Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 4751–4800

Schreibtischlampen / Herbsttermin 2023 / B_588 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 17 /22 19. September 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 7
Schreibtischlampen
a) Eine bestimmte Schreibtischlampe besteht aus 3 beweglichen, geraden Armen (siehe nach-
stehende Abbildungen).
a
b
c
α
Q
y in cm
x in cm
O
P
Bildquelle: https://www.lampenwelt.at/paul-neuhaus-q-hannes-led-tischleuchte.html [06.12.2019].
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Vektor a + b + c als Pfeil ausgehend vom
Punkt P ein. [0 / 1 P.]
2) Stellen Sie mithilfe von b und c eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf.
α = [0 / 1 P.]
Es gilt: a =
(
10
47
)
, b =
(
25
–10
)
, c =
(
13
3
)
3) Berechnen Sie die Länge des Vektors PQ . [0 / 1 P.]
Schreibtischlampen / Herbsttermin 2023 / B_588 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 18 /22
b) In der nachstehenden Abbildung ist eine andere Schreibtischlampe modellhaft dargestellt.
α
β
γ
h
a
h
b
L
A
1) Stellen Sie mithilfe von α und β eine Formel zur Berechnung des Winkels γ auf.
γ = [0 / 1 P.]
Es gilt: a = 36 cm, b = 30 cm und β = 100°
2) Berechnen Sie die Streckenlänge AL . [0 / 1 P.]
Weiters gilt: α = 110°
3) Berechnen Sie die Höhe h . [0 / 1 P.]
Schreibtischlampen / Herbsttermin 2023 / B_588 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 19 /22
c) Ein Betrieb stellt Schreibtischlampen her. Die zugehörige Gesamtkostenfunktion K ist eine
Polynomfunktion 3. Grades (siehe nachstehende Abbildung).
K ( x ), E ( x ) in GE
x in ME
0
0
B
K
P
x
B
x
P
x ... Produktionsmenge in ME
K ( x ) ... Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE
Die Stelle xB
ist die Gewinnschwelle, die Stelle xP
ist die Kostenkehre.
1) Ordnen Sie den beiden Stellen xB
und xP
jeweils die zutreffende Aussage aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]
xB
xP
A K ′ ( x ) > 0 und K ″ ( x ) < 0
B K ′ ( x ) > 0 und K ″ ( x ) = 0
C K ′ ( x ) > 0 und K ″ ( x ) > 0
D K ′ ( x ) < 0 und K ″ ( x ) > 0
Die Schreibtischlampen werden zu einem fixen Preis pro ME verkauft.
2) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der zugehörigen Erlösfunktion E ein.
[0 / 1 P.]

Reiseverhalten / Herbsttermin 2023 / B_589 / adaptierte Prüfungsaufgabe S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 20 /22 19. September 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 8
Reiseverhalten
Im Rahmen verschiedener Studien wurde das Reiseverhalten von Reisenden untersucht.
a) Eine Studie über die durchschnittliche Dauer von Urlaubsreisen, im Folgenden kurz Reise-
dauer genannt, lieferte die in der nachstehenden Tabelle angegebenen Ergebnisse.
Jahr 1999 2003 2007 2011 2015
Reisedauer in diesem Jahr in Tagen 16,1 14,4 13,3 13 12,1
Die zeitliche Entwicklung der Reisedauer soll näherungsweise durch die lineare Funktion g be-
schrieben werden.
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1999
g ( t ) ... Reisedauer im Jahr t in Tagen
1) Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der linearen Funktion g auf.
[0 / 1 P.]
In der nachstehenden Abbildung sind die Tabellenwerte als Punkte eingezeichnet.
16
15
14
13
12
11
0
g ( t ) in Tagen
t in Jahren
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16 15 14 13 12 11 17
2) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen von g ein. [0 / 1 P.]
3) Argumentieren Sie mithilfe des Korrelationskoeffizienten, dass g ein geeignetes Modell zur
Beschreibung der Reisedauer ist. [0 / 1 P.]
Für das Jahr 2019 wurde eine tatsächliche Reisedauer von 12,3 Tagen ermittelt.
4) Ermitteln Sie den Betrag des absoluten Fehlers, der entsteht, wenn anstelle der tatsächlichen
Reise dauer für das Jahr 2019 der Funktionswert für das Jahr 2019 verwendet wird.
[0 / 1 P.]
Reiseverhalten / Herbsttermin 2023 / B_589 / adaptierte Prüfungsaufgabe S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 21 /22
b) In einer anderen Studie wird untersucht, ob das Reiseziel im Inland (Inlandsreise) oder im Aus-
land (Auslandsreise) liegt.
Der prozentuelle Anteil der Inlandsreisen an der Gesamtzahl aller Reisen im jeweiligen Jahr
kann durch die Funktion f beschrieben werden.
f ( t ) = a ∙ ℯ
– λ ∙ t
+ b
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1954
f ( t ) ... Anteil der Inlandsreisen im Jahr t in %
a , b , λ ... Parameter
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion f dargestellt.
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100 f ( t ), h ( t ) in %
t in Jahren
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 55
P = (22,5 | 40)
f
1) Geben Sie die Parameter a und b an.
a =
b = [0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie mithilfe des eingezeichneten Punktes P den Parameter λ . [0 / 1 P.]
Die Gesamtzahl aller Reisen setzt sich aus der Anzahl der Inlandsreisen und der Anzahl der
Auslandsreisen zusammen.
Der prozentuelle Anteil der Auslandsreisen an der Gesamtzahl aller Reisen im jeweiligen Jahr
kann durch die Funktion h beschrieben werden.
3) Skizzieren Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Funktion h . [0 / 1 P.]
Reiseverhalten / Herbsttermin 2023 / B_589 / adaptierte Prüfungsaufgabe S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
c) Die Anzahl der Busreisenden bei einer bestimmten Reise kann als normalverteilt mit der
Standardabweichung σ angenommen werden. Mithilfe einer Zufallsstichprobe vom Umfang n
mit dem Stichprobenmittelwert x wurde der nachstehende zweiseitige Vertrauensbereich für
den Erwartungswert dieser Normalverteilung ermittelt.
x ± 2,5 ∙ 
n
σ
⇒ [40; 50]
1) Ordnen Sie den beiden Größen jeweils den richtigen Wert aus A bis D zu. [0 / 1 P.]
σ
n
A 16
B 4
C 6
D 9

Alkoholspiegel
Aufgabennummer: A_093
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Der Alkoholspiegel ist ein Maß für die Menge von Alkohol im Blut. Er wird üblicherweise in
Promille (‰) angegeben.
Oberhalb eines Alkoholspiegels von 0,1 ‰ erfolgt der Abbau von Alkohol im Körper annähernd
linear mit einer Abbaurate von 0,15 ‰ pro Stunde.
a) Wolfgang trinkt auf einer Party Alkohol. Am Ende der Party hat er einen Alkoholspiegel von
1,5 ‰.
– Stellen Sie eine Gleichung derjenigen Funktion auf, die den Alkoholabbau in Wolfgangs
Körper (bis zu einem Alkoholspiegel von 0,1 ‰) in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
In der nachstehenden Abbildung ist der Alkoholabbau in Wolfgangs Körper ausschnitts-
weise dargestellt.
Alkoholspiegel in ‰
Zeit nach Beginn des Abbaus in h
0,4
0,7
0,9
– Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen
Kästchen ein.
b) Unterhalb eines Alkoholspiegels von 0,1 ‰ lässt sich der Abbau von Alkohol im Körper
näherungsweise durch die Funktion g mit g ( t ) = c ∙ ℯ
– λ ∙ t
beschreiben.
In der nachstehenden Abbildung ist sowohl der lineare Teil (Funktion f ) als auch der expo-
nentielle Teil (Funktion g ) eines Alkoholabbauprozesses dargestellt. Die beiden Funktions-
graphen schließen „knickfrei“ aneinander an, das heißt, sie haben an der Stelle t = 4 den-
selben Funktionswert und dieselbe Steigung.
g
1 0 2 7 6 5 4 3
Zeit t in h
Alkoholspiegel in ‰
f
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,8
Die Parameter c und λ der Funktion g können mithilfe des folgenden Gleichungssystems
berechnet werden.
I : c ∙ ℯ
– λ ∙ 4
=
II : ∙ ℯ
– λ ∙ 4
= –0,15
– Ergänzen Sie die fehlenden Teile des obigen Gleichungssystems.
c) Eine Barkeeperin mischt für einen „Sommerspritzer“
1
8
L Weißwein (Alkoholgehalt 12,5 %)
und 0,2 L Soda.
– Berechnen Sie den Alkoholgehalt dieses Sommerspritzers.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Alkoholspiegel 2

Sonnenblumen / Wintertermin 2023 / A_329 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 11 /20
Aufgabe 5
Sonnenblumen
a) Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t näherungs-
weise durch die zwei quadratischen Funktionen f und g beschreiben. Die Graphen dieser
beiden Funktionen gehen im Punkt P mit gleicher Steigung ineinander über. (Siehe unten
stehende Abbildung.)
f ( t ) =
1
15
∙ t
2
+ 0,2 ∙ t + 5 mit 0 ≤ t ≤ 21
g ( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c mit 21 ≤ t ≤ 42
t ∈ [0; 42] ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
f ( t ) ... Höhe der Sonnenblume zur Zeit t in cm
g ( t ) ... Höhe der Sonnenblume zur Zeit t in cm
t in Tagen
f ( t ), g ( t ) in cm
42 21 0
0
72,2
38,6
f
g
P
1) Tragen Sie in der obigen Abbildung den fehlenden Wert der Achsenbeschriftung in das
dafür vorgesehene Kästchen ein. [0 / 1 P.]
2) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b und c der
Funktion g . [0 / 1 / 2 P.]
b) Die Höhe einer anderen Sonnenblume lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t in einem be-
stimmten Zeitintervall näherungsweise durch die Funktion h beschreiben.
h ( t ) = 6,2 ∙ a
t
t ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
h ( t ) ... Höhe der Sonnenblume zur Zeit t in cm
Zur Zeit t = 17 beträgt die Höhe der Sonnenblume 38,6 cm.
1) Berechnen Sie a . [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Anzahl der Tage, in denen sich die Höhe dieser Sonnenblume jeweils
vervierfacht. [0 / 1 P.]
Sonnenblumen / Wintertermin 2023 / A_329 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 12 /20
c) In einer Gärtnerei werden Kerne von Sonnenblumen in mit Erde befüllte Kisten eingesetzt. In
jede Kiste werden 10 Kerne eingesetzt. Aus Erfahrung weiß man, dass jeder Kern unabhängig
von den anderen Kernen mit einer Wahrscheinlichkeit p keimt.
1) Ordnen Sie den beiden Wahrscheinlichkeiten jeweils den zutreffenden Ausdruck aus A bis D
zu. [0 / 1 P.]
Wahrscheinlichkeit, dass in
einer zufällig ausgewählten
Kiste höchstens 1 Kern
keimt
Wahrscheinlichkeit, dass
in einer zufällig ausgewähl-
ten Kiste genau 9 Kerne
keimen
A 1 –
(
10
9
)
∙ p
9
∙ (1 – p )
1
B
(
10
9
)
∙ p
9
∙ (1 – p )
1
C
(
10
1
)
∙ p
1
∙ (1 – p )
9
+ (1 – p )
10
D
(
10
1
)
∙ p
1
∙ (1 – p )
9

Stand-up-Paddling (1) / Haupttermin 2022 / A_317 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 8 /24 3. Mai 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP
Aufgabe 3
Stand-up-Paddling
Stand-up-Paddling ist eine Wassersportart, bei der man aufrecht auf einem Board steht und
paddelt.
a) In der nachstehenden Abbildung ist der Entwurf für ein zweifärbiges Board in der Ansicht von
oben dargestellt.
x in m
y in m
f
g
O
4 m
2,8 m
b
1) Stellen Sie mithilfe der Funktionen f und g eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der
grau markierten Fläche auf.
A = [0 / 1 P.]
Der Entwurf ist symmetrisch bezüglich der x -Achse.
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = –0,0125 ∙ x
3
+ 0,02 ∙ x
2
+ 0,07 ∙ x + 0,2 mit 0 ≤ x ≤ 4
2) Berechnen Sie die maximale Breite b des Boards. [0 / 1 P.]
(1)
Stand-up-Paddling (1) / Haupttermin 2022 / A_317 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / Angewandte Mathematik, Berufsreifeprüfung Mathematik / BAfEP, BASOP, BRP S. 9 /24
b) Barbaras Stand-up-Paddling-Trainingsstrecke verläuft um 3 Bojen herum (siehe nachstehende
Abbildung).
y in m
H
T
p
1
x in m
p
2
Ziel
Start
0 160 80
0
In einem Modell kann der Verlauf von Barbaras Trainingsstrecke durch die Graphen der
Funktionen p 1 und p 2 beschrieben werden.
Es gilt:
p 1 ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit 0 ≤ x < 80
Die Punkte H = (25 | 200) und T = (70 | 60) sind Extrempunkte des Graphen der Funktion p 1 .
1) Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu H und T ein Gleichungssystem zur Berechnung
der Koeffizienten a , b , c und d . [0 / 1 / 2 P.]
Der Graph der quadratischen Funktion p 2 beschreibt den Verlauf von Barbaras Trainings-
strecke für 80 ≤ x ≤ 160 (siehe obige Abbildung).
2) Kreuzen Sie diejenige Ungleichung an, die auf die Funktion p 2 nicht zutrifft. [1 aus 5]
[0 / 1 P.]
p
2
′ (150) < 0
p 2 ′ (90) > 0
p
2
″ (90) > 0
p
2
(150) > 0
p
2
″ (150) < 0

Holzbestand und Waldfläche / A_010 / Übungsaufgabe S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Holzbestand und Waldfläche
a) Der Holzbestand eines bestimmten Waldgebietes beträgt zu Beginn der Beobachtung
B
0
Festmeter (fm) und nimmt pro Jahr um D fm ab.
1) Erklären Sie, warum der Holzbestand dieses Waldgebietes in Abhängigkeit von der Zeit
durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann.
2) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion B auf, die den Holzbestand (in fm) in Abhängigkeit
von der Zeit t (in Jahren) beschreibt.
b) Der Holzbestand eines anderen Waldgebietes nimmt jährlich um 4 % bezogen auf den Wert
des jeweiligen Vorjahres zu. Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt der Holzbestand N
0
.
1) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion H auf, die den Holzbestand dieses Waldgebietes in
Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren beschreibt.
2) Berechnen Sie, wie lange es gemäß diesem Modell dauert, bis sich der Holzbestand
dieses Waldgebietes verdoppelt.
c) Die Zerstörung von Waldfläche zum Zwecke anderer Landnutzungsformen kann für ein
bestimmtes Gebiet näherungsweise durch die Funktion A beschrieben werden.
A ( t ) = 2 160 · t
t … Zeit in Monaten
A ( t ) … zerstörte Waldfläche zum Zeitpunkt t in km
2
1) Berechnen Sie, wie viel Hektar (ha) Waldfläche in diesem Gebiet pro Minute zerstört
werden. (Jeder Monat wird mit 30 Tagen gerechnet.)
Es gilt:
1 ha = 10 000 m
2

Leuchtmittel*
Aufgabennummer: A_109
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit pas-
senden Maßeinheiten anzugeben.
In einem Betrieb werden Leuchtmittel erzeugt. Untersuchungen haben ergeben, dass 5 % der
erzeugten Leuchtmittel fehlerhaft sind. Die übrigen Leuchtmittel funktionieren einwandfrei.
Nun wird eine Stichprobe vom Umfang n = 100 untersucht.
a) – Erklären Sie, warum die Binomialverteilung hier als Modell zur Berechnung von Wahrschein-
lichkeiten verwendet werden kann.
b) – Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 6 oder 7 fehlerhafte Leuchtmittel in der Stich-
probe zu finden sind.
c) – Beschreiben Sie, welche Wahrscheinlichkeit durch den Ausdruck
0,05
4
∙ 0,95
96
∙ (
100
4
)
berechnet wird.
d) Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe 5 fehlerhafte Leuchtmittel gefunden werden,
beträgt 18 %.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in 2 unabhängigen Stichproben gleichen Um-
fangs jeweils 5 fehlerhafte Leuchtmittel gefunden werden.
* ehemalige Klausuraufgabe

Volumenstrom (1) / A_049 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Volumenstrom (1)
Wasser einer Staustufe wird über Kanäle in einen Fluss abgelassen.
Das Wasservolumen, das pro Zeiteinheit an einer Messstelle vorbeifließt, bezeichnet man als
Volumenstrom.
Nach dem Öffnen des Tores gibt es einen Schwall, der allmählich in einen konstanten
Volumenstrom übergeht.
a) Der nachstehende Graph stellt den Volumenstrom im 1. Kanal in den ersten 13 Sekunden
nach Öffnen des Tores dar.
1) Lesen Sie ab, wann der Volumenstrom am stärksten ist.
2) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die momentane Änderungsrate des
Volumenstroms zum Zeitpunkt t = 1 s.
Volumenstrom in m
3
/s
Zeit in s
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Volumenstrom (1) / A_049 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
b) Der Volumenstrom im 2. Kanal kann durch die Funktion f modelliert werden.
f ( t ) =
0,32 · t
3
– 6,76 · t
2
+ 36,85 · t + 10 für 0 s ≤ t ≤ 10,4 s
22,03 für t > 10,4 s
t … Zeit in Sekunden (s)
f ( t ) … Volumenstrom in m³/s nach t Sekunden
Das gesamte Wasservolumen, das im Zeitintervall [ a , b ] durch den 2. Kanal fließt, kann durch
V =
∫
b
a
f ( t ) d t berechnet werden.
1) Berechnen Sie das Wasservolumen V , das in den ersten 13 Sekunden durch diesen Kanal
geflossen ist.
c) Der Volumenstrom im 3. Kanal kann durch die Funktion g beschrieben werden.
g ( t ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d
t ... Zeit in s
g ( x ) ... Volumenstrom zur Zeit t in m³/s
Zu Beginn beträgt der Volumenstrom 12 m³/s, nach 4 s wird das Maximum von 80 m³/s
erreicht und nach 11 s beträgt der Volumenstrom 30 m³/s.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von g .

Leistungskurve*
Aufgabennummer: A_108
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Die Leistungskurve , auch Arbeitskurve genannt, ist die Darstellung der Arbeitsleistung einer Arbeitneh-
merin/eines Arbeitnehmers in Abhängigkeit von der Tageszeit unter Berücksichtigung seiner Durch-
schnittsleistung (100 Prozent). Auf einer Webseite findet man folgende Grafik:
Quelle: http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Archiv/85252/leistungskurve-v9.html [30.05.2014]
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
a) – Lesen Sie ab, in welchen Zeitintervallen die Leistungsbereitschaft abnimmt.
b) – Skizzieren Sie den Graphen der 1. Ableitungsfunktion der Leistungsbereitschaft im Zeitinter-
vall von 15 Uhr bis 3 Uhr. Achten Sie dabei auf ein korrektes Einzeichnen der Extremstellen
und des Monotonieverhaltens.
c) Um 9 Uhr beträgt die Leistungsbereitschaft einer Arbeitnehmerin 110 %. Um 12 Uhr beträgt
-
tungsbereitschaft –12 % pro Stunde.
– Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Leistungsbereitschaft im Zeitintervall von
– Berechnen Sie die Leistungsbereitschaft um 14 Uhr.
d)
die Funktion f beschrieben werden. Dabei gilt:
f ( t ) =
10
–
3
∙ t
2
– 20 ∙ t + 40
t ... Zeit in Stunden, 0 ≤ t ≤ 6
f ( t ) ... Leistungsbereitschaft zur Zeit t in Prozent
– Berechnen Sie die 1. Ableitung der Leistungsbereitschaft um 2:30 Uhr.
– Erklären Sie die Bedeutung der 1. Ableitung im Sachzusammenhang.
* ehemalige Klausuraufgabe