Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5251–5300

Der Genfer See*
Aufgabennummer: A_222
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Der Jet d’eau ist ein Springbrunnen im Genfer See. Die Wasserfontäne des Springbrun
nens erreicht eine maximale Höhe von 140 Metern.
In einem vereinfachten Modell kann die Höhe eines Wasserteilchens über der Wasserober
fläche in Abhängigkeit von der Zeit durch die Funktion h beschrieben werden:
h ( t ) = –4,9 · t
2
+ 55,6 · t mit t ≥ 0
t … Zeit nach dem Austritt eines Wasserteilchens in s
h ( t ) … Höhe des Wasserteilchens über der Wasseroberfläche zur Zeit t in m
In diesem Modell wird der Luftwiderstand nicht berücksichtigt. Daher weicht die mithilfe
der Modellfunktion h ermittelte maximale Höhe deutlich von der angegebenen maximalen
Höhe ab.
– Berechnen Sie, um wie viel Prozent die mithilfe der Modellfunktion h ermittelte maximale
Höhe über der angegebenen maximalen Höhe von 140 Metern liegt.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Der Genfer See wird durch mehrere Flüsse gespeist. Der Wasserstand des Sees wird
beim Abfluss reguliert.
Die nachstehende Grafik zeigt den Verlauf der Durchflussrate des Wassers beim Abfluss
innerhalb von 48 Stunden.
Durchflussrate f ( t ) in m
3
/h
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
32,4 ∙ 10
5
28,8 ∙ 10
5
25,2 ∙ 10
5
21,6 ∙ 10
5
18 ∙ 10
5
14,4 ∙ 10
5
10,8 ∙ 10
5
7,2 ∙ 10
5
3,6 ∙ 10
5
f
0
Zeit t in h
– Beschreiben Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit, was mit dem Ausdruck
∫
48
0
f ( t ) d t im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird.
Die Funktion F ist eine Stammfunktion der in der obigen Grafik dargestellten Funktion f .
– Kreuzen Sie die für F zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
F hat die Stelle mit dem größten Anstieg im Intervall [14; 18].
F hat eine Maximumstelle im Intervall [26; 30].
F ist monoton fallend im Intervall [32; 44].
F ist monoton steigend im Intervall [4; 26].
F ist im Intervall [0; 16] positiv gekrümmt (linksgekrümmt).
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Der Genfer See 2

Baumkronenpfad*
Aufgabennummer: A_230
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Der Baumkronenpfad ist eine Brückenstrecke durch einen Teil des Schönbrunner Tiergartens.
max.
10 Meter Höhe
160 Meter
• Der Baumkronenpfad hat ein sanftes Gefälle von 8 %.
• Der Baumkronenpfad kann schwingen!
• Die maximale Höhe über dem Grund beträgt 10 Meter.
8 %
a) Auf dem Schild zum Baumkronenpfad ist zu lesen:
„Der Baumkronenpfad hat ein sanftes Gefälle von 8 %.“
Dabei wird der Baumkronenpfad vereinfacht als geradlinig angenommen. Die horizontale
Entfernung zwischen Startpunkt und Endpunkt beträgt 160 m.
– Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen Startpunkt und Endpunkt.
– Berechnen Sie den Neigungswinkel des Baumkronenpfads.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Auf dem Schild zum Baumkronenpfad ist zu lesen: „Der Baumkronenpfad kann schwingen!“
In der nachstehenden Grafik ist das Auf-und-ab-Schwingen des Baumkronenpfads an
einer bestimmten Stelle dargestellt.
Auslenkung in Metern
f
Zeit t in Sekunden
0 8 7 6 5 4 3 2 1 9
0,1
0,15
0,05
0
–0,05
–0,1
0,2
– Lesen Sie aus der obigen Grafik die maximale Auslenkung ab.
In der obigen Grafik ist die sogenannte „Einhüllende“ strichliert eingezeichnet. Es handelt
sich dabei um eine Funktion f mit f ( t ) = c · a
t
.
– Lesen Sie aus der Grafik den Parameter c ab.
– Begründen Sie mathematisch, warum für den Parameter a dieser Funktion f gilt:
0 < a < 1.
Baumkronenpfad 2
c) Auf dem Schild zum Baumkronenpfad ist zu lesen: „Die maximale Höhe über dem Grund
beträgt 10 Meter.“ Diese maximale Höhe wird in einer horizontalen Entfernung von 90 m
vom Startpunkt erreicht.
In 40 m horizontaler Entfernung vom Startpunkt beträgt die Höhe 8 m.
Die horizontale Entfernung zwischen Startpunkt und Endpunkt beträgt 160 m.
Im Anfangspunkt und im Endpunkt ist die Höhe 0 m.
Die Höhe über dem Grund abhängig von der horizontalen Entfernung vom Startpunkt soll
näherungsweise mithilfe einer Polynomfunktion 4. Grades h mit
h ( x ) = a · x
4
+ b · x
3
+ c · x
2
+ d · x + e beschrieben werden.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem die Koeffizienten dieser Funktion berechnet
werden können.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Baumkronenpfad 3

Epidemie*
Aufgabennummer: A_255
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In einem Land breitet sich eine Epidemie aus.
a) Nach wissenschaftlichen Recherchen vor Ort konnte im Nachhinein der Zeitpunkt des
ersten Infektionsfalls festgestellt werden.
Zu Beginn der Epidemie verdoppelt sich die Anzahl der Neuinfektionen etwa alle 4 Tage.
– Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Funktion N , die die Anzahl der Neuinfektionen
zur Zeit t in Tagen beschreibt. Wählen Sie t = 0 für den Zeitpunkt des ersten Infektions-
falls.
– Argumentieren Sie, dass eine exponentielle Zunahme der Anzahl der Neuinfektionen auf
lange Sicht nicht realistisch ist.
b) Der zeitliche Verlauf der Gesamtanzahl der seit Ausbruch der Epidemie infizierten Perso-
nen kann näherungsweise durch die Funktion I beschrieben werden.
I ( t ) =
30 000
1 + b · ℯ
–0,1739 · t
t … Zeit seit Ausbruch der Epidemie in Tagen
I ( t ) … Gesamtanzahl der seit Ausbruch der Epidemie infizierten Personen zur Zeit t
Nach 41 Tagen wurden insgesamt 1 200 infizierte Personen registriert.
– Berechnen Sie den Parameter b .
– Ermitteln Sie, nach welcher Zeit gemäß diesem Modell erstmals mehr als 17 000 Perso-
nen infiziert sein werden.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Der zeitliche Verlauf der Gesamtanzahl der seit Ausbruch der Epidemie infizierten Per-
sonen kann näherungsweise durch eine Funktion I beschrieben werden. Der Graph der
Funktion I ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
80 70 60 50 40 30 20 10 0 90
Zeit seit Ausbruch
der Epidemie in Tagen
Gesamtanzahl der seit Ausbruch der Epidemie
infizierten Personen
I
25 000
20 000
15 000
10 000
5 000
0
30 000
– Interpretieren Sie den Ausdruck I (45) im gegebenen Sachzusammenhang.
– Lesen Sie aus der Grafik denjenigen Zeitpunkt ab, bei dem die Anzahl der Neuinfektio-
nen pro Tag am höchsten ist.
– Dokumentieren Sie in Worten, wie der Zeitpunkt, zu dem die Anzahl der Neuinfektionen
pro Tag am höchsten ist, mithilfe der Differenzialrechnung berechnet werden kann, wenn
eine Gleichung von I bekannt ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Epidemie 2

Verzinsung*
Aufgabennummer: A_256
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Auf einem Konto werden € 3.000 angelegt.
Für eine Zeitspanne von 3 Jahren wird dieser Betrag mit 5 % pro Jahr verzinst, anschlie-
ßend für 2 Jahre mit 1 % pro Jahr.
– Ermitteln Sie den Kontostand nach 5 Jahren K
5
.
Bei einem konstanten Jahreszinssatz i wäre der Kontostand nach 5 Jahren auf denselben
Wert K
5
angewachsen.
– Bestimmen Sie diesen Jahreszinssatz i .
b) Die Basisformel für die Zinseszinsrechnung lautet:
Kn
= K
0
· (1 + i )
n
K
0
... Anfangskapital
Kn
... Kapital nach n Jahren
i ... Jahreszinssatz
Nach einer bestimmten Anzahl von Jahren n
2
hat sich das Anfangskapital verdoppelt.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von n
2
aus i .
n
2
=
Zur näherungsweisen Berechnung von n
2
kann die sogenannte 0,69er-Regel verwendet
werden:
n
2
≈
0,69
i
+ 0,35
– Überprüfen Sie nachweislich, ob die 0,69er-Regel für i = 0,04 eine gute Näherung von
n
2
ergibt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe

CD / A_233 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
CD
Eine CD ist ein Datenspeicher.
a) Die zum Speichern verwendete Fläche einer CD hat die Form
eines Kreisrings (siehe nebenstehende Abbildung).
Die Speicherkapazität einer CD beträgt 700 Megabyte (MB).
Jemand speichert Bilddateien mit einer Größe von je 4 MB.
1) Ermitteln Sie die Anzahl der Bilddateien, die auf 1 cm
2
gespeichert werden können.
b) In der nachstehenden Abbildung sind die Graphen der Kostenfunktionen für die Pressung von
CDs bei zwei Unternehmen dargestellt.
x … Menge der gepressten CDs in Mengeneinheiten (ME)
K
1
( x ) , K
2
( x ) … Kosten bei der Produktionsmenge x in Unternehmen 1 bzw. Unternehmen 2 in
Geldeinheiten (GE)
1) Stellen Sie eine Gleichung der Kostenfunktion K
2
auf.
Die Funktion K
1
wird durch die Funktionsgleichung K
1
( x ) = 0,45 ∙ x + 40 beschrieben.
Es soll diejenige Produktionsmenge bestimmt werden, bei der die Produktionskosten im
Unternehmen 2 um 10 GE höher sind als jene im Unternehmen 1.
2) Berechnen Sie diese Produktionsmenge.
24 mm 34 mm
K
2
K
1
K
1
( x ), K
2
( x ) in GE
x in ME
130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 140
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
CD / A_233 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
c) Die Durchmesser von CDs eines bestimmten Herstellers sind annähernd normalverteilt mit
dem Erwartungswert μ = 12 cm und der Standardabweichung σ σ = 0,02 cm.
1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser einer zufällig ausgewählten CD
dieses Herstellers außerhalb des Intervalls [ μ – 0,04 cm; μ + 0,04 cm] liegt.
In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der Verteilungsfunktion dieser
Normalverteilung dargestellt.
2) Kennzeichnen Sie in dieser Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausge-
wählte CD im Intervall [ μ – 0,04 cm; μ + 0,04 cm] liegt.
11,9 11,92 11,94 11,96 11,98 12 12,02 12,04 12,06 12,08 12,1 12,12
0
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,9
0,1
1
Durchmesser in cm
Wahrscheinlichkeit

Stau / Herbsttermin 2022 / A_321 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP S. 5 /21
Aufgabe 2
Stau
a) Die zwei Autos A und B stehen im Stau hintereinander. Sie beschleunigen und bremsen
wieder ab.
Die Weg-Zeit-Funktion des Autos A lautet:
sA ( t ) = – 0,08 ∙ t
3
+ 1,2 ∙ t
2
mit 0 ≤ t ≤ 10
t ... Zeit in s
sA ( t ) ... zurückgelegter Weg zur Zeit t in m
1) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit des Autos A . [0 / 1 P.]
Die Graphen der Geschwindigkeit-Zeit-Funktionen vA und vB der beiden Autos sind in der
nachstehenden Abbildung dargestellt.
Zeit in s
Geschwindigkeit in m/s
v
A
v
B
t
1
2) Interpretieren Sie den Schnittpunkt der Graphen im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
Stau / Herbsttermin 2022 / A_321 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP S. 6 /21
b) Der Bewegungsvorgang eines bestimmten Autos wird über einen Zeitraum von 6 s betrachtet.
In den ersten 3 s nimmt die Geschwindigkeit des Autos zu. In den letzten 3 s nimmt die Ge-
schwindigkeit des Autos ab.
1) Begründen Sie, warum der nachstehend dargestellte Graph den beschriebenen Bewegungs-
vorgang nicht zutreffend wiedergibt. [0 / 1 P.]
Weg in m
Zeit in s
0 3 6
0
c) Frau Maier fährt mit dem Auto zu ihrem Arbeitsplatz. Für das Jahr 2019 ergaben sich für ihren
Arbeitsweg modellhaft folgende Werte:
Bei geringem Verkehrsaufkommen benötigte sie für die gesamte Strecke (hin und retour)
40 min. Bei starkem Verkehrsaufkommen war die Fahrzeit für diese Strecke um 31 % länger.
An 185 Arbeitstagen gab es starkes Verkehrsaufkommen.
1) Berechnen Sie, wie viele Stunden Frau Maier im Jahr 2019 durch das starke Verkehrsauf-
kommen zusätzlich für ihren Arbeitsweg benötigt hat. [0 / 1 P.]

Zirkus*
Aufgabennummer: A_298
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Eine bestimmte Zirkusvorstellung wurde von 65 Erwachsenen und 57 Kindern besucht.
Diese bezahlten insgesamt Eintritt in Höhe von 1.179 Euro.
Eine andere Zirkusvorstellung mit den gleichen Eintrittspreisen wurde von 82 Erwachsenen
und 74 Kindern besucht. Diese bezahlten insgesamt Eintritt in Höhe von 1.502 Euro.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung des Eintrittspreises x für einen
Erwachsenen und des Eintrittspreises y für ein Kind.
2) Berechnen Sie die Eintrittspreise x und y .
b) Eine Gruppe von n Personen bestellt Eintrittskarten für einen anderen Zirkus zu einem
Eintrittspreis von p Euro pro Person. Bis zum Tag der Vorstellung hat sich die Gruppengrö-
ße jedoch um k Personen erhöht, und der Veranstalter gewährt deshalb allen eine Ermäßi-
gung von 5 % auf den Eintrittspreis.
1) Kreuzen Sie den richtigen Ausdruck zur Berechnung des insgesamt bezahlten Eintritts
an. [1 aus 5]
( n + k ) ∙ p
0,95
( n + k ) ∙ p ∙ 0,95
0,95 ∙ ( n + k ∙ p )
0,05 ∙ ( n + k ) ∙ p
( n ∙ k + p ) ∙ 0,95
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die Dauer der Zirkusvorstellungen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert
μ = 120 min und der Standardabweichung σ = 5 min.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zirkusvorstellung
mindestens 118 min dauert.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zirkusvorstellung höchstens
125 min dauert, soll mithilfe der zugehörigen Dichtefunktion f bzw. mithilfe der zugehörigen
Verteilungsfunktion F dargestellt werden.
2) Kreuzen Sie diejenige Darstellung an, die nicht dieser Wahrscheinlichkeit entspricht.
[1 aus 5]
0,5 +
∫
125
120
f ( x ) d x
∫
125
–∞
f ( x ) d x
1 – F (125)
f
135 130 125 120 115 110 105 100 140
Zeit in min
Zeit in min
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
Wahrscheinlichkeit
F
135 130 125 120 115 110 105 100 0 140
Zirkus 2

Dorffest
Aufgabennummer: A_135
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Auf einem Dorffest gibt es ein Unterhaltungsprogramm für Kinder.
a) Lea und Ahmad treten im Bogenschießen als Team an. Zuerst schießt Ahmad und dann
Lea auf eine Zielscheibe. Aus Erfahrung weiß man, dass Ahmad bei 3 von 4 Versuchen
trifft. Lea trifft das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit p .
– Veranschaulichen Sie diesen Sachverhalt mithilfe eines Baumdiagramms.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Lea als auch Ahmad das Ziel treffen, beträgt 50 %.
− Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p , mit der Lea das Ziel trifft.
b) Unter den Kindern werden einige Preise verlost.
– Ordnen Sie den beiden Wahrscheinlichkeiten jeweils die dazu äquivalente Wahrschein-
lichkeit aus A bis D zu. [2 zu 4]
P („höchstens 1 Mäd-
chen gewinnt“)
A 1 – P („kein Mädchen gewinnt“)
B
1 – P („höchstens 2 Mädchen ge-
winnen“)
P („mindestens 1 Mäd-
chen gewinnt“)
C
1 – P („mindestens 2 Mädchen
gewinnen“)
D 1 – P („genau 1 Mädchen gewinnt“)
c) Am Festgelände fährt ein Bummelzug. Für Kinder unter 3 Jahren ist die Fahrt kostenlos.
Kinder ab 3 Jahren zahlen die Hälfte des Fahrpreises p für Erwachsene.
Insgesamt wurden n Fahrgäste gezählt. Die Tageseinnahmen können mit dem Ausdruck
0,5 ∙ n ∙
p
2
+ 0,2 ∙ n ∙ p berechnet werden.
– Ermitteln Sie mithilfe des gegebenen Ausdrucks, wie viel Prozent der Fahrgäste unter
3 Jahre alt waren.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit pas-
senden Maßeinheiten anzugeben.

Fahrzeiten
Aufgabennummer: A_165
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Im Folgenden wird das Befahren verschiedener Strecken nach unterschiedlichen Aspekten
analysiert.
a) Für eine bestimmte Strecke sind in der nachstehenden Grafik die Fahrzeiten t in min bei
unterschiedlichen konstanten Geschwindigkeiten v in km/h dargestellt.
0
1
10 20 30 40 60 50 70 80 90 100 110 120
v in km/h
t in min
2
3
4
5
6
Für die Strecke wird bei einer konstanten Geschwindigkeit von 50 km/h die Zeit t
1
und
bei einer konstanten Geschwindigkeit von 100 km/h die Zeit t
2
benötigt.
Es wird behauptet, dass für die gleiche Strecke bei einer konstanten Geschwindigkeit von
75 km/h die Zeit
t
1
+ t
2
2
benötigt wird.
– Zeigen Sie mithilfe der Grafik, dass diese Aussage falsch ist.
b) Eine Person A fährt eine Strecke von 400 km Länge mit durchschnittlich 100 km/h und
legt einen Tankstopp von 15 min ein. Eine zweite Person B startet zur gleichen Zeit, fährt
auf der gleichen Strecke mit 80 km/h und legt keinen Tankstopp ein.
– Berechnen Sie, um wie viele Minuten die Person A trotz des Zwischenstopps früher als
die Person B ans Ziel kommt.
c) Eine Person C fährt eine Strecke von 400 km Länge mit einer mittleren Geschwindigkeit
von 70 km/h.
– Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Funktion s , die die Entfernung der Person C vom
Zielort in Abhängigkeit von der gefahrenen Zeit beschreibt.
Eine weitere Person D fährt die Strecke mit durchschnittlich 100 km/h.
– Lesen aus der nachstehenden Abbildung den Fahrzeitgewinn von Person D ab.
0 5 10 15 20 30 25 35 40 45 50 55 60 65
Geschwindigkeitsunterschied
zu Person C in km/h
Fahrzeitgewinn in Stunden
0,5
1
1,5
2
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Fahrzeiten 2

Abfallwirtschaft
Aufgabennummer: A_184
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Die nachstehende Tabelle zeigt die Menge des gesammelten Restmülls in Graz in den
Jahren 2001, 2002, 2005 und 2010.
Jahr 2001 2002 2005 2010
Restmüllmenge in t 41 072 41 292 43 312 52 569
Es wird vermutet, dass sich die Entwicklung der Restmüllmenge durch eine quadratische
Funktion näherungsweise beschreiben lässt.
– Erstellen Sie mithilfe der Daten der Jahre 2001, 2002 und 2005 eine Gleichung der qua-
dratischen Funktion, die als Modell für die Entwicklung der Restmüllmenge verwendet
werden kann. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2001.
– Berechnen Sie für das Jahr 2010 die prozentuelle Abweichung dieses Modells von der
tatsächlich gesammelten Restmüllmenge.
b) Die Entwicklung der Restmüllmenge in den Jahren 2001 bis 2010 in Graz kann mithilfe
der Funktion R näherungsweise beschrieben werden:
R ( t ) = 120 ∙ t
2
+ 80 ∙ t + 41 072
t … Zeit in Jahren ab 2001, d. h., für das Jahr 2001 gilt: t = 0
R ( t ) … Restmüllmenge zur Zeit t in t
– Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate für t = 5 bis t = 9.
c) Aus dem Abfallwirtschaftsplan des Bundes geht hervor, dass im Jahr 2009 in Österreich
insgesamt 53 543 000 t Müll angefallen sind.
– Stellen Sie diesen Wert mittels Gleitkommadarstellung in Kilogramm dar.
In Österreich lebten im Jahr 2009 rund 8,375 Millionen Menschen.
– Berechnen Sie für das Jahr 2009 die durchschnittliche Menge des pro Kopf angefalle-
nen Mülls in Tonnen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Benzinverbrauch / A_185 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Benzinverbrauch
In der nachstehenden Grafik wird für die einzelnen Gänge der Benzinverbrauch eines
Personenkraftwagens in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit dargestellt.
120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 130 0
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
14
Geschwindigkeit in km/h
Benzinverbrauch in L/100 km
1. Gang
2. Gang
3. Gang
4. Gang
5. Gang
a) 1) Lesen Sie aus der obigen Grafik ab, wie viele Liter Benzin pro 100 km man sich ersparen
kann, wenn bei 35 km/h nicht mit dem 2. Gang, sondern mit dem 3. Gang gefahren wird.
b) Der Benzinverbrauch im 1. Gang im Intervall [7 km/h; 40 km/h] kann näherungsweise durch
folgende Funktionsgleichung beschrieben werden:
b
1
( v ) =
3 ∙ v
2
+ 10 ∙ v + 1 500
10 ∙ ( v + 10)
v … Geschwindigkeit in km/h
b
1
( v ) … Benzinverbrauch bei der Geschwindigkeit v in Litern pro 100 Kilometer (L/100 km)
1) Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate des Benzinverbrauchs für das Intervall
[10 km/h; 30 km/h].
2) Berechnen Sie die relative Änderung des Benzinverbrauchs in Prozent bei einer Erhöhung
der Geschwindigkeit von 10 km/h auf 30 km/h.
Benzinverbrauch / A_185 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
c) Der Benzinverbrauch im 4. Gang kann näherungsweise durch eine quadratische Funktion b
4
mit b
4
( v ) = a ∙ v
2
+ b ∙ v + c beschrieben werden.
Bei 40 km/h ist der Benzinverbrauch minimal und beträgt 3,9 L/100 km. Bei 100 km/h beträgt
der Benzinverbrauch 6 L/100 km.
v ... Geschwindigkeit in km/h
b
4
( v ) ... Benzinverbrauch bei der Geschwindigkeit v in Litern pro 100 Kilometer (L/100 km)
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b und c .

Grazer Hausberg / A_189 / Übungsaufgabe S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Grazer Hausberg
Der Schöckl gilt als Grazer Hausberg. Es führen viele verschiedene Wege und Straßen um ihn
herum und auf den Gipfel.
a) Die Talstation der Schöckl-Seilbahn liegt auf 780 m und deren Bergstation auf 1 436 m Höhe über
dem Meeresspiegel. Die als geradlinig angenommene Strecke, die die Seilbahn zurücklegt, beträgt
2 087 m. Die Fahrtdauer von der Talstation zur Bergstation beträgt 7 min.
1) Argumentieren Sie, dass man mit dem Ausdruck arctan
(
656
2 087 )
den Steigungswinkel der
Strecke nicht berechnen kann.
2) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit der Seilbahn in Metern pro Sekunde
(m/s).
b) Das nachstehende Diagramm zeigt näherungsweise den Verlauf einer Wanderung auf den
Schöckl.
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
Zeit in min
längs des Weges gemessene Entfernung vom Ausgangspunkt in km
1) Begründen Sie unter Verwendung dieses Diagramms, in welchem der beiden
Zeitabschnitte der Wanderer schneller gegangen ist.
Der Wanderer macht nach dem Aufstieg keine Pause und wandert mit einer mittleren Ge-
schwindigkeit von 3,375 km/h den selben Weg bergab.
2) Vervollständigen Sie im obigen Diagramm den Verlauf der Wanderung.

Glaubensrichtungen und -symbole
Aufgabennummer: A_187
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Die nachstehende Tabelle stellt die Anteile zweier Religionsgruppen an der Weltbevölke-
rung im Jahr 2010 dar. Die Anteile wurden für das Jahr 2050 hochgerechnet.
Religions-
gemeinschaft
Anzahl 2010
in Tausend
Anzahl 2050
in Tausend
Anteil 2050
an der Weltbevölkerung
Buddhisten 487 760 486 270
Hindus 1 032 210 1 384 360 14,9 %
– Ergänzen Sie den fehlenden Wert in der obigen Tabelle.
– Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich die Anzahl der Buddhisten laut der Hochrech-
nung vom Jahr 2010 auf das Jahr 2050 verändert haben wird.
b) Ein bekanntes religiöses Symbol ist der Davidstern.
Er besteht aus 2 gleichseitigen Dreiecken mit Seiten-
länge a . In der Mitte entsteht ein regelmäßiges
Sechseck. An dieses grenzen 6 kleinere gleich-
seitige Dreiecke. Die Seitenlänge der kleinen Dreiecke
beträgt jeweils
a
3
.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächen-
inhalts A des Davidsterns aus der Seitenlänge a auf.
A = ______________________________________
c) Ein Fisch-Symbol, dargestellt durch zwei gekrümmte Linien (siehe nachstehende Abbil-
dung), spielte schon im Urchristentum eine wichtige Rolle.
f ( x ), g ( x )
f
g
x
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12
3
2
1
0
4
Die beiden im Intervall [0; 12] dargestellten, zur Geraden y = 2 symmetrischen Linien wur-
den durch die quadratischen Funktionen f und g erzeugt.
– Stellen Sie mithilfe der obigen Abbildung die Gleichung der Funktion f auf.
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, mit dem der Inhalt der in der obigen Abbildung
eingefärbten Fläche berechnet werden kann. [1 aus 5]
48 –
∫
12
0
f ( x ) d x
2 · ( ∫
10
0
g ( x ) d x +
∫
12
10
f ( x ) d x )
∫
12
0
( f ( x ) – g ( x )) d x
2 ·
∫
12
0
(2 – g ( x )) d x
2 · ( 24 –
∫
10
0
g ( x ) d x –
∫
12
10
f ( x ) d x )
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Glaubensrichtungen und -symbole 2

Fußballtor
Aufgabennummer: A_183
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Fußballtor hat folgende Abmessungen:
h
b
a
c
l
innerer Torrahmen:
h = 2,44 m
l = 7,32 m
Stützstangen:
a = 2,62 m
b = 1,0 m (verläuft parallel
zum Boden)
c = 1,95 m
a) – Berechnen Sie, welchen Winkel die hintere Stützstange der Länge a mit dem Boden
– also der Strecke mit der Länge c – einschließt.
b) Die zylindrischen Stützstangen des Fußballtors mit der
Länge a sind innen hohl. Sie haben einen Außendurch-
messer d und eine Wandstärke w . Die Stangen werden
aus Aluminium mit einer Dichte von ρ = 2,7 kg/dm³ gefertigt.
d
w
d
w
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des
Volumens V einer Stützstange der Länge a .
V =
– Berechnen Sie die Masse einer Stützstange der Länge a = 2,62 m mit d = 60 mm und
w = 1,5 mm.
c) Für ein Fußballtor mit den gegebenen Abmessungen soll ein neues Netz gekauft werden.
Wegen des Verlustes beim Zuschneiden wird um 10 % mehr Netzfläche gekauft, als ei-
gentlich benötigt wird.
– Berechnen Sie, wie viele Quadratmeter Netz gekauft werden müssen. Gehen Sie davon
aus, dass die Rückfläche und die obere Fläche des Tores rechteckig sind.
d) Ein bestimmter Tormann hält einen Elfmeter mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 %. In
einem Fußballmatch werden 3 Elfmeter auf sein Tor geschossen. (Die Schüsse erfolgen
unabhängig voneinander und die Wahrscheinlichkeit bleibt konstant.)
– Veranschaulichen Sie die Situation in einem Baumdiagramm.
– Interpretieren Sie die Wahrscheinlichkeit P , die mit der nachstehenden Formel berechnet
wird, im gegebenen Sachzusammenhang.
P = 1 – 0,8
3
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Fußballtor 2