Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3901–3950

Traktoren-Steuerung
Aufgabennummer: B_183
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Großunternehmen hat eine spezielle GPS-unterstützte Steuerung für Traktoren entwickelt
und verkauft diese direkt.
a) Für die Produktion von Ersatzteilen der Steuerung sind die Kostenfunktion K und die
Erlösfunktion E bekannt:
K ( x ) = 0,001 · x
3
– 0,03 · x
2
+ x + 70 000
E ( x ) = –5 · x
2
+ 3 000 · x
x … Anzahl produzierter bzw. verkaufter Stück
K ( x ) … Gesamtkosten bei x produzierten Stück in Euro
E ( x ) … Erlös bei x verkauften Stück in Euro
– Berechnen Sie diejenige Anzahl von Ersatzteilen, bei der der maximale Gewinn erzielt wird.
– Erstellen Sie eine Gleichung der Preis-Absatz-Funktion p .
– Beschreiben Sie, wie man unter Verwendung der gegebenen Kosten- und Erlösfunktion
den Cournot’schen Punkt ermitteln kann.
Der Cournot’sche Punkt befindet sich bei ( x
C
|1 610).
– Interpretieren Sie die Koordinaten des Cournot’schen Punktes im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
Traktoren-Steuerung 2
b) Für die Produktion von Ersatzteilen der Steuerung werden die Stückkosten durch die
folgende Funktion K beschrieben:
K ( x ) = 0,001 · x
2
– 0,03 · x + 1 +
70 000
x
x … Anzahl produzierter Stück
K ( x ) … Stückkosten bei x produzierten Stück in Euro/Stück
– Zeichnen Sie den Graphen der Stückkostenfunktion in das obige Koordinatensystem ein.
– Markieren Sie in der obigen Abbildung das Betriebsoptimum.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
20 0 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
650
600
700
750
850
800
900
950
Stückkosten
in Euro / Stück
Anzahl in Stück

Produktion von Golfschlägern
Aufgabennummer: B_303
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Unternehmen produziert und verkauft Golfschläger.
a) Durch Marktforschung konnten folgende Verkaufsdaten ermittelt werden:
Nachfrage in Stück 240 310 400 500
Preis in € / Stk. 230 217 203 182
Auf Grundlage dieser Daten soll eine Preisfunktion der Nachfrage p
N
mit p
N
( x ) = a ∙ x + b
ermittelt werden.
x … Anzahl der Golfschläger in Stück
p
N
( x ) … Preis bei einer Nachfrage von x Stück in Euro pro Stück (€ / Stk.)
– Ermitteln Sie mithilfe von Regression eine Gleichung der Funktion p
N
.
– Interpretieren Sie die Parameter a und b der Preisfunktion der Nachfrage p
N
im
gegebenen Sachzusammenhang.
b) Für einen speziellen Golfschläger sind die Graphen der Erlösfunktion E und der Kosten
funktion K dargestellt:
E ( x ), K ( x ) in €
E
K
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
x in Stück
– Beschreiben Sie, wie Sie aus der obigen Grafik die Gewinngrenzen ermitteln können.
– Beschreiben Sie, wie Sie aus der obigen Grafik diejenige Stückzahl ermitteln können, für
die der Gewinn maximal ist.
c) Von einer Golfschlägerproduktion sind die Gewinnfunktion G und die Preisfunktion der
Nachfrage p
N
bekannt.
G ( x ) = – 0,0001 ∙ x
3
– 0,17 ∙ x
2
+ 200 ∙ x – 16 000
p
N
( x ) = – 0,2 ∙ x + 280
x … Anzahl der Golfschläger in Stück
G ( x ) … Gewinn bei x Stück in €
p
N
( x ) … Preis bei x Stück in €/Stk.
– Berechnen Sie den Cournot’schen Punkt.
Produktion von Golfschlägern 2
d) Von einem Roboter wird ein Schlägertest durchgeführt. Dabei wird ein Ball abgeschlagen
und die dabei erzielte Schlagweite gemessen. Die Schlagweite wird als annähernd nor
malverteilt mit μ = 270 m und σ = 10 m angenommen.
Liegt die Schlagweite bei einem getesteten Schläger unter einer bestimmten Grenze, wird
er aussortiert.
– Berechnen Sie, welche Schlagweite als Grenze angesetzt wurde, wenn 7 % der Schlä
ger aussortiert werden.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
235 240 245 250 255 260 265 270 275 280 285 290 295 300 305 310
Schlagweite in m
315 320
– Kreuzen Sie die korrekte Beschreibung des dunkel hinterlegten Bereichs an. [1 aus 5]
der Anteil der Schläger, deren Schlagweite mindestens um
±2 ∙ σ vom Erwartungswert abweicht
der Anteil der Schläger, deren Schlagweite genau um
±2 ∙ σ vom Erwartungswert abweicht
der Anteil der Schläger, deren Schlagweite genau um
±4 ∙ σ vom Erwartungswert abweicht
der Anteil der Schläger, deren Schlagweite höchstens um
±2 ∙ σ vom Erwartungswert abweicht
der Anteil der Schläger, deren Schlagweite höchstens um
±4 ∙ σ vom Erwartungswert abweicht
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Produktion von Golfschlägern 3

Ansparplan*
Aufgabennummer: B_185
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Monika möchte in den nächsten 12 Jahren € 20.000 ansparen.
Im Folgenden wird die Kapitalertragsteuer nicht berücksichtigt.
a) Monika betrachtet das Angebot einer Bank für eine Wohnbauanleihe mit einer Laufzeit von
12 Jahren (siehe nachstehende Grafik). Die jährliche Verzinsung steigt dabei im Laufe der
Jahre an.
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Zeit in Jahren
Zinssatz in % p. a.
1) Lesen Sie aus der obigen Grafik die Höhe und die Dauer der jährlichen Zinssätze ab.
2) Berechnen Sie den mittleren jährlichen Zinssatz.
3) Berechnen Sie die Höhe desjenigen Betrags, den Monika jetzt anlegen muss, um ihr
Sparziel von € 20.000 in 12 Jahren zu erreichen.
b) Auf einem Sparbuch bietet die Bank für 12 Jahre einen fixen Zinssatz von 2 % p. a.
Um ihr Sparziel von € 20.000 in 12 Jahren zu erreichen, könnte Monika sofort € 8.000
einlegen und 2 gleich hohe Einzahlungen Z nach 3 Jahren und nach insgesamt 8 Jahren
tätigen.
1) Veranschaulichen Sie Monikas Zahlungsplan und das Sparziel auf einer Zeitachse.
2) Berechnen Sie die Höhe der Einzahlung Z .
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Monika überlegt, 12 Jahre lang zu Beginn jedes Jahres einen gleich hohen Betrag einzu-
zahlen, um ihr Sparziel von € 20.000 in 12 Jahren bei einem fixen Zinssatz von 2 % p. a. zu
erreichen.
1) Berechnen Sie die Höhe des jährlichen Einzahlungsbetrags R .
Sie überlegt, nicht zu Beginn jedes Jahres den Jahresbetrag einzuzahlen, sondern zu Be-
ginn jedes Monats
1
12
des Jahresbetrags.
2) Argumentieren Sie, dass sie ihr Sparziel damit nicht in der vorgesehenen Zeit erreicht.
Ansparplan 2

Verkehrsbetriebe*
Aufgabennummer: B_294
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Städtische Verkehrsbetriebe analysieren ihre Einnahmen.
a) In der Stadt A können die Einnahmen der Verkehrsbetriebe durch den Verkauf von Einzel
fahrscheinen modellhaft durch die folgende Erlösfunktion E beschrieben werden:
E ( x ) = –0,1 ∙ x
2
+ 6,6 ∙ x
x ... Anzahl der verkauften Einzelfahrscheine in Millionen
E ( x ) ... Erlös beim Verkauf von x Einzelfahrscheinen in Millionen Euro
1) Berechnen Sie den maximal möglichen Erlös in Euro.
2) Erstellen Sie eine Funktionsgleichung der zugehörigen Preisfunktion der Nachfrage.
3) Ermitteln Sie den zum maximalen Erlös führenden Einzelfahrscheinpreis in Euro.
b) In der Stadt B wird ein linearer Zusammenhang zwischen dem Einzelfahrscheinpreis in
Euro und der Anzahl der nachgefragten Einzelfahrscheine in Millionen angenommen. Die
ser Zusammenhang ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Einzelfahrscheinpreis in €
Anzahl der nachgefragten Einzelfahrscheine in Millionen
50 40 30 20 10 0
4
2
0
6
60
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Höchstpreis ab.
2) Beschreiben Sie die Bedeutung der Sättigungsmenge im gegebenen Sachzusammen
hang.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In der Stadt C wird modellhaft angenommen, dass der Zusammenhang zwischen dem
Einzelfahrscheinpreis in Euro und der Anzahl der nachgefragten Einzelfahrscheine in Millio
nen durch eine quadratische Funktion p beschrieben werden kann.
p ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
x ... Anzahl der nachgefragten Einzelfahrscheine in Millionen
p ( x ) ... Einzelfahrscheinpreis bei x nachgefragten Einzelfahrscheinen in Euro
Bei einem Einzelfahrscheinpreis von € 1,60 werden 50 Millionen Einzelfahrscheine nach
gefragt. Bei einem Einzelfahrscheinpreis von € 1,80 werden 48 Millionen Einzelfahrscheine
nachgefragt. Der Höchstpreis wird mit € 7,80 angenommen.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion p .
2) Berechnen Sie die Koeffizienten von p .
Verkehrsbetriebe 2

Betonrohre*
Aufgabennummer: B_452
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Preisfunktion der Nachfrage p für Be
tonrohre des Modells A dargestellt.
0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000
0
20
40
60
nachgefragte Menge in Stück
Preis in € / Stück
p
1) Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Gleichung der Preisfunktion der Nach
frage p .
2) Interpretieren Sie den Wert der Steigung von p im gegebenen Sachzusammenhang.
Die Betonrohre des Modells A werden um € 32 pro Stück verkauft.
3) Berechnen Sie die zugehörige Anzahl der nachgefragten Betonrohre des Modells A .
b) Für Betonrohre des Modells B geht man von einer kubischen Gewinnfunktion G aus.
x … Absatzmenge in ME
G ( x ) … Gewinn bei der Absatzmenge x in GE
1) Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils die zutreffende Gleichung aus A bis D zu.
[2 zu 4]
Der Break even Point
liegt bei 200 ME.
Das Gewinnmaximum
liegt bei 200 ME.
A G (0) = 200
B G (200) = 0
C G ′ (200) = 0
D G ″ (200) = 0
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Für Betonrohre des Modells C geht man von einer kubischen Kostenfunktion K aus.
K ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d
x … Produktionsmenge in ME
K ( x ) … Kosten bei der Produktionsmenge x in GE
Die Fixkosten betragen 150 GE.
Bei einer Produktion von 20 ME ergeben sich Kosten von 530 GE.
Bei einer Produktion von 10 ME ergeben sich Grenzkosten von 17 GE/ME.
Bei einer Produktion von 30 ME ergeben sich Stückkosten von 22 GE/ME.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b , c und d .
2) Berechnen Sie diese Koeffizienten.
d) Der Durchmesser von Betonrohren des Modells D kann als annähernd normalverteilt mit
dem Erwartungswert μ = 100 mm angenommen werden. Bei 3 % der Rohre ist der
Durchmesser kleiner als 98 mm.
1) Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung σ .
Betonrohre 2

Küchenkauf*
Aufgabennummer: B_453
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Frau Tomi ć will eine neue Küche um € 30.000 kaufen.
a) Um sich die Küche leisten zu können, hat sie vor 7 Jahren, vor 4 Jahren und vor 1 Jahr je-
weils € 3.000 auf ein Sparbuch mit fixem Zinssatz eingezahlt. Nun befinden sich € 10.000
auf dem Sparbuch.
1) Berechnen Sie den zugrunde liegenden Jahreszinssatz.
Bei diesem Sparvorgang wurden jährlich 25 % Kapitalertragssteuer (KESt) abgezogen.
2) Berechnen Sie den Jahreszinssatz des Sparbuchs vor Abzug der KESt.
b) Frau Tomi ć benötigt für den Kauf der Küche einen Kredit in Höhe von € 20.000. Ein Be-
kannter von Frau Tomi ć bietet an, ihr das Geld zu einem fixen Zinssatz von 4 % p. a. zu
leihen. Für die Rückzahlung vereinbaren sie, dass am Ende des 1. Semesters nur die Zin-
sen zu bezahlen sind, danach sind Semesterraten in Höhe von jeweils € 2.000 fällig.
1) Berechnen Sie den äquivalenten Semesterzinssatz.
2) Vervollständigen Sie die Zeilen für die Semester 1 und 2 des nachstehenden Tilgungs-
plans.
Semester Zinsanteil Tilgungsanteil Semesterrate Restschuld
0 --- --- --- € 20.000
1
2
3) Erklären Sie, warum die folgende Behauptung richtig ist: „Eine Verdoppelung der
Semesterrate führt nicht zu einer Verdoppelung des Tilgungsanteils.“
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Für einen Kredit in Höhe von € 20.000 holt Frau Tomi ć ein Angebot von einer Bank ein. Die
Bank schlägt für die Rückzahlung nachschüssige Jahresraten in Höhe von jeweils € 3.000
bei einem Jahreszinssatz i vor.
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Restschuld S nach t Jahren.
S =
Küchenkauf 2

Speiseeis*
Aufgabennummer: B_455
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Restaurant stellt nach eigener Rezeptur Speiseeis für Nachspeisen her.
Aus den 6 Rohstoffen Milch, Obers, Eier, Zucker, Schokolade und Vanille werden die 2 Zwi-
schenprodukte Schokoladeeis und Vanilleeis hergestellt.
Die Mengen in Gramm für die Herstellung jeweils einer Portion Eis sind in der nachstehen-
den Tabelle angegeben.
Schokoladeeis Z
1
Vanilleeis Z
2
Milch R
1
10 25
Obers R
2 40 30
Eier R
3 20 15
Zucker R
4
5 10
Schokolade R
5
20 0
Vanille R
6
0 10
Das Schokoladeeis und das Vanilleeis werden für die Nachspeisen Früchtebecher und
Bananensplit verwendet.
Die dazu jeweils benötigten Eisportionen sind in der nachstehenden Tabelle angegeben.
Früchtebecher E
1
Bananensplit E
2
Schokoladeeis Z
1
2 0
Vanilleeis Z
2 1 3
Die Verflechtung, die den Bedarf an Rohstoffen für jeweils eine Nachspeise angibt, kann
durch die Matrix V beschrieben werden.
a) 1) Ermitteln Sie die Matrix V .
Das Restaurant benötigt täglich 50 Früchtebecher und 30 Bananensplits.
2) Ermitteln Sie denjenigen Vektor r , der den täglichen Bedarf an Rohstoffen angibt.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)
b) Die Verflechtung kann auch durch einen Gozinto-Graphen dargestellt werden.
R
5
R
2
R
3
R
4
R
1
R
6
Z
2
Z
1
E
2
E
1
1) Tragen Sie im obigen unvollständigen Gozinto-Graphen die fehlenden Zahlen in die
entsprechenden Kästchen ein.
c) Die Preise für die Rohstoffe können in einem Vektor p =
( )
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
p
6
zusammengefasst werden.
1) Beschreiben Sie, was durch den Ausdruck p
T
· V im gegebenen Sachzusammenhang
berechnet wird.
2) Kreuzen Sie die richtige Zeilen- und Spaltenanzahl der Matrix p
T
· V an. [1 aus 5]
1×2-Matrix
2×1-Matrix
2×6-Matrix
6×1-Matrix
6×2-Matrix
Speiseeis 2
d) Nach einer längeren Lagerung der Milch und der Eier besteht die Gefahr, dass diese
Rohstoffe zu einem bestimmten Zeitpunkt t verdorben sind.
A bezeichnet das Ereignis, dass die Milch zum Zeitpunkt t verdorben ist. Das Ereignis A
tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % ein.
B bezeichnet das Ereignis, dass die Eier zum Zeitpunkt t verdorben sind. Das Ereignis B
tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 % ein.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 % sind beide Rohstoffe zum Zeitpunkt t verdorben.
Die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ereignisse können in einer Vierfeldertafel
dargestellt werden.
1) Vervollständigen Sie die nachstehende Vierfeldertafel so, dass sie den beschriebenen
Sachverhalt wiedergibt.
A nicht A Summe
B
nicht B
Summe
2) Zeigen Sie, dass die beiden Ereignisse A und B voneinander abhängig sind.
Speiseeis 3

Malerarbeiten
Aufgabennummer: B_212
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die Innenwände eines Hotels sollen in den Farben Weiß, Rot, Hellrosa, Dunkelrosa, Hellviolett
und Dunkelviolett ausgemalt werden. Der Malermeister kauft für dieses Vorhaben die Farben
Weiß, Rot und Blau ein. Alle anderen Farbtöne werden selbst gemischt.
a) Die nachstehende Tabelle gibt einen Überblick, welche Menge in Kilogramm von den Far-
ben Weiß, Rot und Blau zur Herstellung von jeweils 1 kg der Farben Hellrosa, Dunkelrosa,
Hellviolett und Dunkelviolett benötigt werden.
Hellrosa Dunkelrosa Hellviolett Dunkelviolett
Weiß 0,6 0,5 0,32 0,4
Rot 0,4 0,5 0,08 0,1
Blau 0 0 0,6 0,5
– Veranschaulichen Sie die Verflechtung der Farbmengen in einem Gozinto-Graphen.
b) Die nachstehende Tabelle gibt einen Überblick, welche Mengen in Kilogramm von den
Farben Weiß und Rot zur Herstellung von jeweils 1 kg der Farben Hellrosa und Dunkel -
rosa benötigt werden.
Hellrosa Dunkelrosa
Weiß 0,6 0,5
Rot 0,4 0,5
Der Malermeister benötigt für das Ausmalen der Wände der Gästezimmer insgesamt
240 kg Weiß und 310 kg Rot, wobei er 100 kg Weiß und 200 kg Rot direkt auf die Wände
aufträgt. Die jeweilige Restmenge dient zur Herstellung der Farben Hellrosa und Dunkel -
rosa.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der hergestellten Mengen Hellrosa
und Dunkelrosa.
– Berechnen Sie die jeweils hergestellte Menge an Hellrosa und Dunkelrosa.
c) Für das Ausmalen der Funktionsräume des Hotels werden insgesamt 956 kg weiße,
424 kg rote und 170 kg blaue Farbe benötigt. Die Farben können nicht in beliebigen Men-
gen, sondern in Kübeln bestimmter Füllmenge gekauft werden. Es liegt folgende Berech-
nung vor:
( )
956
424
170
·
1
25
=
( )
38,24
16,96
6,8
( )
39
17
7
· 25 –
( )
956
424
170
=
( )
19
1
5
– Interpretieren Sie die einzelnen Rechenschritte und das Ergebnis der Berechnung im
gegebenen Sachzusammenhang.
d) Der Hotelbesitzer fordert einen Kostenvoranschlag für die anstehenden Malerarbeiten.
Der Malermeister erstellt folgende Übersicht:
Materialkosten:
Farbmenge in kg Preis in € pro kg
Weiß n
1
p
1
Rot n
2
p
2
Blau n
3
p
3
Lohnkosten: L €
Insgesamt werden 5 % Rabatt gewährt.
Es sollen die Gesamtkosten K berechnet werden.
– Kreuzen Sie die richtige Formel an. [1 aus 5]
K = [( n
1
n
2
n
3
) ∙ ( p
1
p
2
p
3
) + L ] ∙ 0,95
K = [( n
1
n
2
n
3
) ∙ ( p
1
p
2
p
3
)
⊤
+ L ] ∙ 0,95
K = [( n
1
n
2
n
3
)
⊤
∙ ( p
1
p
2
p
3
)
–1
+ L ] ∙ 0,95
K = [( n
1
n
2
n
3
)
–1
∙ ( p
1
p
2
p
3
) + L ] ∙ 0,95
K = [( n
1
n
2
n
3
)
–1
∙ ( p
1
p
2
p
3
)
⊤
+ L ] ∙ 0,95
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Malerarbeiten 2

Interneteinkäufe
Aufgabennummer: B_216
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Das Einkaufen im Internet erfreut sich immer größerer Beliebtheit.
a) Ein Marktforschungsinstitut führte eine Umfrage unter 5 000 Personen über ihr Einkaufs-
verhalten durch. Unter den Befragten befanden sich 3 000 Frauen. Die Umfrage ergab,
dass 3 450 aller Befragten, davon 1 050 Männer, Einkäufe im Internet erledigen.
– Interpretieren Sie den nachstehend berechneten Prozentsatz im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
3 450 – 1 050
3 000
= 80 %
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte befragte Person,
die im Internet Einkäufe erledigt, eine Frau ist.
b) Ein Versandhaus bietet seinen Internetkunden die Möglichkeit, ihre Rechnung durch Ra-
tenzahlung zu begleichen. Die Rückzahlung erfolgt monatlich vorschüssig. Die erste Rate
ist einen Monat nach Kaufabschluss fällig.
– Erklären Sie, warum der als vorschüssig angegebene Rückzahlungsmodus auch als
nachschüssige Rente aufgefasst werden kann.
Ein Betrag von € 250 wird durch 23 Monatsraten beglichen. Die ersten 22 Raten betragen
jeweils € 13, die letzte Rate € 17,22.
– Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz, der diesem Zahlungsmodus zugrunde
liegt.
c) Ein Internethändler hat untersucht, um welchen Geldbetrag seine Stammkunden jährlich
bei ihm einkaufen. Es wurde dazu folgender Boxplot erstellt.
– Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
Kauft ein Stammkunde um € 6.000 ein, so zählt der ausgegebene
Geldbetrag zu den 25 % der höchsten Beträge.
Kein Stammkunde kauft um weniger als € 1.000 ein.
Mindestens 75 % der Stammkunden kaufen um maximal € 5.000 ein.
Kein Stammkunde kauft um mehr als € 7.000 ein.
50 % der Stammkunden kaufen um genau € 4.000 ein.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Interneteinkäufe 2

Handyverkauf
Aufgabennummer: B_218
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Anlässlich der Herstellung eines neuen Handymodells untersucht ein Konzern die mit den bishe-
rigen Handymodellen gemachten Erfahrungen am Markt. Geldbeträge werden dabei in Geldein-
heiten (GE) und die Anzahl der Handys in Mengeneinheiten (ME) angegeben.
a) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Preisfunktion des Angebots p
A
eines
bestimmten Handymodells dargestellt. Die Preisfunktion der Nachfrage p
N
dieses Modells
kann mithilfe einer linearen Funktion beschrieben werden. Der Höchstpreis liegt bei
50 GE/ME. Der Markt ist bei 25 ME gesättigt.
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20 25 30
p
A
( x ), p
N
( x ) in GE/ME
x in ME
p
A
– Zeichnen Sie den Graphen der Preisfunktion der Nachfrage in die obige Abbildung ein.
– Lesen Sie den Marktpreis ab.
b) Der erzielbare Gewinn für ein Handymodell kann mithilfe der Funktion G beschrieben wer-
den:
G ( x ) = –0,1 ∙ x
3
– 0,2 ∙ x
2
+ 175 ∙ x – 1 750
x … verkaufte Menge in ME
G ( x ) … erzielter Gewinn in GE beim Verkauf von x ME
– Berechnen Sie, ab welcher Verkaufsmenge Gewinn erzielt wird.
– Berechnen Sie den maximal erzielbaren Gewinn.
c) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Grenzerlösfunktion E ′ für den Verkauf
eines anderen Handymodells dargestellt.
– Lesen Sie aus der Abbildung diejenige Verkaufsmenge ab, bei der der maximale Erlös
erwirtschaftet wird.
– Erklären Sie, wie man ohne Integration mithilfe der Abbildung den maximalen Erlös be-
rechnen kann.
– Berechnen Sie den maximalen Erlös.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
100
80
60
40
20
0
–20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
E ′ ( x ) in GE/ME
x in ME
0
Handyverkauf 2

Kekse
Aufgabennummer: B_219
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
In einer Keksfabrik werden talerförmige, sternförmige und ringförmige Kekse produziert.
a) Die produzierten Kekse werden abschließend in verschiedenen Packungen P
1
, P
2
und P
3
zusammengestellt und verkauft.
– Beschreiben Sie die im Gozinto-Graphen dargestellten Verflechtungen mithilfe einer qua-
dratischen Matrix A .
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Elements a
23
dieser Matrix im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
b) Ein Supermarkt bestellt 100 Stück Taler, 150 Stück Sterne und 170 Stück Ringe. Außer-
dem werden n Packungen der Keksmischung M
1
und doppelt so viele Packungen der
Keksmischung M
2
angefordert. Die 3×2-Matrix B gibt an, wie viel Stück Taler, Sterne und
Ringe jeweils in den Mischungen M
1
und M
2
enthalten sind.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der für die Bestellung des Supermarkts insge-
samt zu produzierenden Taler, Sterne und Ringe.
– Geben Sie an, wie viele Zeilen und Spalten die Ergebnismatrix dieser Berechnung hat.
Taler
Sterne
Ringe
P
1
P
2
P
3
9
10
10
5
6
12
c) Die nachstehende Tabelle gibt die Verflechtung für die Herstellung zweier Packungssorten
P
4
und P
5
an.
P
4
P
5
Taler 10 10
Sterne 5 4
Ringe 12 6
Es werden 50 Packungen P
4
und 30 Packungen P
5
zusammengestellt.
– Berechnen Sie, wie viele Taler, Sterne und Ringe dafür nötig sind.
d) Die Produktion eines Kekses kostet unabhängig von dessen Form 5 Cent. Die Matrix C
gibt die Anzahl der benötigten Taler, Sterne und Ringe für zwei unterschiedliche Packun-
gen P
6
und P
7
an.
C =
(
10 10
5 4
12 6
)
Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
K = 0,05 ·
(
10 10
5 4
12 6
)
=
(
0,5 0,5
0,25 0,2
0,6 0,3
)
– Interpretieren Sie die Bedeutung der Matrix K im gegebenen Sachzusammenhang.
Aus der Matrix P sollen ohne weitere Berechnungen die Produktionskosten für eine Pa-
ckung P
6
und die Produktionskosten für eine Packung P
7
abgelesen werden können.
– Berechnen Sie die Matrix P .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Kekse 2

Autokauf (1)*
Aufgabennummer: B_459
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Frau Kope c ek möchte ein neues Auto mit einem Listenpreis von € 17.100 kaufen. Dabei stehen
verschiedene Finanzierungsmöglichkeiten zur Auswahl.
a) Ein Händler verlangt eine Anzahlung von € 3.420 und 36 nachschüssige Monatsraten zu
je € 380.
1) Veranschaulichen Sie die Zahlungen und den Listenpreis auf der nachstehenden
Zeit achse.
Zeit in Monaten
3 2 1 0 36 35
Der Händler behauptet, dass es sich bei dieser Finanzierung um eine „Null-Prozent-Finan-
zierung“ handelt.
Unter einer „Null-Prozent-Finanzierung“ versteht man, dass keine Zinsen verrechnet werden.
2) Zeigen Sie, dass die Behauptung des Händlers richtig ist.
b) Bei „Drittelfinanzierung“ muss Frau Kope c ek sofort, am Ende des 2. Jahres und am Ende
des 3. Jahres jeweils einen gleich hohen Betrag R bezahlen. Der Zinssatz beträgt 2 % p. a.
1) Erstellen Sie eine Gleichung zur Berechnung von R .
2) Berechnen Sie R .
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Bei einer anderen Finanzierung werden am Ende des 1. Jahres und am Ende des 2. Jah-
res jeweils € 6.000 bezahlt. Der Zinssatz beträgt 1,5 % p. a.
1) Vervollständigen Sie den nachstehenden Tilgungsplan für die Jahre 1 und 2.
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 – – – – – – – – – € 17.100
1
2
2) Berechnen Sie die Höhe der Restzahlung, mit der die Schuld am Ende des 3. Jahres
vollständig getilgt ist.
d) Bei Barzahlung gewährt der Händler 8 % Preisnachlass vom Listenpreis.
1) Berechnen Sie den Preis des Autos bei Barzahlung.
Bei einer Ratenfinanzierung verlangt der Händler eine Anzahlung von € 3.420 sowie
36 nachschüssige Monatsraten zu je € 380.
Barzahlung und Ratenfinanzierung sind bei einem bestimmten Jahreszinssatz gleichwertig.
2) Berechnen Sie diesen Jahreszinssatz.
Autokauf (1) 2