Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3751–3800

Müsliriegel / Wintertermin 2023 / B_571 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 18 /20 11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
Aufgabe 8
Müsliriegel
Ein Start-up-Unternehmen bringt verschiedene Müsliriegel-Sorten auf den Markt.
Aus den 4 Rohstoffen Haferflocken ( R 1 ), Früchte ( R 2 ), Nüsse ( R 3 ) und Schokolade ( R 4 ) werden
mit Öl und Honig Müsliriegel der Sorten Crunchy ( Z 1 ), Fruity ( Z 2 ) und Sweety ( Z 3 ) als Zwischen-
produkte hergestellt.
Im nachstehenden Gozinto-Graphen ist der Mengenbedarf an diesen 4 Rohstoffen in Gramm für
die Herstellung jeweils eines Müsliriegels dargestellt.
R
2
R
3
R
1
R
4
Z
2
Z
3
Z
1
30
40
50
Früchte
Nüsse
Haferflocken
Schokolade
Fruity
Sweety
Crunchy
5
20
5
10
10
20
5
Das Start-up-Unternehmen bringt die Müsliriegel als Endprodukte in 6er-Probierpackungen ( E
1
), in
12er-Packungen ( E
2
) und in 18er-Mix-Boxen ( E
3
) auf den Markt.
Die jeweiligen Stückzahlen der Müsliriegel in den Packungen sind in der nachstehenden Tabelle
angegeben, die der Matrix P entspricht.
6er-Probierpackung E 1 12er-Packung E 2 18er-Mix-Box E 3
Crunchy Z
1
2 2 10
Fruity Z
2
2 4 4
Sweety Z
3
2 6 4
Müsliriegel / Wintertermin 2023 / B_571 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 19 /20
a) Der im obigen Gozinto-Graphen dargestellte Mengenbedarf an Rohstoffen für die Herstellung
der Müsliriegel soll durch die Matrix R beschrieben werden.
1) Ermitteln Sie die Matrix R . [0 / 1 P.]
Der Mengenbedarf an Rohstoffen für die Herstellung der Müsliriegel-Packungen soll durch die
Matrix V beschrieben werden.
2) Ermitteln Sie die Matrix V . [0 / 1 P.]
3) Interpretieren Sie das Element v
32
der Matrix V im gegebenen Sachzusammenhang. [0 / 1 P.]
Es werden 50 der 6er-Probierpackungen, 30 der 12er-Packungen und 20 der 18er-Mix-Boxen
nachgefragt.
Es stehen 40 kg Haferflocken zur Verfügung.
4) Überprüfen Sie nachweislich, ob mit dieser Menge der Mengenbedarf an Haferflocken für
die Herstellung der Müsliriegel gedeckt ist. [0 / 1 P.]
b) Die Gesamtmasse der Müsliriegel beträgt in der 6er-Probierpackung 540 g, in der 12er-Packung
1 220 g und in der 18er-Mix-Box 1 380 g.
Aus diesen Werten kann mithilfe der Matrix P die Masse x
1
eines Müsliriegels Crunchy , die
Masse x
2
eines Müsliriegels Fruity und die Masse x
3
eines Müsliriegels Sweety berechnet werden.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Massen x
1
, x
2
und x
3
. [0 / 1 P.]
Die Massen x
1
, x
2
und x
3
können auch zu einem Vektor x =
( )
x
1
x
2
x
3
zusammengefasst und mithilfe
des Vektors m =
( )
540
1 220
1 380
und der Matrix P =
( )
2
2
2
2
4
6
10
4
4
ermittelt werden.
2) Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, mit dem der Vektor x berechnet werden kann.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
x = P · m
x = P
T
· m
x = ( P · m )
T
x = P
–1
· m
x = ( P
T
)
–1
· m
Müsliriegel / Wintertermin 2023 / B_571 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 20 /20
c) In einer Marktstudie wird die Nachfrage nach der 18er-Mix-Box untersucht.
Die Sättigungsmenge liegt bei 180 Stück.
Bei einem Preis von 10 Euro pro Stück beträgt die Nachfrage 80 Stück.
Für die Preisfunktion der Nachfrage p
N
gilt:
p
N
( x ) = a · x
2
+ b · x + 30
x ... nachgefragte Menge in Stück
p
N
( x ) ... Preis bei der nachgefragten Menge x in Euro pro Stück
1) Berechnen Sie die Koeffizienten a und b . [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Nachfrage bei einem Preis von 24 Euro pro Stück. [0 / 1 P.]

Staatseinnahmen und -ausgaben*
Aufgabennummer: B_352
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Statistik Austria gibt u. a. Auskunft über die Einnahmen und Ausgaben des Staates
Österreich (vgl. Statistik Austria: Struktur der Einnahmen und Ausgaben des Staates,
konsolidiert, Jahresdaten – erstellt am 30.09.2013).
a) Die folgende Tabelle gibt die Ausgaben des Staates Österreich für den Zeitraum von 2006
bis 2012 in Milliarden Euro an:
Jahr
Ausgaben in
Mrd. Euro
2006 127,293
2007 133,180
2008 139,494
2009 145,333
2010 150,593
2011 151,881
2012 158,735
– Ermitteln Sie mit diesem Datensatz die Gleichung der Regressionsgeraden, die die Aus-
gaben in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren annähert. Wählen Sie t = 0 für das Jahr
2006.
– Beurteilen Sie mithilfe des Korrelationskoeffizienten, ob die Regressionsgerade ein ge-
eignetes Modell darstellt, um die Entwicklung der Ausgaben zu beschreiben.
– Berechnen Sie anhand dieses Modells näherungsweise die Ausgaben im Jahr 2015.
b) Bei den Einnahmen aus Einkommen- und Vermögensteuern gab es besonders in den
Jahren 2006 bis 2009 große Schwankungen.
Die folgende Tabelle gibt die prozentuelle Veränderung der Einnahmen aus Einkommen-
und Vermögensteuern gegenüber dem jeweiligen Vorjahr an:
Jahr 2006 2007 2008 2009
Änderung +6,0 % +10,0 % +8,1 % –11,1 %
– Berechnen Sie die mittlere prozentuelle Änderung der Einnahmen aus Einkommen- und
Vermögensteuern pro Jahr für den angegebenen Zeitraum.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die Vermögenseinkommen auf der Einnahmenseite für die Jahre 1976 bis 2012 können
näherungsweise durch die folgende quadratische Funktion V beschrieben werden:
V ( t ) = –0,0027 · t
2
+ 0,1732 · t + 0,8381
t ... Anzahl der Jahre ab 1976, d. h., für das Jahr 1976 gilt: t = 0
V ( t ) ... Vermögenseinkommen im Jahr t in Milliarden Euro
– Argumentieren Sie anhand der Funktionsgleichung, dass der Graph dieser Funktion
einen Hochpunkt hat.
– Ermitteln Sie die Stelle dieses Maximums.
– Berechnen Sie das Integral
∫
36
0
V ( t )d t .
– Interpretieren Sie den Wert dieses Integrals im gegebenen Sachzusammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Staatseinnahmen und -ausgaben 2

Medikamentenherstellung
Aufgabennummer: B_368
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Pharmaunternehmen stellt aus den
Rohstoffen R
1
, R
2
und R
3
die Zwischen-
produkte Z
1
und Z
2
und daraus das
Medikament E her.
Die Produktionsverflechtung ist im neben-
stehenden Gozinto-Graphen dargestellt
(alle Angaben in ME).
Abbildung 1
a) – Lesen Sie aus dem Gozinto-Graphen ab, aus welchen Rohstoffmengen 1 ME des Zwi-
schenprodukts Z
2
hergestellt wird.
– Geben Sie an, welche Rohstoffe und Zwischenprodukte direkt nachgefragt werden.
– Beschreiben Sie, wie man mithilfe des Gozinto-Graphen die benötigten Rohstoffmengen
für die Herstellung von 1 ME des Endprodukts berechnen kann.
– Berechnen Sie den Rohstoffbedarf für 1 ME des Medikaments E .
b) Die quadratische Matrix A beschreibt die Produktionsverflechtung zwischen Rohstoffen,
den Zwischenprodukten und dem Medikament.
– Erstellen Sie die Matrix A .
Der Vektor n
→
beschreibt die in der obigen Abbildung dargestellte Nachfrage nach R
1
, R
2
,
R
3
, Z
1
, Z
2
und E .
– Erstellen Sie den Vektor n
→
.
Der Vektor x
→
beschreibt die benötigten Mengen an R
1
, R
2
, R
3
, Z
1
, Z
2
und E .
– Berechnen Sie den Vektor x
→
.
Rohstoffe Zwischenprodukte Endprodukt Nachfrage
500
100
150
200
R
1
R
2
R
3
Z
1
Z
2
E
5
4
7
3
10
8
12
Medikamentenherstellung 2
c) Der Materialbestand im Lager beträgt 80 000 ME von R
1
, 20 000 ME von R
2
und 76 800 ME
von R
3
.
Aus diesem Materialbestand sollen 600 ME des Medikaments E hergestellt und keine Roh-
stoffe oder Zwischenprodukte an den Markt direkt abgegeben werden.
Die Matrix A beschreibt den Mengenbedarf an Rohstoffen für die Herstellung der Zwischen-
produkte. Die Matrix B beschreibt den Mengenbedarf an Zwischenprodukten für die Her-
stellung des Medikaments.
– Erstellen Sie die beiden Matrizen A und B .
– Beschreiben Sie, was mit dem Ausdruck ( A · B ) · 600 im gegebenen Sachzusammen-
hang berechnet wird.
– Berechnen Sie, wie viel von den Rohstoffen R
1
, R
2
und R
3
im Lager übrig bleiben.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Kosten und Gewinn
Aufgabennummer: B_164
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Betrieb stellt aus den Rohstoffen R
1
, R
2
und R
3
die
Zwischenprodukte Z
1
, Z
2
, Z
3
und Z
4
und aus diesen die End-
produkte P
1
und P
2
her.
Die Materialverflechtung in ME wird durch den nebenstehenden
Gozinto-Graphen dargestellt.
Z
1
R
1
R
2
Z
3
Z
2
P
1
a
2
4
1
1
c
1
3
3
4
P
2
R
3
Z
4
2
2
1
a) Für bestimmte Werte von a und c beschreibt die folgende Matrix den Mengenbedarf an
Rohstoffen für die Herstellung der Endprodukte:
( )
5
3
2
12
15
12
– Lesen Sie aus der Matrix ab, welche Mengen an Rohstoffen für die Herstellung von 1 ME
des Endprodukts P
1
verwendet werden.
– Erstellen Sie die Matrix A , die den Mengenbedarf an Rohstoffen für die Herstellung der
Zwischenprodukte beschreibt.
– Berechnen Sie a und c .
b) Für a = 2 und c = 1 beschreibt die folgende Matrix den Mengenbedarf an Rohstoffen für
die Herstellung der Endprodukte:
( )
5
1
2
12
7
12
Der Vektor
( )
n
1
n
2
beschreibt die Nachfrage nach den Endprodukten.
Der Materialbestand im Lager beträgt 1 460 ME von R
1
, 660 ME von R
2
und 1 160 ME
von R
3
.
– Erstellen Sie eine Matrix-Gleichung zur Berechnung derjenigen erfüllbaren Nachfrage,
bei der der gesamte Materialbestand verbraucht wird.
– Berechnen Sie diese Nachfrage.
c) Die Kostenfunktion K und die Erlösfunktion E für das Endprodukt P
2
sind bekannt:
K ( x ) = 2,5 · x
2
+ 59 · x + 80
E ( x ) = –6 · x
2
+ 187 · x
x ... produzierte und abgesetzte Menge in ME
K ( x ), E ( x ) ... Kosten bzw. Erlös bei der Menge x in GE
Bei einer bestimmten Menge x
max
wird der maximale Gewinn erzielt.
– Berechnen Sie x
max
.
– Dokumentieren Sie in Worten, wie man den Preis des Endprodukts beim Verkauf der
Menge x
max
erhalten kann.
– Ermitteln Sie mithilfe des obigen Gozinto-Graphen, wie viel Mengeneinheiten von den
Zwischenprodukten für die Herstellung der Menge x
max
des Endprodukts P
2
benötigt
werden.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Kosten und Gewinn 2

Zweistufige Produktion
Aufgabennummer: B_163
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In einem Unternehmen werden aus den Rohstoffen R
1
und R
2
die Zwischenprodukte Z
1
, Z
2
und
Z
3
und daraus die Endprodukte E
1
, E
2
und E
3
hergestellt. Die Mengenangaben erfolgen jeweils
in ME.
a) Die Produktionsverflechtung wird durch die beiden nachstehenden Tabellen beschrieben.
Z
1
Z
2
Z
3
E
1
E
2
E
3
R
1
2,1 1,2 4,3 Z
1
2,0 1,3 0
R
2
3,4 2,5 1,6 Z
2
3,1 2,4 0
Z
3
0 4,5 2,8
– Veranschaulichen Sie die Produktionsverflechtung von den Rohstoffen bis zu den End-
produkten als Gozinto-Graph.
– Berechnen Sie den Bedarf an Rohstoffen, wenn von jedem der Endprodukte 1 ME her-
gestellt wird.
b) Die 2×3-Matrix C beschreibt den Mengenbedarf an Rohstoffen für die Herstellung der
Endprodukte. Der Spaltenvektor n
→
beschreibt die Nachfrage nach den Endprodukten. Es
soll der Mengenbedarf an Rohstoffen berechnet werden.
– Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils den geeigneten Ansatz aus A bis D zu. [2 zu 4]
Die benötigten Rohstoffe erhält
man als Elemente eines Zeilen-
vektors.
Die benötigten Rohstoffe erhält
man als Elemente eines Spalten-
vektors.
A C ∙ n
→ T
B n
→
∙ C
C C ∙ n
→
D n
→ T
∙ C
T
Der Vektor p
→
= (20 50) beschreibt die Preise der Rohstoffe in €/ME.
– Berechnen Sie die Gesamtkosten für die Rohstoffe für C =
( )
8
15
25
18
12
5
und n
→
=
( )
100
160
140
.
c) Im Lager sind Rohstoffmengen vorhanden, die bei der Produktion restlos verbraucht
werden sollen. Die Nachfrage nach dem Endprodukt E
3
ist doppelt so hoch wie die Nach-
frage nach dem Endprodukt E
1
.
Für die Produktion kann die folgende Matrizengleichung aufgestellt werden:
( )
570
430
=
( )
8
15
25
18
12
5
·
( )
n
1
n
2
2 ∙ n
1
– Erklären Sie die Aussage der einzelnen Matrizen in dieser Gleichung.
– Berechnen Sie die Mengen der Endprodukte, die mit den vorhandenen Rohstoffen her-
gestellt werden können.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Zweistufige Produktion 2

Elektronische Geräte
Aufgabennummer: B_367
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Für die Herstellung eines bestimmten elektronischen Geräts benötigt man die Bau steine B
1
, B
2
und B
3
. Daraus werden eine Platine Z als Zwischenprodukt und 2 Geräte E
1
und E
2
als Endpro-
dukte hergestellt. Zusätzlich erfüllt das Unternehmen die direkte Nachfrage nach Bausteinen B
2
und B
3
sowie dem Zwischenprodukt Z .
Die Matrix A beschreibt die Produktionsverflechtung zwischen den Bausteinen, dem Zwischen-
produkt und den Endprodukten. Der Produktionsvektor x
→
beschreibt die benötigten Mengen
an Bausteinen, Zwischenprodukten und Endprodukten. (Alle Angaben in Stück.)
A =
B
1
B
2
B
3
Z E
1
E
2
B
1
0 0 0 20 0 0
B
2
0 0 0 30 10 0
B
3
0 0 0 10 0 15
Z 0 0 0 0 3 2
E
1
0 0 0 0 0 0
E
2
0 0 0 0 0 0
; x
→
=
32 000
51 000
23 000
1 600
200
300
a) – Erklären Sie, was die Zahlen in der 2. Zeile der Matrix A im gegebenen Sachzusammen-
hang bedeuten.
– Veranschaulichen Sie die in Matrix A beschriebene Produktionsverflechtung durch einen
Gozinto-Graphen.
b) – Berechnen Sie, welche Mengen an Bausteinen, Zwischenprodukten und Endprodukten
direkt nachgefragt werden.
Die direkte Nachfrage nach B
2
und jene nach Z ändern sich: Der Absatz von B
2
wird hal-
biert, jener von Z vervierfacht, die Matrix A bleibt gleich.
– Berechnen Sie den neuen Produktionsvektor x
→
2
.
– Beschreiben Sie die Veränderung der Produktionsmengen, die sich durch die geänderte
Nachfrage ergibt.
c) B
1
kostet 0,90 €/Stück, B
2
0,70 €/Stück und B
3
0,80 €/Stück.
– Erstellen Sie den Vektor r
→
, der den Bedarf an den Bausteinen B
1
, B
2
und B
3
für die Her-
stellung einer Platine Z beschreibt.
– Berechnen Sie die gesamten Kosten für die Bausteine, die bei der Herstellung einer
Platine anfallen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maß-
einheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Taxi*
Aufgabennummer: B_386
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Taxiunternehmen möchte seinen PKW-Park um einen Kleinbus erweitern.
a) Der Anschaffungswert des Kleinbusses beträgt € 90.000. In den ersten 3 Jahren erhält
das Taxiunternehmen jährlich eine Förderung von 10 % des Anschaffungswerts. Diese
Förderung muss nicht zurückgezahlt werden.
Das Taxiunternehmen rechnet mit folgenden Ausgaben und Einnahmen (die Förderung ist
bei den Angaben in der Tabelle nicht berücksichtigt):
Jahr Ausgaben Einnahmen
1 € 2.000 € 30.000
2 € 5.000 € 32.000
3 € 7.000 € 33.000
Das Taxiunternehmen rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.
– Berechnen Sie den Kapitalwert der Investition unter Berücksichtigung der Förderung.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Abbildung ist der Kapitalwert einer Investition in Abhängigkeit vom
kalkulatorischen Zinssatz dargestellt.
0 2 4 6 8 10 12
0
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
16 000
18 000
Kapitalwert in €
kalkulatorischer
Zinssatz in %
– Lesen Sie aus der obigen Abbildung den internen Zinssatz ab.
– Beschreiben Sie in Worten, wie sich der interne Zinssatz ändert, wenn der Anschaf-
fungswert der Investition sinkt.
Taxi 2

Ansparpläne*
Aufgabennummer: B_382
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Für die Finanzierung größerer Anschaffungen ist es oft nötig, einen Geldbetrag anzusparen.
Im Folgenden wird die Kapitalertragsteuer nicht berücksichtigt.
a) Andrea möchte einen Geldbetrag E ansparen.
Dazu legt sie einen Geldbetrag B , der mit dem jährlichen Zinssatz i verzinst wird, für
n Jahre auf einem Sparkonto an.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von E , wenn B , n und i bekannt sind.
E =
– Formen Sie diese Formel nach dem Zinssatz i um.
b) Bernhard möchte auf einem Konto in 4 Jahren € 4.000 angespart haben. Dazu will er
sofort € 1.000 auf das Konto legen, nach 1 Jahr € 1.500 und nach 3 Jahren den nötigen
Restbetrag R . Der Zinssatz beträgt 3 % p. a.
– Veranschaulichen Sie diesen Zahlungsstrom auf einer Zeitachse.
– Erklären Sie in Worten (ohne Rechnung), warum der Restbetrag R kleiner als € 1.500
sein muss.
– Berechnen Sie den Restbetrag R .
c) Cornelia führt für ihren Ansparplan folgende Rechnung durch:
5 000 · 1,035
5
+ 1 000 · 1,035
2
≈ 7 009,66
– Beschreiben Sie diesen Ansparplan hinsichtlich der Zahlungen, des Zinssatzes, der
Verzinsungsdauer und des angesparten Geldbetrags in Worten.
d) Daniel möchte in 2 Jahren insgesamt € 10.000 angespart haben. Seine Ersparnisse be-
tragen derzeit € 4.000. Den Restbetrag will er ansparen, indem er jeweils am Ende jedes
Monats einen gleichbleibenden Betrag anspart.
– Ermitteln Sie die Höhe dieses gleichbleibenden Betrags, wenn die Beträge nicht verzinst
werden.
– Ermitteln Sie die Höhe dieses gleichbleibenden Betrags, wenn alle Beträge zu einem
Zinssatz von 0,25 % p. m. veranlagt werden.
* ehemalige Klausuraufgabe

Konten*
Aufgabennummer: B_387
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Von den Kunden einer Bankfiliale besitzen 80 % ein Gehaltskonto und 40 % ein Sparkonto.
25 % der Kunden der Bankfiliale besitzen sowohl ein Gehalts- als auch ein Spar konto.
G bezeichnet das Ereignis, dass ein Kunde ein Gehalts konto besitzt.
S bezeichnet das Ereignis, dass ein Kunde ein Spar konto besitzt.
a) – Übertragen Sie die Werte der Angabe in die entsprechenden Felder der unten stehen-
den Vierfeldertafel.
– Ermitteln Sie die Werte in den restlichen Feldern und tragen Sie diese ein.
besitzt Gehaltskonto besitzt kein Gehaltskonto Summe
besitzt Sparkonto
besitzt kein Sparkonto
Summe
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 zufällig ausgewählten Kunden min-
destens 2 Kunden weder ein Gehalts- noch ein Sparkonto besitzen.
b) – Überprüfen Sie nachweislich, ob die Ereignisse G und S voneinander unabhängig sind.
* ehemalige Klausuraufgabe

Kreativ-Workshop*
Aufgabennummer: B_383
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) In den kommenden Sommerferien möchte der Kulturverband einer Großstadt eine Kombi-
nation aus Ausstellungsbesuch, Malkurs und Mittagessen für Kinder anbieten.
Laut einer Umfrage würde dieses Angebot bei einem Preis von € 23 pro Kind für
1 050 Kinder gebucht werden. Bei einem Preis von € 27 pro Kind würde dieses Angebot
für 990 Kinder gebucht werden.
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung der zugehörigen linearen Preisfunktion der Nachfra-
ge auf.
b) Die Preisfunktion der Nachfrage p für einen 2-tägigen Kreativ-Workshop ist erhoben wor-
den:
p ( x ) = –0,5 · x + 220
x ... Anzahl der teilnehmenden Personen
p ( x ) ... Preis bei x Personen in € pro Person
– Berechnen Sie denjenigen Preis pro Person, bei dem 200 Personen zu erwarten sind.
– Geben Sie den Höchstpreis an.
– Berechnen Sie die Sättigungsmenge.
c) Bei einem Kreativ-Workshop fallen für den Veranstalter Kosten an, die sich näherungswei-
se durch die folgende Kostenfunktion K beschreiben lassen:
K ( x ) = 0,01 · x ² + 35 · x + 4 800
x ... Anzahl der teilnehmenden Personen
K ( x ) ... Gesamtkosten bei x Personen in €
Der Preis für den Kreativ-Workshop beträgt € 129 pro Person.
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung der zugehörigen Gewinnfunktion G auf.
– Berechnen Sie, bei welcher Anzahl an teilnehmenden Personen für diesen Workshop
der Break-even-Point erreicht wird.
* ehemalige Klausuraufgabe
d) Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen einer quadratischen Erlösfunktion E und
einer linearen Kostenfunktion K .
240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 260
7 000
6 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
0
–1 000
–2 000
–3 000
8 000
K ( x ), E ( x ), G ( x )
K
E
x
– Erklären Sie mathematisch, warum die zugehörige Gewinnfunktion eine quadratische
Funktion sein muss.
– Zeichnen Sie den Graphen der zugehörigen Gewinnfunktion G im Intervall von 0 bis zur
oberen Gewinngrenze in der obigen Abbildung ein.
– Beschreiben Sie, wie sich die beiden Gewinngrenzen verändern, wenn die Fixkosten
steigen.
Kreativ-Workshop 2