Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 4651–4700

Wasserski-Wettbewerb (1)*
Aufgabennummer: B_470
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Bei einem Wasserski-Wettbewerb muss ein Slalom um 6 Bojen gefahren werden (siehe
nachstehende Abbildung).
f ( x ), g ( x ), h ( x ) in m
x in m
Legende:
... Bojen
• ... Punkte der Fahrstrecke
D B F
C A E
259
41 41 41 41 27 41 27
Ziel
Start
12
12
0
0
× × ×
× × ×
×
×
×
×
×
f
g
h
In einem vereinfachten Modell kann die Bahn einer Wasserskifahrerin abschnittsweise durch
die Graphen dreier Funktionen beschrieben werden:
Funktion f ... vom Start bis zum Punkt A
Funktion g ... vom Punkt A bis zum Punkt F
Funktion h ... vom Punkt F bis ins Ziel
x , f ( x ), g ( x ), h ( x ) ... Koordinaten in m
* ehemalige Klausuraufgabe
a) Für die gesamte Fahrt benötigt die Wasserskifahrerin 30 s.
1) Beschreiben Sie, was mit dem nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusam-
menhang berechnet wird. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
∫
27
0
√
1 + ( f ′ ( x ))
2
d x +
∫
232
27
√
1 + ( g ′ ( x ))
2
d x +
∫
259
232
√
1 + ( h ′ ( x ))
2
d x
30
b) Die Bahn der Wasserskifahrerin vom Start bis zum Punkt A kann durch den Graphen der
Funktion f mit f ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
beschrieben werden.
Der Graph der Funktion h entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um 232 m nach
rechts und um 12 m nach unten.
1) Kreuzen Sie die zutreffende Funktionsgleichung der Funktion h an. [1 aus 5]
h ( x ) = a · ( x – 232)
3
+ b · ( x – 232)
2
+ 12
h ( x ) = a · ( x + 12)
3
+ b · ( x + 12)
2
– 232
h ( x ) = a · ( x – 12)
3
+ b · ( x – 12)
2
+ 232
h ( x ) = a · ( x + 232)
3
+ b · ( x + 232)
2
– 12
h ( x ) = a · ( x – 232)
3
+ b · ( x – 232)
2
– 12
Wasserski-Wettbewerb (1) 2
c) Für das Publikum gibt es in der Pause die Möglichkeit, sich in einem Reifen hinter einem
Motorboot durch das Wasser ziehen zu lassen. Bei einer wilden Fahrt kann es vorkommen,
dass man aus dem Reifen geschleudert wird und ins Wasser fällt.
Die nachstehende Abbildung zeigt einen kurzen Ausschnitt des Weges eines Reifens bei
einer solchen Fahrt. Vom Punkt B zum Punkt C ist dieser kreisförmig mit dem Mittelpunkt M .
Im Punkt C wird der „Reifenfahrer“ in der durch den Vektor a angegebenen tangentialen
Richtung aus dem Reifen geschleudert.
M = (130 | 80)
C = (170 | 100)
B
y in m
x in m
O
a
1) Begründen Sie, warum a · MC = 0 ist.
Der „Reifenfahrer“ fällt in einer Entfernung von 2 m vom Punkt C ins Wasser.
2) Berechnen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes, in dem der „Reifenfahrer“ ins
Wasser fällt.
Wasserski-Wettbewerb (1) 3

Asymmetrisches Satteldach*
Aufgabennummer: B_500
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Haus wird geplant. Im Erstentwurf ist ein asymmetrisches Satteldach geplant, das aus zwei
rechteckigen Dach flächen besteht.
a) Das Haus soll eine rechteckige Grundfläche und lotrechte Wände haben. Es ist in der
nachstehenden Skizze modellhaft dargestellt.
h
2
h
1
γ
n
m
b
d
1) Zeichnen Sie in der obigen Skizze denjenigen Winkel α ein, für den gilt:
sin( α )
n
= 
( h
2
– h
1
)
2
+ d
2
sin( γ )
2) Begründen Sie, warum der Winkel α ein spitzer Winkel sein muss, wenn gilt: γ ≈ 139°.
3) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens V des oben dargestellten
Hauses. Verwenden Sie dabei die eingezeichneten Seitenlängen und den Winkel γ .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Es wird ein neuer Entwurf mit einer anderen Dachform erstellt. In der unten stehenden
Ab bildung ist die Querschnittsfläche des Hauses modellhaft dargestellt.
Die obere Begrenzungslinie verläuft dabei durch die Punkte A = (0 | 7,5), B = (7 | 10) und
C = (12 | 8). Dieser Verlauf soll durch den Graphen der quadratischen Funktion f mit
f ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c beschrieben werden.
f ( x ) in m
x in m
f
12 10 8 6 4 2 0
8
6
4
2
0
10
alt
neu
1) Erstellen Sie mithilfe der Koordinaten von A , B und C ein Gleichungssystem zur Berech-
nung der Koeffizienten a , b und c .
2) Berechnen Sie die Koeffizienten a , b und c .
3) Berechnen Sie den Inhalt Q
neu
der grau markierten Querschnittsfläche des Hauses.
Der Inhalt der Querschnittsfläche des Hauses im alten Entwurf mit Satteldach (Erstentwurf)
wird mit Q
alt
bezeichnet.
Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
Q
neu
– Q
alt
Q
alt
≈ 0,046
4) Interpretieren Sie das Ergebnis dieser Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
Asymmetrisches Satteldach 2

Zirbenkugel-Wassergefäße*
Aufgabennummer: B_504
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In einer Glasmanufaktur werden Wassergefäße hergestellt, die mit einer Kugel aus Zirbenholz
verschlossen werden.
a) Das (liegende) Wassergefäß kann modellhaft durch die Rotation der Graphen der
Funktionen f und g um die x -Achse beschrieben werden. Die Glasdicke wird dabei
vernachlässigt.
f ( x ) = –
1
170
· x
2
–
3
85
· x +
24
5
mit 0 ≤ x ≤ 17
g ( x ) =
5
6
·

x – 8 mit 17 ≤ x ≤ 24
oberer Rand
f ( x ), g ( x ) in cm
x in cm
f
g
0 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
4
2
0
6
–2
–4
–6
α
P
Im Schnittpunkt P schließen die Tangente an den Graphen von f und die Tangente an den
Graphen von g den stumpfen Winkel α ein.
1) Berechnen Sie diesen stumpfen Winkel α .
Das Wassergefäß ist 18 cm hoch mit Wasser gefüllt.
2) Ermitteln Sie die im Wassergefäß enthaltene Wassermenge in Litern.
Das Wassergefäß soll mit einer Markierung für eine Füllmenge von 1 L versehen werden.
3) Berechnen Sie die Entfernung dieser Markierung vom oberen Rand des Wassergefäßes.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Zirbenholz-Kugel hat den Mittelpunkt M und den Radius R . Der kreisförmige obere
Rand des Wassergefäßes, auf dem die Zirbenholz-Kugel aufliegt, hat den Radius r .
h
R
r
M
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der in der obigen Abbildung eingezeichneten
Länge h aus R und r .
h =
c) Die Zirbenholz-Kugel hat einen Durchmesser von 70 mm.
Zirbenholz hat eine Dichte von rund 380 kg/m
3
.
Die Masse m ist das Produkt aus Dichte ϱ und Volumen V , also m = ϱ · V .
1) Berechnen Sie die Masse der Zirbenholz-Kugel in Gramm.
Zirbenkugel-Wassergefäße 2