Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 4601–4650

Auf dem Laufband (1)*
Aufgabennummer: B_456
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf der Geschwindigkeit eines Läufers
während einer Trainingseinheit von 25 min. Die abschnittsweise definierte lineare Geschwindig-
keit-Zeit-Funktion v setzt sich aus 8 Abschnitten zusammen.
Geschwindigkeit v ( t ) in m/min
Zeit t in min
200
160
120
80
40
0
240
27 26 28 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8
7
6
5
4
3
2
1
a) 1) Geben Sie an, in welchem der 8 Abschnitte die Beschleunigung am größten ist.
2) Erstellen Sie eine Gleichung der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v für den Abschnitt 5 ,
also für das Zeitintervall [11 min; 13 min].
b) 1) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Länge desjenigen Weges, den der
Läufer in den ersten 11 min zurücklegt.
2) Ermitteln Sie die Länge dieses Weges in Kilometern.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die nachstehende Abbildung zeigt vereinfacht die Seitenansicht eines Laufbands.
y
x
h
g
f
y
B
m
C
A
α
x
1
P
1) Beschriften Sie im Dreieck ABC die Länge z und den Winkel φ so, dass gilt:
m
sin( φ )
=
z
sin( α )
Folgende Größen sind bekannt: m = 155 cm, α = 13° und AB = 150 cm
2) Berechnen Sie die Höhe AC des Laufbands.
Die Darstellung des Haltegriffs in der obigen Abbildung setzt sich aus den Graphen der
Funktionen f , g und h zusammen.
f ist eine lineare Funktion mit der Steigung k .
f und g schneiden einander im Punkt P .
Der Winkel β wird mit folgender Formel berechnet:
β = arccos
(
( )
1
k
·
( )
1
g ′ ( x
1
)
| ( )
1
k
|
·
| ( )
1
g ′ ( x
1
)
|
)
3) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel β ein.
Auf dem Laufband (1) 2

Brücken zwischen Gebäuden (1)*
Aufgabennummer: B_457
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Gebäude können durch Brücken verbunden werden.
a) Eine 30 m lange Brücke wird im Punkt M auf zwei Stützen der Länge s gelagert (siehe
nachstehende Abbildung).
35 m
Gebäude 1 Gebäude 2
30 m
A
M
B
D
s
α
s
15 m
1) Berechnen Sie die Länge s einer Stütze.
Die Stütze MB soll durch eine neue Stütze MD ersetzt werden.
2) Berechnen Sie den Winkel α .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Eine Brücke soll zwei Gebäude verbinden. Die Brücke mit 10 m Länge wird auf einem
parabel förmigen Bogen gelagert, der als Graph einer Funktion p mit p ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
modelliert werden kann. Der Bogen wird im Punkt A = (0|–1) an der linken Gebäudemauer
befestigt, der Scheitel ist im Punkt S = (5|2,5) (siehe nachstehende Abbildung).
10 m
p ( x ) in m
A
0 x
1
x
2
p
S
x in m
0
2,5 m
1) Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion p .
2) Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Fläche, deren Inhalt mit dem folgen-
den Ausdruck berechnet werden kann:
10 ∙ 2,5 –
∫
x 2
x 1
p ( x ) d x
Im Punkt A wird die Tangente an den Graphen der Funktion p gelegt. Diese Tangente
schließt mit der senkrechten Achse den spitzen Winkel β ein.
3) Kreuzen Sie die zutreffende Formel zur Berechnung des Winkels β an. [1 aus 5]
β = 90° – arctan( p ′ (0))
β = arctan
(
5
3,5
)
β = p ′ (0)
β = tan
(
5
p (0)
)
β = tan( p ′ (0))
Brücken zwischen Gebäuden (1) 2
c) Unter einer Brücke zwischen zwei Gebäuden wird eine Lampe an zwei Seilen aufgehängt.
Die Seile verbinden die Lampe L näherungsweise geradlinig mit dem Punkt A bzw. dem
Punkt B .
Auf die Lampe wirken Kräfte, die man berechnen kann. Dabei verwendet jemand folgenden
Zusammenhang:
a = – ( LA + LB )
y in m
x in m
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11
5
4
3
2
1
0
6
L
B A
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Vektor a als Pfeil ausgehend von L ein.
2) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung den Einheitsvektor von LB .
Brücken zwischen Gebäuden (1) 3

W-LAN*
Aufgabennummer: B_475
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In einer Fabrikshalle wird mit Access-Points und Repeatern ein W-LAN eingerichtet.
Ein Access-Point verbindet einen Laptop kabellos mit einem Netzwerk. Ein Repeater ver-
stärkt das Signal.
Die Datenübertragungsrate beschreibt die übertragene Datenmenge pro Zeiteinheit und
wird meist in der Einheit Megabit pro Sekunde (Mbit/s) angegeben.
a) Die Datenübertragungsrate zu einem Laptop hängt von seiner Entfernung von einem
Access-Point ab.
Es wurden folgende Daten erhoben:
Entfernung in m 2 8 16 30 39 46
Datenübertragungsrate in Mbit/s 547 456 400 139 108 25
Ein Mitarbeiter geht aufgrund der Messwerte von einem annähernd linearen Zusammen-
hang für die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung aus.
1) Erklären Sie, warum der zugehörige Korrelationskoeffizient negativ sein muss.
2) Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion.
3) Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Funktion im gegebenen Sachzusam-
menhang.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung
von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion d .
d ( x ) = c ∙ a
x
x … Entfernung in m
d ( x ) … Datenübertragungsrate in einer Entfernung x in Mbit/s
Sie ermittelt folgende Messwerte:
Entfernung in m 5 50
Datenübertragungsrate in Mbit/s 500 10
1) Berechnen Sie die Parameter a und c der Exponentialfunktion d .
2) Kreuzen Sie die auf diese Exponentialfunktion d nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
Die Funktionswerte der 1. Ableitung der Funktion d sind negativ.
Die x -Achse ist für den Graphen der Funktion d eine Asymptote.
Wird der Änderungsfaktor a in der Form ℯ
k
geschrieben, muss k positiv sein.
Die Funktion d hat an der Stelle x = 0 den Funktionswert c .
Die Funktionswerte der 2. Ableitung der Funktion d sind positiv.
W-LAN 2
c) Im Rahmen einer Testinstallation werden in der Fabrikshalle ein Access-Point, ein Repeater
und 2 Laptops auf gleich hohe Tische gestellt (siehe nachstehende schematische Abbil-
dung, Ansicht von oben).
y in m
x in m
O
P
1
P
2
Repeater
R
α
A
Access-Point
30
50
Im Punkt A = (30 | 0) befindet sich der Access-Point. Die Laptops in den Punkten
P
1
= (20 | 2) und P
2
= (45 | 20) sollen diesen Access-Point nützen können.
1) Zeigen Sie mithilfe der Vektorrechnung, dass der Winkel α kleiner als 120° ist.
2) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Punkt P
3
ein, der folgendermaßen
bestimmt werden kann:
OP
3
= OP
2
–
1
3
∙ P
1
P
2
Ein Repeater soll im Punkt R = ( x
R
| 30) in einem Abstand von 40 m vom Access-Point im
Punkt A montiert werden (siehe obige Abbildung).
3) Berechnen Sie x
R
.
W-LAN 3
d) In der nachstehenden Abbildung ist die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der
Zeit bei einem bestimmten Downloadvorgang dargestellt.
Datenübertragungsrate in Mbit/s
f
Zeit in s
Dabei gilt:
f ( t ) = 15 – 12 ∙ ℯ
–0,3 ∙ t
mit t ≥ 0
t ... Zeit in s
f ( t ) ... Datenübertragungsrate zur Zeit t in Mbit/s
1) Zeigen Sie mithilfe der Differenzialrechnung, dass die Funktion f monoton steigend ist.
2) Ermitteln Sie die gesamte Datenmenge in Mbit, die im Zeitintervall [0; 8] heruntergeladen
wurde.
W-LAN 4

Stand-up-Paddling*
Aufgabennummer: B_480
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Stand-up-Paddling ist eine Wassersportart, bei der eine Person aufrecht auf einem Board
steht und paddelt.
a) In der nachstehenden Abbildung ist der Umriss des hinteren Teils eines Boards von oben
betrachtet dargestellt. Die Begrenzungslinie kann näherungsweise durch eine Funktion f
mit f ( x ) = a ∙ x
4
+ b ∙ x
2
+ c beschrieben werden.
f ( x ) in cm
x in cm
f
Hochpunkt
A = (10 | 12)
B
40
x , f ( x ) ... Koordinaten in cm
1) Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu A und B ein Gleichungssystem zur Berech-
nung der Koeffizienten a , b und c .
2) Berechnen Sie die Koeffizienten a , b und c .
b) Auf einer Luftpumpe für ein aufblasbares Board sind die folgenden zwei Einheiten für den
Druck angegeben: pound-force per square inch (psi) und Bar (bar). Die nachstehende
Skala zeigt den Zusammenhang zwischen den beiden Einheiten, wobei die Maßzahlen
direkt proportional zueinander sind.
bar
psi 15 8 0
0 0,55
1) Vervollständigen Sie die obige Skala durch Eintragen des fehlenden Wertes.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Je nach Masse m der Person wird ein aufblasbares Board in einer der drei Größen S, M
und L empfohlen.
empfohlene Länge des Boards in cm Masse m der Person in kg
Größe S 270 m ≤ 60
Größe M 300 60 < m < 80
Größe L 320 m ≥ 80
1) Veranschaulichen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Zusammenhang
zwischen der Masse m der Person und der empfohlenen Länge des Boards.
Masse m der Person in kg
empfohlene Länge des Boards in cm
320
300
280
260
240
220
200
340
0
100 90 80 70 60 50 40 0
Stand-up-Paddling 2
Boards in diesen drei Größen werden in einem Sportgeschäft verkauft. Die Preise und
Verkaufszahlen in den Monaten Juli und August sind der nachstehenden Tabelle zu ent-
nehmen.
Preis pro Board in € Verkaufszahlen im Juli Verkaufszahlen im August
Größe S a 8 10
Größe M b 20 13
Größe L c 14 25
2) Ordnen Sie den beiden Ausdrücken jeweils die zutreffende Interpretation aus A bis D
zu. [2 zu 4] [2 zu 4]
a ∙ 18 + b ∙ 33 + c ∙ 39
a ∙ 10 + b ∙ 13 + c ∙ 25
48
A
Der Ausdruck entspricht dem Anteil der
Boards, die im August verkauft wurden,
an der Gesamtzahl der verkauften
Boards in den beiden Monaten.
B
Der Ausdruck entspricht den Gesamt -
einnahmen aus dem Verkauf dieser
Boards in den beiden Monaten.
C
Der Ausdruck entspricht den durch-
schnittlichen Einnahmen pro Board im
August.
D
Der Ausdruck entspricht den Gesamt -
einnahmen aus dem Verkauf dieser
Boards im August.
Stand-up-Paddling 3
d) In einem Hafen wurde eine Stand-up-Paddling-Trainingsstrecke mit Bojen markiert. Da-
bei muss man vom Start im Punkt A zum Punkt B und dann zum Punkt C paddeln (siehe
nachstehende Abbildung).
y in m
x in m A
B
C
80 70 60 50 40 30 20 10 0
60
50
40
30
20
10
0
1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung geometrisch.
AB ∙ BC = 0
Stand-up-Paddling 4