Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5051–5100

Schmuckstücke / A_241 / Übungsbeispiel (adaptiert) S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Schmuckstücke
Ein Goldschmied fertigt kreisförmige Schmuckstücke an.
a) 1) Ordnen Sie den beiden Satzanfängen jeweils das richtige Satzende aus A bis D zu.
b) Die kreisrunde Designvorlage für einen Ohrring wird durch eine Trennlinie geteilt, die durch den
Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades f beschrieben werden kann (siehe Abbildung 1).
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von f .
2) Berechnen Sie diese Koeffizienten.
Wird der Radius eines Kreises
um 50 % vergrößert, ...
A
… so verdoppelt sich der
Flächeninhalt.
B
… so steigt der Flächeninhalt
auf das 1,5-Fache an.
Wird der Radius eines Kreises
verdoppelt, ...
C
… so vervierfacht sich der
Flächeninhalt.
D
… so steigt der Flächeninhalt
auf das 2,25-Fache an.
f ( x ) in cm
f 0,5
0
–0,5
–1
–1 –0,5 0 0,5 1 1,5
x in cm
1
P = (0,5 | –0,6)
Abb. 1
Schmuckstücke / A_241 / Übungsbeispiel (adaptiert) S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
c) Die kreisrunde Designvorlage für einen Armbandanhänger wird durch die in Abbildung 2
veranschaulichte Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen von g und h geteilt.
h ( x ) =
8
9
∙ x
3
–
8
9
∙ x
g ( x ) = a ∙ h ( x ) mit a > 0
x , g ( x ), h ( x ) … Koordinaten in cm
1) Begründen Sie, warum gilt:
∫
1
–1
( g ( x ) – h ( x )) d x = 0
2) Bestimmen Sie den Faktor a so, dass der schraffierte Flächeninhalt 0,4 cm
2
beträgt.
d) Die Schmuckstücke werden mit einer Goldschicht überzogen. Die Schichtdicke in
Mikrometern (μm) aller produzierten Schmuckstücke ist annähernd normalverteilt. In der
nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
1) Lesen Sie den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ ab.
2) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdi-
cke eines zufällig ausgewählten Schmuckstücks maximal 1,995 μm beträgt.
g ( x ), h ( x ) in cm
h
g
0,5
0
–0,5
–1
–1 –0,5 0 0,5 1 1,5
x in cm
1
Abb. 2
Schichtdicke in μm
2,03 2,02 2,01 2 1,99 1,98 1,97 1,96 2,04

Leistung einer Solaranlage*
Aufgabennummer: A_212
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Die Leistung einer Solaranlage lässt sich näherungsweise mithilfe der Funktion P beschrei-
ben:
P ( t ) =
7
648
∙ t
4
–
7
27
∙ t
3
+ a ∙ t
2
mit 0 ≤ t ≤ 12
t ... Zeit in Stunden (h), wobei t = 0 der Uhrzeit 7 Uhr entspricht
P ( t ) ... Leistung zur Zeit t in Kilowatt (kW)
Die Leistung ist um 13 Uhr am höchsten.
– Berechnen Sie den Koeffizienten a .
b) Eine andere Solaranlage wird an einem bestimmten Tag von 7 Uhr bis 19 Uhr betrieben
und ihre Leistung durch die Funktion P beschrieben, wobei gilt:
P ( t ) = 0,007 ∙ t
4
– 0,165 ∙ t
3
+ 0,972 ∙ t
2
+ 1,221 mit 0 ≤ t ≤ 12
t ... Zeit in Stunden (h), wobei t = 0 der Uhrzeit 7 Uhr entspricht
P ( t ) ... Leistung der Solaranlage zur Zeit t in kW
Die in einem Zeitintervall von der Solaranlage gelieferte Energie wird mithilfe des Integrals
der Leistung in diesem Zeitintervall berechnet.
– Berechnen Sie die an diesem Tag von der Solaranlage gelieferte Energie.
c) – Begründen Sie mithilfe der Differenzialrechnung, warum eine Polynomfunktion 3. Grades
genau 1 Wendestelle hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe

Heimkino*
Aufgabennummer: A_147
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 1
Heimkino
Peter richtet in seinem Zimmer ein Heimkino ein.
a) Der Bildschirm seines Fernsehers hat ein Seitenverhältnis (Breite : Höhe) von 16 : 9 und eine
Bildschirmhöhe von 57,28 cm.
− Berechnen Sie die Bildschirmbreite in Zentimetern.
− Berechnen Sie die Länge der Diagonale des Bildschirms in Zoll (1 Zoll = 2,54 cm).
b) Der quadratische Boden von Peters Zimmer wird für das Heimkino mit einem schalldämmen-
den Teppich ausgelegt. Er misst die Diagonale d des Zimmerbodens.
Beim Verlegen des Teppichs ist ein Verschnitt von 15 % einzurechnen.
− Stellen Sie die Funktionsgleichung für die Fläche A des zu kaufenden Teppichs in Abhängig-
keit von der Diagonale d auf.
c) Peter überlegt, wo er den Fernsehsessel positionieren soll, sodass die horizontale Entfer-
nung x zum Fernseher optimal ist. Ideal ist es, in einem Winkel α = 5° auf die Bildschirmmitte
hinaufzuschauen. Die Höhe vom Boden zur Bildschirmmitte ist h
1
und die Höhe vom Boden zu
Peters Augen ist h
2
.
− Erstellen Sie eine beschriftete Skizze, die diesen Sachverhalt darstellt.
− Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der idealen Entfernung x auf.
− Beschreiben Sie, wie sich der Winkel α verändert, wenn man die Entfernung x zum Fern-
seher vergrößert.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* ehemalige Klausuraufgabe

Mathematikwettbewerb*
Aufgabennummer: A_148
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 2
Mathematikwettbewerb
Eine Schülergruppe hat an einem Mathematikwettbewerb teilgenommen.
a) Die 12 Burschen der Schülergruppe haben folgende Punktezahlen erreicht:
32; 38; 40; 52; 53; 54; 56; 60; 61; 64; 66; 84
Nun sollen die Ergebnisse übersichtlich dargestellt werden. Dazu wird die folgende Klassen-
einteilung verwendet:
A 30 bis 39
B 40 bis 49
C 50 bis 59
D 60 bis 69
E 70 bis 79
F 80 bis 89
− Erstellen Sie ein Säulen- oder Balkendiagramm, in welchem die Häufigkeiten der jeweiligen
Klassen A bis F dargestellt sind.
b) Das arithmetische Mittel und der Median für die Punktezahlen der Burschen betragen
Die 12 Mädchen der Schülergruppe haben folgende Punktezahlen erreicht:
37; 38; 44; 53; 54; 57; 59; 60; 61; 62; 63; 65
Die Mädchen behaupten, dass sie sowohl beim arithmetischen Mittel als auch beim Median
eine größere Punktezahl als die Burschen erreicht haben.
− Überprüfen Sie nachvollziehbar, ob diese Behauptung richtig ist.
c) Die Punkteverteilung einer anderen Schülergruppe ist in dem nachstehenden Boxplot darge-
stellt.
− Lesen Sie ab, wie viel Prozent der Schüler/innen mindestens 50 Punkte erreicht haben.
− Ermitteln Sie die Spannweite der Punktezahlen.
* ehemalige Klausuraufgabe
4
Die 12 Mädchen der Schülergruppe haben folgende Punktezahlen erreicht:
37; 38; 44; 53; 54; 57; 59; 60; 61; 62; 63; 65
Die Mädchen behaupten, dass sie sowohl beim arithmetischen Mittel als auch beim Median
eine größere Punktezahl als die Burschen erreicht haben.
− Überprüfen Sie nachvollziehbar, ob diese Behauptung richtig ist.
c) Die Punkteverteilung einer anderen Schülergruppe ist in dem nachstehenden Boxplot darge-
stellt.
− Lesen Sie ab, wie viel Prozent der Schüler/innen mindestens 50 Punkte erreicht haben.
− Ermitteln Sie die Spannweite der Punktezahlen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Mathematikwettbewerb 2

Zugfahrt*
Aufgabennummer: A_149
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 3
Zugfahrt
a) Ein Zug fährt ohne Zwischenstopps von der Station Liesing zur Station Mödling . Die Ge-
schwindigkeit des Zuges auf dieser Strecke kann durch die Funktion v beschrieben werden:
v ( t ) = –0,16 · t
2
+ 0,75 · t
t ... Zeit in Minuten (min), seitdem der Zug die Station Liesing verlassen hat
v ( t ) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in Kilometern pro Minute (km/min)
– Berechnen Sie die Fahrtdauer in Minuten.
b) Der zwischen zwei anderen Stationen zurückgelegte Weg eines Zuges kann durch den Funk-
tionsgraphen im nachstehenden Weg-Zeit-Diagramm beschrieben werden.
s
t
0
− Zeichnen Sie die Tangente im Punkt P = ( t
0
| s ( t
0
)) im obenstehenden Diagramm ein.
− Erklären Sie die Bedeutung der Steigung dieser Tangente im Sachzusammenhang.
c) Im Folgenden wird modellhaft von einer konstanten Geschwindigkeit (gemessen in km/h)
eines Zuges und einer Schnellbahn ausgegangen.
Die Entfernung von Ort A nach Ort B auf einer geradlinigen Streckenführung beträgt 20 km.
Der Zug fährt mit der Geschwindigkeit v
1
von Ort A nach Ort B . Die Schnellbahn, deren Ge-
schwindigkeit um ein Drittel geringer ist, fährt in die entgegengesetzte Richtung. Der Zug
passiert Ort A zum selben Zeitpunkt wie die Schnellbahn Ort B . Sie begegnen einander nach
10 Minuten.
− Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit v
1
des Zuges.
* ehemalige Klausuraufgabe
5
t
0
− Zeichnen Sie die Tangente im Punkt P = ( t
0
| s ( t
0
)) im obenstehenden Diagramm ein.
− Erklären Sie die Bedeutung der Steigung dieser Tangente im Sachzusammenhang.
c) Im Folgenden wird modellhaft von einer konstanten Geschwindigkeit (gemessen in km/h)
eines Zuges und einer Schnellbahn ausgegangen.
Die Entfernung von Ort A nach Ort B auf einer geradlinigen Streckenführung beträgt 20 km.
Der Zug fährt mit der Geschwindigkeit v
1
von Ort A nach Ort B . Die Schnellbahn, deren Ge-
schwindigkeit um ein Drittel geringer ist, fährt in die entgegengesetzte Richtung. Der Zug
passiert Ort A zum selben Zeitpunkt wie die Schnellbahn Ort B . Sie begegnen einander nach
10 Minuten.
− Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit v
1
des Zuges.
– Berechnen Sie die Geschwindigkeit v
1
des Zuges.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Zugfahrt 2

Infusion*
Aufgabennummer: A_150
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 4
Infusion
a) Eine Patientin soll 50 ml Infusionslösung erhalten. Die Tropfgeschwindigkeit des Infusionsge-
räts wird zu Beginn auf 8 Milliliter pro Stunde (ml/h) eingestellt.
Nach 3 Stunden verändert der Arzt die Tropfgeschwindigkeit, damit die Infusionsflasche nach
weiteren 5 Stunden leer ist.
− Berechnen Sie, auf welche neue Tropfgeschwindigkeit in ml/h der Arzt das Gerät einstellen
muss.
− Stellen Sie diejenige Funktionsgleichung auf, die den Inhalt in der Infusionsflasche in Abhän-
gigkeit von der Zeit nach Veränderung der Tropfgeschwindigkeit beschreibt.
b) Ein Patient soll 50 ml Infusionslösung erhalten. Die Tropfgeschwindigkeit des Infusionsgeräts
wird auf 8 ml/h eingestellt.
− Beschreiben Sie die Bedeutung des nachstehenden Funktionsgraphen g in diesem Sachzu-
sammenhang.
g ( t ) in ml
g
t in h
c) Die verbleibende Infusionslösung in einer anderen Flasche wird durch die Funktion f beschrieben:
f ( t ) = 24 – 3,3 · t
t ... Zeit in Stunden (h) seit 16 Uhr
f ( t ) ... verbleibende Infusionslösung zum Zeitpunkt t in Millilitern (ml)
– Berechnen Sie, wie viel Infusionslösung in ml die Flasche um 18:20 Uhr enthält.
* ehemalige Klausuraufgabe
6
g
t in h
c) Die verbleibende Infusionslösung in einer anderen Flasche wird durch die Funktion f beschrieben:
f ( t ) = 24 – 3,3 · t
t ... Zeit in Stunden (h) seit 16 Uhr
f ( t ) ... verbleibende Infusionslösung zum Zeitpunkt t in Millilitern (ml)
– Berechnen Sie, wie viel Infusionslösung in ml die Flasche um 18:20 Uhr enthält.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Infusion 2

Tennis (1)*
Aufgabennummer: A_151
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die Flugbahn eines Tennisballs ist ein Teil des unten dargestellten parabelförmigen Funktions-
graphen. Der Abschusspunkt A liegt 10 m vom Netz entfernt in einer Höhe von 0,75 m. Das
Netz (0,9 m hoch) wird auf der y -Achse dargestellt. Der Ball überfliegt das Netz in einer Höhe
von 35 cm und trifft 10 m hinter dem Netz im Aufprallpunkt P den Boden.
y in m
x in m
10 8 6 4 2 0 12 –4 –6 –8 –10 –12 –14 –2
0
1,5
1
0,5
2
a) – Kennzeichnen Sie in der oben stehenden Grafik den Abschusspunkt A und den Auf-
prallpunkt P .
− Bestimmen Sie dasjenige Intervall, in dem der Funktionsgraph ein Modell für die Flug-
bahn darstellt.
b) – Ermitteln Sie die Funktionsgleichung für die Flugbahn des Balles.
c) Die Flugbahn eines anderen Tennisballs kann näherungsweise durch eine quadratische
Funktion y = a · x
2
+ b · x + c beschrieben werden.
− Beschreiben Sie, welche Stelle der Flugbahn berechnet werden kann, wenn die Glei-
chung 2 · a · x + b = 0 nach x gelöst wird.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* ehemalige Klausuraufgabe

Bevölkerungswachstum und -abnahme*
Aufgabennummer: A_152
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 1
Bevölkerungswachstum und -abnahme
Die Entwicklung der Einwohnerzahl eines Landes kann näherungsweise durch eine
Expo nen tial funktion modelliert werden.
a) Für Deutschland wird die Anzahl der Einwohner/innen näherungsweise durch die Funktion N
modelliert:
N ( t ℯ
–0,00043347∙ t
t ... Anzahl der vergangenen Jahre seit 2005
) = 82,5 ·
N ( t ) ... Einwohnerzahl nach t Jahren in Millionen
– Interpretieren Sie die Bedeutung des negativen Vorzeichens der Hochzahl in diesem Sach-
zusammenhang.
b) Mit Stand 1. Jänner 2011 lebten in Österreich 8,402 Millionen Menschen. Die Bevölkerung
wächst jedes Jahr um jeweils 0,3 % des Vorjahreswertes.
− Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die die Entwicklung der Bevölkerung in Österreich
ab 1. Jänner 2011 modelliert.
− Berechnen Sie, für welches Kalenderjahr das Modell erstmals eine Bevölkerungszahl von
mehr als 10 Millionen vorhersagt.
c)
henden Diagramm dargestellt. Diese beiden Modelle prognostizieren unterschiedliche Zeit
Zwei verschiedene Modelle für die Bevölkerungsentwicklung einer Region sind im unten ste-
-
punkte, zu denen die Bevölkerung auf 50 % des Ausgangswertes gesunken ist.
− Kennzeichnen Sie im nachstehenden Diagramm die Zeitdifferenz zwischen diesen beiden
Zeitpunkten.
* ehemalige Klausuraufgabe
3
zusammenhang.
b) Mit Stand 1. Jänner 2011 lebten in Österreich 8,402 Millionen Menschen. Die Bevölkerung
wächst jedes Jahr um jeweils 0,3 % des Vorjahreswertes.
− Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die die Entwicklung der Bevölkerung in Österreich
ab 1. Jänner 2011 modelliert.
− Berechnen Sie, für welches Kalenderjahr das Modell erstmals eine Bevölkerungszahl von
mehr als 10 Millionen vorhersagt.
c)
henden Diagramm dargestellt. Diese beiden Modelle prognostizieren unterschiedliche Zeit
Zwei verschiedene Modelle für die Bevölkerungsentwicklung einer Region sind im unten ste-
-
punkte, zu denen die Bevölkerung auf 50 % des Ausgangswertes gesunken ist.
− Kennzeichnen Sie im nachstehenden Diagramm die Zeitdifferenz zwischen diesen beiden
Zeitpunkten.
d) Beim Logarithmieren von Gleichung (1) ist ein Fehler passiert:
(1) N
t
(2) ln( N
– Stellen Sie die logarithmierte Gleichung (2) richtig.
= 8 · 1,02
) = ln(8) · t · ln(1,02)
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Bevölkerungswachstum und -abnahme 2

Die Streif*
Aufgabennummer: A_153
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 2
Die Streif
Streif das weltberühmte Hahnenkammrennen statt. Die
Veranstalter dieses Rennens veröffentlichten folgende Daten über eine Trainingsfahrt für den
Jedes Jahr findet auf der Kitzbüheler
Abfahrtslauf:
Zeit in Sekunden
Name des
Streckenpunkts
Meereshöhe
in Metern
zurückgelegter Weg
in Metern
0,0 Start 1 665 0
8,5 Mausefalle 1 605 160
39,3 Gschöss 1 386 853
49,2 Alte Schneise 1 331 1 292
63,2 Seidlalm 1 244 1 609
118,1 Zielschuss 922 2 906
131,6 Ziel 805 3 312
a) – Beschreiben Sie, was mit dem Quotienten
1 292 m – 853 m
49,2 s – 39,3 s
in diesem Sachzusammenhang
berechnet wird.
b) − Berechnen Sie für diese Trainingsfahrt den Neigungswinkel, der der mittleren Steigung ent-
spricht.
c) Die Geschwindigkeit einer anderen Trainingsfahrt in Abhängigkeit von der Zeit kann für einen
Abschnitt durch folgende Funktion näherungsweise beschrieben werden:
v ( t ) = – t
2
t t ≤ 90
t ... Zeit in Sekunden (s)
v ( t ) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in Metern pro Sekunde (m/s)
– Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit in diesem Abschnitt
maximal ist.
– Stellen Sie eine Formel auf, mit der der Weg, der in diesem Abschnitt zurückgelegt wird,
berechnet werden kann.
d) Der in einem Abschnitt zurückgelegte Weg s ist eine Funktion der Zeit t .
− Beschreiben Sie, wie man – ausgehend von dieser Weg-Zeit-Funktion – die Momentange-
schwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt dieses Abschnitts ermitteln kann.
0,045 · + 6,594 · – 204,571 mit 60 ≤
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben.
* ehemalige Klausuraufgabe

Planeten (2)*
Aufgabennummer: A_154
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 3
Planeten
Die folgenden Daten zu den Planeten unseres Sonnensystems sind gegeben:
Merkur Venus Erde Mars
große Bahnhalbachse
in km
57 909 175 108 208 930 149 597 890 227 936 640
mittlerer Äquatorradius
in km
2 440 6 050 6 380 3 400
Jupiter Saturn Uranus Neptun
große Bahnhalbachse
in km
778 412 020 1 426 725 400 2 870 972 200 4 498 252 900
mittlerer Äquatorradius
in km
71 490 60 270 25 560 24 760
a) Für eine Astronomie-Ausstellung sollen die Planeten maßstabgetreu verkleinert als Kugel-
modelle aufgestellt werden. Die größte vorhandene Kugel hat einen Radius von 42 cm und ist
für den Planeten Jupiter reserviert.
− Erklären Sie, warum eine Kugel mit einem Radius von ca. 2 cm für den Planeten Mars
passt.
b) Das 3. Kepler’sche Gesetz lautet: „Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten
sich wie die dritten Potenzen der großen Bahnhalbachsen.“ Daher gilt:
a
1
3
: a
2
3
= u
1
2
: u
2
2
a
1
... große Bahnhalbachse des Planeten 1
a
2
... große Bahnhalbachse des Planeten 2
u
1
... Umlaufzeit des Planeten 1
u
2
... Umlaufzeit des Planeten 2
− Berechnen Sie die Umlaufzeit des Planeten Neptun. (Hinweis: Die Umlaufzeit der Erde be-
trägt 1 Jahr.)
c) Die großen Bahnhalbachsen zweier Planeten sollen auf einem Zahlenstrahl veranschaulicht
werden. Dabei soll 1 cm auf dem Zahlenstrahl einer tatsächlichen Streckenlänge von 10
8
km
entsprechen.
− Veranschaulichen Sie auf einem solchen Zahlenstrahl jeweils ausgehend vom Nullpunkt
die großen Bahnhalbachsen der Planeten Erde und Saturn.
Aufgabe 3
Planeten
Die folgenden Daten zu den Planeten unseres Sonnensystems sind gegeben:
Merkur Venus Erde Mars
große Bahnhalbachse
in km
57 909 175 108 208 930 149 597 890 227 936 640
mittlerer Äquatorradius
in km
2 440 6 050 6 380 3 400
Jupiter Saturn Uranus Neptun
große Bahnhalbachse
in km
778 412 020 1 426 725 400 2 870 972 200 4 498 252 900
mittlerer Äquatorradius
in km
71 490 60 270 25 560 24 760
a) Für eine Astronomie-Ausstellung sollen die Planeten maßstabgetreu verkleinert als Kugel-
modelle aufgestellt werden. Die größte vorhandene Kugel hat einen Radius von 42 cm und ist
für den Planeten Jupiter reserviert.
− Erklären Sie, warum eine Kugel mit einem Radius von ca. 2 cm für den Planeten Mars
passt.
b) Das 3. Kepler’sche Gesetz lautet: „Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten
sich wie die dritten Potenzen der großen Bahnhalbachsen.“ Daher gilt:
a
1
3
: a
2
3
= u
1
2
: u
2
2
a
1
... große Bahnhalbachse des Planeten 1
a
2
... große Bahnhalbachse des Planeten 2
u
1
... Umlaufzeit des Planeten 1
u
2
... Umlaufzeit des Planeten 2
− Berechnen Sie die Umlaufzeit des Planeten Neptun. (Hinweis: Die Umlaufzeit der Erde be-
trägt 1 Jahr.)
c) Die großen Bahnhalbachsen zweier Planeten sollen auf einem Zahlenstrahl veranschaulicht
werden. Dabei soll 1 cm auf dem Zahlenstrahl einer tatsächlichen Streckenlänge von 10
8
km
entsprechen.
− Veranschaulichen Sie auf einem solchen Zahlenstrahl jeweils ausgehend vom Nullpunkt
die großen Bahnhalbachsen der Planeten Erde und Saturn.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* ehemalige Klausuraufgabe

Diabetes*
Aufgabennummer: A_155
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 4
Diabetes
In Österreich leiden 4,6 % der Bevölkerung an Diabetes („Zuckerkrankheit“).
a) Im Jahr 2014 hatte Österreich 8,5 Millionen Einwohner/innen.
− Berechnen Sie, wie viele Personen in Österreich im Jahr 2014 an Diabetes leiden.
b) – Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 nach dem Zufallsprinzip ausgewählten
Österreicherinnen/Österreichern mindestens 2 an Diabetes leiden.
c) Die Wirksamkeit eines neuen Medikaments soll an 120 Personen getestet werden. 70 Perso-
nen erhalten das Medikament, der Rest erhält ein Placebo (Medikament ohne Wirkstoff).
Von den 120 Personen werden 2 nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit,
dass genau eine von ihnen ein Placebo erhält, kann man folgendermaßen berechnen:
70
120
50
119
– Erklären Sie die Bedeutung der beiden Brüche in diesem Sachzusammenhang.
– Erklären Sie die Bedeutung des Faktors 2 in diesem Sachzusammenhang.
Aufgabe 4
Diabetes
In Österreich leiden 4,6 % der Bevölkerung an Diabetes („Zuckerkrankheit“).
a) Im Jahr 2014 hatte Österreich 8,5 Millionen Einwohner/innen.
− Berechnen Sie, wie viele Personen in Österreich im Jahr 2014 an Diabetes leiden.
b) – Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 nach dem Zufallsprinzip ausgewählten
Österreicherinnen/Österreichern mindestens 2 an Diabetes leiden.
c) Die Wirksamkeit eines neuen Medikaments soll an 120 Personen getestet werden. 70 Perso-
nen erhalten das Medikament, der Rest erhält ein Placebo (Medikament ohne Wirkstoff).
Von den 120 Personen werden 2 nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit,
dass genau eine von ihnen ein Placebo erhält, kann man folgendermaßen berechnen:
70
120
50
119
– Erklären Sie die Bedeutung der beiden Brüche in diesem Sachzusammenhang.
– Erklären Sie die Bedeutung des Faktors 2 in diesem Sachzusammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben.
* ehemalige Klausuraufgabe

Schwimmbad*
Aufgabennummer: A_156
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 5
Schwimmbad
a) Im Kinderbereich eines Schwimmbads soll eine Kinderrutsche errichtet werden.
Die unten stehende, stark vereinfachte Abbildung veranschaulicht den Aufbau dieser Kinder-
rutsche (nicht maßstabgetreu).
Die Rutsche taucht unter einem Winkel von α = 20° bei Punkt B ins Wasser ein und ist 3 Me-
ter lang ( AB ). Der Abstand zwischen den Punkten E und C beträgt 0,5 Meter.
A
E
C B α
r e t i e L r e d e g n ä L e i d e i S n e n h c e r e B – AE , die für diese Kinderrutsche benötigt wird.
b) In der nachstehenden Abbildung sind die Abmessungen eines Schwimmbeckens eingezeich-
net (nicht maßstabgetreu):
50 m
25 m
2,3 m
1,1 m
Dieses Schwimmbecken soll vollständig befüllt werden. Die Hygienevorschriften sehen vor,
dass pro Liter Wasser 0,3 Milligramm eines bestimmten Desinfektionsmittels zugefügt werden
müssen.
. n e s s ü m n e d r e w t g ü f e g u z s l e t t i m s n o i t k e f n i s e D s e s e i d m m a r g o l i K l e i v e i w , e i S n e n h c e r e B −
c) Zur Reinigung eines Schwimmbeckens muss das Wasser abgelassen werden. Zu Beginn sind
2 Millionen Liter Wasser im Becken. Mithilfe von Pumpen werden gleichmäßig 5 000 Liter pro
Minute abgesaugt.
- r e s s a W e n e d n a h r o v n e k c e B m i h c o n e i d e i d , f u a g n u h c i e l g s n o i t k n u F e g i n e j e i d e i S n e l l e t S −
menge in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
. t r e u a d e g n e m r e s s a W n e t m a s e g r e d n e p m u p b A s a d e g n a l e i w , e i S n e n h c e r e B −
* ehemalige Klausuraufgabe
8
Dieses Schwimmbecken soll vollständig befüllt werden. Die Hygienevorschriften sehen vor,
dass pro Liter Wasser 0,3 Milligramm eines bestimmten Desinfektionsmittels zugefügt werden
müssen.
. n e s s ü m n e d r e w t g ü f e g u z s l e t t i m s n o i t k e f n i s e D s e s e i d m m a r g o l i K l e i v e i w , e i S n e n h c e r e B −
c) Zur Reinigung eines Schwimmbeckens muss das Wasser abgelassen werden. Zu Beginn sind
2 Millionen Liter Wasser im Becken. Mithilfe von Pumpen werden gleichmäßig 5 000 Liter pro
Minute abgesaugt.
- r e s s a W e n e d n a h r o v n e k c e B m i h c o n e i d e i d , f u a g n u h c i e l g s n o i t k n u F e g i n e j e i d e i S n e l l e t S −
menge in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
. t r e u a d e g n e m r e s s a W n e t m a s e g r e d n e p m u p b A s a d e g n a l e i w , e i S n e n h c e r e B −
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben.
Schwimmbad 2

Farbenfrohe Gummibären*
Aufgabennummer: A_157
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Gummibären werden in 5 unterschiedlichen Farben bzw. 6 unterschiedlichen Geschmacks
richtungen hergestellt: rot (Himbeere und Erdbeere), gelb (Zitrone), grün (Apfel), orange (Orange)
und weiß (Ananas).
a) Die nach stehende Tabelle enthält eine Auflistung, wie viele weiße Gummibären in den unter-
suchten Packungen waren.
Anzahl weißer Gummibären pro Packung 17 20 21 22 24
Anzahl der Packungen 2 3 3 1 4
– Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Anzahlen weißer Gummibären pro Packung.
Aufgabe 1
Farbenfrohe Gummibären
Gummibären werden in 5 unterschiedlichen Farben bzw. 6 unterschiedlichen Geschmacks-
richtungen hergestellt: rot (Himbeere und Erdbeere), gelb (Zitrone), grün (Apfel), orange
(Orange) und weiß (Ananas).
a) - r e t n u n e d n i n e r ä b i m m u G e ß i e w e l e i v e i w , g n u t s i fl u A e n i e t l ä h t n e e l l e b a T e d n e h e t s h c a n e i D
suchten Packungen waren.
Anzahl weißer Gummibären 17 20 21 22 24
Anzahl der Packungen 2 3 3 1 4
. g n u k c a P o r p n e r ä b i m m u G r e ß i e w n e l h a z n A r e d l e t t i M e h c s i t e m h t i r a s a d e i S n e n h c e r e B –
b) Mehrere Packungen wurden hinsichtlich der Anzahl der gelben Gummibären pro Packung
untersucht. Das Ergebnis dieser Untersuchung ist im nachstehenden Boxplot dargestellt.
300 g Packung enthalten sind.
Eine der untersuchten Packungen wird zufällig ausgewählt. Sie gehört zu jenem Viertel aller
untersuchten Packungen, in dem die meisten gelben Gummibären zu finden waren.
n i n e r ä b i m m u G n e b l e g r e d l h a z n A e i d h c i e r e B m e h c l e w n i , b a t o l p x o B m e d s u a e i S n e s e L –
der ausgewählten Packung liegen muss.
c) In einer Packung sind alle Geschmacksrichtungen in gleichen Anteilen zu finden.
. n e b a h t o R e b r a F e i d g n u k c a P r e s e i d n i n e r ä b i m m u G r e d t n e z o r P l e i v e i w , e i S n e n h c e r e B –
Anzahl der
gelben Gummibären
* ehemalige Klausuraufgabe
4
d) Die Masse von Gummibären ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 2,3 g
und der Standardabweichung σ = 0,1 g. Der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte ist in der
– Tragen Sie die fehlenden Beschriftungen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
Gummibären, die zu leicht oder zu schwer sind, werden aussortiert. Abweichungen von bis zu
den toleriert.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der ein zufällig ausgewählter Gummibär aussor-
tiert wird.
öffentliches Dokument
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben.
Farbenfrohe Gummibären 2

Ganzkörperhyperthermie*
Aufgabennummer: A_158
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 2
Ganzkörperhyperthermie
Bei einem Therapieverfahren wird die
Körpertemperatur bewusst stark erhöht
(künstliches Fieber). Die nebenstehende
Grafik dokumentiert näherungsweise den
Verlauf des künstlichen Fiebers bei einer
solchen Behandlung.
Die Funktion f beschreibt den Zusam-
men hang zwischen Zeit und Körper-
temperatur:
f ( t ) = –0,18 ∙ t
3
+ 0,85 ∙ t
2
+ 0,6 ∙ t + 36,6
t ... Zeit in Stunden (h) mit 0 ≤ t ≤ 5
f ( t ) ... Körpertemperatur zur Zeit t in °C
a) – Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Körpertemperatur 37 °C beträgt.
b) – Dokumentieren Sie, wie die maximale Körpertemperatur im angegebenen Zeitintervall
mithilfe der Differenzialrechnung berechnet werden kann.
– Begründen Sie, warum der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades höchstens 2 Extrem-
punkte haben kann.
c) – Berechnen Sie den Zeitpunkt der maximalen Temperaturzunahme.
d) Die mittlere Körpertemperatur f während der 5 Stunden andauernden Behandlung soll ermit-
telt werden.
Die mittlere Körpertemperatur in einem Zeitintervall [ t
1
; t
2
] ist:
f =
1
t
2
– t
1
∫
t 2
t 1
f ( t )d t
– Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur f im Intervall [0; 5].
f
h
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben.
* ehemalige Klausuraufgabe

Halbwertszeit des Wissens*
Aufgabennummer: A_159
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 3
Halbwertszeit des Wissens
Das zu einem bestimmten Zeitpunkt erworbene Wissen verliert im Laufe der Zeit aufgrund
gesellschaftlicher Veränderungen, technologischer Neuerungen etc. an Aktualität und Gültig-
keit („Relevanz“). Die nachstehende Abbildung beschreibt die Abnahme der Relevanz des
Wissens in verschiedenen Fachbereichen. Für jedes Jahr wird angegeben, wie viel Prozent
des ursprünglichen Wissens noch relevant sind.
a) Man geht davon aus, dass die Relevanz des beruflichen Fachwissens exponentiell abfällt und
eine Halbwertszeit von 5 Jahren hat.
– Zeichnen Sie in die Abbildung der Angabe den Verlauf der Relevanz des beruflichen Fach-
wissens im Intervall [0; 15] ein.
b) Die Relevanz von Technologiewissen nimmt mit einer Halbwertszeit von 3 Jahren exponentiell ab.
– Stellen Sie diejenige Exponentialfunktion auf, die die Relevanz des Technologiewissens in
Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Relevanz des Technologiewissens auf 1 % der an-
Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
–
fänglichen Relevanz abgesunken ist.
c) Die Relevanz des Hochschulwissens lässt sich durch folgende Funktion N beschreiben:
N ( t ) = 100 · ℯ
t
t ... Zeit in Jahren
N ( t ) ... Relevanz des Hochschulwissens zur Zeit t in % des anfänglichen Hochschulwissens
– Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Relevanz des Hochschulwissens nach 7 Jahren
bereits abgenommen hat.
* ehemalige Klausuraufgabe
6
– Zeichnen Sie in die Abbildung der Angabe den Verlauf der Relevanz des beruflichen Fach-
wissens im Intervall [0; 15] ein.
b) Die Relevanz von Technologiewissen nimmt mit einer Halbwertszeit von 3 Jahren exponentiell ab.
– Stellen Sie diejenige Exponentialfunktion auf, die die Relevanz des Technologiewissens in
Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Relevanz des Technologiewissens auf 1 % der an-
Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
–
fänglichen Relevanz abgesunken ist.
c) Die Relevanz des Hochschulwissens lässt sich durch folgende Funktion N beschreiben:
N ( t ) = 100 · ℯ
t
t ... Zeit in Jahren
N ( t ) ... Relevanz des Hochschulwissens zur Zeit t in % des anfänglichen Hochschulwissens
– Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Relevanz des Hochschulwissens nach 7 Jahren
bereits abgenommen hat.
öffentliches Dokument
d) Die Relevanz des Schulwissens kann in den ersten Jahrzehnten durch eine lineare Funktion
beschrieben werden.
– Lesen Sie aus der Abbildung in der Angabe die Steigung dieser linearen Funktion ab.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Halbwertszeit des Wissens 2

Gondelbahn auf den Untersberg*
Aufgabennummer: A_224
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In nachstehender Abbildung ist der Verlauf des Tragseils der Gondelbahn von St. Leonhard auf
den Untersberg vereinfacht dargestellt.
y in m
x in m
Stütze I
1 776
1 382
1 148
Talstation 456
0 1 385 1 712 2 521
Stütze II
Bergstation
x ... horizontaler Abstand von der Talstation in Metern (m)
y ... Höhe über Meeresniveau in m
a) Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
∆ y
∆ x
=
1 776 – 456
2 521 – 0
≈ 0,52
– Beschreiben Sie, was das Ergebnis im gegebenen Sachzusammenhang bedeutet.
b) Der Seilverlauf zwischen Stütze I und Stütze II wird vereinfacht als linear angenommen.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Steigungswinkel des Seilverlaufs in diesem Ab-
schnitt kleiner als 40° ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Aufgrund des Eigengewichts hängt das Tragseil zwischen der Talstation und der Stütze I
durch. Sein Verlauf kann näherungsweise als Graph einer quadratischen Funktion mit der
Gleichung y = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
y in m
x in m
Stütze I
Talstation 456
740
1 148
0 740 1 385
– Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten a , b und c ermittelt wer-
den können.
– Ermitteln Sie a , b und c .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Gondelbahn auf den Untersberg 2

Klimawandel und Ozon*
Aufgabennummer: A_225
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Man geht davon aus, dass durch den Klimawandel die Temperaturen steigen. Die mittle-
ren Sommertemperaturen in Wien sind annähernd normalverteilt.*
Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion ist im nachstehenden Diagramm dargestellt.
μ Temperatur
– Skizzieren Sie im obigen Diagramm den Graphen der Dichtefunktion einer Normalvertei-
lung, bei der sowohl der Erwartungswert als auch die Standardabweichung größer als in
der gegebenen Darstellung sind.
b) Bei einer Messstation im Bereich des südlichen Polarkreises kann die Ozonmenge pro
Quadratmeter in Abhängigkeit von der Zeit für einen bestimmten Zeitraum näherungswei-
se durch die Funktion N beschrieben werden:
N ( t ) = N
0
· 0,9917
t
t ... Zeit in Jahren
N ( t ) ... Ozonmenge pro Quadratmeter zur Zeit t
N
0
... Ozonmenge pro Quadratmeter zur Zeit t = 0
– Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Ozonmenge pro Quadratmeter jährlich abnimmt.
Die Gleichung 0,5 = 0,9917
t
wird gelöst.
– Beschreiben Sie die Bedeutung der Lösung dieser Gleichung im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* Vgl. Kromp-Kolb/Formayer (2005). Schwarzbuch Klimawandel: Wie viel Zeit bleibt uns noch? Salzburg: Ecowin. S. 53–55.
* ehemalige Klausuraufgabe

Section-Control*
Aufgabennummer: A_226
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Section-Control bezeichnet ein System zur Überwachung der Einhaltung von Tempolimits im
Straßenverkehr. Dabei wird nicht die Geschwindigkeit an einem bestimmten Punkt gemessen,
sondern die mittlere Geschwindigkeit über eine längere Strecke ermittelt.
a) In einem 6 km langen Baustellenbereich wird eine Section-Control errichtet.
Es gilt eine zulässige Höchstgeschwindigkeit von 60 km/h.
Jemand behauptet: „Wenn ich die zulässige Höchstgeschwindigkeit im gesamten Bau-
stellenbereich um 10 % überschreite, dann verkürzt sich meine Fahrzeit im Baustellenbe-
reich um 10 %.“
– Weisen Sie nach, dass diese Behauptung falsch ist.
b) Im nachstehenden Weg-Zeit-Diagramm ist die Fahrt eines Fahrzeuges in einem überprüf-
ten Bereich dargestellt.
2 000
1 500
1 000
500
Weg in m
Zeit in s
0 10 20 30 40 50 70 80 90 100 110 120 130 60
– Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeugs auf der ersten Weghälfte.
– Argumentieren Sie, dass die mittlere Geschwindigkeit auf der ersten Weghälfte kleiner
als die mittlere Geschwindigkeit auf der zweiten Weghälfte ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Ein Fahrzeug fährt durch einen Bereich, der durch eine Section-Control überwacht wird.
Seine Geschwindigkeit nimmt auf diesem Streckenabschnitt linear ab.
v
A
v
E
Geschwindigkeit
Zeit
t
s
Die Endgeschwindigkeit v
E
, die Fahrzeit t und der zurückgelegte Weg s sind bekannt.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit v
A
des Fahrzeugs:
v
A
=
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Section-Control 2

Blutkreislauf*
Aufgabennummer: A_227
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Blut versorgt die Organe des menschlichen Körpers mit Sauerstoff. Das Herz pumpt das Blut in
einem Kreislaufsystem durch den Körper.
a) Im Blut gibt es 3 verschiedene Arten von Blutzellen. Ein erwachsener Mensch hat
ca. 5 Liter Blut im Körper. Diese 5 Liter enthalten ca. 25 · 10
12
rote Blutkörperchen,
ca. 15 · 10
11
Blutplättchen und ca. 3 · 10
10
weiße Blutkörperchen.
– Berechnen Sie, wie viele Blutzellen (rote Blutkörperchen, Blutplättchen und weiße Blut
körperchen zusammen) sich in 1 Kubikmillimeter Blut befinden.
b) Die Pumpleistung des Herzens (in Litern pro Minute) kann in Abhängigkeit vom Alter (in
Jahren) annähernd durch eine lineare Funktion P beschrieben werden. Sie beträgt bei
20 jährigen Personen 5 Liter pro Minute und bei 70 jährigen Personen 2,5 Liter pro Minu
te.
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung von P auf.
– Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser linearen Funktion im gegebenen Sach
zusammenhang.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Betrachtet man den Querschnitt eines Blutgefäßes vereinfacht als Kreis, so lässt sich die
Strömungsgeschwindigkeit des Blutes in Blutgefäßen näherungsweise durch die Funktion
v beschreiben:
v ( x ) = v
max
· ( 1 –
x
2
R
2 ) mit 0 ≤ x ≤ R
x ... Abstand von der Mitte des Blutgefäßes in Metern (m)
v ( x ) ... Strömungsgeschwindigkeit des Blutes im Abstand x in m/s
v
max
... maximale Geschwindigkeit des Blutes in Metern pro Sekunde (m/s) mit v
max
> 0
R ... Radius des Blutgefäßes in m
– Skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion v in der nachstehenden Abbildung.
v ( x ) in m/s
v
max
x in m
R 0
0
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Blutkreislauf 2