Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3851–3900

Wohnungen (2)*
Aufgabennummer: B_424
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Fachverband der Immobilien- und Vermögenstreuhänder erstellt Statistiken zu den Trends
auf dem Immobilienmarkt. Es werden die ortsüblichen Kaufpreise und Mieten erhoben. Die
Höhe der Kaufpreise bzw. der Mieten hängt in der Regel stark von der Größe, der Ausstattung
und der Lage der Wohnungen ab.
a) Für eine österreichische Landeshauptstadt hat der Fachverband der Immobilien- und Ver-
mögenstreuhänder die Mietpreise in Euro pro m
2
für Wohnungen bis zu 60 m
2
mit gutem
Wohnwert erhoben:
Ende des Jahres ... Mietpreis in Euro pro m
2
2003 8,10
2004 7,90
2005 8,20
2006 8,50
2007 8,80
2008 9,30
2009 9,60
2010 9,70
2011 10,30
2012 10,80
Der Mietpreis in Euro pro m
2
soll in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren beschrieben werden.
– Ermitteln Sie mithilfe von linearer Regression eine Gleichung der zugehörigen Funktion.
Wählen Sie t = 0 für das Ende des Jahres 2003.
– Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Regressionsfunktion im gegebenen
Sachzusammenhang.
– Ermitteln Sie mithilfe dieser Regressionsfunktion eine Prognose für den Mietpreis pro m
2
für das Ende des Jahres 2018.
Ein anderes Modell verwendet zur Beschreibung der Mietpreisentwicklung die Funktion B .
B ( t ) = 7,77 · 1,035
t
t ... Zeit in Jahren ab Ende des Jahres 2003
B ( t ) ... Mietpreis zur Zeit t in Euro pro m
2
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Parameters 1,035 im gegebenen Sachzusammen-
hang.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Laut einer Erhebung aus dem Jahr 2001 lebten im Bundesland Tirol in 303 632 Woh-
nungen 661 026 Personen. Die nachstehende Tabelle gibt die Anzahl dieser Wohnungen
aufgelistet nach dem Merkmal „Anzahl der Wohnräume“ an.
Anzahl der Wohnräume Anzahl der Wohnungen
1 19 372
2 28 973
3 61 002
4 80 331
5 56 878
6 57 076
Summe 303 632
– Beschreiben Sie in Worten, was durch folgende Ausdrücke im gegebenen Sachzusam-
menhang berechnet wird:
(1)
661 026
303 632
≈ 2,18
(2)
1 · 19 372 + 2 · 28 973 + 3 · 61 002 + 4 · 80 331 + 5 · 56 878 + 6 · 57 076
303 632
≈ 3,98
c) Der durchschnittliche Preis für Eigentumswohnungen mit gutem Wohnwert wurde in einer
Landeshauptstadt jeweils am Ende des Jahres erhoben.
Die nachstehende Tabelle gibt die prozentuelle Steigerung des Preises pro m
2
am Ende
des Jahres gegenüber dem Preis pro m
2
am Ende des jeweiligen Vorjahres für die Jahre
2009 bis 2013 an.
Ende des
Jahres ...
Preissteigerung gegenüber dem Preis
pro m
2
am Ende des jeweiligen Vorjahres
2009 5,5 %
2010 1,2 %
2011 7,1 %
2012 6,7 %
2013 5,4 %
Am Ende des Jahres 2013 kostete eine Eigentumswohnung mit gutem Wohnwert durch-
schnittlich € 3.362 pro m
2
.
– Berechnen Sie den durchschnittlichen Preis pro m
2
für eine Eigentumswohnung mit
gutem Wohnwert am Ende des Jahres 2010.
– Berechnen Sie die mittlere prozentuelle Preissteigerung pro Jahr für den Zeitraum von
Anfang 2009 bis Ende 2013.
Wohnungen (2) 2
d) In einer Landeshauptstadt werden 90 % der Wohnungen als Wohnungen mit mittle-
rem Wohnwert eingestuft, 10 % der Wohnungen als Wohnungen mit gutem Wohnwert.
20 % der Wohnungen haben eine Größe von weniger als 60 m
2
. 16 % aller Wohnungen
haben eine Größe von weniger als 60 m
2
und einen mittleren Wohnwert.
– Vervollständigen Sie die nachstehende Vier feldertafel so, dass sie den beschriebenen
Sachverhalt wiedergibt.
Wohnungsgröße
weniger als 60 m
2
Wohnungsgröße
mindestens 60 m
2
Summe
mittlerer
Wohnwert
guter
Wohnwert
Summe
– Weisen Sie nach, dass die Merkmale „Wohnungsgröße“ und „Wohnwert“ (stochastisch)
abhängig voneinander sind.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Wohnung weniger
als 60 m
2
Wohnfläche hat, wenn man weiß, dass sie einen mittleren Wohnwert hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Wohnungen (2) 3

Lackproduktion*
Aufgabennummer: B_433
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Unternehmen stellt verschiedene Lacke her. Es wird die monatliche Produktion be trachtet.
a) Die Kosten für die Herstellung des Acryllacks Ferrocolor sollen durch eine Kostenfunk
tion K mit K ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d beschrieben werden. Das Unternehmen hat
dabei Fix kosten von 450 GE. Bei der Produktion von 8 ME liegt die Kostenkehre. Bei der
Produktion von 8 ME betragen die Gesamtkosten 522 GE und die Grenzkosten 5 GE/ME.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem die Koeffizienten a , b , c und d ermittelt
werden können.
– Ermitteln Sie die Koeffizienten a , b , c und d .
b) Im nachstehenden Diagramm ist der Graph der Kostenfunktion K für die Herstellung des
Lacks VariColor dargestellt.
x in ME
K ( x ) in GE
22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 24
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
200
Das Betriebsoptimum kann mithilfe des Graphen der Kostenfunktion K ermittelt werden,
in dem man diejenige Tangente an den Graphen von K einzeichnet, die durch den Ko
ordinaten ursprung verläuft. Die x Koordinate des Berührpunkts ist das Betriebsoptimum.
– Ermitteln Sie grafisch mithilfe des obigen Diagramms das Betriebsoptimum.
– Ermitteln Sie die langfristige Preisuntergrenze.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Für die Holzschutzgrundierung Pullex wird der Zusammenhang zwischen dem Preis und
der Absatzmenge erhoben:
Absatzmenge x in ME Preis p
N
( x ) in GE/ME
10 16
12 13
15 12
17 9
19 8
– Ermitteln Sie mithilfe linearer Regression eine Gleichung der Preisfunktion der
Nachfrage p
N
.
– Ermitteln Sie den maximalen Erlös.
d) Die Gewinnfunktion G für den Lack Soloplast ist gegeben durch:
G ( x ) = –0,025 · x
3
– 0,1 · x
2
+ 12 · x – 65
x ... Anzahl der abgesetzten ME
G ( x ) ... Gewinn bei x abgesetzten ME in GE
– Lesen Sie aus der Gleichung der Gewinnfunktion die Fixkosten für die Herstellung des
Lacks ab.
– Beschreiben Sie, wie sich der Graph der Gewinnfunktion ändert, wenn die Fixkosten
steigen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Lackproduktion 2

Liftgesellschaft (1)*
Aufgabennummer: B_434
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Für die Finanzierung eines Sessellifts hat eine Liftgesellschaft einen Kredit in Höhe von
€ 1,4 Mio. aufgenommen. Diesen Kredit zahlt die Liftgesellschaft durch nachschüssige
Jahres raten in Höhe von € 90.000 bei einer Verzinsung von 4 % p. a. zurück. (Spesen und
Gebühren werden nicht be rücksichtigt.)
– Berechnen Sie, wie viele volle Jahresraten zu zahlen sind.
Nach 5 Jahren Kredittilgung gerät die Liftgesellschaft in Zahlungsschwierigkeiten und setzt
die Rückzahlungen aus.
– Berechnen Sie die Höhe der Restschuld am Ende des 6. Jahres.
b) Die Liftgesellschaft bildet eine Rücklage und veranlagt dafür 3 Beträge zu unterschied-
lichen Zeitpunkten. Der Gesamtwert der Rücklage nach 6 Jahren wird durch folgende
Rechnung ermittelt:
(50 000 · 1,03
2
+ 30 000) · 1,035
4
+ 80 000 · 1,035 ≈ 178 096,05
– Beschreiben Sie, zu welchen Zinssätzen der Betrag in Höhe von € 50.000 verzinst wird.
Geben Sie an, wie lange die jeweiligen Zinssätze gelten.
– Tragen Sie die 3 Beträge und den Gesamtwert der Rücklage nach 6 Jahren auf der
nachstehenden Zeit achse ein.
t in Jahren
5 4 3 2 1 0 6
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* ehemalige Klausuraufgabe

Liftgesellschaft (2)*
Aufgabennummer: B_435
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Eine Liftgesellschaft plant die Errichtung einer neuen Seilbahn. Die Anschaffungskosten für
die Seilbahn betragen € 4,5 Mio. Als Nutzungsdauer werden 8 Jahre angenommen. Die
Liftgesellschaft erwartet jährliche Einnahmen von € 940.000. Die jährlichen Personal- und
Betriebskosten werden auf € 250.000 geschätzt. Im Jahr 3 und im Jahr 6 entstehen War-
tungskosten in Höhe von € 80.000. Am Ende der Nutzungsdauer wird mit einem Liquida-
tionserlös von 10 % der Anschaffungskosten gerechnet.
– Übertragen Sie die Einnahmen und die Ausgaben für den Zeitraum der Nutzungsdauer
in die nachstehende Tabelle.
Jahr Einnahmen Ausgaben
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Die Liftgesellschaft kalkuliert mit einem Zinssatz von 4 % p. a.
– Ermitteln Sie den Kapitalwert der Investition.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Liftgesellschaft bildet eine Rücklage und veranlagt dafür 3 Beträge zu unterschied-
lichen Zeitpunkten. Der Gesamtwert der Rücklage nach 6 Jahren wird durch folgende
Rechnung ermittelt:
(50 000 · 1,03
2
+ 30 000) · 1,035
4
+ 80 000 · 1,035 ≈ 178 096,05
– Beschreiben Sie, zu welchen Zinssätzen der Betrag in Höhe von € 50.000 verzinst wird.
Geben Sie an, wie lange die jeweiligen Zinssätze gelten.
– Tragen Sie die 3 Beträge und den Gesamtwert der Rücklage nach 6 Jahren auf der
nachstehenden Zeit achse ein.
t in Jahren
5 4 3 2 1 0 6
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* ehemalige Klausuraufgabe
Liftgesellschaft (2) 2

Rohrproduktion*
Aufgabennummer: B_089
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Ein Unternehmen stellt Kunststoffrohre her, die zu einem fixen Preis verkauft werden.
Im nachstehenden Diagramm ist der Graph der Kostenfunktion K für die Herstellung der
Kunststoffrohre dargestellt.
26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 28 30
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
0
1 600
x in ME
K
K ( x ), E ( x ) in GE
Der Break-even-Point liegt bei einer Produktion von 8 ME. Die Kosten betragen dabei
400 GE.
– Zeichnen Sie den Graphen der Erlösfunktion E im obigen Diagramm ein.
– Ermitteln Sie den zugehörigen Marktpreis.
– Ergänzen Sie in der nachstehenden Wertetabelle die fehlenden Werte für die zugehörige
Gewinnfunktion G .
x in ME 0 8 16
G ( x ) in GE 0
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Grenzkostenfunktion K ′ für die Herstellung von Kunststoffrohren ist gegeben durch:
K ′ ( x ) =
15
32
· x
2
–
35
4
· x + 60
x … produzierte Menge in ME
K ′ ( x ) … Grenzkosten bei der produzierten Menge x in GE/ME
– Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Kostenfunktion K mit K (16) = 600.
– Berechnen Sie die Kostenkehre.
c) Ein anderes Unternehmen stellt Keramikrohre her.
Von der quadratischen Erlösfunktion E ist für den Absatz von 10 ME bekannt:
E (10) = 15
E ′ (10) = –1,5
E ″ (10) = –0,6
– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage über den Erlös bei einem Absatz von 11 ME an.
[1 aus 5]
E (11) = 13,2
E (11) = 13,5
E (11) = 14,1
E (11) = 16,2
E (11) = 16,5
d) Die Erlösfunktion E für Betonrohre ist gegeben durch:
E ( x ) = –3,2 · x · ( x – 25)
x … Absatzmenge in ME
E ( x ) … Erlös bei der Absatzmenge x in GE
– Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Preisfunktion der Nachfrage.
– Ermitteln Sie den Höchstpreis.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Rohrproduktion 2

Baugrundstücke*
Aufgabennummer: B_090
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Preise von Baugrundstücken sind in den letzten Jahren erheblich gestiegen.
a) Herr Pfeifer hat ein Grundstück um € 228.000 gekauft. Nach der Umwidmung in ein Bau
grundstück kann er es 4 Jahre später um € 753.000 verkaufen.
– Ermitteln Sie den mittleren jährlichen Zinssatz des eingesetzten Kapitals ohne Berück
sichtigung von Spesen, Gebühren und Steuern.
b) Frau Maier möchte ein Baugrundstück verkaufen. Sie bekommt zwei Angebote.
Herr Altmann bietet € 150.000 sofort bei Vertragsabschluss und € 50.000 nach 2 Jahren.
Frau Bogner bietet € 202.000 ein Jahr nach Vertragsabschluss.
Frau Maier vergleicht die beiden Angebote.
– Weisen Sie für einen Zinssatz von 3 % p. a. nach, dass sich die beiden Angebote zum
Zeitpunkt des Vertragsabschlusses um rund € 1.013 unterscheiden.
Für die beiden Angebote wird folgende Gleichung aufgestellt:
150 000 · x
2
+ 50 000 = 202 000 · x
Eine Lösung dieser Gleichung ist x ≈ 1,0198.
– Interpretieren Sie die Bedeutung von x im gegebenen Sachzusammenhang.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Herr Müller nimmt für den Kauf eines Baugrundstücks einen Kredit in Höhe von € 100.000
auf. Der vereinbarte Zinssatz beträgt 3 % p. a.
Der Kredit soll durch die auf der nachstehenden Zeitachse dargestellten Zahlungen voll
ständig getilgt werden.
t in Jahren
R R R R R € 20.000 R
€ 100.000
7 6 5 4 3 2 1 0 8
R R
9 10
Die Zahlungen R können als nachschüssige Rente aufgefasst werden.
– Markieren Sie auf der Zeitachse den Bezugszeitpunkt für den Barwert dieser nach
schüssigen Rente.
– Berechnen Sie die Höhe der Zahlungen R .
d) Frau Marth nimmt für den Kauf eines Baugrundstücks einen Kredit in Höhe von € 120.000
mit jährlich nachschüssigen Kreditrückzahlungen auf. Der vereinbarte Zinssatz beträgt
2,5 % p. a.
Für die ersten zwei Jahre vereinbart Frau Marth Sonderbedingungen, die im nachstehen
den Tilgungsplan dargestellt sind.
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 € 120.000,00
1 € 0,00 € 123.000,00
2 € 0,00 € 123.000,00
– Ermitteln Sie die Beträge für die beiden grau markierten Zellen im obigen Tilgungsplan.
Ab dem Jahr 3 werden jährliche Annuitäten in Höhe von € 10.000 bezahlt.
– Berechnen Sie, wie viele volle Annuitäten in Höhe von € 10.000 bezahlt werden müssen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Baugrundstücke 2

Hotelerweiterung*
Aufgabennummer: B_106
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Hotel plant die Errichtung zusätzlicher Zimmer.
a) Das Hotel plant mit einer Investitionssumme von € 1.650.000 die Errichtung 15 zusätzli-
cher Zimmer.
Für jedes dieser neuen Zimmer wird im 1. Jahr mit einem Erlös in Höhe von € 87 pro
Nächtigung kalkuliert. Gleichzeitig rechnet der Betrieb damit, dass 13 % des Erlöses für
Warenverbrauch, 31 % für Personalaufwand und 28 % für Betriebskosten aufgewendet
werden.
Im 1. Jahr rechnet man damit, dass diese zusätzlichen Zimmer für jeweils 165 Nächtigun-
gen gebucht werden.
– Tragen Sie die prognostizierten Einnahmen und Ausgaben für diese zusätzlichen Zimmer
in die nachstehende Tabelle ein.
Jahr Einnahmen in Euro Ausgaben in Euro
0
1
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Abbildung ist der Kapitalwert einer Investition in Höhe von
€ 1.650.000 in Abhängigkeit vom kalkulatorischen Zinssatz dargestellt. Es werden gleich
hohe jährliche Rückflüsse und eine Nutzungsdauer von 20 Jahren angenommen.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4
400 000
350 000
300 000
250 000
200 000
150 000
100 000
50 000
–50 000
–100 000
–150 000
–200 000
–250 000
0
kalkulatorischer Zinssatz in %
Kapitalwert in €
– Lesen Sie aus dem Funktionsgraphen ab, bis zu welchem kalkulatorischen Zinssatz die
Investition vorteilhaft ist.
– Bestimmen Sie die Höhe der jährlichen Rückflüsse.
c) Bei einer bestimmten Kalkulation geht man bei einer Investitionssumme in Höhe von
€ 1.650.000 davon aus, dass 20 Jahre lang gleich hohe jährliche Rückflüsse in Höhe von
jeweils € 78.000 zu erwarten sind. Die Rückflüsse können zu einem Wiederveranlagungs-
zinssatz von 1,5 % p. a. angelegt werden.
– Berechnen Sie den Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse.
– Überprüfen Sie nachweislich mithilfe des modifizierten internen Zinssatzes, ob diese
Investition vorteilhaft ist.
– Argumentieren Sie, dass der modifizierte interne Zinssatz bei einem höheren Wiederver-
anlagungszinssatz höher wäre.
d) Um die Investition durchführen zu können, ist ein Bankkredit in Höhe von € 800.000
notwendig. Für die Rückzahlung werden eine Laufzeit von 15 Jahren und nachschüssige
Semesterraten in Höhe von jeweils € 38.100 vereinbart.
– Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz für dieses Finanzierungsmodell.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Hotelerweiterung 2

Parfumherstellung / Herbsttermin 2022 / B_556 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 14 /20
Aufgabe 6 (Teil B)
Parfumherstellung
In einem Betrieb wird Parfum hergestellt.
a) Die Gesamtkosten für die Produktion des Parfums Desert können durch die ertragsgesetzliche
Kostenfunktion K beschrieben werden. Für die zugehörige Grenzkostenfunktion K ′ gilt:
K ′ ( x ) = 0,15 · x
2
– 6 · x + c mit x ≥ 0
x ... Produktionsmenge in ME
K ′ ( x ) ... Grenzkosten bei der Produktionsmenge x in GE/ME
c ... Parameter
1) Ermitteln Sie, für welche Produktionsmengen ein progressiver Kostenverlauf vorliegt.
[0 / 1 P.]
Bei ertragsgesetzlichen Kostenfunktionen gilt folgende Bedingung:
Die Grenzkostenfunktion muss im gesamten Definitionsbereich positiv sein.
2) Weisen Sie nach, dass diese Bedingung nur für c > 60 erfüllt ist. [0 / 1 P.]
Die Fixkosten bei der Produktion dieses Parfums betragen 250 GE.
Es gilt: c = 80
3) Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Kostenfunktion K auf. [0 / 1 P.]
Parfumherstellung / Herbsttermin 2022 / B_556 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 15 /20
b) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Gesamtkostenfunktion K für die Produktion
des Parfums Sunrise dargestellt. Der Verkaufspreis dieses Parfums beträgt 75 GE/ME.
K ( x ), E ( x ) in GE
x in ME
0
4 500
4 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
1 000
500
5 000
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 65
K
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Erlösfunktion E ein. [0 / 1 P.]
2) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Gewinnbereich ab.
[ ; ] (in ME) [0 / 1 P.]
c) Für die Gewinnfunktion G für die Produktion des Parfums Moonlight gilt:
G ( x ) = –0,05 · x
3
+ 2,4 · x
2
– 9 · x – 180
x ... Absatzmenge in ME
G ( x ) ... Gewinn bei der Absatzmenge x in GE
1) Berechnen Sie den durchschnittlichen Gewinn pro ME, der bei einem Absatz von 25 ME
erzielt wird. [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie den maximalen Gewinn. [0 / 1 P.]

Kaffeeautomat*
Aufgabennummer: B_285
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Elternverein einer Schule entschließt sich, einen Kaffeeautomaten für Schüler/innen und
Lehrer/innen anzuschaffen.
a) Die Kosten für den Kaffeeautomaten betragen € 5.500.
Der Elternverein erhält folgendes Leasingangebot:
• Anzahlung: € 1.000 bei Vertragsabschluss
• 48 Monatsraten zu je € 100
• Die Ratenzahlungen beginnen einen Monat nach Vertragsabschluss.
• Der Restwert in Höhe von € 900 ist gleichzeitig mit der letzten Rate zu bezahlen.
1) Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz für dieses Angebot.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Der Elternverein zahlt die Kosten für den Kaffeeautomaten in Höhe von € 5.500 sofort und
darf dafür die Einnahmen behalten.
Der Kassier des Elternvereins legt seiner Berechnung folgende Annahmen zugrunde:
• Er rechnet mit 150 Bechern Kaffee pro Tag für 40 Schulwochen zu je 5 Tagen.
• Wareneinsatz pro Becher Kaffee: 30 Cent
• Verkaufspreis pro Becher Kaffee: 45 Cent
• Wartungskosten: € 1.400 pro Jahr
• Nach 4 Jahren soll der Kaffeeautomat um € 900 verkauft werden.
1) Tragen Sie die Einnahmen, Ausgaben und Rückflüsse in die nachstehende Tabelle ein.
Jahr Einnahmen in Euro Ausgaben in Euro Rückflüsse in Euro
0
1
2
3
4
Der Kassier nimmt einen kalkulatorischen Zinssatz von 1,8 % p. a. an.
2) Berechnen Sie den Kapitalwert.
c) An 80 von insgesamt 200 Schultagen hat Chiara Nachmittagsunterricht.
An Schultagen mit Nachmittagsunterricht trinkt sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %
Kaffee, an Schultagen ohne Nachmittagsunterricht beträgt diese Wahrscheinlichkeit 20 %.
1) Erstellen Sie für diesen Sachverhalt ein mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten be-
schriftetes Baumdiagramm.
2) Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen
Wahrscheinlichkeit folgendermaßen berechnet wird:
P ( E ) =
120
200
· 0,8 = 0,48
3) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Chiara heute Nachmittagsunterricht hat
unter der Voraussetzung, dass sie heute Kaffee getrunken hat.
Kaffeeautomat 2

Mixer*
Aufgabennummer: B_282
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Unternehmen stellt unterschiedliche Typen von Mixern her.
a) Bei einem Stückpreis von € 65 können 2 000 Stabmixer pro Jahr verkauft werden.
Bei einem Verkauf von 2 500 Stabmixern kann ein Erlös in Höhe von € 131.250 pro Jahr
erzielt werden.
Der Erlös beim Verkauf der Stabmixer kann durch eine quadratische Funktion E beschrie-
ben werden:
E ( x ) = a · x
2
+ b · x + c
x … Anzahl der verkauften Stabmixer
E ( x ) … Erlös bei x verkauften Stabmixern in €
1) Begründen Sie, warum in der Gleichung der Erlösfunktion der Parameter c gleich null
sein muss.
2) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a und b der
Erlösfunktion.
3) Berechnen Sie die Koeffizienten a und b .
4) Berechnen Sie die Sättigungsmenge.
b) Der Gewinn beim Verkauf der Handmixer kann durch die Funktion G beschrieben werden.
G ( x ) = –0,1 · x
3
– 1,9 · x
2
+ 200 · x – 940
x … Absatzmenge in ME
G ( x ) … Gewinn bei der Absatzmenge x in GE
1) Berechnen Sie die Gewinngrenzen.
2) Ermitteln Sie den maximalen Gewinn.
Durch Veränderungen im Unternehmen können die Fixkosten um 200 GE gesenkt werden.
3) Erstellen Sie eine Gleichung der neuen Gewinnfunktion G
1
.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die Kosten bei der Produktion von Standmixern können durch die Funktion K beschrieben
werden.
K ( x ) = 0,04 · x
3
– 2,4 · x
2
+ 63 · x + 940
x … Produktionsmenge in ME
K ( x ) … Kosten bei der Produktionsmenge x in GE
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob der Kostenverlauf bei einer Produktion von 25 ME
progressiv oder degressiv ist.
2) Kreuzen Sie diejenige Gleichung an, deren Lösung das Betriebsoptimum ist. [1 aus 5]
0 = 0,04 · x
3
– 2,4 · x
2
+ 63 · x + 940
0 = 0,12 · x
2
– 4,8 · x + 63
0 = 0,24 · x – 4,8
0 = 0,04 · x
2
– 2,4 · x + 63 +
940
x
0 = 0,08 · x – 2,4 –
940
x
2
Mixer 2

Erbschaft*
Aufgabennummer: B_264
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Armin erhält ein Erbe in Höhe von € 50.000, das in Form von 3 Beträgen in den nächsten
5 Jahren ausbezahlt wird.
Die Höhe der Auszahlungen Z kann mit der nachstehenden Gleichung berechnet werden:
50 000 =
20 000
1,03
+
Z
1,03
3
+
Z
1,03
5
1) Lesen Sie den zugehörigen Jahreszinssatz ab.
2) Veranschaulichen Sie alle in der Gleichung vorkommenden Auszahlungen auf der nach
stehenden Zeitachse.
Zeit in Jahren
€ 50.000
5 4 3 2 1 0
3) Berechnen Sie die Höhe der Auszahlungen Z .
b) Jutta hat € 50.000 geerbt. Diesen Betrag legt sie mit einer Verzinsung von 3 % p. a. an.
In den nächsten 5 Jahren will sie nun jeweils am Ende jedes Monats einen gleich hohen
Betrag abheben, sodass nach diesen 5 Jahren vom angelegten Geld ein Betrag in Höhe
von € 20.000 vorhanden ist.
Jutta überlegt, dass sie monatlich rund
€ 50.000 – € 20.000
60
= € 500 abheben kann.
1) Begründen Sie, warum die tatsächlichen Monatsraten größer als € 500 sind.
2) Berechnen Sie den zugehörigen äquivalenten Monatszinssatz.
3) Berechnen Sie die Höhe dieser tatsächlichen Monatsraten.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Auf den unten stehenden Zeitachsen sind Erbschaftsauszahlungen dargestellt.
1) Kreuzen Sie diejenige Auszahlungsvariante an, die bei einem positiven Zinssatz den
größten Barwert hat. [1 aus 5]
Zeit in Jahren
€ 5.000 € 5.000 € 5.000 € 5.000 € 5.000 € 5.000 € 5.000 € 5.000
7 6 5 4 3 2 1 0 8
Zeit in Jahren
€ 10.000 € 10.000 € 10.000 € 10.000
7 6 5 4 3 2 1 0 8
Zeit in Jahren
€ 20.000 € 20.000
7 6 5 4 3 2 1 0 8
Zeit in Jahren
€ 20.000 € 20.000
7 6 5 4 3 2 1 0 8
Zeit in Jahren
€ 40.000
7 6 5 4 3 2 1 0 8
Erbschaft 2

Maschinenring
Aufgabennummer: B_182
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Vier landwirtschaftliche Betriebe, die Weizen anbauen, haben sich zu einem Maschinenring
zusammengeschlossen.
a) Man geht davon aus, dass der jetzige Mähdrescher noch genau 10 Jahre verwendet wer-
den kann. Daher plant man, dann einen neuen Mähdrescher um einen voraussichtlichen
Kaufpreis von € 150.000 zu erwerben.
Für die Anschaffung haben die Betriebe gemeinsam bereits € 30.000 an Rücklagen gebil-
det und wollen den Rest in Form von vorschüssigen Jahresraten ansparen.
Der Zinssatz wird mit 1,5 % p. a. angenommen.
– Veranschaulichen Sie das Finanzierungskonzept mithilfe einer Zeitlinie.
– Berechnen Sie die Höhe der Jahresraten.
Es wird überlegt, mit der Ratenzahlung erst in 5 Jahren zu beginnen.
– Argumentieren Sie, warum die neuen Raten für die restlichen 5 Jahre in diesem Fall mehr
als doppelt so hoch sein müssen, als wenn sofort mit dem Ansparen begonnen wird.
b) Die nebenstehende Tabelle zeigt die erzielten Preise für Weizen in den Qualitätsstufen A
und B für einen Zeitraum von 10 Jahren.
Preis pro 1 000 kg
Jahr A B
1 € 98 € 112
2 € 108 € 117
3 € 88 € 101
4 € 82 € 97
5 € 105 € 116
6 € 189 € 202
7 € 135 € 165
8 € 91 € 106
9 € 184 € 205
10 € 157 € 186
Der Zusammenhang der Preise zwischen den
Weizenqualitäten A und B wird mithilfe der linearen
Regression untersucht.
– Erstellen Sie eine Gleichung der Regressionsgeraden.
– Interpretieren Sie die Bedeutung eines Korrelationskoeffizienten von r = 0,989 im
gegebenen Sachzusammenhang.
– Stellen Sie die Punkte und die Regressionsgerade in einem passenden Koordinatensys-
tem grafisch dar.
c) Die Landwirte des Maschinenrings diskutieren über die Begriffe Betriebsoptimum und
Betriebsminimum .
– Ordnen Sie den beiden Begriffen jeweils die korrekte Aussage aus A bis D zu. [2 zu 4]
Betriebsoptimum
Betriebsminimum
A Hier spielen die Fixkosten keine Rolle.
B Hier erzielt man den höchsten Erlös.
C
Hier sind die Durchschnittskosten am
kleinsten.
D Hier steigt der Gewinn am stärksten.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Maschinenring 2