Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3801–3850

Kleinwald
Aufgabennummer: B_273
Technologieeinsatz: möglich ☐ erforderlich ☒
Um ein zusätzliches Einkommen zu erwirtschaften, kauft ein Landwirt eine kleine Waldfläche.
a) Er erwirbt eine Waldfläche mit einem Flächeninhalt von 18,6 Hektar (ha). Der Preis liegt
bei € 0,95 pro Quadratmeter; der durchschnittliche Erlös pro Jahr soll € 300 pro Hektar
betragen. Der Landwirt legt den Erlös an jedem Jahresende auf ein Sparbuch mit einem
Jahreszinssatz i .
– Berechnen Sie den Kaufpreis.
– Erstellen Sie eine Gleichung, mit deren Hilfe man die Zeitdauer in Jahren, bis der Land
wirt Gewinn erzielt, berechnen kann.
– Berechnen Sie den Gewinn 40 Jahre nach dem Kauf des Waldes bei einem Zinssatz
von 0,8 % p. a.
b) Für eine Abschätzung des Holzvolumens eines Baumes kann man die sogenannte „Win
kelzählprobe“ verwenden. Dafür wird ein 1 m langer Stab verwendet, an dessen Ende ein
4 cm breites Plättchen symmetrisch im rechten Winkel zum Stab montiert ist.
Man hält dieses Gerät waagrecht und bewegt sich damit in die richtige Position, bei der
die Breite des Baums durch das Plättchen verdeckt wird (siehe nachstehende Skizze –
Sicht von oben).
Plättchen
Stab
α
x
r
Baumquerschnitt
– Berechnen Sie den Winkel α .
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Baumradius r in Abhängigkeit von x und α
auf.
r = ____________________________
– Zeichnen Sie die Funktion A des Flächeninhalts des Baumquerschnitts in Abhängigkeit
von der Entfernung x mit entsprechender Skalierung der vertikalen Achse in das nach
stehende Koordinatensystem ein.
14,5 14 13,5 13 12,5 12 11,5 11 10,5 10 15
Entfernung x in m
A ( x ) in m
2
Kleinwald 2
c) Der Landwirt hat ermittelt, dass er die Höhe der Bäume annähernd mit hilfe der folgenden
Funktion beschreiben kann:
h ( d ) = 194,85 + 221,89 ∙ ln( d )
d … Durchmesser eines Baums auf Brusthöhe in Zentimetern (cm) mit d ∈ [3; 14]
h ( d ) … Baumhöhe in cm bei einem Durchmesser d
Bei einem Baum wird ein Durchmesser von 5 cm gemessen. Nach einiger Zeit weist der
Baum einen Durchmesser d
0
auf.
– Stellen Sie eine Formel auf, mit der man die mittlere Änderungsrate der Baumhöhe bei
dieser Durchmesseränderung berechnen kann.
k = _______________________________________
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, mit dem die lokale Änderungsrate der Baum
höhe berechnet werden kann. [1 aus 5]
194,85 + 221,89 ∙ ℯ
d
221,89
d
221,89 ∙ ln( d )
194,85 +
221,89
d
221,89 ∙ d
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Kleinwald 3

Miststreuer
Aufgabennummer: B_286
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Unternehmen stellt Miststreuer her. Die Produktion sowie der Verkauf werden innerhalb
eines Jahres betrachtet.
a) Das Unternehmen geht bezüglich eines speziellen Zusatzteils innerhalb eines Jahres
von folgender Preis-Absatz-Funktion aus:
p ( x ) = –0,02 ∙ ( x + 10)
2
+ 288
x … verkaufte Menge in Mengeneinheiten (ME)
p ( x ) … Preis bei x verkauften ME in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME)
– Argumentieren Sie anhand der Funktionsgleichung, dass der Graph der Funktion p
einen Hochpunkt hat.
– Berechnen Sie die Sättigungsmenge.
– Stellen Sie eine Gleichung zur Berechnung der erlösmaximierenden Menge auf.
b) Die jährlichen Fixkosten für die Herstellung eines Produktionsteils des Miststreuers
belaufen sich auf 8 000 Geldeinheiten (GE).
Die variablen Gesamtkosten können durch folgende Funktion beschrieben werden:
K
V
( x ) = 0,11 ∙ x ³ – 5 ∙ x ² + 80 ∙ x mit x ≥ 0
x … produzierte Mengeneinheiten (ME)
K
V
( x ) … variable Kosten in GE bei x produzierten ME
– Dokumentieren Sie, wie die langfristige Preisuntergrenze berechnet werden kann.
– Berechnen Sie dasjenige Intervall, in dem die Kostenfunktion degressiv verläuft.
– Interpretieren Sie die Stelle des Übergangs vom degressiven in den progressiven
Verlauf der Kostenfunktion hinsichtlich der Veränderung der Kosten.
c) Ein bestimmtes Miststreuer-Modell hat eine Breite von 1,2 m. Es streut im Stand bis
zu einer Breite von rund 5 m. Dabei wirft es den Mist (wie in der nachstehenden Skizze
ersichtlich) bis zu rund 4 m weit.
Die dick umrandete Fläche der Skizze zeigt den Bereich, der vom stehenden Mist -
streuer bestreut wird.
– Berechnen Sie den Winkel α .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Miststreuer 2
4 m
5 m 1,2 m α

Tischlereibetrieb
Aufgabennummer: B_269
Technologieeinsatz: möglich ☐ erforderlich ☒
Ein Tischlereibetrieb produziert Tischgruppen (Tisch und Sessel), die österreichweit vertrieben
werden sollen.
a) Die Kosten für die Produktion eines bestimmten Tischgruppenmodells lassen sich durch
die Kostenfunktion K beschreiben:
K ( x ) =
x
3
300
– x
2
+ 200 ∙ x + 9 000
Folgende Preis-Absatz-Funktion p beschreibt den Zusammenhang zwischen Absatz und
Preis für dieses Tischgruppenmodell:
p ( x ) = –
10
3
∙ x + 875
x … Tischgruppenmodelle in Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) … Kosten bei x ME in Geldeinheiten (GE)
p ( x ) … Preis bei x ME in GE/ME
– Erstellen Sie eine Gleichung der Gewinnfunktion.
– Ermitteln Sie, bei welcher Menge der maximale Gewinn erreicht wird.
– Ermitteln Sie die Durchschnittskosten für die gewinnmaximierende Menge.
– Dokumentieren Sie in Worten, wie man die langfristige Preisuntergrenze berechnen
kann.
b) Für ein anderes Produkt wurde eine fehlerhafte Kostenfunktion erstellt:
K ( x ) =
x
3
300
– x
2
+ 96 ∙ x + 9 000
– Erklären Sie mithilfe des Graphen der Ableitungsfunktion K ′ , warum diese Funktion keine
Grenzkostenfunktion einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion ist.
c) Die Nachfragefunktion ordnet dem Stückpreis die Nachfragemenge zu.
Als Modell für die Nachfragefunktion für eine spezielle Tischgruppe verwendet man eine
Polynomfunktion 2. Grades:
x ( p ) = a ∙ p
2
+ b ∙ p + c
p … Stückpreis in GE/ME
x ( p ) … nachgefragte Menge in ME bei einem Preis p in GE/ME
Folgende Daten wurden erhoben: Bei einem Preis von 1 000 GE/ME besteht eine Nach-
frage von 6 600 ME. Bei einem Preis von 1 200 GE/ME ist die lokale Änderungsrate der
Nachfrage –3 ME pro ME/GE und ab einem Preis von 2 500 GE besteht keine Nachfrage.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem eine Gleichung der Nachfragefunktion
berechnet werden kann.
– Bestimmen Sie eine Gleichung der Nachfragefunktion.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Tischlereibetrieb 2

Werbung*
Aufgabennummer: B_440
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Campus einer Universität beherbergt 1 200 Studierende. Eine Fast-Food-Kette möchte
eine Filiale mit neuen, spezifisch auf Studierende abgestimmten Produkten am Campus -
gelände eröffnen. Es kursiert ein Gerücht, dass ein berühmter Hollywoodstar bei der Er -
öffnung der Filiale anwesend sein wird.
Die Funktion N
G
beschreibt näherungsweise die Anzahl der Studierenden, die von dem
Gerücht erfahren haben:
N
G
( t ) =
1 200
1 + 1 199 · ℯ
–0,99 · t
t ... Zeit nach Aufkommen des Gerüchts in Tagen
N
G
( t ) ... Anzahl der Studierenden, die vom Gerücht bis zum Zeitpunkt t erfahren haben
a) 1) Berechnen Sie, wie viele Studierende nach 8 Tagen von dem Gerücht erfahren haben.
b) Auf einem anderen vergleichbaren Campus wird gleichzeitig eine Werbekampagne mit
Plakaten gestartet.
Die Funktion N
W
beschreibt näherungsweise die Anzahl der Studierenden, die durch die
Werbekampagne erreicht werden:
N
W
( t ) = 1 200 ∙ (1 – ℯ
– 0,077 ∙ t
)
t ... Zeit nach Beginn der Werbekampagne in Tagen ( t ≥ 1)
N
W
( t ) ... Anzahl der Studierenden, die durch die Werbekampagne bis zum Zeitpunkt t er-
reicht wurden
1) Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt t ( t ≥ 1), zu dem gleich viele Studierende vom Ge-
rücht erfahren haben, wie von der Werbekampagne erreicht wurden.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In der nachstehenden Grafik sind der Graph der Funktion N
G
und der Graph ihrer Ab-
leitung N
G
′ dargestellt.
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16
1 200
1 000
800
600
400
200
0
1 400
t in Tagen
k = 0
N
G
( t ) in Personen
N
G
′ ( t ) in Personen/Tag
N
G
N
G
′
t
0
1) Beschreiben Sie, welche Eigenschaft die Ableitungsfunktion N
G
′ und welche Eigen-
schaft die Funktion N
G
an der dargestellten Stelle t
0
hat.
2) Interpretieren Sie die Bedeutung der Stelle t
0
im gegebenen Sachzusammenhang.
Eine Studierende behauptet, dass die 2. Ableitung der Funktion N
G
für alle t ≥ 0 posi-
tiv ist.
3) Argumentieren Sie, warum diese Behauptung falsch ist.
Werbung 2

Druckmaschine*
Aufgabennummer: B_402
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Geschäftsführung einer Druckerei überlegt die Anschaffung einer neuen Druckmaschine.
a) Eine Druckmaschine A mit Anschaffungskosten in Höhe von € 1.200.000 hat eine
Nutzungsdauer von 4 Jahren. Mit dieser Maschine können jährlich 20 000 Bücher her-
gestellt werden, die zu einem Stückpreis von € 18 verkauft werden. Die Herstellungs-
kosten betragen € 4 pro Buch. Jährlich fallen Kosten für Wartungsarbeiten in Höhe
von € 8.000 an.
– Übertragen Sie für den Zeitraum der Nutzungsdauer die Einnahmen, Ausgaben und
Rückflüsse in die nachstehende Tabelle.
Jahr Einnahmen in € Ausgaben in € Rückflüsse in €
0
1
2
3
4
– Erklären Sie anhand dieser Tabelle, warum diese Investition sogar bei einem kalkula-
torischen Zinssatz von 0 % nicht vorteilhaft ist.
b) Für die Anschaffung einer Druckmaschine B wurde der Kapitalwert C
0
dieser Investition
durch folgende Rechnung ermittelt:
C
0
= –900 000 +
260 000
1,075
+
260 000
1,075
2
+
260 000
1,075
3
+
350 000
1,075
4
≈ 38 217
– Lesen Sie aus der obigen Rechnung den kalkulatorischen Zinssatz ab.
– Stellen Sie den Zahlungsstrom dieser Investition auf einer Zeitachse dar.
– Interpretieren Sie den Kapitalwert im Hinblick auf die Vorteilhaftigkeit der Investition.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Für die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit der Anschaffung einer Druckmaschine C ist der
Kapitalwert dieser Investition in Abhängigkeit vom kalkulatorischen Zinssatz in der nach-
stehenden Abbildung dargestellt (Kapitalwertkurve).
0 2 4 6 8 10 12
kalkulatorischer
Zinssatz in %
0
–50 000
–100 000
150 000
100 000
50 000
300 000
250 000
200 000
Kapitalwert in €
Ein Mitarbeiter behauptet: „Wenn die Anschaffungskosten um € 50.000 niedriger wären,
hätten wir einen internen Zinssatz von über 10 %.“
– Skizzieren Sie in der oben stehenden Abbildung diejenige Kapitalwertkurve, für die die
Anschaffungskosten um € 50.000 niedriger sind.
– Markieren Sie in der von Ihnen skizzierten Kapitalwertkurve den internen Zinssatz.
d) Für eine Druckmaschine D mit Anschaffungskosten in Höhe von € 800.000 und einer
Nutzungs dauer von 4 Jahren wurden folgende Rückflüsse ermittelt: je € 220.000 im ers-
ten, zweiten und dritten Jahr, € 280.000 im vierten Jahr. Die Druckerei kann die Rückflüs-
se zu einem Zinssatz von 3,5 % p. a. wiederveranlagen.
– Berechnen Sie den modifizierten internen Zinssatz dieser Investition.
– Interpretieren Sie den modifizierten internen Zinssatz im Hinblick auf die Vorteilhaftigkeit
dieser Investition.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Druckmaschine 2

Seegrundstück*
Aufgabennummer: B_415
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Für den Kauf eines Seegrundstücks benötigt der Käufer einen Kredit in Höhe von € 865.000.
(Spesen und Gebühren werden nicht berücksichtigt.)
a) Ein Kreditinstitut macht folgendes Angebot:
Der Kreditnehmer bezahlt am Ende jedes Jahres eine Rate in Höhe von € 100.000 bei
einem Zinssatz von 6,75 % p. a.
– Berechnen Sie, wie viele volle Raten der Kreditnehmer bezahlen muss.
– Berechnen Sie die Höhe des ein Jahr nach der letzten vollen Rate fälligen Restbetrags.
b) Ein anderes Kreditinstitut stellt einen Tilgungsplan zur Rückzahlung des Kredits auf. Ein
Ausschnitt dieses Tilgungsplans ist in der nachstehenden Tabelle dargestellt.
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 € 865.000
1 € 51.467,50 € 53.532,50
2 € 48.282,32 € –48.282,32
...
– Ermitteln Sie die Annuität und die Restschuld im Jahr 1.
Im Jahr 2 sind die beiden Einträge in den Spalten „Zinsanteil“ und „Tilgungsanteil“ bis auf
das Vorzeichen gleich.
– Beschreiben Sie die Auswirkungen auf die Restschuld im Jahr 2.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Ein weiteres Angebot zur Rückzahlung des Kredits innerhalb von 10 Jahren kann mithilfe
folgender Zeitachse dargestellt werden:
Auszahlung: € 865.000
Rückzahlung:
Zeit in Jahren
R R R R R R € 80.000 € 100.000 € 110.000
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
– Beschreiben Sie den Rückzahlungsvorgang des in der Zeitachse dargestellten Angebots
in Worten.
– Berechnen Sie die Ratenhöhe R bei einem Zinssatz von 6 % p. a.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Seegrundstück 2

Spam (1)*
Aufgabennummer: B_418
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Als Spam werden unerwünscht zugestellte E-Mails bezeichnet.
a) Der nachstehenden Tabelle kann man die Entwicklung der Anzahl der weltweit täglich
versendeten Spam-Mails in Milliarden entnehmen.
Beginn des Jahres ...
Anzahl der weltweit täglich versendeten
Spam-Mails in Milliarden
2010 62
2011 42
2012 30
Die Anzahl der Spam-Mails kann näherungsweise durch die Funktion S beschrieben wer-
den:
S ( t ) = 50 · 0,6
t
+ 12
t ... Zeit in Jahren ab 2010, d. h., für den Beginn des Jahres 2010 gilt: t = 0
S ( t ) ... Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails zur Zeit t in Milliarden
– Zeigen Sie, dass die Funktion S die Anzahl der weltweit täglich versendeten Spam-Mails
für den Beginn des Jahres 2012 richtig beschreibt.
Die Funktion S kann auch in der Form S ( t ) = 50 · ℯ
k · t
+ 12 angegeben werden.
– Berechnen Sie k .
– Beschreiben Sie das Ergebnis der Berechnung
S (5) – S (3)
S (3)
≈ –0,30 im gegebenen
Sachzusammenhang.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Nach Expertenschätzungen sind 80 % aller E-Mails Spam.
In 8 % aller E-Mails kommt das Wort „Konto“ vor.
7 % aller E-Mails enthalten das Wort „Konto“ und sind Spam.
S bezeichnet das Ereignis, dass ein zufällig ausgewähltes E-Mail Spam ist, S
—
bezeichnet
das Gegenereignis von S .
K bezeichnet das Ereignis, dass ein zufällig ausgewähltes E-Mail das Wort „Konto“ ent-
hält, K
—
bezeichnet das Gegenereignis von K .
– Vervollständigen Sie die nachstehende Vierfeldertafel so, dass sie den beschriebenen
Sachverhalt wiedergibt.
S S
—
Summe
K
K
—
Summe
– Lesen Sie aus der Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeit ab, dass ein zufällig ausgewähl-
tes E-Mail kein Spam ist und das Wort „Konto“ enthält.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E wird in diesem Zusammenhang durch folgen-
den Ausdruck ermittelt:
P ( E ) =
0,07
0,08
– Beschreiben Sie dieses Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang.
c) Mit einem Aktienspam wird durch massenhaften Versand von E-Mails eine meist wertlose
Aktie beworben, um deren Kurs in die Höhe zu treiben. Der Versender ist selbst Besitzer
der Aktie, die er nach der Kurssteigerung gewinnbringend verkauft, worauf der Kurs wie-
der fällt.
Für eine so beworbene Aktie hat es in den 4 Quartalen eines Jahres folgende prozentuelle
Kursänderungen gegeben:
Quartal 1 2 3 4
Kursänderung + 5 % + 20 % + 25 % – 50 %
– Berechnen Sie die mittlere prozentuelle Kursänderung pro Quartal.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Spam (1) 2

Lampenproduktion (1)*
Aufgabennummer: B_419
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Unternehmen produziert verschiedene Lampen.
a) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Stückkostenfunktion K der Leuchte
Credas dargestellt.
x in ME
30 25 20 15 10 5 0 35
30
25
20
15
10
5
0
35
K ( x ) in GE/ME
K
Die zugehörige Grenzkostenfunktion K ′ ist gegeben durch:
K ′ ( x ) = 0,5 · x + 5
x ... Anzahl der produzierten ME
K ′ ( x ) ... Grenzkosten bei x produzierten ME in GE/ME
– Zeichnen Sie den Graphen der Grenzkostenfunktion K ′ in der obigen Abbildung ein.
– Lesen Sie das Betriebsoptimum ab.
– Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Kostenfunktion K .
– Berechnen Sie die Fixkosten.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Kosten für die Produktion der Pendelleuchte Ecos lassen sich näherungsweise durch
eine Kostenfunktion K beschreiben:
K ( x ) = 0,05 · x
2
+ 3 · x + 155
x ... Anzahl der produzierten ME
K ( x ) ... Kosten bei x produzierten ME in GE
Die Pendelleuchte wird zu einem fixen Preis von 9 GE/ME verkauft.
– Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Gewinnfunktion.
– Ermitteln Sie die Gewinngrenzen.
– Ermitteln Sie den maximalen Gewinn.
c) Für eine quadratische Gewinnfunktion G gilt:
G ( x ) = a · x
2
+ b · x + c
x ... Anzahl der abgesetzten ME
G ( x ) ... Gewinn bei x abgesetzten ME in GE
Es wird behauptet, dass die Extremstelle von G bei x
0
= –
b
2 · a
liegt.
– Zeigen Sie, dass diese Behauptung stimmt.
– Geben Sie an, welche Bedingung für den Koeffizienten a gelten muss, damit an dieser
Stelle ein Maximum vorliegt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Lampenproduktion (1) 2

Pensionsvorsorge*
Aufgabennummer: B_420
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Alexander möchte für seine Pension ansparen. In den folgenden Aufgaben wird die Kapital
ertragssteuer nicht berücksichtigt.
a) Er zahlt 15 Jahre lang monatlich vorschüssig € 400 auf ein mit 0,27 % p. m. verzinstes
privates Pensionskonto und lässt sein Geld anschließend 25 Jahre bei gleichbleibendem
Zinssatz angelegt.
– Berechnen Sie seinen privaten Pensionsbetrag nach 40 Jahren.
b) Eine Bank unterbreitet ihm folgenden Vorschlag:
Durch Einzahlungen von € 20.000 sofort, € 30.000 nach 5 Jahren und € 40.000 nach
15 Jahren garantiert sie ihm nach insgesamt 40 Jahren ein angespartes Kapital von
€ 200.000.
– Veranschaulichen Sie diesen Zahlungsstrom (Einzahlungen und angespartes Kapital) auf
einer Zeitachse.
– Berechnen Sie den zugehörigen Jahreszinssatz.
c) Er hat auf seinem privaten Pensionskonto, das mit 2 % p. a. verzinst wird, einen Betrag in
Höhe von € 200.000 angespart.
Nun vergleicht er zwei Auszahlungsvarianten:
Variante 1: Er hebt am Ende jedes Jahres € 12.000 ab.
Variante 2: Er hebt am Ende jedes Jahres € 4.000 ab.
– Berechnen Sie, wie oft er bei Variante 1 den vollen Betrag abheben könnte.
– Erklären Sie, warum bei Variante 2 das angesparte Kapital am Pensionskonto erhalten
bleibt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe

Grenzkosten und Grenzerlös*
Aufgabennummer: B_421
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die Produktionskosten eines Unternehmens lassen sich näherungs weise durch die
folgende Kostenfunktion K beschreiben:
K ( x ) = 0,001 · x
3
– 0,115 · x
2
+ 5,2 · x + 50
x ... Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) ... Kosten bei der Produktionsmenge x in Geldeinheiten (GE)
– Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von K , wenn die Produktion von 20 ME auf
25 ME erhöht wird.
– Berechnen Sie die Grenzkosten bei einer Produktion von 20 ME.
– Interpretieren Sie diesen Grenzkostenwert im gegebenen Sachzusammenhang.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Um für eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion K mit K ( x ) = a ∙ x ³ + b ∙ x ² + c ∙ x + d das
Betriebs optimum zu ermitteln, wurde folgende Rechnung angesetzt:
K ( x )
x
= a ∙ x
2
+ b ∙ x + c +
d
x
(
K ( x )
x
)
′
= 2 ∙ a ∙ x + b +
d
x
Dabei ist die Berechnung der Ableitungsfunktion fehlerhaft.
– Stellen Sie die Berechnung der Ableitungsfunktion richtig.
c) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer linearen Grenzerlösfunktion E ′ darge-
stellt.
E ′ ( x ) in GE/ME
x in ME
0
0
2
4
6
8
–8
–6
–4
–2
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
E ′
– Stellen Sie eine Gleichung von E ′ auf.
– Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche.
– Interpretieren Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit den Inhalt der markierten
Fläche im gegebenen Sachzusammenhang.
– Interpretieren Sie die Bedeutung der Nullstelle von E ′ in Bezug auf die zugehörige Erlös-
funktion E im gegebenen Sachzusammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Grenzkosten und Grenzerlös 2