Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3651–3700

Produzent von landwirtschaftlichen Geräten
Aufgabennummer: B_179
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Hersteller landwirtschaftlicher Geräte entwickelt innovative Produkte.
a) Er lässt sich diese innovativen Produkte sofort patentieren. Aufgrund dieser exklusiven
Produktion kann man von einer Monopolstellung ausgehen.
Für einen bestimmten Teil eines Miststreuers lässt sich die verkaufbare Stückzahl durch
folgende Nachfragefunktion x ermitteln:
x ( p ) = a ∙ p
2
+ b ∙ p + c
p … Preis eines Teils in Euro pro Stück
x ( p ) … nachgefragte Stückzahl bei einem Preis p
Er hat ermittelt, dass bei einem Preis von € 200 pro Stück 47 980 Stück verkauft werden
können.
Zudem geht man modellhaft davon aus, dass bei einem Preis von € 0 pro Stück 50 000
Stück nachgefragt werden.
Ab einem Preis von € 1.000 pro Stück gibt es keine Nachfrage mehr.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem man die Koeffizienten a , b und c berech-
nen kann.
– Berechnen Sie die Koeffizienten a , b und c .
b) Für den Bau einer Produktionshalle muss das Unternehmen einen Kredit in Höhe von
€ 200.000 aufnehmen. Die folgende Grafik stellt das Angebot einer Rückzahlungsvariante
dar:
€ 25.000 € 25.000 R R R R R
€ 200.000
Zeit in Jahren
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 20
15-mal
0
– Beschreiben Sie den dargestellten Zahlungsverlauf.
– Dokumentieren Sie, wie man die Höhe der Rate R bei einem gegebenen Jahreszins-
satz i berechnen kann.
– Berechnen Sie die Höhe der Rate R bei einem Zinssatz von 4 % p. a.
c) Bei der Überprüfung von bestimmten kleinen Teilen hat man bei einer Qualitätskontrolle
festgestellt, dass durchschnittlich jedes 5. Stück einen Lackierungsfehler aufweist.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Schachtel von 20 Stück mindestens
3 Teile mit Lackierungsfehler zu finden sind.
– Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Anzahl von Teilen mit Lackierungsfehler
für eine Schachtel, in der 5 Stück verpackt sind, grafisch dar.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Produzent von landwirtschaftlichen Geräten 2

Rohstoffbedarf
Aufgabennummer: B_162
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In einem Unternehmen können die Verflechtungen zwischen den Rohstoffen R
1
und R
2
, den
Zwischenprodukten Z
1
, Z
2
und Z
3
und den beiden Endprodukten E
1
und E
2
in einem zwei-
stufigen Produktionsverfahren durch den nachstehenden Gozinto-Graphen und mit den beiden
nachstehenden Tabellen dargestellt werden. Die Tabellen geben an, wie viele ME von den je-
weiligen Rohstoffen bzw. Zwischenprodukten benötigt werden, um jeweils 1 ME der Zwischen-
produkte bzw. Endprodukte herzustellen.
Z
1
Z
2
Z
3
E
1
E
2
R
1
10 5 0 Z
1
30 35
R
2
15 0 25 Z
2
25 20
Z
3
0 10
Z
1
R
1
R
2
Z
3
Z
2
E
1
E
2
Von E
1
werden 200 ME und von E
2
350 ME nachgefragt.
a) – Übertragen Sie die in den Tabellen angegebenen Mengen in den Gozinto-Graphen.
b) – Erstellen Sie eine Matrix, die den Mengenbedarf an Rohstoffen für die Herstellung der
beiden Endprodukte beschreibt.
– Interpretieren Sie die Zahlen in der ersten Spalte dieser Matrix im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
c) Es sollen 200 ME von E
1
und 350 ME von E
2
verkauft werden. Die nachgefragten Mengen
von E
1
werden zu einem Preis von 4 €/ME und jene von E
2
zu 3,50 €/ME verkauft.
– Ermitteln Sie den Gesamterlös.
d) – Berechnen Sie das Produkt der beiden Matrizen
( )
30
25
0
35
20
10
∙
( )
200
350
.
– Geben Sie an, welchen Typ von Matrix das Ergebnis darstellt.
– Interpretieren Sie, welche Aussagen über die oben beschriebene Produktion aus der
berechneten Matrix abgelesen werden können.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Straßenverkehr in Tirol (1)*
Aufgabennummer: B_209
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 7 (Teil B)
Straßenverkehr in Tirol
Das Verkehrsaufkommen wird seit vielen Jahren statistisch erfasst.
a) Die nachstehende Grafik zeigt die Entwicklung des KFZ-Verkehrs von 1985 bis 2012 in Tirol.
200
180
160
140
120
100
1985 1990 1995 2000 2005 2010 2012
129,3
149,4
170,2
186,8
194,5
195,4
KFZ-Verkehr in %
Jahr
– Interpretieren Sie die Bedeutung der in der Grafik markierten Zahl 129,3 in diesem Sachzu-
sammenhang.
– Interpretieren Sie die Bedeutung des folgenden Rechenausdrucks in diesem Sachzusam-
menhang:
√
170,2
129,3
– Erstellen Sie basierend auf den Daten der Grafik eine quadratische Regressionsfunktion.
Wählen Sie dabei für das Jahr 1985 den Zeitpunkt t = 0.
– Ermitteln Sie mithilfe dieser Regressionsfunktion eine Prognose für den KFZ-Verkehr im Jahr
2013.
b) Die Anzahl der durchschnittlichen täglichen KFZ-Fahrten auf der Brennerautobahn kann für
den Zeitraum 2000 bis 2007 durch die lineare Regressionsfunktion f beschrieben werden:
f ( t ) = 617 t + 28 017
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 im Jahr 2000
f ( t ) ... Anzahl der durchschnittlichen täglichen KFZ-Fahrten zur Zeit t
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Koeffizienten 617 in diesem Sachzusammenhang.
10
– 1 ≈ 0,0279
* ehemalige Klausuraufgabe
12
c) Auf einer österreichischen Transitroute wurden im Jahr 2003 insgesamt 1 700 000 Fahrten ge-
zählt. Im Jahr 2011 waren es bereits 2 006 000 Fahrten.
– Stellen Sie diejenige Funktionsgleichung auf, die die Entwicklung der Anzahl der Fahrten auf
dieser Route mit einer Exponentialfunktion der Form y ( t ) = a b
t
beschreibt.
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 im Jahr 2003
y ( t ) ... Zahl der jährlichen Fahrten zur Zeit t
– Erklären Sie den Unterschied zwischen exponentiellem und linearem Wachstum.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Straßenverkehr in Tirol (1) 2

Küchengerät / Herbsttermin 2022 / B_557 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 16 /20
Aufgabe 7 (Teil B)
Küchengerät
Ein neues Küchengerät wird auf den Markt gebracht.
a) Die zeitliche Entwicklung der Verkaufszahlen dieses Küchengeräts soll durch die beschränkte
Wachstums funktion N
1
beschrieben werden.
N
1
( t ) = S ∙ (1 – ℯ
– λ ∙ t
)
t ... Zeit ab Verkaufsbeginn in Wochen
N
1
( t ) ... insgesamt verkaufte Menge bis zur Zeit t in Stück
S ... Sättigungsmenge in Stück
λ ... positiver Parameter
1) Argumentieren Sie mathematisch anhand der Funktionsgleichung, dass gilt: N
1
(0) = 0
[0 / 1 P.]
Die Sättigungsmenge beträgt 5 000 Stück. Eine Woche nach Verkaufsbeginn wurden bereits
350 Stück verkauft.
2) Berechnen Sie λ . [0 / 1 P.]
Vereinfacht kann die zeitliche Entwicklung der Verkaufszahlen dieses Küchengeräts für einen
eingeschränkten Zeitraum auch durch die Funktion N
2
beschrieben werden.
N
2
( t ) = 350 ∙ t
t ... Zeit ab Verkaufsbeginn in Wochen
N
2
( t ) ... insgesamt verkaufte Menge bis zur Zeit t in Stück
Jemand hat die Gleichungen N
1
( t ) = N
2
( t ) und N
1
′ ( t ) = N
2
′ ( t ) nach t gelöst.
3) Ordnen Sie den beiden Gleichungen jeweils die zutreffende Aussage aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]
N
1
( t ) = N
2
( t )
N
1
′ ( t ) = N
2
′ ( t )
A
Die Lösungsmenge dieser
Gleichung ist {0; 1}.
B
Die Lösung dieser Gleichung liegt
im Intervall ]0; 1[.
C
Die Lösung dieser Gleichung liegt
im Intervall [1; ∞[.
D
Die Lösungsmenge dieser
Gleichung ist {0}.
Küchengerät / Herbsttermin 2022 / B_557 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 17 /20
b) Die Lebensdauer des Küchengeräts wird als normalverteilt mit einem Erwartungswert von
10 Jahren angenommen. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion
dieser Normalverteilung. Der Abstand zwischen zwei Markierungen auf der Achse entspricht
1 Jahr.
Lebensdauer in Jahren
1 Jahr
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Küchengerät dieses Typs eine Lebens-
dauer von maximal 7 Jahren hat, beträgt 12 %.
1) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung diese Wahrscheinlichkeit. [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung. [0 / 1 P.]
c) Eine Marktforschungsanalyse zu diesem Küchengerät hat ergeben, dass folgende Mengen
bei den jeweiligen Preisen abgesetzt werden können:
abgesetzte Menge in Stück 210 420 1 430 1 760
Preis in Euro/Stück 55 45 20 15
Die Kosten für die Produktion von 1 430 Stück betragen 28.000 Euro. Diese Menge wird zu
einem Preis von 20 Euro/Stück abgesetzt.
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob der Break-even-Point bei weniger als 1 430 Stück erreicht
wird. [0 / 1 P.]
Mit den Daten aus der obigen Tabelle soll mithilfe von exponentieller Regression eine Preis-
Absatz-Funktion p erstellt werden.
p ( x ) = a · ℯ
– λ ∙ x
x ... abgesetzte Menge in Stück
p ( x ) ... Preis bei der abgesetzten Menge x in Euro/Stück
2) Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der Funktion p auf. [0 / 1 P.]
3) Begründen Sie, warum es gemäß diesem Modell keine Sättigungsmenge gibt. [0 / 1 P.]

Esszimmereinrichtung / Herbsttermin 2022 / B_558 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 18 /20
Aufgabe 8 (Teil B)
Esszimmereinrichtung
Petra möchte eine neue Esszimmereinrichtung kaufen, die € 4.000 kostet.
a) Petra hat vor 3 Jahren € 2.000 und vor 1 Jahr den Betrag X auf ein Konto eingezahlt, sodass
sie nun als Sparziel den Betrag € 4.000 auf diesem Konto hat.
1) Veranschaulichen Sie diesen Zahlungsstrom (Einzahlungen und Sparziel) auf der nach-
stehenden Zeitachse. [0 / 1 P.]
Zeit in Jahren
Sparziel
3 2 1 0 4
Einzahlungen
Die eingezahlten Beträge werden mit dem Jahreszinssatz i verzinst.
2) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Höhe des Betrags X auf. Verwenden Sie dabei
die Beträge € 4.000 und € 2.000 sowie den Jahreszinssatz i .
X = [0 / 1 P.]
Esszimmereinrichtung / Herbsttermin 2022 / B_558 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 19 /20
b) Petra kann die Esszimmereinrichtung auch bei einem Versandhaus über Ratenzahlung
finanzieren. Aufgrund der anfallenden Zinsen betragen die Kosten dabei monatlich € 1,65 pro
€ 100 offener Restschuld.
Petra berechnet für diese Ratenzahlung einen Jahreszinssatz von rund 21,7 %.
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob Petras Berechnung stimmt. [0 / 1 P.]
Beim Kauf der Esszimmereinrichtung um € 4.000 über Ratenzahlung müssen 12 nachschüs-
sige Monatsraten in Höhe von jeweils € 370 und ein Restbetrag, der zeitgleich mit der letzten
Monatsrate fällig ist, bezahlt werden. Der Jahreszinssatz beträgt 21,7 %.
2) Berechnen Sie die Höhe des Restbetrags. [0 / 1 P.]
Beim Kauf eines Möbelstücks mit dem Verkaufspreis W über Ratenzahlung müssen 3 nach-
schüssige Monatsraten der Höhe R bezahlt werden. Der zugehörige monatliche Auf zinsungs-
faktor wird mit q
12
bezeichnet.
3) Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an. [1 aus 5] [0 / 1 P.]
W = R +
R
q
12
+
R
q
12
2
W ∙ q
12
3
= R +
R
q
12
+
R
q
12
2
W =
R
q
12
+
R
q
12
2
+
R
q
12
3
W ∙ q
12
3
=
R
q
12
+
R
q
12
2
+
R
q
12
3
W ∙ q
12
3
= R ∙ q
12
3
+ R ∙ q
12
2
+ R ∙ q
12
Esszimmereinrichtung / Herbsttermin 2022 / B_558 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 20 /20
c) Petra kann die Esszimmereinrichtung auch über einen Kredit mit einer Laufzeit von 5 Jahren
finanzieren.
Dazu wird eine gleichbleibende Annuität berechnet und ein Tilgungsplan erstellt.
Allerdings ist nach 5 Jahren die Schuld noch nicht vollständig getilgt, weil während der Lauf-
zeit eine einmalige Änderung des Zinssatzes stattgefunden hat.
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 – – – – – – – – – € 4.000,00
1 € 100,00 € 760,99 € 860,99 € 3.239,01
2 € 80,98 € 780,01 € 860,99 € 2.459,00
3 € 98,36 € 762,63 € 860,99 € 1.696,37
4 € 67,85 € 793,13 € 860,99 € 903,24
5 € 36,13 € 824,86 € 860,99 € 78,38
1) Erklären Sie, woran man erkennen kann, dass während der Laufzeit eine Änderung des
Zinssatzes stattgefunden hat.
[0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie den Zinssatz im Jahr 5. [0 / 1 P.]
Der Kredit soll am Ende des Jahres 5 vollständig getilgt werden.
Dadurch verändert sich die letzte Zeile des obigen Tilgungsplans.
3) Tragen Sie in der nachstehenden Tabelle die beiden fehlenden Zahlen ein. [0 / 1 P.]
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
5 € 36,13 € 0,00

Reisebus*
Aufgabennummer: B_516
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Reiseunternehmen plant, einen neuen Reisebus anzuschaffen.
a) Für den Reisebus rechnet das Reiseunternehmen mit Anschaffungskosten in Höhe von
€ 180.000, einer Nutzungsdauer von 6 Jahren und einem Restwert in Höhe von € 40.000.
Zudem rechnet es mit jährlichen Versicherungskosten in Höhe von € 3.300, jährlichen
Treibstoffkosten in Höhe von € 8.500 und jährlichen Reparaturkosten in Höhe von € 8.200.
Das Reiseunternehmen erwartet durch die Anschaffung des Reisebusses jährliche Einnah-
men in Höhe von € 50.000.
1) Übertragen Sie alle Einnahmen und Ausgaben in die nachstehende Tabelle.
Jahr Einnahmen in € Ausgaben in €
0
1
2
3
4
5
6
2) Erklären Sie anhand der obigen Tabelle, warum diese Investition vorteilhaft sein könnte.
Das Reiseunternehmen rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.
3) Berechnen Sie den Kapitalwert dieser Investition.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Für den Ankauf des Reisebusses hat das Reiseunternehmen in den letzten 8 Jahren eine
Rücklage in Höhe von € 60.000 gebildet.
Die Höhe der Rücklage ergibt sich aus einer Einmalzahlung in Höhe von € 20.000 und
regelmäßigen Zahlungen R :
20 000 · 1,021
8
+ R ·
1,021
4
– 1
1,021 – 1
· 1,021
2
= 60 000
1) Tragen Sie alle Zahlungen R auf der nachstehenden Zeitachse ein.
Zeit in Jahren
3 2 1 0
€ 20.000
6 7 8 5 4
€ 60.000
2) Berechnen Sie die Höhe von R .
c) Für den Ankauf des Reisebusses nimmt das Reiseunternehmen einen Kredit zu einem
Zinssatz von 3 % p. a. auf. Die Rückzahlung des Kredits erfolgt durch gleichbleibende jähr-
liche Annuitäten.
Einige Werte des Tilgungsplans sind in der nachstehenden Tabelle angegeben.
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
2 € 35.331,00
3 € 1.059,93 € 2.440,07
1) Tragen Sie in der obigen Tabelle die Höhe der Annuität in die grau markierte Zelle ein.
Bei der weiteren Tilgung des Kredits verbleibt ein Restbetrag, der ein Jahr nach der letzten
Vollrate bezahlt wird.
2) Ermitteln Sie die Höhe dieses Restbetrags.
Reisebus 2

Investitionen*
Aufgabennummer: B_296
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Ein Unternehmen überlegt, eine neue Maschine anzuschaffen. Die Anschaffungskosten
be tragen € 120.000. Die Nutzungsdauer wird mit 5 Jahren angenommen. Nach 5 Jahren
kann die Maschine um 40 % des Anschaffungswerts verkauft werden.
Man rechnet bei Ankauf der Maschine mit jährlichen Einnahmen von € 25.000.
Die Kosten für die Wartung betragen jährlich € 5.000. Nach 2 und 4 Jahren muss ein Teil
der Maschine ausgetauscht werden. Dieser Austausch kostet jeweils € 1.250.
– Übertragen Sie für den Zeitraum der Nutzungsdauer die Einnahmen und die Ausgaben
in die nachstehende Tabelle.
Jahr Einnahmen Ausgaben
0
1
2
3
4
5
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein Unternehmen überlegt, eine neue Maschine anzuschaffen. Die Anschaffungskosten
be tragen € 120.000. Die Nutzungsdauer wird mit 5 Jahren angenommen. Nach 5 Jahren
kann die Maschine um 40 % des Anschaffungswerts verkauft werden.
Die Betriebsleiterin kann einen Pauschalvertrag aushandeln, der auch den Austausch von
Teilen beinhaltet. Die Wartungskosten betragen € 5.500 pro Jahr. Zusätzlich rechnet sie
mit einmaligen Einschulungskosten von € 5.000 am Beginn. Die jährlichen Einnahmen
werden mit € 25.000 angenommen. Der Wiederverkaufswert bleibt gleich. Man rechnet
mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 2,5 %.
– Berechnen Sie den Kapitalwert dieser Investition.
In der nachstehenden Abbildung ist der Kapitalwert dieser Investition in Abhängigkeit vom
kalkulatorischen Zinssatz dargestellt.
Kapitalwert in Euro
kalk. Zinssatz
0 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,08
0
15 000
10 000
5 000
20 000
25 000
–10 000
–5 000
− Lesen Sie den internen Zinssatz dieser Investition ab.
− Begründen Sie, warum diese Investition vorteilhaft ist.
Investitionen 2
c) Die Anschaffungskosten und Rückflüsse einer anderen Investition sind in der nachstehen-
den Abbildung dargestellt.
Anschaffungskosten:
€ 120.000
Zeit in Jahren
Rückflüsse: € 20.000 € 20.000 € 19.000 € 19.000 € 70.000
5 4 3 2 1 0
Die Nutzungsdauer wird mit 5 Jahren angenommen. Die Rückflüsse können zu einem
Zinssatz von 3 % wiederveranlagt werden.
– Berechnen Sie den Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse.
− Berechnen Sie den modifizierten internen Zinssatz.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Investitionen 3

Kreditrückzahlung*
Aufgabennummer: B_206
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 6 (Teil B)
Kreditrückzahlung
Für den Kauf eines Grundstücks nimmt Herr Maier einen Kredit auf.
Ursprünglich vereinbart er mit seiner Bank, diesen innerhalb von 10 Jahren in Form von gleich
hohen, nachschüssigen, jährlichen Annuitäten A
1
zurückzuzahlen. Dieser Plan ändert sich
jedoch.
Der tatsächliche Verlauf der vollständigen Rückzahlung von Herrn Maier ist auf der
nachstehenden Zeitachse dargestellt.
A 1 A 1 A 1 A 2 A 2 A 2 A 2 A 2
a) In den ersten 3 Jahren läuft die Kredittilgung nach dem ursprünglichen Plan. Für das 3. Jahr
der Rückzahlung ergeben sich folgende Einträge im Tilgungsplan:
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
3 € 3.703,15 € 13.881,45 € 17.584,60 € 109.556,81
– Berechnen Sie die ursprüngliche Kredithöhe.
– Berechnen Sie den zugrunde liegenden jährlichen Zinssatz dieser Kredittilgung.
b) Fassen Sie die tatsächlich erfolgten Zahlungen wie in der oben dargestellten Zeitachse als
2 nachschüssige Renten mit Annuitäten A
1
und A
2
auf.
− Übersetzen Sie den oben dargestellten Zahlungsstrom in einen passenden Text, der den
Rückzahlungsverlauf beschreibt.
− Markieren Sie jeweils die Bezugszeitpunkte für die Barwerte und die Endwerte der beiden
Renten in der oben dargestellten Zeitachse.
c) Nach dem Bezahlen der Annuitäten A
1
verbleibt am Ende des 3. Jahres eine Restschuld.
− Begründen Sie, warum sich die Höhe dieser Restschuld bis zum Ende des 5. Jahres ändert.
* ehemalige Klausuraufgabe
10
d) Am Ende des 5. Jahres beträgt die verbleibende Schuld € 116.228,82.
Eine weitere Rückzahlungsvariante, die die Laufzeit verlängert hätte, wäre gewesen:
Herr Maier zahlt weiterhin jährlich Annuitäten in Höhe von € 17.584,60.
Die Bank verlangt ab dem 6. Jahr Zinsen in Höhe von 3,5 % p. a.
Die vorletzte Zeile des sich daraus ergebenden Tilgungsplans lautet:
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
€ 969,26 € 16.615,34 € 17.584,60 € 11.077,75
− Bestimmen Sie, in welchem Jahr (vom Zeitpunkt der Aufnahme des Kredits) die Zahlung
erfolgt, die in dieser Zeile des Tilgungsplans dargestellt ist.
− Ermitteln Sie die letzte Zeile dieses Tilgungsplans.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Kreditrückzahlung 2

Lieferwagen*
Aufgabennummer: B_306
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Unternehmen will einen Lieferwagen anschaffen.
a) Für das Lieferwagen-Modell A betragen die Anschaffungskosten € 34.000, die Nutzungs -
dauer wird mit 4 Jahren veranschlagt. An Einnahmen erwartet das Unternehmen € 12.000
im ersten Jahr, dann jährlich € 2.000 mehr gegenüber dem Vorjahr. Der Liquidationser-
lös wird mit 20 % der Anschaffungskosten angenommen. Bei den Ausgaben kalkuliert
das Unternehmen mit € 0,10 Treibstoffkosten pro km, wobei der Lieferwagen jährlich
40 000 km im Einsatz sein soll. Die jährlichen Fixkosten für Versicherung, Service und
Steuern werden mit € 2.000 angesetzt.
– Übertragen Sie für den Zeitraum der Nutzungsdauer die Einnahmen und die Ausgaben
in die nachstehende Tabelle.
Jahr Einnahmen Ausgaben
0
1
2
3
4
b) Für das etwas teurere Lieferwagen-Modell B mit dem Anschaffungspreis € 42.000 ermit-
telt das Unternehmen folgende Rückflüsse (Einnahmen minus Ausgaben):
Jahr Rückflüsse
1 € 8.000
2 € 10.000
3 € 12.000
4 € 22.000
Das Unternehmen kalkuliert mit einem Zinssatz von 6 % p. a.
– Berechnen Sie den Kapitalwert für das Modell B .
– Begründen Sie mithilfe des Kapitalwerts, warum diese Investition vorteilhaft ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In einer Wirtschaftszeitschrift stoßen Sie auf folgende Aussage: „Niedrige Zinssätze führen
zu hohen Kapitalwerten.“
– Erklären Sie, warum diese Aussage richtig ist.
d) Für das Lieferwagen-Modell C mit einem Anschaffungspreis von € 45.000 ermittelt das
Unternehmen folgende Rückflüsse (Einnahmen minus Ausgaben):
Jahr Rückflüsse
1 € 9.000
2 € 11.000
3 € 13.000
4 € 15.000
Die Rückflüsse können zum Zinssatz 4,5 % p. a. wiederveranlagt werden.
– Berechnen Sie den Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse.
– Berechnen Sie den modifizierten internen Zinssatz.
– Interpretieren Sie den modifizierten internen Zinssatz im Hinblick auf die Vorteilhaftigkeit
der Investition.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Lieferwagen 2

Zahnpasta*
Aufgabennummer: B_307
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) In der Marketingabteilung eines Zahnpastaproduzenten stellt man fest, dass sich bei
einem Preis von € 2,00 pro Tube täglich 500 Stück absetzen lassen. Nach einer Preis
senkung auf € 1,80 lassen sich täglich 600 Stück absetzen.
– Beschreiben Sie, wie sich durch diese Preissenkung der Erlös ändert.
b) Bei einem Preis von € 2,00 pro Tube lassen sich täglich 500 Stück in einer bestimmten
Region absetzen, bei einem Preis von € 1,80 lassen sich täglich 600 Stück absetzen. Der
Höchstpreis liegt bei € 3,15.
Es soll der Zusammenhang zwischen dem Preis p in Euro und der nachgefragten Men
ge x in Stück durch eine quadratische Funktion p ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c dargestellt werden.
– Stellen Sie die Gleichung der Preisfunktion der Nachfrage auf.
– Berechnen Sie die Sättigungsmenge.
– Erklären Sie, warum die Funktion nur im Intervall zwischen null und der Sättigungs
menge ein sinnvolles Modell für diesen Zusammenhang liefert.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)
c) In der nachstehenden Grafik ist die Erlösfunktion E eines Zahnpastaproduzenten darge
stellt. Für die zugehörige lineare Kostenfunktion K gelten Fixkosten in Höhe von 400 GE
und variable Stückkosten in Höhe von 0,5 GE/ME.
K ( x ), E ( x ) in GE
x in ME
1 200 1 000 800 600 400 200 0 1 400
800
600
400
200
0
1 000
– Zeichnen Sie den Graphen der Kostenfunktion K in die vorgegebene Grafik ein.
– Lesen Sie aus der Grafik ab, bei welcher Menge der Gewinn maximal ist.
d) Aufgrund einer Lohnerhöhung steigen die Fixkosten.
– Begründen Sie, warum sich die gewinnmaximale Menge dadurch nicht verändert.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Zahnpasta 2