Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3601–3650

Viruserkrankung
Aufgabennummer: B_198
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
In einem kleinen Ort verbreitet sich eine neuartige Virusinfektion.
a) Ein Arzt beobachtet, dass einmal erkrankte Personen nach Abklingen der Symptome
gegen das Virus immun sind. In der folgenden Abbildung ist der zeitliche Verlauf der
Anzahl der kranken ( k ), der noch gesunden ( g ) und der bereits immunen ( i ) Personen
dargestellt:
– Entnehmen Sie der Grafik, wann ca. gleich viele Personen bereits immun bzw. noch
gesund sind.
– Lesen Sie ab, wie viele Personen zu diesem Zeitpunkt krank sind.
b) Ein neues Medikament soll bei der Bekämpfung des Virus helfen. Leider hat es auch
Nebenwirkungen. 2 % der erkrankten Personen leiden an Kopfschmerzen, 1 % an
Schwindelanfällen. 0,2 % weisen beide Symptome auf.
In der folgenden Rechnung wurde die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der
Nebenwirkungen auftritt, ermittelt:
P („mindestens 1 Nebenwirkung“) = 0,02 + 0,01 = 0,03
– Erklären Sie, welcher Fehler dabei gemacht wurde.
– Stellen Sie die Berechnung richtig.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 10 20 30 40 50 t in Wochen
Anzahl der Personen
k
g
i
Viruserkrankung 2
c) Bei einer Gesundenuntersuchung wird ein Virustest durchgeführt. Damit können 99 %
der Virusträger/innen erkannt werden, noch bevor die Krankheit ausbricht. 10 % der
Untersuchten sind tatsächlich Virusträger/innen. Leider zeigt der Test auch bei 2 % der
gesunden Personen eine Infektion an.
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person gesund ist, unter der Voraus-
setzung, dass eine Virusinfektion diagnostiziert wurde.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Wohnungsrenovierung
Aufgabennummer: B_139
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Im Zuge einer Wohnungsrenovierung benötigt Thomas einen Kredit in Höhe von € 30.000.
a) Seine Bank bietet ihm einen Kredit mit einer Laufzeit von 10 Jahren, der bei einem
Quartalszinssatz von 1 % p. q. durch nachschüssige Monatsraten getilgt werden soll.
– Ermitteln Sie den äquivalenten Monatszinssatz.
– Erstellen Sie eine Gleichung, mit der die Ratenhöhe berechnet werden kann.
– Berechnen Sie die Ratenhöhe.
b) Thomas holt sich für diesen Kredit ein weiteres Angebot von einer anderen Bank.
Diese verlangt eine Bearbeitungsgebühr von 2 % vom Kreditbetrag, die bei der Auszah-
lung einbehalten wird.
Die Rückzahlung des Kredits erfolgt in 12 Jahren durch nachschüssige Quartalsraten in
Höhe von je € 800.
– Veranschaulichen Sie den Zahlungsstrom auf einer Zeitachse.
– Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz.
c) Das Angebot einer dritten Bank ist in folgendem Tilgungsplan dargestellt:
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 0 0 0 € 30.000,00
1 € 1.350,00 € 491,75 € 1.841,75 € 29.508,25
2 € 1.327,88 € 513,87 € 1.841,75 € 28.994,38
– Erklären Sie die Begriffe und den Zusammenhang von Zinsanteil und Tilgungsanteil.
– Berechnen Sie den Jahreszinssatz, der dem Tilgungsplan zugrunde liegt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Zeitschrift
Aufgabennummer: B_276
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Preisfunktion der Nachfrage p N für eine Son-
derausgabe einer Zeitschrift dargestellt.
ME ... Mengeneinheiten
GE ... Geldeinheiten
a) Der Preis der Sonderausgabe wird von 14 GE/ME auf 12 GE/ME gesenkt.
– Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung die entsprechenden Verkaufsmengen.
– Berechnen Sie, um wie viele Geldeinheiten sich der zu erwartende Verkaufserlös
verändert.
b) − Stellen Sie die Funktionsgleichung der oben dargestellten Preisfunktion der
Nachfrage p N auf.
Für die Preisfunktion des Angebots p A gilt:
p A( x ) = 1 + 4,5 √ x
x ... angebotene Menge in ME
p A( x ) ... Angebotspreis in GE/ME
– Berechnen Sie den zugehörigen Gleichgewichtspreis.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maß-
einheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Monopolistischer Betrieb
Aufgabennummer: B_148
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Die Produktion und der Verkauf einiger Produkte eines monopolistischen Betriebes werden untersucht.
a) Die lineare Preisfunktion der Nachfrage p für das Produkt A kann annähernd durch die nachste-
hende Grafik dargestellt werden.
x … nachgefragte Menge in Mengeneinheiten (ME)
p ( x ) … Preis in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME) bei x ME
– Stellen Sie die Gleichung der in der obigen Grafik dargestellten Preisfunktion der Nachfrage
auf.
– Interpretieren Sie die Nullstelle des dargestellten Funktionsgraphen im Sachzusammenhang.
– Argumentieren Sie, wie sich bei einem bestimmten Preis p 0 eine Preissenkung um 1 GE/ME
auf den Absatz auswirkt.
b) Für das Produkt B gilt folgender Zusammenhang zwischen der nachgefragten Menge x und
dem Erlös E :
E ( x ) = − 15 ⋅ x
2
+ 3 000 ⋅ x
x … nachgefragte Menge in Mengeneinheiten (ME)
E ( x ) … Erlös in Geldeinheiten (GE) bei einer nachgefragten Menge von x ME
– Berechnen Sie den maximalen Erlös mithilfe der Differenzialrechnung.
– Stellen Sie die Erlösfunktion grafisch für eine passende Definitionsmenge dar.
– Lesen Sie die mittlere Änderungsrate des Erlöses im Intervall [0 ME; 80 ME] ab.
– Erklären Sie die Bedeutung der mittleren Änderungsrate des Erlöses im Sachzusammenhang.
Monopolistischer Betrieb 2
c) In der nachstehenden Tabelle sind für das Produkt C die Gesamtkosten K in Geldeinheiten (GE)
in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x in Mengeneinheiten (ME) angegeben:
x 0 6 15 23,5 30,3 40 60
K ( x ) 35 110 198 283 359 498 1 091
– Zeichnen Sie einen Streckenzug durch die gegebenen Punkte ( x | K ( x )) in ein Koordinatensys-
tem.
– Beurteilen Sie, ob durch den Streckenzug ( x | K ( x )) eine zu einer Kostenfunktion passende Mo-
notonie erkennbar ist.
– Bestimmen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine kubische Kostenfunktion für dieses
Produkt.
– Berechnen Sie die Kostenkehre dieser kubischen Funktion.
d) Der Gewinn für das Produkt D kann annähernd durch die folgende Funktion G beschrieben
werden:
G ( x ) = − 0,14 ⋅ x
3
+ 1,21 ⋅ x
2
+ 6,63 ⋅ x − 16,98
x … verkaufte Menge in Mengeneinheiten (ME)
G ( x ) … erzielter Gewinn in Geldeinheiten (GE) bei x ME
– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage zur Gewinnfunktion an. [1 aus 5]
Bei einer Verkaufsmenge von 2 ME wird ein Verlust erzielt. ☐
Die gewinnmaximierende Menge liegt bei einer Verkaufsmenge von 2 ME. ☐
Der Break-even-Point liegt bei einer Verkaufsmenge von 2 ME. ☐
Bei einer Verkaufsmenge von 2 ME wird die obere Gewinngrenze erreicht. ☐
Das Betriebsoptimum liegt bei einer Verkaufsmenge von 2 ME. ☐
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit pas-
senden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Ertragsgesetzliche Kostenfunktion
Aufgabennummer: B_136
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
Die Gesamtkosten K für die Herstellung eines bestimmten Produkts in Abhängigkeit von der
Produktionsmenge x verlaufen nach einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion.
x … Anzahl der produzierten Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) … Gesamtkosten bei x ME in Geldeinheiten (GE)
Die Kostenfunktion muss in diesem Fall die folgenden Bedingungen erfüllen:
1. Es existiert ein positiver Funktionswert an der Stelle x = 0.
2. Die Kurve hat keinen Extremwert.
3. Die Kurve muss streng monoton steigen.
4. Sie muss im 1. Quadranten von einem degressiven Verlauf in einen progressiven wechseln.
a) Nur einer der beiden unten abgebildeten Graphen stellt eine ertragsgesetzliche Kosten-
funktion dar.
– Begründen Sie, warum der Funktionsgraph in Abb. 2 keine ertragsgesetzliche Kosten-
funktion beschreibt.
– Lesen Sie aus dem Graphen der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion die Kostenkehre
ab.
– Ermitteln Sie mithilfe der abgelesenen Kostenkehre die Stückkosten an dieser Stelle.
Abb. 1 Abb. 2
Ertragsgesetzliche Kostenfunktion 2
b) – Begründen Sie, warum die Funktion K mit
K ( x ) = 0,1 x ³ – 1,6 x ² + 12 x + 20
die 4 Bedingungen einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion erfüllt.
c) Eine Polynomfunktion 3. Grades beschreibt eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion. Die
Fixkosten betragen 25 GE. Die Kostenkehre liegt bei 5 ME. Die Gesamtkosten an der
Kostenkehre betragen 53,8 GE. Die Tangente an den Graphen der Gesamtkostenfunk-
tion hat an der Stelle x = 2 ME einen Anstieg k = 6.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem man die Parameter der Kostenfunktion
berechnen kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

1,3
0,5
0,95
1,2
0,95
1,8
0
0,5
1
1,5
2
1 2 3 4 5 6
monatlicher Umsatz
in Mio. Euro
Monate
Jahresumsatz
Aufgabennummer: B_135
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
a) Ein Unternehmen erzielt in den Jahren nach seiner Gründung Jahresumsätze, die in der
nachstehenden Tabelle aufgelistet sind.
t … Jahre (a) nach der Gründung
E ( t ) … Erlös t Jahre nach der Gründung in Millionen Euro (Mio. € )
t in a 1 5 9 13 17 21
E ( t ) in Mio. € 14 12,5 13,9 14,7 16 18,2
– Stellen Sie die Wertepaare der Tabelle in einem Koordinatensystem dar.
– Ermitteln Sie mithilfe der Regression eine Polynomfunktion 2. Grades durch die gege-
bene Punktewolke.
b) Die nachstehende Grafik zeigt die monatliche Umsatzverteilung im 1. Halbjahr des
5. Jahres.
– Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der monatlichen
Umsätze.
In einem Geschäftsbericht werden nur das arithmetische Mittel und die Standardabwei-
chung veröffentlicht.
– Erklären Sie, welche Informationen zur Umsatzentwicklung dadurch verloren gehen.
Jahresumsatz 2
c) Der Jahresumsatz für ein bestimmtes Produkt dieses Unternehmens beträgt 2,4 Millio-
nen Euro bei 20 000 verkauften Stück. Die Sättigungsmenge liegt bei 30 000 Stück.
Die Preisfunktion der Nachfrage p ist linear:
p ( x ) = k · x + d
x … Verkaufsmenge in Stück
p ( x ) … Preis pro Stück bei einer Verkaufsmenge von x Stück
– Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten k und d auf.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Handyproduktion*
Aufgabennummer: B_517
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Unternehmen produziert die zwei Handymodelle H
1
und H
2
.
Dabei werden die beiden Mikrochip-Sorten M
1
und M
2
benötigt.
Für die Produktion der Mikrochips werden unter anderem die Rohstoffe Silicium ( R
1
) und Kupfer
( R
2
) benötigt.
Die nachstehende Tabelle, die der Matrix R entspricht, beschreibt den Mengenbedarf an Roh -
stoffen (in ME) für die Herstellung je eines Stücks der beiden Mikrochip-Sorten.
M
1
M
2
R
1
5 7
R
2
1 2
Die nachstehende Tabelle, die der Matrix S entspricht, beschreibt den Mengenbedarf an Mikro -
chips (in Stück) für die Herstellung je eines Stücks der beiden Handymodelle.
H
1
H
2
M
1
5 1
M
2
0 4
a) 1) Ermitteln Sie diejenige Matrix A , die den Mengenbedarf an Rohstoffen für die Herstel-
lung je eines Stücks der beiden Handymodelle beschreibt.
Bei einer bestimmten Produktionsvariante wird die Matrix S durch eine Matrix S
1
=
(
5
x
1
4
)
so ersetzt, dass sich anstelle von A die neue Matrix
(
46
11
33
9
)
ergibt.
2) Ermitteln Sie x .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Anzahlen der täglich produzierten Handys der Handymodelle H
1
und H
2
können durch
den Vektor x =
(
x
1
x
2
)
dargestellt werden.
Die Preise pro ME für die Rohstoffe R
1
und R
2
können durch den Vektor p =
(
p
1
p
2
)
darge-
stellt werden.
1) Beschreiben Sie, was durch den Ausdruck S · x im gegebenen Sachzusammenhang
berechnet wird.
2) Ermitteln Sie die Zeilen- und die Spaltenanzahl der Matrix p
T
· R · S · x .
Zeilenanzahl:
Spaltenanzahl:
Handyproduktion 2
c) Der Prozess der Handyproduktion wird geändert. Die neue Verflechtung zwischen den
Rohstoffen, den Mikrochips und den Handymodellen kann durch die nachstehende Tabelle
beschrieben werden.
R
1
R
2
M
1
M
2
H
1
H
2
R
1
0 0 5 7 6 0
R
2
0 0 1 2 0 0
M
1
0 0 0 0 5 1
M
2
0 0 0 0 0 4
H
1
0 0 0 0 0 0
H
2
0 0 0 0 0 0
1) Vervollständigen Sie den nachstehenden Gozinto-Graphen so, dass er den beschriebe-
nen Sachverhalt wiedergibt.
R
1
R
2
M
1
H
1
H
2
M
2
Die tägliche Nachfrage nach den Rohstoffen R
1
und R
2
, den Mikrochips M
1
und M
2
sowie
den Handymodellen H
1
und H
2
kann durch den Vektor n beschrieben werden:
n =
(
0
0
2 000
1 000
500
700
)
2) Lesen Sie die Anzahl der insgesamt täglich nachgefragten Mikrochips ab.
Handyproduktion 3
d) Die häufigsten Fehler, die bei den Handymodellen H
1
und H
2
auftreten, sind Displayfehler
und Akkufehler.
Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese beiden Fehler auftreten, sind in der nachstehen-
den Vierfeldertafel dargestellt.
Displayfehler kein Displayfehler Summe
Akkufehler 0,01 0,02 0,03
kein Akkufehler 0,01 0,96 0,97
Summe 0,02 0,98 1,00
1) Beschreiben Sie ein Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrschein-
lichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
1 – 0,96 = 0,04
2) Überprüfen Sie nachweislich, ob die beiden Ereignisse „Displayfehler“ und „Akkufehler“
voneinander unabhängig sind.
Bei einem Handy ist ein Displayfehler aufgetreten.
3) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter dieser Bedingung auch ein Akkufeh-
ler auftritt.
Handyproduktion 4

* ehemalige Klausuraufgabe
Sparbuch*
Aufgabennummer: B_222
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Von einem Sparbuch soll über 10 Jahre hinweg jeweils am Monatsende ein Betrag von
€ 200 abgehoben werden. Unmittelbar nach der letzten Abhebung sollen noch € 1.500
auf dem Sparbuch verbleiben. Der Zinssatz beträgt 1,5 % p. a.
− Berechnen Sie die Höhe desjenigen Betrags, der zu Beginn auf das Sparbuch einbe-
zahlt werden muss (ohne Berücksichtigung der KESt).
b) Auf ein Sparbuch wird einmalig ein Betrag von € 10.000 und 5 Jahre später einmalig ein
Betrag x einbezahlt. Nach insgesamt 8 Jahren soll ein Betrag von € 20.000 zur Verfügung
stehen. Der Zinssatz beträgt 1,5 % p. a.
− Erstellen Sie eine Zeitlinie, die diesen Sachverhalt darstellt.
− Berechnen Sie die Höhe des Betrags x ohne Berücksichtigung der KESt.
− Begründen Sie, warum sich die Höhe des Betrags x verringert, wenn er bereits nach
2 Jahren einbezahlt wird.
c) Auf einem Sparbuch stehen zu Jahresbeginn € 25.000 zur Verfügung. In den folgenden
12 Jahren sollen jeweils am Jahresende € 2.300 abgehoben werden können, sodass das
Guthaben zur Gänze aufgebraucht ist.
− Berechnen Sie den entsprechenden Jahreszinssatz (ohne Berücksichtigung der KESt).
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Ölbohrungen*
Aufgabennummer: B_221
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 7 (Teil B)
Ölbohrungen
Eine Ölgesellschaft führt Probebohrungen in Texas und in Alaska durch. Erfahrungsgemäß
Bohrung in Alaska mit einer Wahrscheinlichkeit von 65 % Öl.
a) − Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nur in Texas oder nur in Alaska Öl gefunden
wird, wenn die beiden Bohrungen unabhängig voneinander sind.
b) − Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, in höchstens einem der beiden US-Bundesstaaten Öl
zu finden, wenn die beiden Bohrungen unabhängig voneinander sind.
− Erklären Sie, welchen Vorteil eine Berechnung mittels Gegenwahrscheinlichkeit hier hat.
c) − Berechnen Sie, wie viele Bohrungen in Alaska zumindest notwendig sind, um mit mindes-
tens 99%iger Wahrscheinlichkeit Öl zu finden.
− Beschreiben Sie, wie sich die gesuchte Anzahl der Bohrungen verändert, wenn eine 95%ige
Wahrscheinlichkeit, Öl zu finden, ausreichend ist.
d) Von allen Arbeiter/innen der Ölgesellschaft arbeiten 30 % in Alaska, die übrigen bei Bohrun-
gen in Texas. Insgesamt sprechen 65 % aller Arbeiter/innen Spanisch. Ein Sechstel aller in
Alaska tätigen Arbeiter/innen spricht Spanisch.
− Übertragen Sie die Werte der Angabe in die entsprechenden Felder der untenstehenden
Vierfeldertafel.
− Ermitteln Sie die Werte der restlichen Felder und tragen Sie diese in die entsprechenden
Felder ein.
Arbeiter/innen
in Alaska
Arbeiter/innen
in Texas
Summe
Spanisch sprechend
nicht Spanisch sprechend
Summe
Aufgabe 7 (Teil B)
Ölbohrungen
Eine Ölgesellschaft führt Probebohrungen in Texas und in Alaska durch. Erfahrungsgemäß
Bohrung in Alaska mit einer Wahrscheinlichkeit von 65 % Öl.
a) − Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nur in Texas oder nur in Alaska Öl gefunden
wird, wenn die beiden Bohrungen unabhängig voneinander sind.
b) − Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, in höchstens einem der beiden US-Bundesstaaten Öl
zu finden, wenn die beiden Bohrungen unabhängig voneinander sind.
− Erklären Sie, welchen Vorteil eine Berechnung mittels Gegenwahrscheinlichkeit hier hat.
c) − Berechnen Sie, wie viele Bohrungen in Alaska zumindest notwendig sind, um mit mindes-
tens 99%iger Wahrscheinlichkeit Öl zu finden.
− Beschreiben Sie, wie sich die gesuchte Anzahl der Bohrungen verändert, wenn eine 95%ige
Wahrscheinlichkeit, Öl zu finden, ausreichend ist.
d) Von allen Arbeiter/innen der Ölgesellschaft arbeiten 30 % in Alaska, die übrigen bei Bohrun-
gen in Texas. Insgesamt sprechen 65 % aller Arbeiter/innen Spanisch. Ein Sechstel aller in
Alaska tätigen Arbeiter/innen spricht Spanisch.
− Übertragen Sie die Werte der Angabe in die entsprechenden Felder der untenstehenden
Vierfeldertafel.
− Ermitteln Sie die Werte der restlichen Felder und tragen Sie diese in die entsprechenden
Felder ein.
Arbeiter/innen
in Alaska
Arbeiter/innen
in Texas
Summe
Spanisch sprechend
nicht Spanisch sprechend
Summe
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* ehemalige Klausuraufgabe

Produktion*
Aufgabennummer: B-C8_31
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 6 (Teil B)
Produktion
a) In der nachstehenden Tabelle sind die Gesamtkosten eines Unternehmens K ( x ) in GE für die
Produktionsmenge x in ME angegeben. Die Fixkosten betragen 40 GE.
x in ME 2 5 9
K ( x ) in GE 105 152 369
− Ermitteln Sie die Gleichung der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion K .
− Zeichnen Sie den Graphen dieser Kostenfunktion K im Intervall 0 ≤ x ≤ 10.
− Lesen Sie aus dem Graphen denjenigen Bereich ab, in dem ein progressiver Kostenverlauf
vorliegt.
b) − Beschreiben Sie die notwendigen Schritte zur Berechnung der kurzfristigen Preisuntergrenze,
wenn die Gesamtkostenfunktion bekannt ist.
c) Zur Gewinnermittlung für ein anderes Produkt verwendet das Unternehmen die folgende Kos-
tenfunktion K sowie die folgende Erlösfunktion E :
K ( x ) = x
3
– 9 · x
2
+ 55 · x + 190
E ( x ) = 90 · x
x in ME
K ( x ), E ( x ) in GE
− Stellen Sie Funktionsgleichung der Gewinnfunktion auf.
− Berechnen Sie die Höhe des maximalen Gewinns.
d) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Kostenfunktion K eines weiteren Produktes
dargestellt.
− Zeichnen Sie den Graphen der Erlösfunktion E bei einem Marktpreis von 100 GE /ME ein.
− Lesen Sie die beiden Gewinngrenzen ab.
* ehemalige Klausuraufgabe
8
c) Zur Gewinnermittlung für ein anderes Produkt verwendet das Unternehmen die folgende Kos-
tenfunktion K sowie die folgende Erlösfunktion E :
K ( x ) = x
3
– 9 · x
2
+ 55 · x + 190
E ( x ) = 90 · x
x in ME
K ( x ), E ( x ) in GE
− Stellen Sie Funktionsgleichung der Gewinnfunktion auf.
− Berechnen Sie die Höhe des maximalen Gewinns.
d) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Kostenfunktion K eines weiteren Produktes
dargestellt.
− Zeichnen Sie den Graphen der Erlösfunktion E bei einem Marktpreis von 100 GE /ME ein.
− Lesen Sie die beiden Gewinngrenzen ab.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Produktion 2

Startkapital
Aufgabennummer: B_146
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Simon möchte sich selbstständig machen. Er setzt für die Gründung seines Unternehmens als
Startkapital seine Ersparnisse und einen Kredit ein.
a) Er hat während der letzten 10 Jahre die folgenden Zahlungen auf ein mit 2,1 % p. a. ver
zinstes Sparbuch getätigt: Zu Beginn des 1. Jahres € 20.000, zu Beginn des 4. Jahres
€ 75.000 und ab dem Beginn des 8. Jahres monatlich vorschüssige Raten in Höhe von
je € 450.
– Veranschaulichen Sie den Zahlungsstrom auf einer Zeitachse.
– Berechnen Sie, über welchen Betrag Simon nach diesen 10 Jahren verfügen kann.
Simon überlegt durch welche nachschüssigen Monatsraten R er in 10 Jahren denselben
Betrag hätte ansparen können.
– Ermitteln Sie die Höhe dieser Rate R.
b) Simon benötigt zusätzlich zu seinen Ersparnissen ein Kapital in Höhe von € 45.000. Die
Bank bietet ihm einen entsprechenden Kredit mit dem folgenden Tilgungsplan:
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 € 45.000,00
1 € 1.665,00 € 9.000,00 € 10.665,00 € 36.000,00
2 € 1.332,00 € 9.000,00 € 27.000,00
3 € 999,00 € 9.000,00 € 9.999,00 € 18.000,00
4 € 666,00 € 9.000,00 € 9.666,00 € 9.000,00
5 € 333,00 € 9.000,00 € 9.333,00 € 0,00
– Ermitteln Sie die fehlende Zahl im Tilgungsplan.
In einem anderen Angebot soll diese Schuld bei einem Zinssatz von 4 % p. a. durch
5 nachschüssige Jahresraten getilgt werden.
– Berechnen Sie die zugehörige Ratenhöhe.
c) Simon kauft vom Startkapital zu Beginn des Jahres für sein Unternehmen eine Maschine
um € 20.000. Die Maschine verliert gegenüber dem Vorjahr jährlich 25 % ihres Wertes.
– Stellen Sie die Funktionsgleichung auf, die den Wert der Maschine jeweils zu Beginn
jedes Jahres beschreibt. Wählen Sie t = 0 für den Beginn desjenigen Jahres, in dem die
Maschine gekauft wird.
– Geben Sie eine passende Definitionsmenge zu dieser Funktion an.
Die nachstehenden grafischen Darstellungen sollen den Wert der Maschine zu Beginn
jedes Jahres darstellen.
– Kreuzen Sie die korrekte Darstellung an. [1 aus 5]
Wert in Euro
15 000
10 000
5 000
0
20 000
Zeit in Jahren
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Wert in Euro
15 000
10 000
5 000
0
20 000
Zeit in Jahren
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Wert in Euro
15 000
10 000
5 000
0
20 000
Zeit in Jahren
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Wert in Euro
15 000
10 000
5 000
0
20 000
Zeit in Jahren
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Wert in Euro
15 000
10 000
5 000
0
20 000
Zeit in Jahren
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Startkapital 2