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Aufgabe B_376: Waschmittel (1)
Aufgabe als kompakte PDF öffnenWaschmittel (1)*
Aufgabennummer: B_376
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Firma Blitzweiß produziert ein neues Waschmittel.
a) Die Abhängigkeit der Verkaufszahlen vom Werbeaufwand x kann für einen Monat modell-
haft durch die Funktion V beschrieben werden:
V ( x ) = a – b · ℯ
– λ · x
a , b , λ sind positive Parameter der Funktion mit a > b .
– Ermitteln Sie unter Verwendung der Parameter von V die Verkaufszahl, wenn kein Wer-
beaufwand betrieben wird.
– Begründen Sie mathematisch, warum für x → ∞ die Funktion V asymptotisch gegen a
strebt.
Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion V für einen bestimmten Wert λ
1
:
Verkaufszahl
Werbeaufwand
a
– Zeichnen Sie den Funktionsverlauf für einen Wert λ
2
mit λ
2
> λ
1
in die obige Abbildung
ein. (Die Parameter a und b bleiben unverändert.)
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Kostenfunktion K für die Produktion eines Tages kann folgendermaßen beschrieben
werden:
K ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d
x … Anzahl der produzierten Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) … Produktionskosten für x ME in Geldeinheiten (GE)
Folgende Informationen sind verfügbar:
Die Fixkosten betragen € 500.
x in ME 20 30 50
K ( x ) in GE 604 672 920
– Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter a , b , c und d auf.
– Berechnen Sie die Parameter a , b , c und d .
c) In der nachstehenden Abbildung sind die Funktionsgraphen der linearen Kostenfunktion K
und der quadratischen Erlösfunktion E eines Produkts dargestellt:
K ( x ), E ( x ) in GE
x in ME
K
E
120 100 80 60 40 20 0 140
300
250
200
150
100
50
0
350
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung dieser Kostenfunktion K auf.
– Kennzeichnen Sie den Gewinnbereich in der obigen Abbildung.
− Erklären Sie mathematisch, warum die zugehörige Gewinnfunktion eine quadratische
Funktion sein muss.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Waschmittel (1) 2
Offizielle Lösungserwartung als HTML-Text anzeigen
Lösung zu Waschmittel (1)
Lösung als kompakte PDF öffnenWaschmittel (1) 3
Möglicher Lösungsweg
a) Verkaufszahl ohne Werbeaufwand: V (0) = a – b
Wenn x gegen unendlich geht, strebt ℯ
– λ · x
und daher auch das Produkt b · ℯ
– λ · x
gegen 0
und V somit gegen a .
Verkaufszahl
Werbeaufwand
a
b) K (0) = 500: 500 = d
K (20) = 604: 604 = 20
3
· a + 20
2
· b + 20 · c + d
K (30) = 672: 672 = 30
3
· a + 30
2
· b + 30 · c + d
K (50) = 920: 920 = 50
3
· a + 50
2
· b + 50 · c + d
Lösung mittels Technologieeinsatz:
a =
1
375
, b = –
2
25
, c =
86
15
und d = 500
Waschmittel (1) 4
c) Ablesen aus dem Funktionsgraphen: K (0) = 50 und K (100) = 200
⇒ K ( x ) = 1,5 · x + 50
K ( x ), E ( x ), G ( x ) in GE
x in ME
Gewinnbereich
K
E
120 100 80 60 40 20 0 140
300
250
200
150
100
50
0
350
Für die Gewinnfunktion G gilt: G ( x ) = E ( x ) – K ( x ).
Wird von einem quadratischen Term ein linearer Term abgezogen, so ist das Ergebnis
wieder ein quadratischer Term.
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für das richtige Ermitteln der Verkaufszahl ohne Werbeaufwand unter Verwendung
der Parameter der Funktion
1 × D: für die richtige Erklärung, warum für wachsende x die Verkaufszahlen V gegen a
streben
1 × A: für das richtige Einzeichnen des Funktionsverlaufs (Startwert und charakteristischer
Verlauf einer Sättigungsfunktion, wobei die Kurve mit λ
2
oberhalb der gegebenen
Kurve verläuft)
b) 1 × A: für das richtige Aufstellen des Gleichungssystems
1 × B: für die richtige Berechnung der Parameter
c) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Kostenfunktion
1 × C: für das richtige Kennzeichnen des Gewinnbereichs
1 × D: für die richtige mathematische Erklärung