Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5201–5250

Vergnügungspark (2)*
Aufgabennummer: A_249
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Bei einer Besucherbefragung in einem Vergnügungspark wurden folgende Daten erhoben:
60 % der Besucher sind aus dem Inland. Die Besucher aus dem Inland reisen zu 45 %
mit dem PKW an, die restlichen Besucher aus dem Inland mit öffentlichen Verkehrsmitteln.
90 % der Besucher aus dem Ausland reisen mit öffentlichen Verkehrsmitteln an, die restli-
chen Besucher aus dem Ausland mit dem PKW.
– Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen
Sachverhalt wiedergibt.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In einem Vergnügungspark werden Familien nach ihren Ausgaben befragt.
Die beiden nachstehenden Boxplots veranschaulichen die Ausgaben der befragten Famili-
en für die Attraktionen und jene für Essen und Getränke.
Attraktionen:
Ausgaben pro befragter Familie in €
75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 80
Essen und Getränke:
Ausgaben pro befragter Familie in €
40 35 30 25 20 15 10 5 0
Andreas behauptet, aus den beiden Boxplots Folgendes ablesen zu können: „Es gibt mit
Sicherheit mindestens eine Familie, die insgesamt 120 Euro für Attraktionen sowie Essen
und Getränke ausgibt.“
– Argumentieren Sie, dass die Behauptung von Andreas falsch ist.
Vergnügungspark (2) 2
c) Aus Erfahrung weiß man, dass eine bestimmte Attraktion des Vergnügungsparks von
jeder Person mit der Wahrscheinlichkeit p genutzt wird.
Es werden 10 Personen zufällig ausgewählt.
– Kreuzen Sie dasjenige Ereignis E an, für dessen Wahrscheinlichkeit gilt:
P ( E ) =
( )
10
3
∙ p
3
∙ (1 – p )
7
[1 aus 5]
Genau 3 der 10 Personen nutzen die Attraktion.
Maximal 7 der 10 Personen nutzen die Attraktion.
Mindestens 7 der 10 Personen nutzen die Attraktion.
Genau 7 der 10 Personen nutzen die Attraktion.
Höchstens 3 der 10 Personen nutzen die Attraktion.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Vergnügungspark (2) 3

Rohmilchproduktion*
Aufgabennummer: A_252
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Im Jahr 1995 betrug die Rohmilchproduktion der Kühe in Österreich insgesamt 2,948 Mil-
lionen Tonnen, im Jahr 2013 betrug sie 3,393 Millionen Tonnen. Die jährliche absolute
Zunahme der Roh milch produktion wird als konstant angenommen.
– Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion f , die die Rohmilchproduktion in Abhängigkeit
von der Zeit t beschreibt. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1995.
– Berechnen Sie mithilfe der Funktion f die voraussichtliche Rohmilchproduktion im
Jahr 2017.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Tabelle ist die durchschnittliche Jahresmilchleistung pro Kuh in Kilo-
gramm (kg) für einige ausgewählte europäische Länder im Jahr 2012 angegeben.
Land durchschnittliche Jahresmilchleistung pro Kuh in kg
Deutschland 7 280
Dänemark 8 701
Italien 5 650
Österreich 6 418
Rumänien 3 429
Slowakei 6 501
Tschechien 7 705
Ungarn 7 184
– Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die durchschnittliche Jahresmilchleistung pro Kuh in
Dänemark höher als jene in Rumänien war.
Diese Daten sind, mit Ausnahme der durchschnittlichen Jahresmilchleistung pro Kuh in
Tschechien, im nachstehenden Diagramm dargestellt.
0
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
Dänemark Italien Österreich Rumänien Slowakei Tschechien Ungarn Deutschland durchschnittliche Jahresmilchleistung pro Kuh in kg
– Zeichnen Sie im obigen Diagramm die fehlende Säule für Tschechien ein.
Rohmilchproduktion 2
c) In Österreich produzierte Rohmilch enthält unmittelbar nach dem Melken durchschnittlich
20 000 Keime pro Milliliter (ml). Ein Modell geht davon aus, dass sich die Anzahl der Keime
alle 25 Minuten verdoppelt.
– Argumentieren Sie, dass die unten angegebene Funktion N nicht diesem Modell ent-
spricht.
N ( t ) = 20 000 + 800 · t
t … Zeit nach dem Melken in min
N ( t ) … Anzahl der Keime pro ml zur Zeit t
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Rohmilchproduktion 3

Wechselkurse*
Aufgabennummer: A_169
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Für einen Urlaub außerhalb der Eurozone muss Geld in die entsprechende Landeswährung
gewechselt werden.
a) Ein Wechselvorgang wird folgendermaßen durchgeführt:
Vom zu wechselnden Betrag B in Euro wird eine fixe Gebühr G in Euro abgezogen.
Der verbleibende Betrag wird mit dem Wechselkurs w multipliziert und so erhält man den
auszuzahlenden Betrag F in der Fremdwährung.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von F aus B , G und w .
F =
b) Für die bargeldlose Bezahlung in einem Urlaubsland außerhalb der Eurozone stehen einer
Urlauberin zwei Umrechnungsmöglichkeiten A und B zur Verfügung.
Zur Umrechnung eines Fremdwährungsbetrags in den entsprechenden Eurobetrag wer-
den modellhaft die nachstehenden linearen Funktionen verwendet:
Möglichkeit A : E
A
( F ) = 0,134 · F + 3,83
Möglichkeit B : E
B
( F ) = 0,135 · F + 2,02
F ... Betrag in der Fremdwährung
E
A
( F ), E
B
( F ) ... dem Fremdwährungsbetrag F entsprechender Eurobetrag
– Ermitteln Sie, für welche Beträge in der Fremdwährung die Bezahlung mit der Möglich-
keit A für die Urlauberin günstiger ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die Monatsmittel des Wechselkurses einer Fremdwährung gegenüber dem Euro sind für
ein Jahr im unten stehenden Diagramm dargestellt.
7,56
7,58 Monatsmittel des Wechselkurses
Sept Okt Nov Dez Jan Feb Mrz Apr Mai Jun Jul Aug
7,60
7,62
7,64
7,66
Jemand behauptet: „Das Monatsmittel des Wechselkurses im Monat Oktober war unge-
fähr doppelt so groß wie das Monatsmittel des Wechselkurses im Monat September, weil
der entsprechende Balken im Diagramm ungefähr doppelt so hoch ist.“
– Erklären Sie, warum diese Argumentation falsch ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Wechselkurse 2

Temperaturmessung / A_232 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Temperaturmessung
a) Die Umrechnung einer Temperatur T
F
in Grad Fahrenheit (°F) auf eine Temperatur T
C
in
Grad Celsius (°C) erfolgt nach folgender Formel:
T
C
=
5
9
∙ ( T
F
– 32)
T
F
… Temperatur in °F
T
C
… Temperatur in °C
1) Kreuzen Sie diejenige Abbildung an, die dieser Formel entspricht. [1 aus 5]
Temperatur in °C
Temperatur in °F
0 90 80 70 60 50 40 30 20 10 –10 –20 100
0
40
20
60
–40
–60
–20
Temperatur in °C
Temperatur in °F
0 90 80 70 60 50 40 30 20 10 –10 –20 100
0
40
20
–40
–20
Temperatur in °C
0 70 60 50 40 30 20 10 –10 –20
0
40
20
60
–20
Temperatur in °F
90 80 70 100
Temperatur in °C
0 70 60 50 40 30 20 10 –10 –20
0
40
20
60
–20
Temperatur in °F
90 80 70 100
0 70 60 50 40 30 20 10 –10 –20
0
40
20
60
–20
Temperatur in °F
90 80 70 100
Temperatur in °C
Temperaturmessung / A_232 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
b) Eine alte Temperatureinheit aus dem Jahr 1701 ist Grad Rømer (°Rø). Der Zusammenhang
mit der Temperaturskala nach Kelvin ist durch die nachstehende Formel gegeben.
T
R
= ( T
K
– 273,15) ∙
21
40
+ 7,5
T
K
… Temperatur in Kelvin
T
R
… Temperatur in Grad Rømer
1) Formen Sie diese Formel nach T
K
um.
T
K
= ______________________________
2) Beschreiben Sie, wie sich die Temperatur in Grad Rømer ändert, wenn die Temperatur um
1 Kelvin zunimmt.
c) In der nachstehenden Grafik ist das Volumen von 1 g Wasser in Abhängigkeit von der
Temperatur dargestellt.
Volumen in ml
Temperatur in °C
8 6 4 2 0 10
1,0002
1,0000
0,9998
0,9996
0,9994
1,0004
0
Der dargestellte Verlauf kann durch die quadratische Funktion V beschrieben werden.
1) Stellen Sie mithilfe der obigen Grafik eine Gleichung der Funktion V auf.

Äpfel*
Aufgabennummer: A_170
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die Äpfel einer Großlieferung wurden einzeln gewogen. Die Daten sind in Form eines
Boxplots dargestellt:
Masse in Gramm
250 245 240 235 230 225 220 215 210 205 200 195 190 185 180 255 175
In der Fachliteratur wird ein Wert oft als „Ausreißer nach oben“ bezeichnet, wenn der Wert
weiter als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands rechts vom 3. Quartil liegt. Solche
Aus reißer sind im obigen Boxplot nicht berücksichtigt.
– Geben Sie an, ab welcher Masse ein Apfel als „Ausreißer nach oben“ bezeichnet wird.
b) Die Masse von Äpfeln einer bestimmten Sorte ist annähernd normalverteilt mit einem
Erwartungswert von 200 g und einer Standardabweichung von 50 g.
– Berechnen Sie dasjenige um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die
Masse eines zufällig ausgewählten Apfels mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die Masse der Äpfel in einer Lieferung ist annähernd normalverteilt mit einem Erwartungs-
wert von 190 g.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
0,7
230 220 210 200 190 180 170 160 240
Masse in Gramm
– Interpretieren Sie die Bedeutung der markierten Fläche im gegebenen Sachzusammen-
hang.
– Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig
ausgewählter Apfel eine Masse von mehr als 200 g hat.
d) Aus Erfahrung ist bekannt, dass
1
30
aller Äpfel einer Lieferung wurmstichig ist.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Zufallsstichprobe von 200 Äpfeln
höchstens 5 Äpfel wurmstichig sind.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Äpfel 2

Unter Wasser*
Aufgabennummer: A_178
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Direkt unter der Wasseroberfläche beträgt der Druck 1 Bar. Der Druck nimmt mit zuneh-
mender Wassertiefe gleichmäßig zu, und zwar um 1 Bar je 10 Meter Wassertiefe.
– Berechnen Sie, in welcher Wassertiefe ein Druck von 3,9 Bar herrscht.
b) Die Abnahme der Beleuchtungsstärke erfolgt unter Wasser exponentiell und kann nähe-
rungsweise durch die Funktion f beschrieben werden. Der Graph von f ist in der nachste-
henden Abbildung dargestellt.
Lichtintensität f ( x ) in Lux
f
32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 34
Wassertiefe x in Metern
0
40 000
30 000
20 000
50 000
10 000
– Lesen Sie aus der obigen Abbildung ab, in welcher Tiefe die Beleuchtungsstärke nur
mehr 10 % ihres Anfangswerts beträgt.
– Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion f .
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Zur Ermittlung der Schallgeschwindigkeit unter Wasser wurde eine Messung durchgeführt.
Der Schall benötigte 0,4 Millisekunden, um eine Strecke der Länge 0,57 Meter zurückzu-
legen.
– Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde mit den Daten dieses
Versuchs.
d) Durch eine bestimmte Tauchermaske werden alle Gegenstände unter Wasser um ein Drit-
tel größer wahrgenommen, als sie tatsächlich sind.
– Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die tatsächliche Größe kleiner als die wahrgenomme-
ne Größe ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Unter Wasser 2

Maibaum aufstellen*
Aufgabennummer: A_179
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Maibaum der Höhe H steht senkrecht auf einem horizontalen Gelände.
a) Ein Maibaum der Höhe H wirft zu einem bestimmten Zeitpunkt einen 10,00 m langen
Schatten. Die Sonne erscheint dabei unter dem Höhenwinkel α .
Hans stellt sich so hin, dass sein Schatten an derselben Stelle endet wie jener des Mai
baums. Hans ist 1,76 m groß und ist 8,50 m vom Maibaum entfernt.
– Veranschaulichen Sie den Sachverhalt in einer Skizze, in der die gegebenen Größen
sowie der Höhenwinkel α und die Höhe H beschriftet sind.
– Berechnen Sie den Höhenwinkel α .
b) Martin misst in einer horizontalen Entfernung von 50 m vom Maibaum den Höhenwinkel
β = 26,6° zur Spitze des Maibaums. Anschließend verkürzt er seine horizontale Entfer
nung auf die Hälfte.
Er behauptet, dass sich dadurch der Höhenwinkel zur Spitze verdoppelt hat.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob Martins Behauptung richtig ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Bei einem starken Unwetter knickt ein Maibaum der Höhe H um.
Der geknickte Teil schließt mit dem horizontalen Boden einen Winkel γ ein (siehe nach
stehende nicht maßstabgetreue Skizze).
γ
x
Knickstelle
ursprüngliche Spitze des Maibaums
H
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von x aus H und γ auf.
x =
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Maibaum aufstellen 2

Buchsbäume*
Aufgabennummer: A_186
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Buchsbäume werden in verschiedenen Sorten mit unterschiedlichem Höhenwachstum
angeboten.
a) Ein bestimmter Buchsbaum der Sorte A wuchs in den ersten 10 Jahren nach der Aus-
pflanzung jeweils 3 cm pro Jahr. 4 Jahre nach der Auspflanzung hatte der Buchsbaum
eine Höhe von 42 cm. Die Höhe des Buchsbaums in Abhängigkeit von der Zeit nach der
Auspflanzung wird durch eine lineare Funktion f beschrieben. Der Graph dieser Funktion
ist im nachstehenden Koordinatensystem dargestellt. Dabei fehlt die Skalierung der
vertikalen Achse.
– Tragen Sie die fehlenden Werte in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
Höhe in cm
Zeit nach der Auspflanzung in Jahren
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
0
f
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In den ersten 12 Jahren nach der Auspflanzung kann die Höhe eines Buchsbaums der
Sorte B näherungsweise durch die Funktion g beschrieben werden:
g ( t ) = –0,053 · t
3
+ 0,98 · t
2
+ 0,872 · t + 40 mit 0 ≤ t ≤ 12
t ... Zeit nach der Auspflanzung des Buchsbaums in Jahren
g ( t ) ... Höhe des Buchsbaums zur Zeit t in cm
t in Jahren
g
g ( t ) in cm
8 6 4 2 0 12 10
80
60
40
20
0
100
– Berechnen Sie den Zeitpunkt des stärksten Höhenwachstums.
– Beschreiben Sie, was mit folgendem Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang
berechnet wird:
g (5) – g (0)
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Buchsbäume 2

Werbedruck
Aufgabennummer: A_173
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine Großbank erteilt einer Druckerei den Auftrag, ihre Bankenlogos anzufertigen.
a) Das Logo wird auf quadratische Platten gedruckt. Die Begrenzungslinie des Logos wird
durch die Funktion f beschrieben.
f ( x ) =
1
25
∙ x
3
–
3
4
∙ x
2
+
33
10
∙ x + 4
x , f ( x ) ... Koordinaten in dm
f ( x ) in dm
f
x in dm
quadratische Platte
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
– Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Fläche.
b) Für die Druckerei fallen bei der Produktion des Bankenlogos folgende Kosten an:
produzierte Stückzahl x 0 10 20
Gesamtkosten K in Euro 500 600 640
Die Kosten werden mit einer quadratischen Funktion modelliert:
K ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
x … produzierte Stückzahl
K ( x ) … Gesamtkosten für x Stück in Euro
– Stellen Sie mithilfe der Informationen aus der gegebenen Tabelle ein Gleichungssystem
zur Berechnung der Koeffizienten a , b und c auf.
Ersetzen Sie in der Tabelle den Betrag von 600 Euro durch 570 Euro.
– Argumentieren Sie mithilfe des Differenzenquotienten, warum nun ein lineares Modell zur
Beschreibung geeignet ist.
c) Für jedes produzierte Stück beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es unbrauchbar ist, 3 %.
Täglich werden 80 Stück unabhängig voneinander hergestellt.
– Beschreiben Sie, welche Wahrscheinlichkeit mit dem Ausdruck 1 – 0,97
80
berechnet
wird.
d) Die Druckerei bietet zwei qualitativ unterschiedliche Drucktechniken A und B an.
Der Verbrauch an Druckfarbe pro Farbpunkt wird wie folgt angegeben:
Drucktechnik A : 8 ∙ 10
–9
Liter
Drucktechnik B : 0,000000012 Liter
– Geben Sie diese beiden Verbrauchswerte in Nanolitern an.
– Berechnen Sie, wie viel Prozent Druckfarbe durch die sparsamere Drucktechnik gespart
werden kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Werbedruck 2

Rolltreppen*
Aufgabennummer: A_259
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die nachstehende Abbildung zeigt den schematischen Verlauf einer Rolltreppe. Dieser
Verlauf setzt sich aus 2 Parabelstücken (Graphen der Funktionen g und h ) zwischen den
Punkten A und B bzw. C und D sowie einem geradlinig verlaufenden Stück zwischen den
Punkten B und C zusammen. Die Übergänge in den Punkten B und C erfolgen knickfrei
(das bedeutet, dass die Funktionen an den Stellen, an denen sie zusammenstoßen, den
gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben).
horizontale Entfernung in cm
Höhe in cm
490
90
A
B
g
C
h
D = (580 | 245)
Für die Funktion g gilt:
g ( x ) =
1
360
· x
2
x ... horizontale Entfernung von der Einstiegsstelle in cm
g ( x ) ... Höhe an der Stelle x in cm
– Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion g im Punkt B eine Steigung von 50 % auf-
weist.
Bei der Ausstiegsstelle (Punkt D ) verläuft die Rolltreppe waagrecht.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten der Funktion h mit
h ( x ) = a · x
2
+ b · x + c ermittelt werden können.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Parallel zu einer Rolltreppe verläuft eine Treppe.
Bei der Erneuerung der Treppe soll ein Treppenabsatz eingebaut werden (siehe nachste-
hende Abbildung).
h
b
a
β
β
ursprünglicher Verlauf der Treppe
neuer Treppenverlauf
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Steigungswinkels β aus b , h und a .
β =
Der Steigungswinkel der ursprünglichen Treppe war kleiner als 45°.
– Erklären Sie, welche Bedingung für a gelten muss, damit auch β kleiner als 45° ist.
Rolltreppen 2
c) Im nachstehenden Diagramm sind die Graphen der Geschwindigkeit-Zeit-Funktionen v
1
und v
2
der Stufen zweier Rolltreppen dargestellt.
t
1
t
0
t
2
v
1
v
2
v ( t )
t
Rolltreppe 1
Rolltreppe 2
– Interpretieren Sie, was es im gegebenen Sachzusammenhang bedeutet, dass die bei-
den gekennzeichneten Flächeninhalte gleich groß sind.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Rolltreppen 3

Buntes Spielzeug*
Aufgabennummer: A_260
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Spielzeugteile werden von einer Maschine in den Farben Rot, Gelb und Blau ein gefärbt.
a) Die 3 zur Produktion notwendigen Farbdüsen arbeiten (unabhängig voneinander) jeweils
mit unterschiedlicher Qualität. Die Farbe Rot wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 96,8 %,
die Farbe Gelb mit einer Wahrscheinlichkeit von 98,3 % und die Farbe Blau mit einer
Wahrscheinlichkeit von 97,2 % so auf die Teile aufgetragen, dass diese die Qualitätskont-
rolle bestehen.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweifärbiges Spielzeugteil in den Farben
Rot und Blau die Qualitätskontrolle besteht.
– Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang für ein zweifärbiges
Spielzeugteil, dessen Wahrscheinlichkeit durch P ( E ) = 1 – (0,968 · 0,983) berechnet
wird.
b) Die einfärbigen Spielzeugteile einer Produktion werden vermessen und ihre jeweiligen
Längen werden tabellarisch erfasst.
rote Spielzeugteile gelbe Spielzeugteile blaue Spielzeugteile
Länge in cm Anzahl Länge in cm Anzahl Länge in cm Anzahl
4,5 20 5,5 25 7,0 70
5,6 10 10,0 7
6,0 20 14,5 13
6,5 15
25,3 5
– Ermitteln Sie den Median der Längen der gelben Spielzeugteile.
– Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel der Längen der blauen Spielzeugteile gleich
groß ist wie das arithmetische Mittel der Längen der roten Spielzeugteile.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe

Erfassen der Geschwindigkeit*
Aufgabennummer: A_196
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Auf einer Teststrecke werden Messungen durchgeführt.
a) Die Test strecke beginnt bei einem Stoppschild. Die Messergebnisse für ein Auto auf die-
ser Strecke sind in folgender Tabelle angegeben:
am Stoppschild Messung 1 Messung 2
Zeit t in min 0 1 2,5
zurückgelegter Weg s
1
( t ) in km 0 1 3
Der zurückgelegte Weg soll in Abhängigkeit von der Zeit t im Zeitintervall [0; 2,5] durch
eine Polynomfunktion s
1
mit s
1
( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c beschrieben werden.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion s
1
.
– Berechnen Sie diese Koeffizienten.
b) Der zurückgelegte Weg eines anderen Autos kann näherungs weise durch die Funktion s
2
beschrieben werden:
s
2
( t ) = –
1
3
∙ t ³ + 2 ∙ t ² +
1
3
∙ t mit 0 ≤ t ≤ 3
t ... Zeit in min
s
2
( t ) ... zurückgelegter Weg zur Zeit t in km
– Überprüfen Sie nachweislich, ob die Geschwindigkeit dieses Autos zu Beginn des ange-
gebenen Zeitintervalls null ist.
– Berechnen Sie, nach welcher Zeit t
0
die Beschleunigung des Autos im angegebenen
Zeit intervall null ist.
– Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit zu dieser Zeit t
0
maximal ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die Geschwindigkeit eines anderen Autos kann im Zeitintervall [0; 3] näherungsweise
durch die Funktion v
3
beschrieben werden. Der Graph dieser Funktion v
3
ist in der nach-
stehenden Abbildung dargestellt.
Zeit in s
v
3
Geschwindigkeit in m /s
0,5 1 1,5 2 2,5 3 0
20
15
10
5
0
25
– Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Weg-Zeit-Funktion s
3
im Zeitintervall [1; 3]
mit s
3
(1) = 15.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Erfassen der Geschwindigkeit 2

Bevölkerungsentwicklung*
Aufgabennummer: A_218
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In manchen Orten Österreichs, z. B. in der steirischen Gemeinde Eisenerz, nimmt die Bevöl
kerungszahl ab. Zur mathematischen Beschreibung dieser Entwicklung können verschiedene
Modelle verwendet werden.
a) Zu Beginn des Jahres 1992 lebten in der steirischen Gemeinde Eisenerz 7 965 Menschen,
zu Beginn des Jahres 2014 waren es 4 524.
Die Entwicklung der Bevölkerungszahl in Eisenerz soll näherungsweise durch eine lineare
Funktion N
1
beschrieben werden.
– Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion N
1
.
t … Zeit in Jahren, t = 0 entspricht dem Beginn des Jahres 1992
N
1
( t ) … Bevölkerungszahl zur Zeit t
– Interpretieren Sie den Wert der Steigung der Funktion N
1
im gegebenen Sachzusam
menhang.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Im nachstehenden Diagramm wird die Entwicklung der Bevölkerungszahl von Eisenerz im
Zeitraum von 1951 bis 2011 näherungsweise durch den Graphen der Polynom funktion N
2
dargestellt.
N
2
Bevölkerungszahl
14 000
12 000
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
0 10 20 30 40 50 60
0
Zeit t seit Beginn des
Jahres 1951 in Jahren
Q
P
– Ordnen Sie den Punkten P und Q jeweils die an der entsprechenden Stelle zutreffende
Aussage aus A bis D zu. [2 zu 4]
P
Q
A N
2
′ ( t ) > 0 und N
2
″ ( t ) > 0
B N
2
′ ( t ) < 0 und N
2
″ ( t ) > 0
C N
2
′ ( t ) < 0 und N
2
″ ( t ) < 0
D N
2
′ ( t ) > 0 und N
2
″ ( t ) < 0
c) In der nachstehenden Tabelle sind die Bevölkerungszahlen von Eisenerz für den Beginn
des Jahres 1981 und den Beginn des Jahres 2014 angegeben:
Beginn des Jahres ... 1981 2014
Bevölkerungszahl 10 068 4 524
Die Entwicklung der Bevölkerungszahl soll näherungsweise durch eine Exponential
funktion N
3
beschrieben werden.
– Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Exponentialfunktion N
3
, die die Bevölkerungszahl
in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren seit Beginn des Jahres 1981 beschreibt.
– Ermitteln Sie mithilfe der Funktion N
3
, welche Bevölkerungszahl für den Beginn des
Jahres 2030 zu erwarten ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Bevölkerungsentwicklung 2

Fußball*
Aufgabennummer: A_219
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Jedes Wochenende fiebern tausende Zuschauer/innen in den Stadien bei den Spielen der
Fußball-Bundesliga mit ihren Mannschaften mit.
a) Um nach der Hälfte der Spiele einer Fußballsaison in der österreichischen Bundesliga die
voraussichtliche Punktezahl einer Mannschaft am Saisonende schätzen zu können, wurde
folgende Formel entwickelt:
P =
T
1,32
T
1,32
+ G
1,32
· 36 · 2,753
T ... geschossene Tore in der ersten Saisonhälfte
G ... erhaltene Tore (Gegentore) in der ersten Saisonhälfte
P ... voraussichtliche Punktezahl am Saisonende
Sturm Graz hat in der Saison 2013/14 in der ersten Saisonhälfte 25 Tore geschossen und
30 Tore erhalten.
Ein Fan will mit der angegebenen Formel die Punktezahl von Sturm Graz am Saisonende
schätzen und tippt das Folgende in den Taschenrechner ein:
25
1,32
� 25
1,32
+ 30
1,32
· 36 · 2,753 = 8 829,9...
– Beschreiben Sie, welcher Fehler dabei gemacht wurde.
Sturm Graz erreichte in der Saison 2013/14 in der ersten Saisonhälfte 19 Punkte und bis
zum Saison ende insgesamt 48 Punkte.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob die Punktezahl, die man mit der obigen Formel erhält,
in diesem Fall den tatsächlichen Punktestand am Saisonende besser annähert als eine
Verdoppelung der Punkte in der ersten Saisonhälfte.
In der Formel zur Berechnung der voraussichtlichen Punktezahl einer Mannschaft am
Saison ende kommt der Ausdruck T
1,32
vor.
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der zu diesem Ausdruck äquivalent (gleichwertig)
ist. [1 aus 5]
T
1
32

132
T

100
T
132
1
1,32
T
1
T
32
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Eine bestimmte Mannschaft verwandelt 80 % der Elfmeter (d. h. erzielt dabei ein Tor).
– Berechnen Sie unter der Annahme einer Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass
die Mannschaft genau 4 von 5 Elfmetern verwandelt.
c) Ein Fußballer steht am Elfmeterpunkt E und schießt den Ball unter einem Höhenwinkel von
α = 5° ab. Der Ball (vereinfacht als punktförmig angenommen) überfliegt die Torlinie im
Punkt P . Aufgrund der hohen Geschwindigkeit des Balls kann seine Flugbahn bis zum
Punkt P näherungsweise als geradlinig angenommen werden.
Folgende Entfernungen sind bekannt: AB = 3 m und BE = 11 m.
Tor
E
B
P
A Torlinie
– Berechnen Sie die Länge EP .
Der Ball erreicht 0,4 Sekunden nach dem Abschuss im Punkt E den Punkt P .
– Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Balls in km/h.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Fußball 2