, aneinan-
derreihen.
– Berechnen Sie, welche Länge in Metern die Kette der aneinandergereihten Blutkörper-
chen hätte.
b) Der Blutdruck wird in Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) angegeben. Der Blutdruck von
gesunden Menschen ist annähernd normalverteilt. Ein Blutdruck zwischen 110 mmHg und
130 mmHg wird als normal empfunden.
Die unten stehenden beiden Abbildungen zeigen die Graphen der Dichtefunktion und der
Verteilungsfunktion für diese Normalverteilung.
– Kennzeichnen Sie in der Abbildung der Dichtefunktion den Erwartungswert μ sowie die
Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter gesunder Mensch einen Blutdruck
zwischen 110 mmHg und 130 mmHg hat.
– Ermitteln Sie mithilfe der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit, dass der Blutdruck
eines zufällig ausgewählten gesunden Menschen zwischen 110 mmHg und 130 mmHg
beträgt.
50 60 70 80 170 180 190 160 150 140 130 120 110 100 90
Blutdruck in mmHg
50 60 70 80 170 180 190 160 150 140 130 120 110 100 90
Blutdruck in mmHg
1
0,95
0,9
0,85
0,8
0,75
0,7
0,65
0,6
0,55
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
Wahrscheinlichkeit
40
Blut und Blutdruck 2
c) Die Konzentration eines blutdrucksenkenden Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann für
die ersten 10 Stunden nach Einnahme des Medikaments näherungsweise durch die Funk-
tion f beschrieben werden:
f ( t ) = 8 ∙ t ∙ ℯ
–0,75 · t
t … Zeit in Stunden nach der Einnahme
f ( t ) … Konzentration des Wirkstoffs im Blut zur Zeit t in Milligramm pro Liter (mg/L)
– Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Konzentration im Zeitintervall [2; 4] nach
der Einnahme.
d) Untersuchungen haben ergeben, dass ein bestimmtes Medikament mit einer Wahrschein-
lichkeit von 52 % den Blutdruck senkt.
80 zufällig ausgewählte Personen erhalten das Medikament.
– Beschreiben Sie die Bedeutung des folgenden Ausdrucks im gegebenen Sachzusam-
menhang:
i = 0
∑
8
( )
80
i
∙ 0,48
i
∙ 0,52
80 – i
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Blut und Blutdruck 3