Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5101–5150

Batterien*
Aufgabennummer: A_228
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Unternehmen produziert Batterien.
a) Ein Händler kauft Batterien bei diesem Unternehmen und erhält die Information, dass
erfahrungsgemäß 2 % der gelieferten Batterien defekt sind.
Der Händler entnimmt einer umfangreichen Lieferung eine Zufallsstichprobe von 40 Batte-
rien.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 der entnommenen Batterien
defekt sind.
b) Für den Versand der Batterien an Einzelhändler werden diese jeweils in 4er-Packungen
verpackt. Ein Einzelhändler erhält eine Lieferung von a 4er-Packungen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Batterie defekt ist, beträgt p .
– Beschreiben Sie, was mit dem Ausdruck 4 ∙ a ∙ p in diesem Sachzusammenhang
berechnet wird.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Das Unternehmen gibt an, dass die Lebensdauer der Batterien annähernd normalver-
teilt mit dem Erwartungswert μ = 5 320 Betriebsstunden und der Standardabweichung
σ = 156 Betriebsstunden ist.
– Berechnen Sie dasjenige symmetrische Intervall um μ , in dem die Lebensdauer einer
zufällig ausgewählten Batterie mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Dichtefunktion dieser Normalverteilung
dargestellt.
Lebensdauer in Betriebsstunden
5 800 5 600 5 400 5 200 5 000 4 800 6 000
– Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
ausgewählte Batterie eine Lebensdauer von maximal 5 200 Betriebsstunden hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Batterien 2

Am Fluss*
Aufgabennummer: A_229
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Das Querschnittsprofil eines künstlichen Flusslaufes kann annähernd durch den Graphen
der Polynomfunktion f beschrieben werden:
f ( x ) = –
1
8
· x
3
+
3
4
· x
2
mit –2 ≤ x ≤ 4
x , f ( x ) ... Koordinaten in Metern (m)
Der Graph dieser Funktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
x in m
f ( x ) in m
Ostseite Westseite
0 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 5 6
–2
–1
5
0
4
3
2
1
6
f
– Berechnen Sie diejenige Stelle, an der das Querschnittsprofil auf der Ostseite am stärks
ten ansteigt.
Gegeben ist das folgende Integral:
∫
4
–2
(4 – f ( x )) d x
– Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Fläche, deren Inhalt mithilfe dieses
Integrals berechnet werden kann.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein von einem Punkt A senkrecht aufsteigender Ballon wird von einem Punkt B am Fluss
ufer unter dem Höhenwinkel α = 30° gesehen. Etwas später erscheint der Ballon unter
dem Höhenwinkel β = 40° (siehe nachstehende Skizze).
A B
100 m
D
C
– Berechnen Sie die Streckenlänge CD .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Am Fluss 2

Wellness*
Aufgabennummer: A_144
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) In Saunen werden zur Zeitmessung meist Sanduhren verwendet.
Der Sand in einer solchen Sanduhr benötigt 15 Minuten, bis er von oben nach
unten vollständig durchgerieselt ist. Pro Minute rieseln 4 Gramm Sand
von oben nach unten.
Die gesamte Sandmenge befindet sich zu Beginn ( t = 0) im oberen Teil der
Sanduhr (siehe nebenstehende Skizze).
– Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen linearen Funktion, die der Zeit t in Minuten die
Sandmenge im oberen Teil der Sanduhr in Gramm zuordnet.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Im Außenbereich einer Sauna wird eine neue Terrasse mit folgender Grundfläche geplant
(siehe Grafik):
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
g
y in Metern
x in Metern
Terrasse
In dem gegebenen Koordinatensystem wird die Rundung der Terrasse im Intervall [3; 13]
durch den Graphen einer Funktion g beschrieben.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche der
Terrasse, wenn die Funktion g bekannt ist.
A =
Für die Verlegung von Sandsteinfliesen auf der Terrasse werden 90 m
2
Fliesen eingekauft.
Die Sandsteinfliesen kosten netto (ohne 20 % Umsatzsteuer) pro Quadratmeter € 56.
– Berechnen Sie die Gesamtkosten für die Sandsteinfliesen inklusive Umsatzsteuer, wenn
ein Preisnachlass von 3 % gewährt wird.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Wellness 2

Wandern*
Aufgabennummer: A_089
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Um die Gehzeit für eine Wanderung zu ermitteln, kann die folgende Faustregel angewendet
werden:
„Die Höhendifferenz in Metern dividiert man durch 400, die Horizontalentfernung in Kilo
metern dividiert man durch 4.
Addiert man diese beiden Ergebnisse, so erhält man die Gehzeit in Stunden.“
1) Übertragen Sie diese Faustregel in eine Formel für die Gehzeit t . Verwenden Sie dabei
die folgenden Bezeichnungen:
h ... Höhendifferenz in m
x ... Horizontalentfernung in km
t ... Gehzeit in h
t =
Jemand legt bei einer Wanderung eine Horizontalentfernung von 6,7 km zurück und be
nötigt dafür eine Gehzeit von 3 h 15 min.
2) Berechnen Sie die dabei überwundene Höhendifferenz mithilfe der angegebenen Faust
regel.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Abbildung ist der Höhenverlauf während einer 3 stündigen Wande
rung dargestellt.
Zeit in Stunden
Seehöhe in Metern
2,5 2 1,5 1 0,5 0 3
600
400
200
0
1 600
1 400
1 200
1 000
800
1 800
1) Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate der Seehöhe in Abhängigkeit von der Zeit für
die gesamte Wanderung. Geben Sie das Ergebnis mit der zugehörigen Einheit an.
Jemand behauptet: „Nach etwa 1,5 Stunden wurde eine Pause eingelegt. Das erkennt
man daran, dass der Graph während der Pause waagrecht verläuft.“
2) Argumentieren Sie, dass diese Behauptung nicht zwingend richtig sein muss.
c) Bei der Besteigung eines bestimmten Berges ist die Gesamtgehzeit indirekt proportional
zu dem durchschnittlichen überwundenen Höhenunterschied in Metern pro Stunde (siehe
nachstehende Abbildung).
durchschnittlicher überwundener Höhenunterschied in Metern pro Stunde
Gesamtgehzeit in Stunden
850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 900
8
7
6
5
4
3
2
1
0
9
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung ab, welcher Höhenunterschied bei dieser Be
steigung insgesamt überwunden werden muss.
Wandern 2

Leuchtturm*
Aufgabennummer: A_102
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Eine Schülergruppe besucht einen Leuchtturm.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
a) Eine Schülergruppe soll im Rahmen des Projektunterrichts die Höhe der Leuchtturmspitze
über dem Meeresspiegel bestimmen. Dabei gehen die Schüler/innen folgendermaßen vor:
Mit einem gecharterten Motorboot steuern sie mit 10 km/h geradlinig auf die Insel zu. Die
Gruppe sieht die Leuchtturmspitze der Insel unter dem Höhenwinkel ʩ , 1 Minute später unter
dem Höhenwinkel ʪ .
− Erstellen Sie eine Skizze des Sachverhalts, der man die gegebenen Größen entnehmen
kann.
b) Von der Spitze ( Sp ) des Leuchtturms in 108 Metern Höhe ( h ) über dem Meeresspiegel sieht
man eine Motoryacht ( M ) im Westen unter dem Tiefenwinkel von 38,45° und ein Segelboot
( S ) in nördlicher Richtung unter dem Tiefenwinkel von 27,73°.
W N
F
M S
F ... Fußpunkt des Leuchtturms
W ... Westen
N ... Norden
− Interpretieren Sie die obenstehende Abbildung, indem Sie die gegebenen Größen in die Ab-
bildung eintragen.
− Berechnen Sie die Entfernung der beiden Boote zueinander zum Zeitpunkt der Beobach-
tung.
c) Der Lehrer will die Schülergruppe testen und behauptet: „Wenn wir unsere Entfernung zum
Fußpunkt des Leuchtturms verdoppeln, halbiert sich der Höhenwinkel, unter dem wir die
Leuchtturmspitze sehen.“
− Erklären Sie, warum die Behauptung des Lehrers richtig bzw. falsch ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
später unter
Osten
O ... Osten
O

Hotel / A_162 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Hotel
Ein bestimmtes Hotel kann 93 Zimmer vermieten.
a) In dem Hotel gibt es 1-Bett-Zimmer und 2-Bett-Zimmer. Insgesamt verfügt das Hotel über
174 Betten.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Anzahl der 1-Bett-Zimmer und der
Anzahl der 2-Bett-Zimmer.
2) Berechnen Sie die Höhe der Einnahmen bei voller Auslastung pro Nacht für den Fall, dass
die Übernachtung inkl. Frühstück im 1-Bett-Zimmer € 90 und im 2-Bett-Zimmer € 75 pro
Person kostet.
b) Die Hotelzimmer wurden teilweise renoviert. Bei einer Onlinebuchung wird einem Gast
ein Zimmer zufällig zugewiesen. Das nachstehende Baumdiagramm zeigt, mit welcher
Wahrscheinlichkeit das zugeteilte Zimmer mit einer Badewanne bzw. mit einer Dusche
ausgestattet ist und mit welcher Wahrscheinlichkeit das Zimmer renoviert bzw. nicht renoviert
worden ist.
1) Kreuzen Sie die richtige Aussage an. [1 aus 5]
P („renoviertes Zimmer“) =
7
31
·
2
3
+
24
31
·
5
6
P („nicht renoviertes Zimmer“) =
1
3
+
1
6
P („renoviertes Zimmer mit Badewanne“) =
2
3
P („renoviertes Zimmer mit Badewanne oder Dusche“) = 1
P („nicht renoviertes Zimmer mit Dusche“) = 1 –
72
93
·
5
6
2) Berechnen Sie mithilfe des Baumdiagramms die Anzahl der renovierten Zimmer.
Badewanne Dusche
renoviert nicht renoviert nicht renoviert renoviert
21
93
72
93
2
3
5
6
1
6
1
3
Hotel / A_162 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
c) Erfahrungsgemäß nehmen 55 % der Gäste Vollpension in Anspruch.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 40 zufällig ausgewählten Gästen mehr als
20 und weniger als 25 Personen Vollpension in Anspruch nehmen.

Freizeitparadies Schöckl / A_145 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Freizeitparadies Schöckl
a) Die jährliche Sonnenscheindauer am Schöckl, dem Hausberg von Graz, ist annähernd
normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 1 927 Stunden pro Jahr und der
Standardabweichung σ = 258 Stunden pro Jahr.
1) Ermitteln Sie dasjenige um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die jährliche
Sonnenscheindauer mit 90%iger Wahrscheinlichkeit liegt.
2) Interpretieren Sie die in der nachstehenden Grafik gekennzeichnete Fläche unter dem
Graphen der Dichtefunktion im gegebenen Sachzusammenhang.
2 800 2 700 2 600 2 500 2 400 2 300 2 200 2 100 2 000 1 900 1 800 1 700 1 600 1 500 1 400 1 300 1 200 1 100 2 900
Sonnenscheindauer in Stunden pro Jahr
b) Die Flughöhe eines bestimmten Paragleiters, der vom Schöckl startet, kann näherungsweise
durch die Polynomfunktion H modelliert werden.
H ( t ) = –0,007254 ∙ t
4
+ 0,5245 ∙ t
3
– 13,101 ∙ t
2
+ 95,3 ∙ t + 1 440 mit 2 ≤ t ≤ 20
t … Zeit in min mit t = 0 für den Zeitpunkt des Starts
H ( t ) … Flughöhe zur Zeit t in m
1) Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Paragleiter am schnellsten an Höhe verliert.
c) An einem bestimmten Sommertag fahren sowohl Erwachsene als auch Kinder mit dem
Hexenexpress , einer Rodelbahn am Schöckl.
a … Anzahl der verkauften Erwachsenentickets
b … Anzahl der verkauften Kindertickets
u … Preis für ein Erwachsenenticket in Euro
v … Preis für ein Kinderticket in Euro
1) Interpretieren Sie den Ausdruck
b ∙ v
a ∙ u + b ∙ v
im gegebenen Sachzusammenhang.
Freizeitparadies Schöckl / A_145 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Am darauffolgenden Tag fahren um 35 % mehr Kinder und um 10 % weniger Erwachsene mit
dem Hexenexpress.
2) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Gesamteinnahmen G dieses Tages auf.
G = ______________________________
d) Auf dem Plateau des Schöckls steht ein 96,5 m hoher Sendemast. Auf derselben
Horizontalebene liegen auf einer Linie mit dem Fußpunkt des Sendemasts die zwei
Beobachtungspunkte B
1
und B
2
. Der Beobachtungspunkt B
1
liegt 150 m vom Fußpunkt des
Sendemasts entfernt. Die Spitze des Sendemasts erscheint von B
1
unter dem Höhenwinkel
α . B
2
liegt zwischen dem Fußpunkt des Sendemasts und B
1
(siehe nachstehende Abbildung).
Spitze des Sendemasts
Fußpunkt des Sendemasts
96,5 m
150 m
B
2 B
1 α
1) Berechnen Sie die Entfernung vom Fußpunkt des Sendemasts, in der sich der
Beobachtungspunkt B
2
befinden muss, damit die Spitze des Sendemasts von dort unter
dem Winkel 2 ∙ α erscheint.

Motorradfahrt
Aufgabennummer: A_163
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Jugendliche fahren mit ihren Motorrädern von Jenbach nach Schwaz.
a) Im nachstehenden Weg-Zeit-Diagramm ist der Funktionsgraph für die ersten Sekunden
eines Motorradfahrers nach der Abfahrt von Jenbach dargestellt.
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
zurückgelegter Weg in Metern
Zeit in Sekunden
– Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit in den ersten 20 Sekunden in km/h.
b) Die Geschwindigkeit eines Motorrads kann für eine halbe Stunde Fahrt näherungsweise
mit der Funktion v beschrieben werden.
v ( t ) = –925 ∙ t
3
+ 600 ∙ t
2
– 32 ∙ t + 15 mit 0 ≤ t ≤ 0,5
t ... Zeit in h
v ( t ) ... Geschwindigkeit des Motorrads zur Zeit t in km/h
– Berechnen Sie den zurückgelegten Weg für diese halbe Stunde.
c) Während der Fahrt muss ein Motorradfahrer eine Vollbremsung durchführen. Der Brems-
weg s kann näherungsweise mit folgender Formel berechnet werden:
s =
v
2
100
s ... Bremsweg in m
v ... Geschwindigkeit zu Beginn der Bremsung in km/h
– Erklären Sie, wie sich der Bremsweg verändert, wenn die Geschwindigkeit zu Beginn der
Bremsung verdoppelt wird.
Der Motorradfahrer möchte die Geschwindigkeit v bei einem vorgegebenen Bremsweg s
bestimmen.
– Kreuzen Sie die zutreffende Formel an. [1 aus 5]
v =
s

100
v = s
2
· 100
v =

s · 10
v =
s

100
v =
s
100

Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Motorradfahrt 2

UFO
Aufgabennummer: A_188
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Für ein Computerspiel wurde ein einfaches UFO gezeichnet. Die Kuppel und der Unterbau wer-
den durch die quadratischen Funktionen f
1
und f
2
modelliert (siehe nachstehende Abbildung).
8
f 1 ( x ), f 2 ( x ) in mm
f
1
f 2
x 1 x 2
b
x in mm
7
6
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
0 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
f
2
( x ) =
x
2
20
– 3
x , f
2
( x ) ... Koordinaten in mm
a) – Stellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Funktionsgleichung von f
1
auf.
– Berechnen Sie den Inhalt der in der obigen Abbildung schraffierten Fläche.
b) – Ermitteln Sie die beiden Nullstellen x
1
und x
2
der Funktion f
2
.
– Interpretieren Sie, was durch das Integral
∫
x 2
x 1
f
2
( x ) d x berechnet wird.
c) Die Steigung der dargestellten Flugbahn b des UFOs erhält man durch folgende Ableitungs-
funktion:
b ′ ( x ) =
x
2
80
–
x
5
+ 1
– Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung der Funktion b .
Folgende Gleichung wurde aufgestellt:
x
40
–
1
5
= 0
– Interpretieren Sie, was durch die Lösung dieser Gleichung in Bezug auf den Graphen
von b bestimmt wird.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
UFO 2

Verdoppelungszeit von Bakterien / A_234 / Übungsaufgabe S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Verdoppelungszeit von Bakterien
a) Die Masse eines Escherichia-coli- Bakteriums beträgt 10
–12
g. Die Verdoppelungszeit des
Bakteriums beträgt unter bestimmten Voraussetzungen 17 min.
1) Berechnen Sie die Masse in Tonnen, die aus 1 Bakterium dieser Art nach 17 Stunden
(theoretisch) entstanden ist.
b) 100 Lactobacillus-acidophilus- Bakterien vermehren sich innerhalb von 6 Stunden auf eine
Anzahl von 3 533 Bakterien.
1) Ermitteln Sie unter Annahme eines exponentiellen Wachstums die Verdoppelungszeit in
Minuten.
c) Die Verdoppelungszeit des Streptococcus-lactis- Bakteriums beträgt 26 min.
Zu Beginn ( t = 0) sind 100 Bakterien vorhanden.
Die Anzahl der Bakterien soll in Abhängigkeit von der Zeit durch eine Exponentialfunktion N
beschrieben werden.
t … Zeit in min
N ( t ) … Anzahl der Bakterien zur Zeit t
1) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion N auf.
2) Zeichnen Sie im nachstehenden Diagramm den Graphen von N ein.
N ( t )
t in min
700
600
500
400
300
200
100
0
800
76 72 68 64 60 56 52 48 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 80 0

Brennofen*
Aufgabennummer: A_236
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Bei einem Keramik-Produzenten werden Krüge hergestellt. Sobald ein Krug aus dem Brenn -
ofen genom men wird, beginnt er abzukühlen. Der Temperaturverlauf lässt sich durch die
Funktion T beschreiben:
T ( t ) = 20 + 780 ∙ ℯ
– k · t
t ... Zeit seit der Entnahme aus dem Brennofen in Stunden (h)
T ( t ) ... Temperatur des Kruges zur Zeit t in Grad Celsius (°C)
k ... Konstante
a) Ein Krug hat 2 Stunden nach der Entnahme aus dem Brennofen eine Temperatur von
80 °C.
– Berechnen Sie die Temperatur des Kruges 5 Stunden nach der Entnahme aus dem
Brennofen.
b) Der Graph der Funktion T ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt:
Temperatur in °C
2,5 2 1,5 1 0,5 0 3
700
600
500
400
300
200
100
800
0
Zeit in h
T
– Skizzieren Sie in der obigen Abbildung diejenige Tangente an den Funktionsgraphen,
deren Ordinatenabschnitt (Achsenabschnitt auf der vertikalen Achse) 600 beträgt.
– Beschreiben Sie, was mit dem folgenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang
berechnet wird:
T (3) – T (1)
2
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Ihnen wird folgende fehlerhafte Berechnung der Ableitungsfunktion T ′ vorgelegt:
T ′ ( t ) = 780 · ℯ
– k · t
– Geben Sie an, welche Ableitungsregel hier vermutlich verletzt wurde.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Brennofen 2

Baseball*
Aufgabennummer: A_237
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Die Flugbahn eines Baseballs kann näherungsweise durch den Graphen einer Funktion f
beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 24
2
3
1
0
4
f ( x ) in m
x in m
A
B
f
– Ermitteln Sie den Steigungswinkel der Geraden durch die Punkte A und B .
Es soll diejenige Stelle x
0
ermittelt werden, an der die Steigung der Tangente an den Gra-
phen von f gleich der Steigung der Geraden durch die Punkte A und B ist.
– Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung, wie man x
0
näherungsweise grafisch
ermitteln kann.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein Baseball-Verein überlegt, Fan-Shirts über eine Online-Plattform zu vertreiben. Die Kos-
ten für die Herstellung eines T-Shirts belaufen sich auf € 6,40. Für Betreuung und Server-
miete der Online-Plattform sind monatlich € 570 zu zahlen.
– Stellen Sie die zugehörige lineare Kostenfunktion K auf.
x ... Anzahl der T-Shirts
K ( x ) ... monatliche Kosten bei x T-Shirts in Euro (€)
Man rechnet damit, dass 75 T-Shirts pro Monat produziert und auch verkauft werden.
– Bestimmen Sie denjenigen Verkaufspreis pro Stück, ab dem die T-Shirts ohne Verlust
verkauft werden können.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Baseball 2

Riesenpizza*
Aufgabennummer: A_238
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In den USA wird die Größe einer Pizza durch ihren Durchmesser (in Inches) angegeben.
Im Folgenden werden Pizzen immer als kreisrund angenommen.
a) Bei 30-Inch-Pizzen verschiedener Lieferanten wurde der tatsächliche Durchmesser be-
stimmt. Die Messergebnisse sind im folgenden Boxplot zusammengefasst:
30,5 30 29,5 29 28,5 28 31
Durchmesser in Inches
– Lesen Sie die Spannweite ab.
b) – Zeigen Sie allgemein, dass der Flächeninhalt einer (kreisrunden) Pizza vervierfacht wird,
wenn ihr Durchmesser verdoppelt wird.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)
c) Für eine bestimmte Pizzasorte wird der Preis pro Flächeneinheit in Abhängigkeit vom
Durchmesser modellhaft durch folgende quadratische Funktion P beschrieben:
P ( d ) = 0,0003 ∙ d
2
– 0,015 ∙ d + 0,2619 mit 8 ≤ d ≤ 30
d ... Durchmesser der Pizza in Inches
P ( d ) ... Preis pro Flächeneinheit einer Pizza mit Durchmesser d in US-Dollar
– Ermitteln Sie, für welchen Durchmesser der Preis pro Flächeneinheit am geringsten ist.
– Berechnen Sie, wie viel diese Pizza kostet.
d) Die Durchmesser von 16-Inch-Pizzen eines bestimmten Lieferanten sind annähernd
normalverteilt mit einem Erwartungswert μ = 16 Inch und einer Standardabweichung
σ = 0,3 Inch.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Pizza einen Durch-
messer von mindestens 16,2 Inch hat.
– Skizzieren Sie den Graphen der Verteilungsfunktion dieser Normalverteilung in der nach -
stehenden Abbildung.
16,5 16 15,5 15 17
Durchmesser in Inches
Wahrscheinlichkeit
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Riesenpizza 2

Teilchenbeschleuniger*
Aufgabennummer: A_239
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Am Forschungsinstitut CERN wird mithilfe moderner Teilchenbeschleuniger physikalische
Grundlagenforschung betrieben. In einem Teilchenbeschleuniger werden elektrisch geladene
Teilchen auf hohe Geschwindigkeiten beschleunigt.
a) Die Teilchen bewegen sich in einem ringförmigen Tunnel nahezu mit Lichtgeschwindigkeit.
Sie machen dabei in einer Sekunde a Umläufe und legen in dieser Zeit rund 3 ∙ 10
8
m
zurück.
– Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung der Länge u eines Umlaufs in Kilometern.
u =
b) Wenn Teilchen im Teilchenbeschleuniger kollidieren, können neue Teilchen entstehen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Kollision ein Teilchen eines bestimmten Typs ent-
steht, beträgt 3,4 %.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E wird mit P ( E ) =
( )
500
2
∙ 0,034
2
∙ (1 – 0,034)
498
berechnet.
– Beschreiben Sie im gegebenen Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrschein-
lichkeit so berechnet wird.
– Berechnen Sie, wie viele dieser Teilchen im Mittel entstehen, wenn 1 000 Kollisionen
stattfinden.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Im Zentrum eines Atoms befindet sich der Atomkern. Vereinfacht können sowohl der
Atomkern als auch das gesamte Atom als kugelförmig angenommen werden.
In einer Broschüre wird beschrieben, wie klein ein Atomkern im Vergleich zum gesamten
Atom ist: „Hätte ein Atomkern 1 cm Durchmesser, so wäre der Durchmesser des gesam-
ten Atoms 100 m.“
– Berechnen Sie den Durchmesser eines Atoms, wenn der Durchmesser des Atomkerns
10
–14
m beträgt.
Jemand liest die Broschüre und behauptet: „Das Volumen des Atomkerns macht dann
0,01 % des Gesamtvolumens eines Atoms aus.“
– Begründen Sie, warum diese Behauptung falsch ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Teilchenbeschleuniger 2

Marathon*
Aufgabennummer: A_240
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die Streckenlänge eines Marathons beträgt 42,195 km.
a) Im Laufsport wird als Maß für das Tempo oftmals die Pace verwendet. Die für einen
Kilometer benötigte Zeit wird dabei in der Schreibweise „Minuten:Sekunden“ angegeben.
Eine Pace von 5:25 bedeutet beispielsweise, dass eine Strecke von 1 Kilometer Länge in
5 Minuten und 25 Sekunden zurückgelegt wird.
Die Weltrekordhalterin Paula Radcliffe lief ihren schnellsten Marathon in 2 Stunden,
15 Minuten und 25 Sekunden.
– Berechnen Sie für diesen Lauf ihre mittlere Pace in der beschriebenen Schreibweise.
b) Max und Franz starten gleichzeitig. Max läuft die Marathonstrecke mit einer mittleren Ge-
schwindigkeit von 14 km/h, Franz mit 12 km/h. Max überquert also als Erster der beiden
die Ziellinie.
– Berechnen Sie, wie lange Max im Ziel auf Franz warten muss.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Der Verlauf der Geschwindigkeit einer Marathonläuferin lässt sich näherungsweise durch
eine lineare Funktion v beschreiben. Der Graph dieser Funktion ist in der nachstehenden
Abbildung dargestellt.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
5
10
15
v ( t ) in km/h
v
t in h
– Ermitteln Sie aus der obigen Abbildung die Steigung dieser linearen Funktion.
– Interpretieren Sie b in der nachstehenden Gleichung im gegebenen Sachzusammen-
hang unter Angabe der entsprechenden Einheit.
∫
b
0
v ( t ) d t = 42,195 km
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Marathon 2