Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 4001–4050

Produktion von CD-Rohlingen und
DVD-Rohlingen*
Aufgabennummer: B_490
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Unbeschriebene CDs und DVDs werden als Rohlinge bezeichnet.
a) In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Kostenfunktion K und der Graph der
Gewinnfunktion G für die Produktion von CD-Rohlingen dargestellt.
K ( x ), G ( x ), E ( x ) in GE
x in ME
K
G
0 90 80 70 60 50 40 30 20 10 100
16
14
12
–6
10
8
6
4
2
0
–2
–4
18
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der zugehörigen linearen Erlös-
funktion E ein.
2) Ermitteln Sie den Preis, zu dem die CD-Rohlinge verkauft werden.
3) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den maximalen Gewinn G
max
ab.
G
max
≈ GE
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Für bestimmte hochwertige DVD-Rohlinge ist das Unternehmen Monopolist.
Für die Preisfunktion der Nachfrage p
N
gilt:
p
N
( x ) = a ∙ x + b
x ... nachgefragte Menge in ME
p
N
( x ) ... Preis bei der nachgefragten Menge x in GE/ME
1) Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der die Sättigungsmenge angibt. [1 aus 5]]
a
b
b
a
–
a
b
–
b
a
– b – a
c) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Erlösfunktion E für spezielle DVD-Rohlinge
dargestellt. Zusätzlich ist die Tangente an den Graphen von E in einem Punkt P eingezeichnet.
E ( x ) in GE
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 50 55
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
26
P
E
x in ME
1) Bestimmen Sie mithilfe der obigen Abbildung die Steigung k der Tangente.
k = GE/ME
2) Interpretieren Sie den Wert der Steigung der Tangente im gegebenen Sachzusammen-
hang.
Produktion von CD-Rohlingen und DVD-Rohlingen 2
3) Ordnen Sie den beiden Funktionen jeweils den zugehörigen Graphen aus A bis D zu.
[2 zu 4]
A
y in GE/ME
x in ME
0 40 30 20 10 50
1
0
2
–1
–2
B
y in GE/ME
x in ME
0 40 30 20 10 50
1
0
2
–1
–2
C
y in GE/ME
x in ME
0 40 30 20 10 50
1
0
2
–1
–2
D
y in GE/ME
x in ME
0 40 30 20 10 50
1
0
2
–1
–2
Grenzerlösfunktion E ′
Preisfunktion der Nachfrage p
N
Produktion von CD-Rohlingen und DVD-Rohlingen 3

Seifenherstellung*
Aufgabennummer: B_491
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In einem Betrieb werden Seifen hergestellt und verpackt. Zur Herstellung von Seife werden
die Rohstoffe Sheabutter ( R
1
), verschiedene Öle ( R
2
) und Natronlauge ( R
3
) verwendet.
a) In einer Produktionsschiene werden die beiden Seifen S
1
und S
2
hergestellt.
1. Produktionsstufe:
Für 1 ME von S
1
benötigt man 35 ME von R
1
, 80 ME von R
2
und 15 ME von R
3
.
Für 1 ME von S
2
benötigt man 50 ME von R
2
und 6 ME von R
3
.
2. Produktionsstufe:
Beide Seifen werden in den 2 unterschiedlichen Packungen P
1
und P
2
zum Kauf angeboten.
In 1 Packung P
1
befinden sich 2 ME von S
1
und 1 ME von S
2
.
In 1 Packung P
2
befinden sich 2 ME von S
1
und 3 ME von S
2
.
1) Veranschaulichen Sie die Produktionsverflechtung von den Rohstoffen bis zu den
Packungen als Gozinto-Graph.
R
2
R
3
R
1
S
2
S
1
P
2
P
1
2) Erstellen Sie die beiden Matrizen, die die einzelnen Produktionsstufen beschreiben.
3) Ermitteln Sie die Matrix A , die den Mengenbedarf an Rohstoffen für die Zusammenstellung
der Packungen beschreibt.
Ein Kunde bestellt 20 Packungen P
1
und 30 Packungen P
2
.
4) Ermitteln Sie den Mengenbedarf an Rohstoffen für diese Bestellung.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In einer anderen Produktionsschiene werden aus den 3 Rohstoffen R
1
, R
2
und R
3
die
Seifen S
3
und S
4
hergestellt. Die Seifen werden in Form einer Geschenkpackung P verkauft.
Die Produktionsverflechtung wird durch die nachstehende Tabelle beschrieben. Die einge-
tragenen Werte entsprechen den ME im Produktionsprozess.
R
1
R
2
R
3
S
3
S
4
P
R
1
0 0 0 15 10 0
R
2
0 0 0 75 52 0
R
3
0 0 0 9,6 8,5 0
S
3
0 0 0 0 0 2
S
4
0 0 0 0 0 2
P 0 0 0 0 0 0
Die Summe der Einträge in der 3. Zeile beträgt 18,1.
1) Interpretieren Sie den Wert 18,1 im Zusammenhang mit der Produktion der beiden Seifen.
2) Lesen Sie aus der obigen Tabelle ab, wie viele ME Seife sich in einer Geschenkpackung
befinden.
Im Lager befinden sich 1 260 ME von R
1
und 6 340 ME von R
2
.
3) Überprüfen Sie nachweislich, ob bei diesem Lagerstand jeweils 50 ME von den beiden
Seifen S
3
und S
4
hergestellt werden können.
Seifenherstellung 2

Streaming*
Aufgabennummer: B_501
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Fernsehsender entschließt sich, einen Streaming-Dienst für Filme auf den Markt zu bringen.
Damit können Filme über das Internet abgespielt werden.
Die Zeit nach der Markteinführung in Monaten wird mit t bezeichnet.
a) Bei der Markteinführung ( t = 0) nutzen 1 000 Kunden dieses Angebot.
Die Anzahl der Kunden steigt im 1. Jahr nach der Markteinführung pro Monat jeweils um
etwa 20 % bezogen auf die Anzahl des jeweiligen Vormonats.
Die Anzahl der Kunden soll in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden.
1) Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Funktion.
2) Berechnen Sie die Anzahl der Kunden für t = 7.
3) Berechnen Sie, wie lange es nach der Markteinführung dauert, bis die Anzahl der
Kunden erstmals 8 000 übersteigt.
b) In der nach stehenden Tabelle ist die Anzahl der Kunden für einen bestimmten Zeitraum an-
gegeben.
Zeit t in Monaten 18 20 24 26 28
Anzahl der Kunden 23 800 32 200 54 600 68 000 81 900
Die Anzahl der Kunden soll in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden.
1) Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die über einen längeren Zeitraum betrachtete zeitliche Entwicklung der Anzahl der Kunden
kann näherungsweise durch die logistische Funktion f beschrieben werden (siehe nachste-
hende Abbildung).
t in Monaten
f ( t )
55 45 50 40 35 30 25 20 15 10 5 0
140 000
130 000
120 000
110 000
100 000
90 000
80 000
70 000
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
150 000
0
f
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Zeitpunkt des stärksten Wachstums der
Anzahl der Kunden ab.
Für die Funktion f gilt: f ( t ) =
150 000
1 + c · ℯ
– λ · t
Bei der Markteinführung ( t = 0) nutzen 1 000 Kunden dieses Angebot.
2) Ermitteln Sie die Parameter c und λ der Funktion f .
Streaming 2

Wohnanlage*
Aufgabennummer: B_502
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine Wohnanlage wird saniert.
a) Die Kosten für die Sanierung in Höhe von € 52.647,60 werden proportional zur Wohnungs-
größe aufgeteilt.
Die jeweiligen Größen der 4 Wohnungen sind: 52 m
2
, 60 m
2
, 78 m
2
und 102 m
2
.
1) Berechnen Sie den Kostenanteil für die Sanierung der größten Wohnung in Euro.
b) Zur Finanzierung der Sanierung nehmen die Wohnungseigentümer einen Kredit in Höhe von
€ 20.000 auf.
Sie vereinbaren mit der Bank, den Kredit durch 6 vorschüssige Jahresraten R zu tilgen. Die
erste Jahresrate ist nach 3 Jahren fällig. Für die Rückzahlung wird der Jahreszinssatz i ver-
einbart.
1) Veranschaulichen Sie diesen Zahlungsstrom (Kreditbetrag und Jahresraten) auf einer
Zeitachse.
2) Erstellen Sie eine Gleichung zur Berechnung von R . Verwenden Sie dabei den Jahres-
zinssatz i .
Unmittelbar vor dem Bezahlen der 1. Jahresrate entscheiden sich die Wohnungseigentümer
dafür, bei ansonsten gleichbleibenden Bedingungen den Kredit mit nur 3 Jahresraten zu
tilgen.
3) Argumentieren Sie, dass diese neuen Jahresraten weniger als doppelt so hoch wie die
zuvor vereinbarten Jahresraten sind.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Eine andere Bank unterbreitet den Wohnungseigentümern zur Rückzahlung eines Kredits
ein Angebot, bei dem der Kredit bei einem fixen Jahreszinssatz in 5 Jahren vollständig
getilgt wird.
Im Folgenden ist ein Teil des Tilgungsplans dargestellt.
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 – – – – – – – – – € 20.000,00
1 € 600,00 € 600,00
2 € 600,00 € 5.500,00 € 15.100,00
3 € 5.500,00 € 10.053,00
4 € 5.500,00 € 4.854,59
5 € 0,00
1) Berechnen Sie den Jahreszinssatz des Kredits.
2) Tragen Sie im obigen Tilgungsplan die fehlenden Beträge in die grau markierten Zellen
ein.
Wohnanlage 2

Scharniere*
Aufgabennummer: B_503
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Unternehmen stellt Scharniere her.
a) In der nebenstehenden Abbildung ist der
Graph der linearen Grenzkostenfunktion K ′
für die Herstellung von Clip -Scharnieren
dargestellt.
x in ME
K ′ ( x ), E ′ ( x ) in GE/ME
K ′
50 40 30 20 10 0
25
20
15
10
5
–5
0
1) Erstellen Sie eine Gleichung der Grenzkostenfunktion K ′ .
Die Fixkosten für die Herstellung von Clip -Scharnieren betragen 50 GE.
2) Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Kostenfunktion K .
Die Grenzerlösfunktion E ′ für Clip -Scharniere ist gegeben durch:
E ′ ( x ) = –0,5 · x + 20
x ... Absatzmenge in ME
E ′ ( x ) ... Grenzerlös bei der Absatzmenge x in GE/ME
3) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Grenzerlösfunktion E ′ im Inter-
vall [0; 50] ein.
4) Interpretieren Sie die Nullstelle der Grenzerlösfunktion E ′ in Bezug auf den Erlös.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Durchschnittskosten für die Herstellung des Scharniers Modul lassen sich durch die
Durchschnittskostenfunktion K mit K ( x ) =
K ( x )
x
beschreiben:
K ( x ) = 0,25 · x + 3 +
1
x
x ... Produktionsmenge in ME
K ( x ) ... Durchschnittskosten bei der Produktionsmenge x in GE/ME
Es werden folgende Rechenschritte ausgeführt:
K ′ ( x ) = 0,25 –
1
x
2
0,25 –
1
x
2
= 0 ⇒ x = ±
1
0,25

x
1
= 2 , ( x
2
= –2)
1) Interpretieren Sie die Lösung x
1
= 2 im gegebenen Sachzusammenhang.
2) Zeigen Sie mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen, dass man als Ablei-
tung von
1
x
den Ausdruck –
1
x
2
erhält.
c) In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der Gewinnfunktion G für das Scharnier
Top dar gestellt.
Auf dem Graphen der Gewinnfunktion G sind die Punkte A , B , C und D eingezeichnet.
x in ME
G ( x ) in GE
A
D
C B
O
1) Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils den zutreffenden Punkt aus A bis D zu. [2 zu 4]
G ( x ) > 0 und G ′ ( x ) > 0
G ( x ) < 0 und G ′ ( x ) < 0
A Punkt A
B Punkt B
C Punkt C
D Punkt D
Scharniere 2
d) Der Gewinn für das Scharnier Cardo kann durch die Funktion G beschrieben werden:
G ( x ) = –0,01 · x
3
+ 0,28 · x
2
+ 1,75 · x – 50
x ... Absatzmenge in ME
G ( x ) ... Gewinn bei der Absatzmenge x in GE
1) Ermitteln Sie die untere Gewinngrenze.
2) Ermitteln Sie den maximalen Gewinn.
Scharniere 3

Scheiben für PKWs*
Aufgabennummer: B_527
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Betrieb stellt Frontscheiben und Heckscheiben für PKWs her.
a) In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Kostenfunktion K und der Graph der
quadratischen Erlös funktion E für Frontscheiben eines bestimmten Typs dargestellt.
K ( x ), E ( x ) in GE
K
x in ME
E
0 160 140 120 100 80 60 40 180 20
1 000
800
600
1 200
400
200
0
200
1) Stellen Sie eine Gleichung der quadratischen Erlösfunktion E auf.
2) Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Preisfunktion der Nachfrage auf.
3) Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Gewinnzone ab.
[ ; ]
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)
b) Die variablen Kosten bei der Produktion von Heckscheiben eines bestimmten Typs können
durch die Funktion K
v
beschrieben werden.
K
v
( x ) = 0,0029 · x
3
– 0,45 ∙ x
2
+ 24 ∙ x
x ... produzierte Menge in ME
K
v
( x ) ... variable Kosten bei der produzierten Menge x in GE
Die Fixkosten betragen 450 GE.
1) Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze.
In der nebenstehenden Abbildung sind
der Graph der Durchschnittskostenfunktion K ,
der Graph der Grenzkostenfunktion K ′ und
der Graph der variablen
Durchschnittskosten funktion K
v
dargestellt.
2) Kreuzen Sie diejenige Größe an, die nicht
unmittelbar aus der obigen Abbildung
abgelesen werden kann. [1 aus 5]
Die Preisfunktion der Nachfrage p
N
für Heckscheiben dieses Typs ist gegeben durch:
p
N
( x ) = –0,16 · x + 30
x ... nachgefragte Menge in ME
p
N
( x ) ... Preis bei der nachgefragten Menge x in GE/ME
3) Geben Sie den Höchstpreis an.
4) Berechnen Sie den Cournot’schen Preis.
Scheiben für PKWs 2
x in ME
0 80 70 60 50 40 30 20 90 10
20
15
25
10
5
0
K K
v
K ′
K ( x ), K ′ ( x ), K v ( x ) in GE/ME
Kostenkehre
Fixkosten
Betriebsminimum
Betriebsoptimum
kurzfristige Preisuntergrenze

Zinsentwicklung*
Aufgabennummer: B_528
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Zinssätze für Kredite und Spareinlagen unterliegen zeitabhängigen Schwan kungen.
a) Der Zinssatz für einen Kredit bei einer Bank ist unter anderem auch davon abhängig, wel-
chen Verwendungszweck dieser hat.
Konsumkredite dienen der Finanzierung von Konsumgütern oder Dienstleistungen.
Immobilienkredite dienen der Wohnbaufinanzierung.
In der nachstehenden Tabelle ist die Entwicklung der Zinssätze für beide Verwendungs-
zwecke im Zeitraum von 2000 bis 2004 in Österreich dargestellt.
Jahr 2000 2001 2002 2003 2004
Zinssatz für Konsumkredite in % p. a. 6,63 6,69 6,06 5,42 5,18
Zinssatz für Immobilienkredite in % p. a. 5,87 5,93 5,35 4,41 3,90
Datenquelle: https://www.oenb.at/Statistik/Standardisierte-Tabellen/zinssaetze-und-wechselkurse/Zinssaetze-der-Kreditins-
titute.html [04.08.2021].
1) Stellen Sie eine Gleichung der Regressionsgeraden für den Zusammenhang zwischen
dem Zinssatz für Konsumkredite x und dem Zinssatz für Immobilienkredite y im ange-
gebenen Zeitraum auf.
2) Beurteilen Sie mithilfe des Korrelationskoeffizienten, ob die Regressionsgerade ein ge -
eignetes Modell darstellt, um diesen Zusammenhang zu beschreiben.
Der Zinssatz im Jahr 2005 betrug für Konsumkredite 4,89 % p. a. und für Immobilien
kredite 3,58 % p. a.
3) Berechnen Sie die Differenz zwischen dem tatsächlichen Zinssatz für Immobilienkredite
im Jahr 2005 und dem mithilfe der Regressionsgeraden ermittelten entsprechenden
Zinssatz.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Bei Abschluss eines Kreditvertrags kann festgelegt werden, ob der Zinssatz während der
gesamten Laufzeit konstant bleibt oder ob sich der Zinssatz entsprechend der aktuellen
Markt lage immer wieder verändert.
In der nachstehenden Tabelle ist ein Ausschnitt aus einem Tilgungsplan dargestellt.
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 € 50.000,00
1 € 2.100,00 € 4.900,00 € 7.000,00 € 45.100,00
2 € 1.894,20 € 5.105,80 € 7.000,00 € 39.994,20
3 € 1.399,80 € 7.000,00
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob sich der Zinssatz innerhalb der dargestellten 3 Jahre
verändert hat.
2) Tragen Sie in der obigen Tabelle die beiden fehlenden Beträge im Jahr 3 ein.
c) Ein Geldbetrag B wird 2 Jahre lang mit dem Jahreszinssatz i
0
verzinst, danach weitere 3
Jahre mit einem geänderten Jahreszinssatz i
1
.
1) Stellen Sie eine Formel für den Endwert E am Ende dieser 5 Jahre auf. Verwenden Sie
dabei B , i
0
und i
1
.
E =
2) Berechnen Sie für i
0
= 3 % und i
1
= 1 % denjenigen gleichbleibenden Jahreszins-
satz i , bei dem der Betrag B innerhalb von 5 Jahren auf den gleichen Endwert E
anwächst.
Zinsentwicklung 2

Puddingmischungen*
Aufgabennummer: B_529
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aus reinen Puddingsorten werden verschiedene Mischsorten produziert. Diese werden
in ver schie de nen Packungen verkauft. Der nachstehende Gozinto-Graph bildet diesen
Produktions prozess ab.
S
V
M
1
M
2
K
G
0,18
0,11
0,07
0,14
1
4
1
2
S ... reiner Schokoladepudding (in Litern)
V ... reiner Vanillepudding (in Litern)
M
1
... Mischsorte 1: Schokoladepudding mit Vanille-Sprenkeln (in Bechern)
M
2
... Mischsorte 2: Vanillepudding mit Schoko-Sprenkeln (in Bechern)
K ... Kleinpackungen (in Stück)
G ... Großpackungen (in Stück)
a) 1) Ermitteln Sie den Prozentsatz an Schokoladepudding in einem Becher M
1
.
2) Übertragen Sie den Gozinto-Graphen in 2 Matrizen, die den Mengenbedarf an reinen
Puddingsorten für die Mischsorten bzw. den Mengenbedarf an Mischsorten für die
Packungen beschreiben.
Ein Supermarkt bestellt 300 Klein- und 200 Großpackungen.
3) Ermitteln Sie die dafür jeweils benötigte Menge an Schokolade- und Vanillepudding in
Litern.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Der Produktionsablauf wird verändert. Die quadratische Matrix A beschreibt die Produkti-
onsverflechtungen zwischen den reinen Puddingsorten, den Mischsorten und den Packun-
gen (in der Reihenfolge S , V , M
1
, M
2
, K , G ).
A =
( )
0,50
0,25
4
2
0
0
0,11
0,14
0
0
0
0
0,18
0,07
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
Neu dabei sind: a
16
= 0,50 und a
26
= 0,25.
1) Zeichnen Sie diese beiden neuen Verflechtungen im nachstehenden Gozinto-Graphen
ein.
S
V
M
1
M
2
K
G
0,18
0,11
0,07
0,14
1
4
1
2
Der Vektor x soll die benötigten Mengen an reinen Puddingsorten, Mischsorten und
Packungen (in der Reihenfolge S , V , M
1
, M
2
, K , G ) beschreiben.
2) Ermitteln Sie diesen Vektor x für eine Nachfrage von 300 Klein- und 200 Groß -
packungen.
Für eine andere Nachfrage ergibt sich anstelle von x der Vektor x
1
=
( )
461
264
1 300
700
100
300
.
3) Interpretieren Sie den Eintrag 700 dieses Vektors im gegebenen Sachzusammenhang.
4) Beschreiben Sie, wie sich eine zusätzliche direkte Nachfrage nach reinem Schokolade -
pudding im Ausmaß von 100 Litern auf den Vektor x
1
auswirkt.
Puddingmischungen 2
c) Der Produktionsprozess wird auf andere Puddingsorten erweitert.
Aus a reinen Puddingsorten werden b verschiedene Mischsorten produziert, die wiederum
in c verschiedenen Packungsgrößen abgepackt werden. Die quadratische Matrix B
beschreibt die Produktionsverflechtungen zwischen den reinen Puddingsorten, den
Mischsorten und den Packungen.
1) Ordnen Sie den beiden Eigenschaften von B jeweils die zutreffende Berechnung aus A
bis D zu.
Anzahl der Matrixelemente von B
Anzahl der Zeilen von B
A a ∙ b ∙ c
B a + b + c
C ( a + b + c ) ∙ 2
D ( a + b + c )
2
Puddingmischungen 3

Abfindung / Wintertermin 2022 / B_538 / adaptierte Prüfungsaufgabe S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 13 /18
Aufgabe 6 (Teil B)
Abfindung
Vier Geschwister haben gemeinsam ein Haus geerbt.
Martha übernimmt das Haus und muss dafür ihren Geschwistern Andreas, Beate und Christian
zum Zeitpunkt der Übernahme Geldbeträge in Höhe von jeweils € 80.000 auszahlen. Ein solcher
Geldbetrag wird Abfindung genannt.
a) Die Auszahlung der Abfindung in Höhe von € 80.000 an Andreas soll durch 3 Zahlungen er-
folgen:
€ 25.000 nach 3 Jahren,
€ 30.000 nach 6 Jahren und
€ 35.000 nach 9 Jahren.
1) Stellen Sie eine Gleichung zur Berechnung des zugehörigen Jahreszinssatzes i auf. [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie diesen Jahreszinssatz i . [0 / 1 P.]
b) Die Auszahlung der Abfindung in Höhe von € 80.000 an Beate soll durch Zahlungen erfolgen,
die durch die nachstehende Gleichung beschrieben werden.
80 000 = 20 000 + R ∙
1,02
4
– 1
1,02 – 1
∙
1
1,02
6
1) Stellen Sie den Betrag € 20.000 und die Raten R auf der nachstehenden Zeitachse dar.
[0 / 1 P.]
€ 80.000
Zeit in Jahren
8 7 6 5 4 3 2 1 0
Der Zinssatz beträgt 2 % p. a.
Abfindung / Wintertermin 2022 / B_538 / adaptierte Prüfungsaufgabe S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 14 /18
c) Die Auszahlung der Abfindung in Höhe von € 80.000 an Christian soll durch Quartalsraten
in Höhe von jeweils € 4.000 und eine Restzahlung erfolgen. Die erste Zahlung erfolgt nach
1 Jahr. Der Zinssatz beträgt 2 % p. a.
1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzu-
sammenhang. [0 / 1 P.]
1,02
1
4
– 1 = 0,004962...
2) Berechnen Sie die Anzahl der vollen Quartalsraten. [0 / 1 P.]
3) Berechnen Sie die Höhe der Restzahlung, die 1 Quartal nach der letzten vollen Quartalsrate
ausgezahlt wird. [0 / 1 P.]
d) Zur Finanzierung der Hausübernahme nimmt Martha einen Kredit auf.
Die vorletzte Zeile des Tilgungsplans lautet:
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
15 € 319,43 € 9.680,57 € 10.000,00 € 966,95
1) Zeigen Sie, dass der Zinssatz 3 % p. a. beträgt. [0 / 1 P.]
2) Vervollständigen Sie die nachstehende letzte Zeile des Tilgungsplans. [0 / 1 P.]
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
16 € 0,00

Farben und Lacke / Wintertermin 2022 / B_539 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 15 /18
Aufgabe 7 (Teil B)
Farben und Lacke
Ein Unternehmen stellt verschiedene Farben und Lacke her.
a) Die Gesamtkosten für die Produktion von Acrylfarbe werden durch eine Kostenfunktion K mit
K ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d beschrieben.
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / 1 P.]
Wenn
1
ist, dann kann K keine ertragsgesetzliche Kostenfunktion sein, weil
in diesem Fall
2
.
1
b < 0
c < 0
b < c
2
die Fixkosten negativ sind
keine Kostenkehre existiert
die Grenzkosten bei der Produktionsmenge 0 negativ sind
b) Der Graph der Gewinnfunktion G für Acrylfarbe ist in der nachstehenden Abbildung im Inter-
vall [20; 85] dargestellt.
x in ME
G
G ( x ), G
1
( x ) in GE
0 30 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 95 20 10 25 15 5
150
100
–100
50
0
–50
200
x … Absatzmenge in ME
G ( x ) … Gewinn bei der Absatzmenge x in GE
Die Fixkosten steigen um 50 GE. Die variablen Kosten und der Erlös bleiben unverändert. Der
Gewinn unter diesen veränderten Bedingungen wird durch die Gewinnfunktion G 1 beschrieben.
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der neuen Gewinnfunktion G 1 im Inter-
vall [20; 85] ein. [0 / 1 P.]
2) Lesen Sie aus der obigen Abbildung die untere Gewinngrenze ab, die sich unter diesen
veränderten Bedingungen ergibt. [0 / 1 P.]
Farben und Lacke / Wintertermin 2022 / B_539 S. 2/4
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c) Für einen bestimmten Kunstharzlack beträgt der Höchstpreis 60 €/L. Bei einem Preis von
20 €/L können 200 L dieses Lacks abgesetzt werden.
Der Zusammenhang zwischen dem Preis und der Absatzmenge kann für diesen Lack durch
die lineare Preis-Absatz-Funktion p beschrieben werden.
x … Absatzmenge in L
p ( x ) … Preis bei der Absatzmenge x in €/L
1) Stellen Sie eine Gleichung der linearen Preis-Absatz-Funktion p auf. [0 / 1 P.]
2) Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Preis-Absatz-Funktion p im gegebenen
Sachzusammenhang. [0 / 1 P.]
3) Berechnen Sie die Sättigungsmenge. [0 / 1 P.]
d) Das Unternehmen stellt auch Wandfarbe her.
In einem Heimwerker-Ratgeber wird empfohlen, mehr Farbe als vom Hersteller angegeben zu
kaufen. Konkret werden dort folgende Empfehlungen gegeben:
• Für die zusätzlichen Flächen bei Tür- und Fensterrahmen sollten um insgesamt 10 % mehr
Farbe als vom Hersteller angegeben gekauft werden.
• Um ganz sicher genug Farbe zu haben, sollte diese berechnete Menge anschließend noch-
mals um 20 % erhöht werden.
Auf den Farbkübeln ist angegeben, dass für 1 m
2
Wandfläche 0,14 L Farbe benötigt werden.
Es soll eine Formel für die Farbmenge M (in Litern) aufgestellt werden, die man für eine Wand-
fläche von A Quadratmetern benötigt. Dabei sollen die obigen Empfehlungen des Heimwerker-
Ratgebers berücksichtigt werden.
1) Stellen Sie diese Formel auf.
M = [0 / 1 P.]

Thermometer / Wintertermin 2022 / B_540 S. 1/4
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Aufgabe 8 (Teil B)
Thermometer
Ein digitales Thermometer wird zur Messung der Temperatur des Wassers in einem Becken ver-
wendet. Ausgehend von einem Startwert nähert sich die angezeigte Temperatur der tatsächlichen
Temperatur des Wassers an.
a) Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei einer bestimmten Messung kann durch die
Funktion f beschrieben werden.
f ( t ) = 38 – 6 ∙ 0,758
t
t … Zeit nach Beginn der Messung in s
f ( t ) … angezeigte Temperatur zur Zeit t in °C
1) Interpretieren Sie die Zahl 38 in der obigen Funktionsgleichung im gegebenen Sachzusam-
menhang. [0 / 1 P.]
Sobald die momentane Änderungsrate der angezeigten Temperatur unter 0,01 °C/s sinkt,
ertönt ein Piepton.
2) Berechnen Sie, wie viele Sekunden nach Beginn der Messung der Piepton ertönt. [0 / 1 P.]
b) Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von
33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an.
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion g
beschrieben werden.
g ( t ) = c – a ∙ ℯ
–0,275 ∙ t
t … Zeit nach Beginn der Messung in s
g ( t ) … angezeigte Temperatur zur Zeit t in °C
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter a und c . [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Parameter a und c . [0 / 1 P.]
Thermometer / Wintertermin 2022 / B_540 S. 2/4
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c) Ein Unternehmen produziert Thermometer. Im Rahmen einer Qualitätskontrolle werden die
produzierten Thermometer unter jeweils gleichen Bedingungen getestet.
Die ermittelten Temperaturen können als annähernd normalverteilt angenommen werden.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Verteilungsfunktion dargestellt.
ermittelte Temperatur in °C
Wahrscheinlichkeit
37,4 37,3 37,2 37,1 37,0 36,9 36,8 36,7 36,6 36,5 0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,9
0,8
0,7
0,6
1
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Erwartungswert μ ab.
μ = °C [0 / 1 P.]
2) Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit ab, dass die ermittelte Tempe-
ratur höchstens 36,9 °C beträgt. [0 / 1 P.]
3) Ermitteln Sie die Standardabweichung σ . [0 / 1 P.]