Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 5001–5050

Luftdruck – Höhenformel*
Aufgabennummer: A_209
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe über dem Meeresspiegel (Seehöhe) ab. Der Zu
sammen hang kann durch Exponentialfunktionen oder näherungsweise durch lineare Funktionen
be schrieben werden.
a) Ein Modell zur Beschreibung des Zusammenhangs zwischen der Höhe über dem Meeres
spiegel und dem Luftdruck ist die barometrische Höhenformel :
p ( h ) = p
0
∙ ℯ
–
h
7 991
h ... Höhe über dem Meeresspiegel in Metern (m)
p ( h ) ... Luftdruck in der Höhe h in Hektopascal (hPa)
– Zeigen Sie, dass p
0
der Luftdruck auf der Höhe des Meeresspiegels ist.
– Berechnen Sie diejenige Seehöhe, bei der der Luftdruck genau die Hälfte von p
0
beträgt.
b) Ein vereinfachtes Modell des Zusammenhangs zwischen der Höhe über dem Meeresspie
gel und dem Luftdruck nimmt eine konstante Abnahme des Luftdrucks um 10 hPa pro
100 Höhenmeter an. Der Luftdruck auf Höhe des Meeresspiegels beträgt rund 1013 hPa.
Verwenden Sie die folgenden Bezeichnungen:
h ... Höhe über dem Meeresspiegel in m
f ( h ) ... Luftdruck in der Höhe h in hPa
– Stellen Sie die Gleichung der Funktion f auf, die diesen Zusammenhang im vereinfach
ten Modell beschreibt.
c) Zu Beginn des Jahres 2013 wurden im Schigebiet Kaprun Kitzsteinhorn folgende Werte
für den Luftdruck gemessen:
Seehöhe Luftdruck
990 m 1040 hPa
1980 m 930 hPa
– Bestimmen Sie mithilfe eines linearen Modells aus diesen Daten den Luftdruck in einer
Höhe von 1 300 m über dem Meeresspiegel.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe

Sonnenlicht unter Wasser / A_122 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Sonnenlicht unter Wasser
Das Licht der Sonne wird beim Durchdringen durch klares Wasser schwächer. Dabei nimmt
die Intensität der einzelnen Farben unter Wasser unterschiedlich schnell ab. So wird z. B. der
rote Lichtanteil stärker abgeschwächt als der Lichtanteil der Farben Orange, Gelb, Grün oder
Blau. Dies wird durch den „Absorptionskoeffizienten“ k beschrieben, der für das blaue Licht am
kleinsten ist.
Farbe Absorptionskoeffizient
Rot k
R
= 0,65 m
–1
Orange k
O
= 0,32 m
–1
Gelb k
Ge
= 0,2 m
–1
Grün k
Gr
= 0,025 m
–1
Blau k
B
= 0,02 m
–1
Die Lichtintensität kann in Abhängigkeit von der Wassertiefe durch die Funktion I beschrieben
werden.
I ( x ) = I
0
∙ ℯ
– k · x
oder I ( x ) = I
0
∙ a
x
x … Wassertiefe in klarem Wasser in m bezogen auf die Wasseroberfläche
I ( x ) … Lichtintensität in der Tiefe x in %
I
0
… Lichtintensität an der Wasseroberfläche ( I
0
= 100 %)
k … Absorptionskoeffizient in m
–1
a) 1) Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Verlauf der Lichtintensität für die
Farbe Blau ein.
x in m
I ( x ) in %
100
80
60
40
20
0
0 60 50 40 30 20 10
Sonnenlicht unter Wasser / A_122 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
b) 1) Ermitteln Sie den Parameter a für den grünen Lichtanteil der oben angegebenen Funktion
I ( x ) = I
0
∙ a
x
.
2) Berechnen Sie für den grünen Lichtanteil, wie viel Prozent der Lichtintensität innerhalb von
10 m Wassertiefe verloren gehen.
c) In Tauchkursen lernt man gelegentlich die Regel, dass die gesamte Lichtintensität des
Sonnenlichts alle 6 m um die Hälfte des vorherigen Wertes abnimmt.
1) Kreuzen Sie diejenige Aussage an, die auf diese Regel zutrifft. [1 aus 5]
In einer Tiefe von 12 m beträgt die Lichtintensität
1
6
der ursprünglichen Lichtintensität.
In einer Tiefe von 12 m beträgt die Lichtintensität 75 %
der ursprünglichen Lichtintensität.
In einer Tiefe von 12 m beträgt die Lichtintensität
1
4
der
ursprünglichen Lichtintensität.
In einer Tiefe von 18 m beträgt die Lichtintensität
1
6
der
ursprünglichen Lichtintensität.
In einer Tiefe von 18 m beträgt die Lichtintensität 20 %
der ursprünglichen Lichtintensität.

Kfz-Kennzeichen / A_124 / Übungsaufgabe S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Kfz-Kennzeichen
a) Laut einer Umfrage in Deutschland hätten 73,5 % der Autobesitzer/innen auf ihrem Auto
gerne ein Wunschkennzeichen.
Es werden 8 zufällig ausgewählte Autobesitzer/innen befragt, ob sie ein Wunschkenn zeichen
wollen.
1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Befragten ein
Wunschkennzeichen will.
b) Die Masse bestimmter Kfz-Kennzeichen-Tafeln ist normalverteilt mit dem Erwartungswert
μ = 249 g und der Standardabweichung σ = 2,4 g.
1) Berechnen Sie, wie viel Prozent der Kfz-Kennzeichen-Tafeln eine Masse von höchstens
243 g aufweisen.
c) Am Beginn des Jahres 2012 waren in Deutschland rund 43 Millionen PKWs zugelassen.
Seitdem ist die Anzahl der zugelassenen PKWs jährlich um rund 1,2 % bezogen auf den Wert
des jeweiligen Vorjahres angestiegen.
Die Anzahl der zugelassenen PKWs soll für den Zeitraum seit Beginn des Jahres 2012 durch
die Funktion Z beschrieben werden.
1) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion Z auf.
2) Berechnen Sie mithilfe der Funktion Z die mittlere Änderungsrate der Anzahl der
zugelassenen PKWs zwischen dem Beginn des Jahres 2015 und dem Beginn des
Jahres 2018.

Stadtturm*
Aufgabennummer: A_161
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Von einer neuen Parkanlage sieht man die Spitze des 51 m hohen Stadtturms unter dem
Höhenwinkel α = 38,2°.
– Berechnen Sie, um wie viel Meter man sich dem Stadtturm entlang der Strecke PF nähern
muss, damit dieser unter dem doppelten Höhenwinkel zu sehen ist (siehe oben stehende
Skizze).
b) Der Stadtturm mit einer Höhe h wirft zu einem bestimmten Zeitpunkt einen Schatten der
Länge b , wobei b und h normal aufeinander stehen.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Höhenwinkels α , unter dem die Sonne zu die-
sem Zeitpunkt in dieser Stadt erscheint, auf.
α = __________________________
c) Der 51 m hohe Stadtturm hat die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche; die Sei-
tenlänge dieses Quadrats beträgt 4 m. Zwei gegenüberliegende Seitenwände des Stadtturms
sollen mit Glasplatten verkleidet werden. Pro Quadratmeter beträgt die Masse der verwende-
ten Glasplatten 30 Kilogramm.
– Dokumentieren Sie, wie Sie die Gesamtmasse der Glasverkleidung in Tonnen berechnen
können.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben.
α
2 α
F
S
B
P
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)

Wassergläser
Aufgabennummer: A_084
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
In der nachstehenden Skizze sind die inneren Formen von zwei verschiedenen Wassergläsern
mit gleicher Höhe und gleichem Volumen abgebildet.
3,8 cm r
2
3 cm
9 cm
Wasserglas 1 Wasserglas 2
V
1
= 3,8
2
∙ 9 ∙ π V
2
= 3 ∙ π ∙ ( r
2
2
+ 3 ∙ r
2
+ 9)
V
1
, V
2
… Volumen des Wasserglases 1 bzw. 2 in cm
3
a) Das Wasserglas 1 wird durch einen konstanten Zufluss von 40 Millilitern pro Sekunde
(ml/s) gefüllt.
Die Funktion h beschreibt die Flüssigkeitshöhe (in cm) in Abhängigkeit von der Füllzeit
(in s).
– Stellen Sie eine Gleichung der Funktion h auf.
– Bestimmen Sie die in diesem Sachzusammenhang größtmögliche Definitionsmenge
dieser Funktion.
b) – Berechnen Sie den Radius r
2
von Wasserglas 2.
c) In der nachstehenden Grafik ist für jedes der beiden Wassergläser die Füllmenge in Ab-
hängigkeit von der Füllhöhe dargestellt.
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,9
0,3
0,2
0,1
0
0,4 Füllmengen in Litern
Füllhöhe in dm
Wasserglas 1
Wasserglas 2
– Begründen Sie, warum der durchgezogene Funktionsgraph dem Wasserglas 1 zugeord-
net werden kann.
– Bestimmen Sie die Füllmengendifferenz von Wasserglas 1 und Wasserglas 2 bei einer
Füllhöhe von 0,3 dm.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Wassergläser 2

Strauchwachstum / A_094 / Übungsaufgabe S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Strauchwachstum
Die Höhe eines Strauches nach dem Auspflanzen wird durch die Funktion h
1
beschrieben.
h
1
( t ) = 0,08 · ℯ
0,03 · t
mit 0 ≤ t < 55
t … Zeit in Tagen
h
1
( t ) … Höhe des Strauches zur Zeit t in m
a) 1) Berechnen Sie, nach wie vielen Tagen der Strauch eine Höhe von 40 cm aufweist.
b) Die Funktionsgleichung der Funktion h
1
wurde fehlerhaft logarithmiert:
lg( h
1
( t )) = lg(0,08) + 0,03 · lg( ℯ ) + t · lg( ℯ )
1) Stellen Sie die logarithmierte Gleichung richtig.
c) Vom Beginn des 56. Tages an ( t = 55) verringert sich die Wachstumsgeschwindigkeit des
Strauches (Geschwindigkeit, mit der die Höhe des Strauches zunimmt). Ab diesem Zeitpunkt
wird die Höhe des Strauches durch die Funktion h
2
beschrieben.
h
2
( t ) = 1,2 – 1,8836 · ℯ
–0,01595 · t
für t ≥ 55
t … Zeit in Tagen
h
2
( t ) … Höhe des Strauches zur Zeit t in m
1) Ermitteln Sie die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit im Intervall 55 ≤ t ≤ 85.

Swimmingpool
Aufgabennummer: A_175
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Petra plant einen Swimmingpool für ihren Garten.
a) Der rechteckige Pool soll die Länge L und die Breite B haben.
Außerdem soll der Boden im Winkel α abfallen, sodass der Pool immer tiefer wird
(vgl. nachstehende Skizze).
B
L
T
1
T
2
α
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens V aus L , B , T
1
und α auf.
V =
– Berechnen Sie das Volumen des Swimmingpools in Hektolitern für folgende Maße:
L = 10 m, B = 3 m, T
1
= 1,5 m und α = 2,9°.
Swimmingpool 2
b) Die Lebensdauer der Innenbeschichtung eines Swimmingpools kann als annähernd normal-
verteilt mit dem Erwartungswert ʴ angenommen werden. Die gekennzeichneten Flächen in
den nachstehenden Grafiken stellen Wahrscheinlichkeiten dar.
– Ordnen Sie den beiden Grafiken jeweils die richtige Beschreibung der dargestellten Wahr-
scheinlichkeit aus A bis D zu. [2 zu 4]
Lebensdauer in Jahren
22 20 18 16 14 12 10 8 6 24
A
Die gekennzeichnete Flä-
che beschreibt die Wahr-
scheinlichkeit, dass die
Innenbeschichtung ʴ ± 5
Jahre hält.
B
Die gekennzeichnete
Fläche beschreibt die
Wahrscheinlichkeit, dass
die Innenbeschichtung
mindestens 10 Jahre hält.
22 20 18 16 14 12 10 8 6 24
Lebensdauer in Jahren
C
Die gekennzeichnete Flä-
che beschreibt die Wahr-
scheinlichkeit, dass die
Innenbeschichtung nicht
länger als 10 Jahre hält.
D
Die gekennzeichnete Flä-
che beschreibt die Wahr-
scheinlichkeit, dass die
Innenbeschichtung nicht
länger als 20 Jahre hält.
c) Der Hersteller verkauft in einem bestimmten Jahr 40 Swimmingpools.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Innenbeschichtung eines Swimmingpools eine größere als
die vom Hersteller garantierte Lebensdauer hat, beträgt bei einem zufällig ausgewählten
Swimmingpool ungefähr 97 %.
– Beschreiben Sie im gegebenen Sachzusammenhang, welche Wahrscheinlichkeit mit dem
folgenden Ausdruck berechnet werden kann:
1 –
k = 5
∑
40
( )
40
k
∙ 0,03
k
∙ 0,97
40 – k
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Montagekonstruktion
Aufgabennummer: A_176
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Auf einem Flachdach soll eine Montagekonstruktion für die Module einer Photovoltaikanlage
angebracht werden (siehe nachstehende schematische Abbildung).
30°
h
1
h
2
a l = 144
x
α
a) Die Module sollen dabei jeweils so angebracht werden, dass sie keinen Schatten auf das
dahinter angebrachte Modul werfen, wenn die Sonne unter einem Höhenwinkel α einfällt.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des dafür erforderlichen Abstands x aus h
1
, h
2
und α auf.
x =
b) Bei der Montagekonstruktion wird das Tragprofil mit der Länge a normal auf das Tragprofil
mit der Länge l = 144 cm angebracht (siehe obige Abbildung). Die Länge l wird dadurch
im Verhältnis 5 : 1 geteilt.
– Berechnen Sie die Länge a in mm.
c) Der Zusammenhang zwischen dem Neigungswinkel α und der zugehörigen Steigung in
Prozent wird durch die Funktion g beschrieben:
g ( α ) = tan( α ) ∙ 100
α … Winkel im Bogenmaß
g ( α ) … Steigung beim Winkel α in %
– Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g im Intervall
[
0;
π
4
]
in das gegebene Koordina-
tensystem ein.
Steigung in %
Winkel im Bogenmaß
0 π
8
π
4
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
d) Für die Montage eines bestimmten Moduls wird ein Listenpreis von € 208,50 angegeben.
Unternehmen A bietet einen Rabatt von 10 % auf den Listenpreis an. Ein Kunde kauft n
dieser Module bei Unternehmen A .
– Erstellen Sie mithilfe von n eine Formel für den Gesamtbetrag B , den der Kunde zahlen
muss.
B =
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Montagekonstruktion 2

Tauchen (2)*
Aufgabennummer: A_193
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Nitrox ist ein beim Tauchen eingesetztes Atemgasgemisch mit erhöhtem Sauerstoffanteil.
Verwendet man Nitrox statt normaler Atemluft, kann man länger unter Wasser bleiben,
darf aber nur bis zu einer maximalen Tiefe tauchen. Die maximale Tauchtiefe T hängt vom
Sauerstoff anteil im Atemgas ab. Man kann sie mit folgender vereinfachter Formel berechnen:
T =
14
O
2
– 10
O
2
... Sauerstoffanteil (z. B.: bei 32 % Sauerstoffanteil setzt man O
2
= 0,32 in die Formel ein)
T ... maximale Tauchtiefe in Metern (m)
Ein Taucher möchte mit einem Sauerstoffanteil von 30 % bis zu einer Tiefe von 30 m tau
chen.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob er das darf.
b) Eine Taucherin benötigt für einen Notaufstieg 40 Sekunden.
Der zurückgelegte Weg s in Abhängigkeit von der Zeit t lässt sich näherungsweise durch
folgende Funktion beschreiben:
s ( t ) = 0,02 · t
2
t ... Zeit seit Beginn des Notaufstiegs in Sekunden (s)
s ( t ) ... zurückgelegter Weg zum Zeitpunkt t in Metern (m)
– Berechnen Sie die momentane Geschwindigkeit der Taucherin 3 Sekunden, bevor sie
die Oberfläche erreicht.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die Auftriebskraft F
A
eines Körpers in Flüssigkeit ist gleich der Gewichtskraft G der ver
drängten Flüssigkeit.
Aus der Physik sind folgende Formeln bekannt:
ρ =
m
V
G = m · g
Die verwendeten Variablen stehen für:
ρ ... Dichte der Flüssigkeit
m ... Masse der verdrängten Flüssigkeit
V ... Volumen der verdrängten Flüssigkeit
G ... Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit
g ... Erdbeschleunigung
– Erstellen Sie aus den angegebenen Beziehungen eine Formel für die Auftriebskraft F
A
in
Abhängigkeit von Dichte, Volumen und Erdbeschleunigung.
d) Mit zunehmender Wassertiefe steigt der Druck. Dieser kann in Bar (bar) oder Pascal (Pa)
angegeben werden. 1 bar = 10
5
Pa.
Die nachstehende Grafik zeigt den Druck (in 10
7
Pascal) in Abhängigkeit von der Wasser
tiefe (in Metern).
Druck in 10 7 Pa
Wassertiefe in m
0 3000 2800 2600 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 3200
1
0
2
3
Robben erreichen beim Tauchen aufgrund des Drucks eine maximale Tiefe von 700 m.
Pottwale können einem um 230 bar größeren maximalen Druck als Robben ausgesetzt
sein.
– Lesen Sie aus der obigen Grafik ab, welchem Druck Robben in 700 m Tiefe ausgesetzt
sind.
– Ermitteln Sie, welche maximale Tiefe Pottwale erreichen können.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Tauchen (2) 2

Skatepark (1)*
Aufgabennummer: A_194
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Skatepark ist ein speziell für Skater/innen eingerichteter Bereich mit Startrampen und
verschiedenen Hindernissen, die befahren werden können.
a) Im einfachsten Fall ist eine Startrampe eine geneigte ebene Fläche.
In der nachstehenden Abbildung ist der Querschnitt einer Startrampe dargestellt.
H
L
Ein Hersteller von Startrampen gibt folgende Maße an:
Höhe H : 1,45 m
Länge L : 5,3 m
Eine Norm schreibt vor, dass die Steigung maximal 20 % betragen darf.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Norm eingehalten wird.
b) Der Verlauf einer anderen Rampe im Querschnitt kann näherungsweise durch folgende
quadratische Funktion f modelliert werden:
f ( x ) =
1
320
· x
2
mit 0 ≤ x ≤ 160
x ... horizontale Koordinate in Zentimetern (cm)
f ( x ) ... Höhe an der Stelle x in cm
– Berechnen Sie, in welcher Höhe diese Rampe einen Steigungswinkel von 30° hat.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Für eine Halfpipe soll in einem Skatepark Material aufgeschüttet werden. Ein Teil des Ver-
laufs der Halfpipe im Querschnitt lässt sich annähernd durch die Funktion p beschreiben:
p ( x ) =
2
81
· x
4
mit –3 ≤ x ≤ 3
x ... horizontale Koordinate in Metern (m)
p ( x ) ... Höhe an der Stelle x in m
Die nachstehende Abbildung zeigt die Querschnittsfläche der Halfpipe.
p ( x ) in m
x in m
p
1 m
2 m
1 m
2 m
–4 0 4
0
2
– Ermitteln Sie den Inhalt der schraffierten Querschnittsfläche.
d) Eine Quarterpipe ist so konstruiert, dass die Skater/innen an der Kante senkrecht nach
oben springen können. Die Höhe über der Absprungkante, die sie dabei erreichen, lässt
sich durch die Weg-Zeit-Funktion h beschreiben:
h ( t ) = v
0
· t –
g
2
· t ²
t ... Zeit nach dem Absprung in Sekunden (s)
h ( t ) ... Höhe über der Absprungkante zur Zeit t in m
v
0
... Geschwindigkeit der Skaterin / des Skaters an der Absprungkante in m/s
g ... Erdbeschleunigung ( g ≈ 9,81 m/s²)
In einem Lehrbuch findet man folgende Rechnung ausgeführt:
h ′ ( t ) = v
0
– g · t
0 = v
0
– g · T
T =
v
0
g
H = h ( T ) =
v
0
2
2 · g
– Interpretieren Sie, was mit T und H in diesem Sachzusammenhang berechnet wird.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Skatepark (1) 2

Wachstum von Holzbeständen*
Aufgabennummer: A_192
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Bauer Waldner weiß, dass sich der Holzbestand seines Waldes um ca. 2,7 % pro Jahr
bezogen auf das jeweilige Vorjahr vermehrt. Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt der Holzbestand
36 000 m³.
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung für diejenige Funktion f auf, die den Holzbestand in
Abhängigkeit von der Zeit in Jahren angibt.
– Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Zeitintervall [0; 50].
b) Der Holzbestand eines anderen Waldes kann näherungsweise mithilfe der Funktion g be-
schrieben werden:
g ( t ) = 31 800 ∙ 1,025
t
t ... Zeit in Jahren
g ( t ) ... Holzbestand zum Zeitpunkt t in Kubikmetern (m³)
Wenn der Holzbestand auf 33 000 m³ angewachsen ist, wird so viel geschlägert, dass
wieder der Holzbestand zum Zeitpunkt t = 0 vorliegt.
Für den Verkauf dieses geschlägerten Holzes betragen die Einnahmen € 96.000.
– Berechnen Sie den durchschnittlichen Verkaufspreis für 1 m³ Holz.
– Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Holzbestand auf 33 000 m³ angewachsen ist.
c) Ein Student behauptet: „Um die relative Änderung r des Holzbestandes von einem Zeit-
punkt t
1
bis zu einem späteren Zeitpunkt t
2
zu berechnen, subtrahiere ich vom Holzbe-
stand zum Zeitpunkt t
2
den Holzbestand zum Zeitpunkt t
1
und dividiere die Differenz durch
den Holzbestand zum Zeitpunkt t
1
.“
– Übersetzen Sie die Rechenanleitung des Studenten in eine Formel.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* ehemalige Klausuraufgabe

Würfelspiele*
Aufgabennummer: A_191
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Würfelspiele sind seit Jahrtausenden auf der ganzen Welt bekannt und beliebt.
Die im Folgenden beschriebenen Spiele werden mit herkömmlichen fairen Spielwürfeln
gespielt, bei denen die Augenzahlen 1 bis 6 jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit als
Würfelergebnis auftreten.
a) Eines der beliebtesten Gesellschaftsspiele ist Mensch ärgere Dich nicht . Um eine Figur ins
Spiel zu bringen, muss ein Sechser gewürfelt werden. In der 1. Runde darf jede Spielerin/je-
der Spieler mit einem Würfel 3-mal würfeln.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 3-maligem Würfeln mindestens 1 Sech-
ser auftritt.
b) Beim Spiel Siedler von Catan wird mit 2 Würfeln gespielt. Wird die Augensumme 7 gewür-
felt, tritt die Figur des Räubers in Aktion.
– Zeigen Sie, dass beim Werfen mit 2 Würfeln die Augensumme 7 häufiger auftritt als jede
andere Augensumme.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Beim Paschen werden 3 Würfel geworfen und es wird die Augensumme ermittelt.
Im folgenden Diagramm ist zu jeder beim Werfen mit 3 Würfeln möglichen Augensumme
die entsprechende Wahrscheinlichkeit dargestellt:
Augensumme
Wahrscheinlichkeit
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0,14
17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 18
1
216
1
216
1
72
1
72
5
108
5
108
25
216
25
216
1
36
1
36
5
72
5
72
7
72
7
72
1
8
1
8
– Ermitteln Sie aus dem Diagramm, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Augensumme grö-
ßer als 10 auftritt.
d) Das chinesische Spiel Pat Cha („Griff nach acht“) wird mit 8 Würfeln gespielt. Jede Spie-
lerin / jeder Spieler setzt auf eine der 6 Augenzahlen. Eine Spielerin / ein Spieler gewinnt,
wenn mindestens 3 der 8 Würfel die gesetzte Zahl zeigen.
Martin setzt auf die Augenzahl 6.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Martin gewinnt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Würfelspiele 2

Füllstandmessung*
Aufgabennummer: B_258
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 8
Füllstandmessung
Ein Wasserauffanggefäß hat die Form zweier übereinandergestellter gleich hoher Zylinder.
Es wird durch einen konstanten Zufluss von 1 Liter pro Sekunde befüllt.
Der nachstehende Graph der Funktion h beschreibt die Füllhöhe des Gefäßes in Abhängigkeit
von der Zeit.
Es stehen 2 Gefäße entsprechend der folgenden Abbildung zur Auswahl (Gefäß B entspricht
dem „umgedrehten“ Gefäß A ):
Gefäß A
Gefäß B
Gefäß A
Gefäß B
h 1
h 1
h
2
h
2
a) Der oben stehende Graph gibt die Füllhöhe h eines der beiden Gefäße richtig wieder.
− Begründen Sie, warum das Gefäß B zum angegebenen Graphen passt.
* ehemalige Klausuraufgabe
6
Gefäß B Gefäß B
h
1
h 1
h 2
a) Der oben stehende Graph gibt die Füllhöhe h eines der beiden Gefäße richtig wieder.
− Begründen Sie, warum das Gefäß B zum angegebenen Graphen passt.
öffentliches Dokument
b) Das Gefäß A wird mit demselben konstanten Zufluss bis zu einer Höhe von 5 dm befüllt.
Die Funktion h beschreibt die Füllhöhe des Gefäßes in Abhängigkeit von der Zeit.
t ... Zeit in Sekunden (s)
h ( t ) ... Füllhöhe zur Zeit t in Dezimetern (dm)
− Zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion in das unten stehende Koordinatensystem ein.
c) Bei der Befüllung mit einem konstanten Zufluss von 1 Liter pro Sekunde wird der untere Zylin-
der des Gefäßes B innerhalb von 8 Sekunden bis zur Höhe h
1
= 4 dm befüllt.
− Berechnen Sie den Radius dieses Zylinders.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Füllstandmessung 2

Body-Mass-Index*
Aufgabennummer: A_205
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Der Body-Mass-Index (BMI) ist eine Maßzahl für die Bewertung der Masse eines Menschen in
Relation zu seiner Körpergröße.
Die Formel für die Berechnung des BMI lautet: BMI =
m
l
2
m ... Masse in Kilogramm (kg)
l ... Körpergröße in Metern (m)
a) Zur Klassifikation der Masse eines Kindes wird von österreichischen Kinderärzten oft fol-
gendes Diagramm verwendet:
Perzentile für den Body-Mass-Index von Mädchen im Alter von 0 bis 18 Jahren
Quelle: http://www.familienhandbuch.de/ernaehrung/von-kindern-und-jugendlichen/mein-kind-ist-zu-dick
Bezeichnungen:
P50 ... Median
P25 ... unteres Quartil
P75 ... oberes Quartil
Die restlichen Bezeichnungen (P3, P10, P90, P97) können Sie unberücksichtigt lassen.
– Lesen Sie aus der oben stehenden Grafik ab, wie viel Prozent der 15-jährigen Mädchen
einen höheren BMI als 18,5
kg
m
2
haben.
Ein Mädchen ist 3 Jahre alt, 16 kg schwer und 97 cm groß.
– Überprüfen Sie, ob der BMI des Mädchens im oberen Viertel seiner Altersgruppe liegt.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Georg ist um 10 % größer als Fritz, sie wiegen aber gleich viel.
− Stellen Sie eine Formel für den BMI von Georg auf, wenn die Masse und die Körpergrö-
ße von Fritz bekannt sind.
− Berechnen Sie, um wie viel Prozent Georgs BMI kleiner ist als jener von Fritz.
c) Die Abhängigkeit des BMI von der Körpergröße l wird durch die Funktion g beschrie-
ben:
g ( l ) =
m
l
2
– Beschriften Sie in der unten dargestellten Abbildung des Funktionsgraphen von g
die Koordinatenachsen.
– Erklären Sie, warum der unten dargestellte Funktionsgraph den oben genannten
Zusammenhang richtig beschreibt.
g
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Body-Mass-Index

Rampe für Rollstühle*
Aufgabennummer: A_204
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Hotel muss zusätzlich zur „normalen“ Treppe eine Rampe für Rollstühle einbauen.
a) Die Rampe soll nicht steiler als 6,5 % sein.
– Ermitteln Sie den maximal erlaubten Steigungswinkel.
− Berechnen Sie, welche Strecke man mit einem Rollstuhl mindestens zurücklegen muss,
wenn ein Höhenunterschied von 45 cm überwunden werden muss.
b) − Erklären Sie, warum sich der Steigungswinkel einer Rampe nicht verändert, wenn so-
wohl der horizontale als auch der vertikale Abstand verdoppelt werden.
c) Beobachtungen zufolge sind 2 % aller Gäste mit einem Rollstuhl unterwegs.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer Zufallsstichprobe von 50 Gästen
mehr als 2 Rollstuhlfahrer/innen befinden.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe

Strahlenbelastung*
Aufgabennummer: A_207
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Bei einem Zwischenfall in einem Kernkraftwerk wurden in der näheren Umgebung Messungen
der Dosisleistung durchgeführt. (Die Dosisleistung ist ein Maß für die Wirkung von Strahlung auf
lebendes Gewebe pro Zeiteinheit.)
a) An einem bestimmten Tag wurden folgende Messwerte aufgezeichnet:
Uhrzeit in Stunden (h) Dosisleistung in Millisievert pro Stunde (mSv/h)
0 0,0092
12 350
24 1050
Der zeitliche Verlauf der Dosisleistung wird durch die Funktion f beschrieben:
f ( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c
t ... Uhrzeit in Stunden (h)
f ( t ) ... Dosisleistung zum Zeitpunkt t in Millisievert pro Stunde (mSv/h)
– Stellen Sie dasjenige Gleichungssystem auf, mit dem Sie die Koeffizienten a , b und c
berechnen können.
b) An einer anderen Messstelle wurden ebenfalls Daten für die Dosisleistung in mSv/h er
hoben. Dieser zeitliche Verlauf der Dosisleistung kann durch die Funktion g beschrieben
werden:
g ( t ) = 1,36 ∙ t ² + 20,7 ∙ t + 0,003
t ... Zeit in Stunden (h)
g ( t ) ... Dosisleistung zum Zeitpunkt t in Millisievert pro Stunde (mSv/h)
Die Gesamtdosis in einem Zeitintervall in Millisievert wird mithilfe des Integrals der Dosis
leistung in diesem Zeitintervall berechnet.
– Berechnen Sie die Gesamtdosis an diesem Tag, beginnend bei t = 0 h.
– Bestimmen Sie das ganzzahlig gerundete Ergebnis in Sievert (Sv).
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In einer Zeitungsmeldung wird behauptet: „Nach dem Unfall im japanischen Kraftwerk
Fukushima war die Dosisleistung in Fukushima 10 000 mal höher als in Österreich.“
Es liegen folgende Vergleichsdaten vor:
• Österreich / Sonnblick: 150 Nanosievert pro Stunde (nSv/h)
• nach dem Zwischenfall im Kernkraftwerk Fukushima: 1 500 Millisievert pro Stunde
(mSv/h)
− Überprüfen Sie anhand der Vergleichsdaten die Zeitungsmeldung auf ihre Richtigkeit.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Strahlenbelastung 2

Vergnügungspark (1)*
Aufgabennummer: A_208
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein kürzlich eröffneter Vergnügungspark ist ein beliebtes Ausflugsziel in der Region.
a) Beim Eingang zum Vergnügnungspark steht ein Torbogen. Dieser wird durch einen Teil
des Graphen der Funktion mit folgender Gleichung beschrieben:
y = 9 – x
2
x , y ... Koordinaten in Metern (m)
Dabei wird der ebene Boden durch die x -Achse beschrieben.
Bei einer Parade muss ein 4 Meter hoher Festwagen durch den Torbogen geschoben
werden. Nach oben hin muss ein senkrechter Minimalabstand von 10 cm eingehalten
werden (siehe Skizze – nicht maßstabgetreu).
Festwagen
x in m
y in m
4 m
10 cm 10 cm
0 –3 3
b
– Berechnen Sie, welche Breite b der Festwagen maximal haben darf.
Vor der Parade wird das Tor mit einer Folie verschlossen.
– Berechnen Sie den Flächeninhalt der dazu benötigten Folie.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Eine der Hauptattraktionen ist die Hochschaubahn. Ein Teilstück kann durch die Polynom-
funktion modelliert werden, deren Graph in der folgenden Abbildung zu sehen ist:
x
y
– Erklären Sie, welchen Grad diese Polynomfunktion mindestens haben muss.
c) Im Vergnügungspark gibt es ein Kino.
Fiona sitzt a Meter von der Leinwand entfernt (Punkt F ). Der Höhenwinkel zum unteren
Ende der Leinwand (Punkt Q ) wird mit α bezeichnet, der Höhenwinkel zum oberen Ende
der Leinwand (Punkt P ) wird mit β bezeichnet.
α
β
h
P
S
Q
a
F
– Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung der Höhe h der Leinwand aus a , α und β .
h =
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Vergnügungspark (1) 2