Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3701–3750

Modernisierung
Aufgabennummer: B_324
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Unternehmer möchte seinen Betrieb modernisieren.
a) Er überlegt die Anschaffung einer neuen Maschine. Dabei stehen 2 Modelle – Maschine A
und Maschine B – zur Auswahl. In der nachstehenden Grafik ist der Kapitalwert dieser
Investitionen in Abhängigkeit vom kalkulatorischen Zinssatz dargestellt.
Kapitalwert in Euro
kalkulatorischer Zinssatz in %
Maschine B
Maschine A
17 000
15 000
13 000
11 000
9 000
7 000
5 000
3 000
1 000
–1 000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
– Kreuzen Sie diejenige Aussage an, die mithilfe der Informationen in der Grafik getroffen
werden kann. [1 aus 5]
Beide Maschinen haben dieselbe Nutzungsdauer.
Die Anschaffungskosten von Maschine A sind höher als
jene von Maschine B .
Der zu erwartende Liquidationserlös von Maschine B ist
höher als jener von Maschine A .
Der interne Zinssatz von Maschine A ist höher als jener von
Maschine B .
Die zu erwartenden Rückflüsse von Maschine A sind stets
höher als jene von Maschine B .
– Lesen Sie aus der obigen Grafik denjenigen kalkulatorischen Zinssatz ab, für den beide
Maschinen einen gleich hohen Kapitalwert haben.
b) Der Unternehmer hat in den letzten 5 Jahren Rücklagen gebildet. Er hat dazu über den
gesamten Zeitraum halbjährlich nachschüssig Raten der Höhe R auf ein Sparbuch gelegt.
Es hat aber auch andere Ein- bzw. Auszahlungen am Sparbuch gegeben. Die nach-
stehende Berechnung zeigt, wie der momentan am Sparbuch zur Verfügung stehende
Betrag bei jährlicher Verzinsung gebildet wurde.
208 732,46 = Endwert der Rente + 40 000 ∙ 1,025
3
– 20 000 ∙ 1,025
2
+ 28 000
– Stellen Sie den beschriebenen Zahlungsstrom auf einer geeigneten Zeitachse grafisch
dar.
– Lesen Sie aus der obigen Berechnung denjenigen Jahreszinssatz ab, mit dem die Geld-
beträge am Sparbuch verzinst wurden.
– Berechnen Sie den dazu äquivalenten Halbjahreszinssatz.
– Berechnen Sie die Höhe der halbjährlichen Raten.
c) Durch den Einsatz neuer Maschinen steigt die Qualität des hergestellten Produkts. Man
glaubt, dass bei einem Preis von 20 GE/ME monatlich 100 ME abgesetzt werden können.
Der Höchstpreis für das Produkt liegt erfahrungsgemäß bei 60 GE/ME.
– Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Preisfunktion der Nachfrage.
Der Unternehmer plant, den Preis von 20 GE/ME auf 18 GE/ME zu senken.
– Berechnen Sie, um welchen Betrag sich der Erlös durch die Preissenkung verändert.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Modernisierung 2

Gerätekauf
Aufgabennummer: B_211
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Familie Kurz benötigt für ihre neue Wohnung Küchengeräte.
a) In den Preisverhandlungen mit einem Händler werden die nachstehend angeführten
Teilzahlungsvarianten diskutiert. Bei allen Teilzahlungsvarianten wird mit dem gleichen
konstanten Zinssatz gerechnet.
Die Familie möchte sich für die Teilzahlungsvariante mit dem niedrigsten Barwert ent
scheiden.
– Kreuzen Sie diese Teilzahlungsvariante an. [1 aus 5]
eine Anzahlung Z und 60 nachschüssige Monatsraten R
eine Anzahlung Z und 60 vorschüssige Monatsraten R
60 nachschüssige Monatsraten R +
Z
60
60 nachschüssige Monatsraten R und gleichzeitig mit der letzten
Monatsrate eine Restzahlung Z
eine Anzahlung
Z
2
, 60 vorschüssige Monatsraten R und eine Rest
zahlung
Z
2
am Ende der Laufzeit
b) Die Geräte können durch einen Bankkredit finanziert werden. Familie Kurz erhält folgendes
Angebot:
Kreditbetrag: € 10.000
Bearbeitungsgebühr: 2 % des Kreditbetrags (bei Kreditabschluss fällig)
60 nachschüssige Monatsraten zu je € 185
– Berechnen Sie den zugrunde liegenden jährlichen Effektivzinssatz dieses Angebots.
c) Familie Kurz vereinbart mit ihrer Bank einen Kredit in Höhe von € 10.000. Dieser ist durch
nachschüssige Monatsraten innerhalb von 5 Jahren zu begleichen. Die Bank bietet einen
Zinssatz von 0,25 % p. m. an.
Nach Zahlung von 12 Raten werden ein halbes Jahr keine Rückzahlungen geleistet.
Anschließend werden die vereinbarten Raten weiterbezahlt. Die versäumten Zahlungen
werden durch eine Sonderzahlung 3 Jahre nach Kreditaufnahme abgegolten.
– Stellen Sie den Verlauf der Kreditrückzahlung auf einer Zeitachse dar.
– Berechnen Sie die Höhe der vereinbarten Raten.
– Berechnen Sie, wie hoch die Sonderzahlung sein muss, um die versäumten Zahlungen
nachzuholen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Gerätekauf 2

Jungunternehmerin*
Aufgabennummer: B_207
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 8 (Teil B)
Jungunternehmerin
Eine Jungunternehmerin übernimmt einen Betrieb. Daher informiert sie sich über die Preis-
und Kostensituation der Produkte.
a) Die Preisfunktionen für das Angebot p
A
und für die Nachfrage p
N
eines Produktes sind gegeben:
p
A
( x ) =
x
2
10
+ 1
p
N
( x ) = –3 x + 8
x ... angebotene bzw. nachgefragte Menge in Mengeneinheiten (ME)
p
A
( x ) ... Angebotspreis bei x ME in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME)
p
N
( x ) ... Nachfragepreis bei x ME in GE/ME
– Zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen im Intervall [0; 5] in ein gemeinsames Koordi-
natensystem.
– Markieren Sie in der Grafik die Menge, bei der der Markt gesättigt ist.
– Interpretieren Sie die Bedeutung des y -Achsenabschnitts der Preisfunktion des Angebots im
Sachzusammenhang.
– Bestimmen Sie den Marktgleichgewichtspreis.
b) In der nachstehenden Grafik sind Funktionsgraphen der Kostenfunktion K und der Erlös-
funktion E eines Produktes dargestellt:
– Lesen Sie aus der Grafik den Gewinnbereich ab.
– Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion in die vorgegebene Grafik ein.
* ehemalige Klausuraufgabe
13
p
A
( x ) ... Angebotspreis bei x ME in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME)
p
N
( x ) ... Nachfragepreis bei x ME in GE/ME
– Zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen im Intervall [0; 5] in ein gemeinsames Koordi-
natensystem.
– Markieren Sie in der Grafik die Menge, bei der der Markt gesättigt ist.
– Interpretieren Sie die Bedeutung des y -Achsenabschnitts der Preisfunktion des Angebots im
Sachzusammenhang.
– Bestimmen Sie den Marktgleichgewichtspreis.
b) In der nachstehenden Grafik sind Funktionsgraphen der Kostenfunktion K und der Erlös-
funktion E eines Produktes dargestellt:
– Lesen Sie aus der Grafik den Gewinnbereich ab.
– Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion in die vorgegebene Grafik ein.
c) Die Grenzkostenfunktion eines weiteren Produktes ist gegeben: K ′ ( x ) = 6 x ² – 38 x + 64.
Die Kosten für die Produktion von 2 ME betragen 72 GE.
– Stellen Sie die Funktionsgleichung der Gesamtkostenfunktion K auf.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Jungunternehmerin 2

Kredit für einen Wohnungskauf*
Aufgabennummer: B_223
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Frau Simon möchte eine Wohnung kaufen. Sie benötigt dazu einen Kredit und holt deswegen
bei Banken verschiedene Angebote ein.
a) Bank A bietet Frau Simon einen Kredit zu einem Zinssatz von 3 % p. a. an. Die monat
lichen Raten sind nach Auszahlung der Kreditsumme von € 120.000 jeweils am Ende
jedes Monats fällig. Die Kreditlaufzeit beträgt 20 Jahre. (Spesen und Gebühren werden
nicht berücksichtigt.)
– Ermitteln Sie den zu 3 % p. a. äquivalenten Monatszinssatz.
– Berechnen Sie die Höhe der Monatsraten.
b) Bank B bietet Frau Simon einen Kredit über € 120.000 an, der in 15 Jahren durch nach
schüssige Quartalsraten in Höhe von je € 2.650 zu tilgen ist. Eine Bearbeitungsgebühr
von 2 % der Kreditsumme wird bei Auszahlung des Kredits von der Kreditsumme abge
zogen. (Weitere Spesen und Gebühren sind in den Raten berücksichtigt.)
– Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz dieses Kredits.
c) Bank C bietet Frau Simon einen Kredit über € 120.000 an, den sie durch nachschüssige
Quartalsraten mit dem Zinssatz 1 % p. q. zurückzahlen soll. Die Bank legt ihr den folgen
den Tilgungsplan vor:
Quartal Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 € 120.000,00
1 € 1.200,00 € 986,26 € 2.186,26 € 119.013,74
– Dokumentieren Sie, wie der Zinssatz 1 % p. q. aus dem Tilgungsplan ermittelt werden
kann.
– Berechnen Sie die Laufzeit des Kredits.
– Erklären Sie den Zusammenhang zwischen Zinsanteil, Tilgungsanteil und Annuität.
* ehemalige Klausuraufgabe
Kredit für einen Wohnungskauf 2
d) Die jährliche Annuität A eines Kredits kann mittels verschiedener Formeln berechnet werden.
Eine Formel lautet:
A = K
0
∙
i ∙ q
n
q
n
– 1
Eine andere Formel lautet:
A = K
0
∙
i
1 – q
– n
K
0
... Kreditsumme
i ... Jahreszinssatz
n ... Laufzeit in Jahren
– Geben Sie an, was q in diesem Sachzusammenhang bedeutet.
– Zeigen Sie, dass diese beiden Formeln gleichwertig sind.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Papierproduzent*
Aufgabennummer: B_281
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 8
Papierproduzent
Ein Papierproduzent stellt als Monopolist hochwertiges Urkundenpapier her. Die Kosten-
funktion K für die Herstellung und die Erlösfunktion E für den Absatz dieses Produkts sind in
a) – Stellen Sie die Funktionsgleichung dieser Kostenfunktion K auf.
– Argumentieren Sie, welches Vorzeichen der Koeffizient a dieser Erlösfunktion E mit
E ( x ) = a · x
2
+ b · x haben muss.
b) Der Zusammenhang zwischen dem Preis und der nachgefragten Menge lässt sich durch fol-
gende Preisfunktion der Nachfrage p
N
beschreiben:
p
N
( x ) = –0,1 · x + 6
x ... Anzahl der nachgefragten Mengeneinheiten (ME)
p
N
( x ) ... Preis in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME) bei der Nachfrage von x ME
Der Papierproduzent überlegt, den Preis von 5 GE/ME auf 4 GE/ME zu senken. Die Kosten-
rechnungsabteilung behauptet: „Die Bogenelastizität der Nachfrage für diese Preissenkung
beträgt –5.“
– Überprüfen Sie rechnerisch die Richtigkeit dieser Behauptung.
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die Punktelastizität der Nachfrage auf.
c) Das Verhalten der Erlösfunktion soll für die nachgefragte Menge 40 ME untersucht werden.
– Zeichnen Sie in der obigen Grafik die Tangente an den Graphen der Erlösfunktion E an der
Stelle x = 40 ein.
– Lesen Sie die Steigung dieser Tangente ab.
– Interpretieren Sie die Steigung dieser Tangente im Sachzusammenhang.
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Aufgabe 8
Papierproduzent
Ein Papierproduzent stellt als Monopolist hochwertiges Urkundenpapier her. Die Kosten-
funktion K für die Herstellung und die Erlösfunktion E für den Absatz dieses Produkts sind in
a) – Stellen Sie die Funktionsgleichung dieser Kostenfunktion K auf.
– Argumentieren Sie, welches Vorzeichen der Koeffizient a dieser Erlösfunktion E mit
E ( x ) = a · x
2
+ b · x haben muss.
b) Der Zusammenhang zwischen dem Preis und der nachgefragten Menge lässt sich durch fol-
gende Preisfunktion der Nachfrage p
N
beschreiben:
p
N
( x ) = –0,1 · x + 6
x ... Anzahl der nachgefragten Mengeneinheiten (ME)
p
N
( x ) ... Preis in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME) bei der Nachfrage von x ME
Der Papierproduzent überlegt, den Preis von 5 GE/ME auf 4 GE/ME zu senken. Die Kosten-
rechnungsabteilung behauptet: „Die Bogenelastizität der Nachfrage für diese Preissenkung
beträgt –5.“
– Überprüfen Sie rechnerisch die Richtigkeit dieser Behauptung.
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die Punktelastizität der Nachfrage auf.
c) Das Verhalten der Erlösfunktion soll für die nachgefragte Menge 40 ME untersucht werden.
– Zeichnen Sie in der obigen Grafik die Tangente an den Graphen der Erlösfunktion E an der
Stelle x = 40 ein.
– Lesen Sie die Steigung dieser Tangente ab.
– Interpretieren Sie die Steigung dieser Tangente im Sachzusammenhang.
öffentliches Dokument
d) Für die Stelle des Gewinnmaximums gilt, dass die Grenzkosten gleich dem Grenzerlös sind.
– Begründen Sie diese Aussage.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)
b)
c)

Grenzkosten*
Aufgabennummer: B_316
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Betrieb erhebt die Grenzkosten für unterschiedliche Produkte.
a) Für eine quadratische Grenzkostenfunktion K ′ mit K ′ ( x ) = a · x
2
+ b · x + c ergeben sich
folgende Zusammenhänge:
Anzahl der produzierten Mengeneinheiten (ME) 20 50 60
Grenzkosten in Geldeinheiten/Mengeneinheit (GE/ME) 1 060 7 120 10 340
– Interpretieren Sie den Grenzkostenwert 1 060 im gegebenen Sachzusammenhang.
− Stellen Sie die Funktionsgleichung dieser Grenzkostenfunktion auf.
b) Für die Grenzkostenfunktion K ′ eines anderen Produkts gilt:
K ′ ( x ) = 0,3 ∙ x
2
– 4 ∙ x + 15
x … Anzahl der produzierten ME
K ′ ( x ) … Grenzkosten bei x ME in GE/ME
– Berechnen Sie die Kostenkehre.
Bei einer Produktionsmenge von 35 ME betragen die Gesamtkosten 2 372,50 GE.
− Berechnen Sie die zugehörige Kostenfunktion K .
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Ein Produkt wird zu einem konstanten Preis von 10 GE/ME abgesetzt. Die Fixkosten be
tragen 5 GE. Die obere Gewinngrenze beträgt 4 ME.
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der quadratischen Grenzkostenfunktion
K ′ dieses Produkts.
K ′ ( x ) in GE/ME
x in ME
3 2 1 0 4
25
20
15
10
5
0
K ′
– Zeichnen Sie den Funktionsgraphen der zugehörigen Erlösfunktion E im Intervall [0; 4] in
der unten stehenden Abbildung ein.
− Zeichnen Sie den Funktionsgraphen der zugehörigen Kostenfunktion K im Intervall
[0; 4] in der unten stehenden Abbildung ein.
K ( x ), E ( x ) in GE
x in ME
3 2 1 0 4
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
50
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Grenzkosten 2

Kosten*
Aufgabennummer: B_319
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Kostenfunktionen geben den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und den
dazugehörigen Gesamtproduktionskosten an.
a) Von einer kubischen Kostenfunktion K mit K ( x ) = ax ³ + bx ² + cx + d kennt man folgende
Eigenschaften:
(1) Die Fixkosten betragen 4 GE.
(2) Bei einer Produktionsmenge von 10 ME betragen die Gesamtkosten 2 124 GE.
(3) Das Betriebsoptimum liegt bei 2 ME.
(4) Die langfristige Preisuntergrenze beträgt 14 GE/ME.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Ermittlung dieser Kostenfunktion auf.
b) Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer anderen Kostenfunktion und die
Tangente an diesen Graphen durch den Koordinatenursprung.
T
K
K ( x ) in GE
x in ME
4 2 0 6
80
70
60
50
40
30
20
10
90
– Interpretieren Sie die Bedeutung der x -Koordinate des Berührpunktes T und der Stei-
gung dieser Tangente im Sachzusammenhang.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Gegeben ist die Kostenfunktion K mit K ( x ) = 0,1 x ³ – 0,6 x ² + 5 x + 10 für eine produzierte
Menge von 0 ≤ x ≤ 6 ME.
– Berechnen Sie die Kostenkehre.
– Geben Sie diejenigen Bereiche an, in denen der Kostenverlauf degressiv bzw. progressiv
ist.
d) – Begründen Sie, warum der Funktionsgraph in der nachstehenden Abbildung keine
Grenzkostenfunktion einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion beschreiben kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Kosten 2

Produktionserweiterung*
Aufgabennummer: B_337
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Industriebetrieb erwägt die Erweiterung seiner Produktpalette.
a) Die Produktion des neuen Produktes erfordert Umbauarbeiten. Wegen einer neuen Zu
fahrtsstraße wird von der unten dargestellten Fläche ein dreieckiger Abschnitt abgetrennt.
a
b
α
Die Größen a , b und α α sind bekannt.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Inhalts A dieser dreieckigen Fläche aus
den gegebenen Größen.
A =
b) Für eine neue Produktionshalle wird ein Kredit benötigt. Die ersten 5 Jahre garantiert die
Bank einen fixen Jahreszinssatz i , für die restliche Laufzeit wird ein Jahreszinssatz i ′ ange
nommen.
Die nachstehende Tabelle zeigt einen Auszug aus dem Tilgungsplan der Annuitäten
schuld.
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
5 € 2.121,44 € 7.878,56 € 10.000,00
6 € 2.513,44 € 7.486,56 € 10.000,00
…
12 € 527,12 € 9.472,88 € 10.000,00 € 3.705,01
13
– Beschreiben Sie, wie man aus dem Tilgungsplan ablesen kann, dass der Zinssatz i ′
größer als i ist.
– Berechnen Sie die Zeile für das Jahr 13 des Tilgungsplans, wenn man davon ausgeht,
dass die Schuld am Ende dieses Jahres vollständig getilgt wird.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)
c) Für den Verkauf des neuen Produktes ist der Graph der Preisfunktion des Angebots p
A
in
der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Man hofft, das Produkt zu einem Marktgleichgewichtspreis von 30 GE/ME verkaufen zu
können.
Es wird angenommen, dass die Preisfunktion der Nachfrage p
N
linear ist und nicht mehr
als 5 ME abgesetzt werden können.
5 4 3 2 1 0 6
x in ME
80
70
60
50
40
30
20
10
0
90 p
A
( x ) in GE/ME
p
A
– Zeichnen Sie den Graphen der Preisfunktion der Nachfrage p
N
für dieses Produkt in die
gegebene Abbildung ein.
– Stellen Sie die Funktionsgleichung von p
N
auf.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Produktionserweiterung 2

Leihwagen*
Aufgabennummer: B_318
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Leihwagen-Unternehmen hat in seinem Fuhrpark 2 Modelle. Modell 1 ist mit einer Wahr -
scheinlich keit von 0,62 verliehen, Modell 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4. Die Wahr -
scheinlichkeit, dass beide Modelle gleichzeitig verliehen sind, beträgt 0,35.
A bezeichnet das Ereignis, dass Modell 1 verliehen ist, und B bezeichnet das Ereignis, dass
Modell 2 ver liehen ist.
a) – Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Modell nicht verliehen ist.
b) – Übertragen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Angabe in die entsprechenden Felder der
unten stehenden Vierfeldertafel.
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten in den restlichen Feldern und tragen Sie diese ein.
A nicht A Summe
B
nicht B
Summe
– Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer der beiden Leihwagen ver -
liehen ist.
c) – Zeigen Sie, dass die beiden Ereignisse A und B nicht unabhängig voneinander sind.
– Beschreiben Sie in Worten, welches Ereignis durch die Wahrscheinlichkeit
P ( A ∩ B )
P ( B )
=
0,35
0,4
= 0,875
bestimmt wird.
* ehemalige Klausuraufgabe
d) Der Treibstoffverbrauch von Modell 1 ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungs-
wert μ = 6,9 Liter pro 100 km. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt dieser Treib-
stoffverbrauch im Intervall [5,6; 8,2].
– Ermitteln Sie die Standardabweichung dieser Normalverteilung.
– Zeichnen Sie den Graphen der Dichtefunktion dieser Normalverteilung in die unten
stehende Abbildung ein. Berücksichtigen Sie dabei den Erwartungswert und die Stan-
dardabweichung.
Treibstoffverbrauch in Litern pro 100 km
10,5 10 9,5 9 8,5 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 11
– Beschreiben Sie, wie sich eine kleinere Standardabweichung auf den Graphen der
Dichtefunktion auswirken würde.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Leihwagen 2

Sportartikel*
Aufgabennummer: B_348
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Für einen Sportartikel lassen sich die Produktionskosten mithilfe der linearen Funktion K
beschreiben:
K ( x ) = 25 · x + 300
x ... Anzahl der produzierten Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) ... Kosten für x ME in Geldeinheiten (GE)
Die Kapazitätsgrenze liegt dabei bei 50 ME.
Das Produkt kann zu einem Preis von 40 GE/ME verkauft werden.
– Erklären Sie, warum der maximale Gewinn hier nicht mithilfe der Differenzialrechnung
ermittelt werden kann.
– Berechnen Sie den maximalen Gewinn.
b) Die Fixkosten für die Erzeugung eines bestimmten Sportartikels betragen 2 900 GE. Die
Kostenkehre liegt bei 5 ME. Die Gesamtkosten bei einer Produktionsmenge von 5 ME
betragen 3 100 GE. Bei einer Produktionsmenge von 9 ME betragen die Gesamtkosten
3 252,80 GE.
Der Kostenverlauf soll mithilfe einer Kostenfunktion K mit K ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d
beschrieben werden.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten dieser Kosten-
funktion.
– Berechnen Sie die Koeffizienten dieser Kostenfunktion.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Für die Grenzkostenfunktion K ′ eines anderen Sportartikels gilt:
K ′ ( x ) = 0,15 · x
2
– 0,6 · x + 5
Die Fixkosten betragen 30 GE.
– Ermitteln Sie die zugehörige Kostenfunktion K .
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Stückkostenfunktion
K dargestellt.
K
—
K
—
( x ) in GE/ME
x in ME
0 10 20 30 40 50
0
10
20
30
40
50
60
– Lesen Sie das Betriebsoptimum ab.
Sportartikel 2
d) Die Graphen einer Kostenfunktion K , einer Erlösfunktion E und der zugehörigen Gewinn -
funktion G sind im nachstehenden Diagramm dargestellt.
x in ME
K ( x ), E ( x ), G ( x ) in GE
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
50
100
150
200
– Beschriften Sie im obigen Diagramm diese 3 dargestellten Graphen.
– Stellen Sie die Gleichung der Erlösfunktion E mithilfe des Diagramms auf.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Sportartikel 3

Renovierungskredit*
Aufgabennummer: B_349
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Frau Eberharter muss für die Renovierung ihrer Wohnung einen Kredit in Höhe von € 30.000
auf nehmen. Dazu holt sie verschiedene Angebote von Privatpersonen und von Banken ein.
(Spesen und Gebühren werden nicht berücksichtigt.)
a) Eine Bekannte bietet Frau Eberharter privat einen Kredit in Höhe von € 30.000 zu einem
Zinssatz von 2 % p. a. an.
Frau Eberharter soll diesen Kredit folgendermaßen zurückzahlen:
€ 8.000 nach einem Jahr und 2 gleich hohe Raten, eine davon nach 3 Jahren und die
andere nach 4 Jahren.
– Stellen Sie diese Zahlungen auf einer Zeitachse dar.
– Berechnen Sie die Ratenhöhe.
– Erklären Sie, warum sich diese Ratenhöhe verringert, wenn beide Raten früher bezahlt
werden.
b) Frau Eberharter recherchiert im Internet Angebote von Banken für Kredite in Höhe von
€ 30.000 mit einer Laufzeit von 60 Monaten.
Eine Bank bietet einen Kredit mit einer monatlichen Rate in Höhe von € 559,11 bei einem
Zinssatz von 4,58 % p. a.
– Ermitteln Sie den zugehörigen äquivalenten Monatszinssatz.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob es sich um eine vorschüssige oder eine nachschüssige
Ratenzahlung handelt.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Eine Bank bietet Frau Eberharter einen Kredit in Höhe von € 30.000 an, den sie in
10 nachschüssigen Halbjahresraten in Höhe von je € 3.480 zurückzahlen muss.
Für diesen Kredit kann Frau Eberharter einen Annuitätenzuschuss bei der Landesregie-
rung beantragen, d. h., 10 % jeder Halbjahresrate werden vom Land übernommen.
– Berechnen Sie die Höhe der Halbjahresraten, die Frau Eberharter unter Berücksichti-
gung des Annuitätenzuschusses bezahlen muss.
– Ermitteln Sie den effektiven Jahreszinssatz, der sich für Frau Eberharter unter Berück-
sichtigung des Annuitätenzuschusses ergibt.
– Ermitteln Sie die Höhe desjenigen Annuitätenzuschusses in Euro, bei dem sich für Frau
Eberharter ein effektiver Jahreszinssatz von null Prozent ergeben würde.
d) Frau Eberharter vereinbart für einen Kredit mit einer Bank Sonderkonditionen.
Die Bank erstellt dazu einen Tilgungsplan. Ein Auszug dieses Tilgungsplans ist in der
nach stehenden Tabelle dargestellt.
Semester Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 € 30.000,00
1 € 660,00 € –660,00 € 0,00 € 30.660,00
2 € 674,52 € 0,00 € 674,52 € 30.660,00
3 € 674,52 € 5.325,48 € 6.000,00 € 25.334,52
– Interpretieren Sie die Bedeutung der beiden auftretenden Beträge in Höhe von € 0,00 im
gegebenen Sachzusammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Renovierungskredit 2