Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5151–5200

Blutgruppen*
Aufgabennummer: A_243
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Nach Karl Landsteiner unterscheidet man vier Blutgruppen: 0, A, B und AB. Diese kommen in
Österreich annähernd mit folgender relativer Häufigkeit vor:
Blutgruppe 0 A B AB
relative Häufigkeit 37 % 41 % 15 % 7 %
a) Die Verteilung der Blutgruppen in Österreich soll in einem Kreisdiagramm dargestellt wer-
den.
– Berechnen Sie die Winkel der jeweiligen Sektoren.
– Zeichnen Sie die Sektoren in den nachstehenden Kreis ein.
b) – Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer Zufallsstichprobe von 25 Perso-
nen in Österreich mindestens 9 Personen die Blutgruppe 0 haben.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Zusätzlich wird je nach Vorliegen eines bestimmten Antigens noch zwischen Rhesus-posi-
tiv und Rhesus-negativ unterschieden. 85 % aller Personen in Österreich sind Rhesus-po-
sitiv, alle anderen Rhesus-negativ, wobei die Verteilung bei allen Blutgruppen gleich ist.
Im nachstehenden Baumdiagramm sind alle möglichen Fälle für Blutgruppen mit ihrem
Rhesusfaktor aufgelistet.
Rhesus-
positiv
Rhesus-
negativ
Rhesus-
positiv
Rhesus-
negativ
Rhesus-
positiv
Rhesus-
negativ
Rhesus-
positiv
Rhesus-
negativ
Blutgruppe
0
Blutgruppe
A
Blutgruppe
B
Blutgruppe
AB
– Vervollständigen Sie das obige Baumdiagramm, indem Sie die Pfeile mit den jeweiligen
Wahrscheinlichkeiten beschriften.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in Öster-
reich die Blutgruppe B Rhesus-negativ hat.
– Beschreiben Sie, welches Ereignis durch die beiden fett gezeichneten (nicht strichlierten)
Pfade angegeben wird.
Blutgruppen 2

Erkältung / Wintertermin 2022 / A_310 / adaptierte Prüfungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 5 /18
Aufgabe 2
Erkältung
a) Die zeitliche Entwicklung der Gesamtanzahl der Personen in einer Stadt, die sich seit Beginn
eines bestimmten Jahres eine Erkältung zugezogen haben, kann näherungsweise durch die
Funktion N beschrieben werden.
N ( t ) = –72,5 · t
3
+ 1 378 · t
2
+ 4 646 · t mit 0 ≤ t ≤ 13
t … Zeit seit Beginn des Jahres in Wochen
N ( t ) … Gesamtanzahl der Personen, die sich von Beginn des Jahres bis zur Zeit t eine Erkäl
tung zugezogen haben
1) Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Funktion N im Inter
vall [0; 13] ein. [0 / 1 P.]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0
20 000
40 000
60 000
80 000
100 000
120 000
140 000
t in Wochen
N ( t )
Erkältung / Wintertermin 2022 / A_310 / adaptierte Prüfungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 6 /18
b) 20 % der erkälteten Personen haben während der Erkältung auch Fieber.
1) Ordnen Sie den beiden Ereignissen jeweils die zutreffende Wahrscheinlichkeit aus A bis D
zu. [0 / 1 P.]
A 0,2 · 0,8
9
B 10 · 0,2 · 0,8
9
C 1 – 0,2
10
D 1 – 0,8
10
In einer Zufallsstichprobe von
10 erkälteten Personen hat min
destens 1 Person auch Fieber.
In einer Zufallsstichprobe von
10 erkälteten Personen hat genau
1 Person auch Fieber.
In einer bestimmten Stadt sind 700 Personen erkältet.
2) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl derjenigen Personen, die während der
Erkältung auch Fieber haben. [0 / 1 P.]
c) Im Rahmen einer Studie wurde die Körpertemperatur von erkälteten Personen am Morgen
gemessen und dokumentiert. In der nachstehenden Abbildung ist die Verteilung der Körper
temperaturen für jeden der ersten 10 Tage nach dem Auftreten der ersten Symptome als
Boxplot dargestellt.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
36
38
39
Körpertemperatur in °C
Tage nach dem Auftreten der ersten Symptome
37
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung ab, an wie vielen Tagen bei mindestens der Hälfte der
erkälteten Personen eine Körpertemperatur von mehr als 37 °C gemessen wurde. [0 / 1 P.]
2) Begründen Sie anhand der obigen Abbildung, warum die folgende Aussage richtig ist:
„Bei zumindest einer erkälteten Person wurde 9 Tage nach dem Auftreten der ersten Sym
ptome eine höhere Körpertemperatur gemessen als 3 Tage nach dem Auftreten der ersten
Symptome.“ [0 / 1 P.]

Körpergröße*
Aufgabennummer: A_244
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
An einer Universität werden Daten zur Körpergröße der männlichen Sport-Studenten erhoben.
a) Die Körpergröße von 10 zufällig ausgewählten Studenten wird gemessen.
Körpergröße in cm 168 169 171 174 179 181 182 183 188 191
– Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert und die Standardabweichung der Körper -
größen.
Bei der Weiterverarbeitung der Daten wurde aufgrund eines Tippfehlers anstelle eines
Messwerts aus der obigen Tabelle eine Körpergröße von mehr als 1 000 cm eingegeben.
Dadurch ändert sich der Median von 180,0 cm auf 181,5 cm.
– Geben Sie diejenigen Messwerte an, die für diese fehlerhafte Eingabe in Frage kommen.
b) Man nimmt an, dass die Körpergröße der Studenten mit einem Erwartungswert von
μ = 178,0 cm und einer Standardabweichung von σ = 6,5 cm annähernd normalverteilt
ist.
– Berechnen Sie diejenige Körpergröße, die von einem zufällig ausgewählten Studenten
mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % überschritten wird.
– Veranschaulichen Sie in der nachstehenden Abbildung der Dichtefunktion dieser Normal -
verteilung die Wahrscheinlichkeit, dass die Körpergröße eines zufällig ausgewählten
Studenten im Intervall [165; 191] liegt.
Wendepunkt Wendepunkt
Körpergröße in cm μ
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* ehemalige Klausuraufgabe

Vernetzte Welt*
Aufgabennummer: A_245
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Zu Beginn des Jahres 2005 gab es weltweit 5,5 Millionen Personen, die im Internet ein
bestimmtes soziales Netzwerk verwendeten. Die Anzahl der Nutzer/innen nahm exponen-
tiell zu. Zu Beginn des Jahres 2011 verwendeten bereits 820 Millionen Personen dieses
soziale Netzwerk. Die Anzahl der Personen, die dieses soziale Netzwerk verwenden, soll
durch eine Funktion F beschrieben werden.
– Erstellen Sie eine Gleichung dieser Funktion F .
t ... Zeit in Jahren, t = 0 entspricht dem Beginn des Jahres 2005
F ( t ) ... Anzahl der Personen, die das soziale Netzwerk zur Zeit t verwenden, in Millionen
b) Nach einer Faustregel der Technologiebranche verdoppelt sich die Geschwindigkeit von
Computerprozessoren alle 18 Monate. In einem Buch wird behauptet, dass demnach
die Computerprozessoren im Jahr 2025 etwa 64-mal so schnell sein werden wie im Jahr
2013.*
– Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Behauptung richtig ist.
c) Die Bauteile eines elektronischen Systems haben innerhalb eines Jahres unabhängig von-
einander eine konstante Ausfallwahrscheinlichkeit von 2 %.
Das elektronische System fällt aus, wenn mindestens 1 Bauteil ausfällt.
– Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein elektronisches System, in dem
10 Bauteile vernetzt sind, innerhalb eines Jahres ausfällt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe
* Vgl. Schmidt, E. & Cohen, J. (2013). Die Vernetzung der Welt. Ein Blick in unsere Zukunft. Hamburg: Rowohlt. S. 15.

Skatepark (2)*
Aufgabennummer: A_246
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Folgende Grafik zeigt den Entwurf einer Halfpipe im Querschnitt:
Kreisbogen
Gerade
Kreisbogen
b a a
h
r r
– Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung des Flächeninhalts A der grauen Fläche
(Querschnittsfläche) aus a , b , h und r .
A =
Die Halfpipe soll aus Beton gefertigt werden. Die Dichte von Beton wird häufig in den
Einheiten Tonnen pro Kubikmeter (t/m
3
) oder Gramm pro Kubikzentimeter (g/cm³) ange-
geben.
– Zeigen Sie, dass sich bei der Umwandlung von t/m
3
in g/cm³ die Maßzahl nicht verän-
dert.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Geschwindigkeit einer Skaterin in Abhängigkeit von der Zeit lässt sich näherungsweise
mithilfe der Funktion v beschreiben. Der Graph dieser Funktion ist in der nachstehenden
Abbildung dargestellt.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
t in s
v ( t ) in m/s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
v
– Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Weg, den die Skaterin
zwischen t = 0,5 s und t = 1 s zurücklegt.
– Beschreiben Sie die Bedeutung von v ′ (0,3) im gegebenen Sachzusammenhang.
c) Der zurückgelegte Weg eines Skaters in Abhängigkeit von der Zeit lässt sich näherungs-
weise mithilfe der Funktion s beschreiben. Der Graph dieser Funktion ist in der nachste-
henden Abbildung dargestellt.
s ( t ) in m
t in s
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
0,5
0
1
1,5
2
2,5
3
s
– Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit zwischen t = 0,6 s und t = 1,2 s.
Skatepark (2) 2
d) Im Skatepark steht Trinkwasser zur Verfügung. An einer Wand ist ein Wasserauslass
montiert, aus dem unter einem Tiefenwinkel von 80° ein Wasserstrahl austritt. Der Verlauf
des Wasserstrahls kann näherungsweise durch den Graphen einer Funktion f dargestellt
werden:
f ( x ) = a · x
2
+ b · x + c
x ... horizontale Entfernung von der Wand in Zentimetern (cm)
f ( x ) ... Höhe an der Stelle x in cm
Der Graph der Funktion f ist im nachstehenden Diagramm dargestellt.
Höhe in cm
horizontale
Entfernung in cm
Wasserauslass
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0 10 20 30 40
80°
A
B
f
– Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten a , b und c der Funk-
tion f ermittelt werden können. Verwenden Sie dabei die Punkte A und B sowie den
angegebenen Winkel.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Skatepark (2) 3

Windräder*
Aufgabennummer: A_247
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die vom Hersteller eines Windrads angegebene Nennleistung kann in einer vereinfachten
Form durch folgende Formel berechnet werden:
P
N
= c ∙ A
P
N
... Nennleistung in Megawatt (MW)
A ... Flächeninhalt der von den Rotoren des Windrads überstrichenen Kreisfläche in Quad-
ratmetern (m²)
c = 0,169 ∙10
–3
MW/m
2
Ein Windrad hat eine Nennleistung von 0,85 MW.
– Berechnen Sie den Durchmesser der von den Rotoren des Windrads überstrichenen
Kreisfläche.
b) Die tatsächliche Leistung von Windrädern in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit v
kann näherungsweise durch die Funktion P beschrieben werden.
Der Graph dieser Funktion P und ihr Wendepunkt W sind in der unten stehenden Abbil-
dung 1 dargestellt.
– Skizzieren Sie in der Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion P ′ .
Abbildung 1
P ( v )
W
v
v
P
P ′ ( v )
Abbildung 2
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die tatsächliche Leistung eines bestimmten Windrads in Abhängigkeit von der Windge-
schwindigkeit v kann für Windgeschwindigkeiten von 5 m/s bis 10 m/s näherungsweise
durch die Polynomfunktion P beschrieben werden.
P ( v ) = 0,0175 ∙ v
2
– 0,0796 ∙ v + 0,0391 mit 5 ≤ v ≤ 10
v ... Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)
P ( v ) ... Leistung bei der Windgeschwindigkeit v in Megawatt (MW)
– Berechnen Sie, bei welcher Windgeschwindigkeit eine Leistung von 0,5 MW erzielt wird.
– Beschreiben Sie, was mit der folgenden Rechnung im gegebenen Sachzusammenhang
ermittelt wird:
P (8) – P (7)
P (7)
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Windräder 2

Hausbau*
Aufgabennummer: A_248
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Der Querschnitt eines Dachstuhls ist in der nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt.
a
h
– Erstellen Sie eine Formel, mit der man den Winkel α aus a und h berechnen kann.
α =
– Berechnen Sie den Winkel α für a = 7 m und h = 220 cm.
b) Der Querschnitt eines Dachstuhls ist in der nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt.
Alle Längen sind in Metern angegeben.
6,50
b 4,25
38°
– Berechnen Sie b .
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Zwei Unternehmen legen ihre Angebote für das Eindecken von Einfamilienhäusern vor:
Angebot 1: Das Angebot des ersten Anbieters ist in der unten stehenden Abbildung als
Graph der Kostenfunktion K
1
dargestellt.
Angebot 2: Die Kosten betragen € 20 je m² Dachfläche, dazu kommen mengenunabhän-
gige Lieferkosten von € 500.
– Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen der Kostenfunktion K
2
für
das Angebot 2 im Intervall [0; 160] ein.
Dachfläche in m
2
Kosten in €
K
1
4 000
3 000
2 000
1 000
3 500
2 500
1 500
500
0 20 40 60 80 100 120 140 160
– Lesen Sie aus der obigen Abbildung ab, welches Angebot bei einer Dachfläche von
120 m
2
kostengünstiger ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Hausbau 2

Kugelstoßen (2)*
Aufgabennummer: A_268
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Kugelstoßen ist eine Disziplin bei den Olympischen Sommerspielen.
Eine Metallkugel muss so weit wie möglich aus einem Kreis in einen vorgegebenen Auf schlag
bereich gestoßen werden.
a) Im Jahr 1948 wurde bei den Männern ein neuer Weltrekord mit der Weite 17,68 m aufge
stellt.
Eine Faustregel besagt, dass sich seit 1948 der Weltrekord bei den Männern alle 2,5 Jahre
um 34 cm verbessert hat. Die Weltrekordweite (in Metern) soll gemäß dieser Faustregel in
Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) durch eine lineare Funktion f beschrieben werden.
1) Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion f . Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1948.
Im Jahr 1988 betrug der Weltrekord bei den Männern 23,06 m.
2) Ermitteln Sie für das Jahr 1988 die Abweichung des Funktionswerts von f von dieser
Weltrekordweite.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Der Aufschlagbereich ist in der nachstehenden Abbildung in der Ansicht von oben darge
stellt (alle Angaben in Metern).
20
12
α
20
1) Berechnen Sie den in der obigen Abbildung markierten Winkel α .
2) Markieren Sie in der obigen Abbildung diejenige Strecke, deren Länge durch den folgen
den Ausdruck berechnet werden kann:
6
tan
(
α
2
)
c) Die Bahnkurve einer gestoßenen Kugel lässt sich näherungsweise durch den Graphen der
quadratischen Funktion h beschreiben:
h ( x ) = –0,05 · x
2
+ 0,75 · x + 2 mit x ≥ 0
x ... horizontale Entfernung der Kugel von der Abstoßstelle in m
h ( x ) ... Höhe der Kugel über dem Boden bei der horizontalen Entfernung x in m
1) Geben Sie an, in welcher Höhe die Kugel abgestoßen wird.
2) Ermitteln Sie, in welcher horizontalen Entfernung von der Abstoßstelle die Kugel auf
dem Boden aufschlägt.
d) Für die bei den Männern verwendeten Kugeln gelten folgende Vorgaben:
• Die Masse beträgt 7 257 g.
• Der Durchmesser der Kugel liegt zwischen 11 cm und 13 cm.
Eine Messing Eisen Legierung hat eine Dichte von 8,2 g/cm³.
Die Masse m ist das Produkt aus Volumen V und Dichte ϱ , also m = V ∙ ϱ .
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob man aus dieser Messing Eisen Legierung eine Kugel
herstellen kann, die diese Vor gaben erfüllt.
Kugelstoßen (2) 2

Pauschalreisen*
Aufgabennummer: A_267
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Reisebüro vermittelt Plätze für Pauschalreisen nach Kroatien.
a) Es wird angenommen, dass die vermittelten Plätze unabhängig voneinander mit einer
Wahrscheinlichkeit von 5 % nicht in Anspruch genommen werden. Alle 100 zur Verfügung
stehenden Plätze werden vermittelt.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 4 der vermittelten Plätze nicht in
Anspruch genommen werden.
2) Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen
Wahrscheinlichkeit folgendermaßen berechnet werden kann:
( )
100
5
· 0,05
5
· 0,95
95
b) Es wird angenommen, dass die vermittelten Plätze unabhängig voneinander mit einer
Wahrscheinlichkeit von 5 % nicht in Anspruch genommen werden. Es werden 102 Plätze
vermittelt, obwohl nur 100 Plätze zur Verfügung stehen.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Plätze unter diesen Voraus
setzungen nicht ausreicht.
c) Pro Reisetermin stehen jeweils 100 Plätze zur Verfügung.
Für jeden gebuchten Platz erzielt das Reisebüro einen Gewinn von a Euro.
Für jeden nicht gebuchten Platz macht das Reisebüro einen Verlust von 120 Euro.
Den Gesamtgewinn erhält man, indem man vom Gewinn für alle gebuchten Plätze den
Verlust für alle nicht gebuchten Plätze abzieht.
Bei einem bestimmten Reisetermin werden nur x Plätze gebucht. Der Gesamtgewinn für
diesen Termin beträgt G Euro.
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von x aus a und G .
x =
* ehemalige Klausuraufgabe

Fahrstuhl im Hochhaus / A_221 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Fahrstuhl im Hochhaus
Ein Fahrstuhl fährt in einem Hochhaus nach oben. Die nachstehende Grafik stellt die erreichte
Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Fahrzeit in Sekunden dar. Die Fahrt besteht aus
3 verschiedenen Abschnitten. Beim Anfahren beschleunigt der Aufzug, dann fährt er mit
konstanter Geschwindigkeit und am Ende bremst er ab (siehe nachstehende Abbildung).
a) 1) Ermitteln Sie aus der obigen Grafik die maximale Geschwindigkeit während dieser Fahrt.
b) Der beim Anfahren zurückgelegte Weg kann durch eine quadratische Funktion beschrieben
werden. Der Scheitelpunkt des Funktionsgraphen liegt im Ursprung.
1) Stellen Sie eine Gleichung dieser Weg-Zeit-Funktion auf.
Zeit in s
Bremsen Anfahren
Höhe in m
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Fahrstuhl im Hochhaus / A_221 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
c) Während des Bremsens gilt:
h ( t ) = –
4
9
· ( t – 10)
2
+ 19 mit 7 ≤ t ≤ 10
t … Zeit in s
h ( t ) … Höhe zur Zeit t in m
1) Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Beschleunigung-Zeit-Funktion a auf.

Alles für die Torte*
Aufgabennummer: A_254
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Wiener Konditormeister bietet unterschiedliche Torten an.
a) Jeden ersten Montag im Monat gibt es eine Aktion: Der Aktionspreis für Tortenstücke ist
dann um 50 Cent pro Stück geringer als der Originalpreis.
Eine der nachstehenden Abbildungen stellt den Zusammenhang zwischen dem Original
preis und dem Aktionspreis korrekt dar.
– Kreuzen Sie die entsprechende Abbildung an. [1 aus 5]
Aktionspreis in € pro Stück
Originalpreis in € pro Stück
7 6 5 4 3 2 1 0 8
7
6
5
4
3
2
1
0
8
Aktionspreis in € pro Stück
Originalpreis in € pro Stück
7 6 5 4 3 2 1 0 8
7
6
5
4
3
2
1
0
8
Aktionspreis in € pro Stück
Originalpreis in € pro Stück
7 6 5 4 3 2 1 0 8
7
6
5
4
3
2
1
0
8
Aktionspreis in € pro Stück
Originalpreis in € pro Stück
7 6 5 4 3 2 1 0 8
7
6
5
4
3
2
1
0
8
Aktionspreis in € pro Stück
Originalpreis in € pro Stück
7 6 5 4 3 2 1 0 8
7
6
5
4
3
2
1
0
8
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Der Konditormeister stellt betriebswirtschaftliche Überlegungen darüber an, wie sich der
Preis der Tortenstücke auf die verkaufte Stückzahl auswirkt.
Der Preis für Topfentortenstücke in Abhängigkeit von der nachgefragten Menge kann
modellhaft durch die Funktion f beschrieben werden:
f ( x ) = –0,015 · x + 6,45
x … Anzahl der nachgefragten Topfentortenstücke
f ( x ) ... Preis bei x nachgefragten Topfentortenstücken in € pro Stück
Der Konditormeister bietet ein Topfentortenstück um € 4,20 an.
– Berechnen Sie die entsprechende Anzahl der nachgefragten Topfentortenstücke.
– Bestimmen Sie den entsprechenden Erlös.
c) Der Zusammenhang zwischen dem Preis und der nachgefragten Menge (= Anzahl der
Tortenstücke, die die Konsumentinnen und Konsumenten kaufen würden) wird durch die
sogenannte Preisfunktion der Nachfrage festgelegt.
Der Graph der Preisfunktion der Nachfrage g für Nusstortenstücke ist in der nachstehen
den Abbildung dargestellt.
g ( x ) in € pro Stück
x in Stück
300 250 200 150 100 50 0
6
5
4
3
2
1
0
– Ermitteln Sie die Steigung der Funktion g .
– Lesen Sie denjenigen Preis ab, bei dem gemäß diesem Modell niemand mehr bereit ist,
ein Nusstortenstück zu kaufen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Alles für die Torte 2

Medikamentenabbau (1)*
Aufgabennummer: A_251
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Abbau von Medikamenten im Körper kann näherungsweise durch exponentielle Modelle
beschrieben werden.
a) Die nachstehende Tabelle gibt an, welche Menge N ( t ) eines bestimmten Medikaments zur
Zeit t im Körper vorhanden ist:
t in h 0 2 4
N ( t ) in mg 100 60 36
– Erklären Sie, warum die in der Tabelle angegebenen Daten die Beschreibung des Medi
kamentenabbaus durch ein exponentielles Modell nahelegen.
– Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Exponentialfunktion N , die diesen Medikamenten
abbau beschreibt.
– Berechnen Sie diejenige Menge des Medikaments, die zur Zeit t = 3 h im Körper vor
handen ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein anderes Medikament hat im Körper die Halbwertszeit 1,5 h. Am Anfang ( t = 0 h) sind
80 mg des Medikaments im Körper vorhanden.
Der Medikamentenabbau im Körper kann näherungsweise durch eine Exponential
funktion N beschrieben werden.
– Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen von N im Zeitinter
vall [0 h; 6 h] ein.
N ( t ) in mg
t in h
80
70
60
50
40
30
20
10
0 2 1 3 4 5 6
0
Medikamentenabbau (1) 2
c) Ein Medikament hat im Körper eine Halbwertszeit T
1 / 2
.
– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
Nach einer Zeitdauer von 3 · T
1/2
ist
1
6
der
Ausgangsmenge vorhanden.
Nach einer Zeitdauer von 2 · T
1/2
sind 75 % der
Ausgangsmenge abgebaut.
Nach einer Zeitdauer von 2 · T
1/2
sind 50 % der
Ausgangsmenge vorhanden.
Nach einer Zeitdauer von 3 · T
1/2
ist weniger als
1
8
der Ausgangsmenge abgebaut.
Nach einer Zeitdauer von 5 · T
1/2
sind 10 % der
Ausgangsmenge vorhanden.
d) Der Abbau eines anderen Medikaments im Körper kann näherungsweise durch die
Funktion N beschrieben werden:
N ( t ) = 200 · ℯ
– 0,3 · t
t ... Zeit ab Verabreichung des Medikaments in h
N ( t ) ... vorhandene Menge des Medikaments im Körper zur Zeit t in mg
Das Medikament muss wieder verabreicht werden, sobald nur noch 15 % der Ausgangs
menge im Körper vorhanden sind.
– Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem das Medikament wieder verabreicht
werden muss.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Medikamentenabbau (1) 3

Fußballspielen im Park*
Aufgabennummer: A_250
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Roland und Julia spielen im Park Fußball. Roland legt den Ball auf die horizontale Wiese, nimmt
Anlauf und schießt.
Die Flugbahn des Balls kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion
3. Grades h beschrieben werden. Dabei wird der Ball als punktförmig angenommen.
h ( x ) = –0,003 · x
3
+ 0,057 · x
2
mit x ≥ 0
x … horizontale Entfernung des Balls von der Abschussstelle in Metern (m)
h ( x ) … Höhe des Balls über dem Boden an der Stelle x in m
a) – Ermitteln Sie den für diesen Sachzusammenhang größtmöglichen sinnvollen Definitions
bereich für die Funktion h .
– Berechnen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn.
b) Julia fängt den Ball aus einer Höhe von 1,80 m.
– Ermitteln Sie die beiden horizontalen Entfernungen von der Abschussstelle, an denen
Julia sich dabei befinden kann.
c) Roland überlegt, ob er bei diesem Schuss den Ball über ein 2,8 m hohes Klettergerüst,
das in direkter Schussrichtung 10 m von der Abschussstelle entfernt steht, schießen
könnte.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Schuss tatsächlich über das
Kletter gerüst fliegen kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe

Spam (2)*
Aufgabennummer: A_257
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Als Spam werden unerwünscht zugestellte E-Mails bezeichnet.
a) Der nachstehenden Tabelle kann man die Entwicklung der Anzahl der weltweit täglich
versendeten Spam-Mails in Milliarden entnehmen.
Beginn des Jahres ...
Anzahl der weltweit täglich versendeten
Spam-Mails in Milliarden
2010 62
2011 42
2012 30
Die Anzahl der Spam-Mails kann näherungsweise durch die Funktion S beschrieben wer-
den:
S ( t ) = 50 · 0,6
t
+ 12
t ... Zeit in Jahren ab 2010, d. h., für den Beginn des Jahres 2010 gilt: t = 0
S ( t ) ... Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails zur Zeit t in Milliarden
– Zeigen Sie, dass die Funktion S die Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails
für den Beginn des Jahres 2012 richtig beschreibt.
Die Funktion S kann auch in der Form S ( t ) = 50 · ℯ
k · t
+ 12 angegeben werden.
– Berechnen Sie k .
– Beschreiben Sie das Ergebnis der Berechnung
S (5) – S (3)
S (3)
≈ –0,30 im gegebenen
Sachzusammenhang.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Mit einem Aktienspam wird durch massenhaften Versand von E-Mails eine meist wertlose
Aktie beworben, um deren Kurs in die Höhe zu treiben.
Der Versender ist selbst Besitzer der Aktie, die er nach der Kurssteigerung gewinnbrin-
gend verkauft, worauf der Kurs wieder fällt.
Ein Händler behauptet: „Wenn der Kurs der Aktie in einem Quartal um 50 % steigt und im
nächsten Quartal um 50 % fällt, dann haben Sie weder Gewinn noch Verlust gemacht.“
– Zeigen Sie, dass diese Aussage falsch ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Spam (2) 2

Hefeteig
Aufgabennummer: A_009
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Es wird ein Kuchen aus Hefeteig gebacken. Für den Teig benötigt man ein sogenanntes „Dampfl“
aus Hefe, warmer Milch und Zucker. Diese Zutaten werden verrührt und in ein 12 cm hohes
zylindrisches Gefäß gegeben. Man lässt das Gemisch einige Zeit in warmer Umgebung ruhen.
Die Höhe des Dampfls im Gefäß beträgt zu Beginn 4 cm. Das Dampfl dehnt sich durch Wärme-
zufuhr aus.
a) 11 Minuten nach Beginn des Vorgangs erreicht das Dampfl eine Höhe von 7 cm. Dieses
„Aufgehen des Dampfls“ kann mit dem Modell des exponentiellen Wachstums beschrie-
ben werden.
h ( t ) = h
0
∙ ℯ
λ ∙ t
t … Zeit nach Beginn des Vorgangs in min
h ( t ) … Höhe des Dampfls zur Zeit t in cm
– Ermitteln Sie die Parameter h
0
und λ .
b) Man stellt fest, dass sich bei einer bestimmten Umgebungstemperatur die Höhe des
Dampfls nach jeweils 15 min verdoppelt.
– Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen derjenigen Funktion,
die diesem Modell im Intervall [0 min; 30 min] entspricht.
25 20 15 10 5 0 30
20
16
12
8
4
0
Höhe in cm
Zeit in min
c) Eine näherungsweise passende Beschreibung der Ausdehnung des Dampfls kann durch
ein lineares Modell erfolgen, wie es in der unten stehenden Grafik dargestellt ist.
t … Zeit in min
h ( t ) … Höhe des Dampfls zur Zeit t in cm
h ( t ) in cm
h
t in min
20 16 12 8 4 0 24
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
13
– Ermitteln Sie mithilfe der obigen Grafik eine Gleichung dieser linearen Funktion.
– Berechnen Sie, wann das Dampfl den Rand des Gefäßes (12 cm) erreicht.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Hefeteig 2