Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3551–3600

Kreditkonditionen
Aufgabennummer: B_122
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Frau Mitter benötigt einen Kredit. Etwaige Nebengebühren und Steuern werden im Folgenden
nicht berücksichtigt.
a) Ihre Hausbank bietet ihr einen Kredit in Höhe von € 100.000 zu folgenden Konditionen an:
Rückzahlung durch vorschüssige Monatsraten bei einem Zinssatz von 4,2 % p. a. und
einer Laufzeit von 10 Jahren.
– Ermitteln Sie die Höhe der Monatsraten.
b) Frau Mitter hat die Möglichkeit, einen Teil aus eigenen Ersparnissen zu finanzieren und
einen Kredit in Höhe von € 80.000 bei einem Zinssatz von 4,2 % p. a. aufzunehmen. Die
Bank erwartet monatlich vorschüssige Rückzahlungen in Höhe von je € 550. Die Rück-
zahlung beginnt 3 Jahre nach Kreditaufnahme.
– Berechnen Sie, wie viele Jahre und Monate nach Kreditaufnahme die Schuld beglichen
ist, wenn die Restzahlung 1 Monat nach der letzten Vollrate fällig ist.
– Stellen Sie diese Situation mit den entsprechenden Rückzahlungsbeträgen grafisch in
einer Zeitlinie dar.
c) Die nachstehenden Grafiken zeigen in Zeitlinien 2 weitere Rückzahlungsvarianten eines
Kredits mit jährlichen Raten R bzw. Z mit dem Jahreszinssatz i .
1. Variante:
Zeit in Jahren
R R R R R R R R R R R R
12 11 10 9 8 7 6 5 4 2 3 1 0
2. Variante:
Zeit in Jahren
Z Z Z R R R R R R
12 11 10 9 8 7 6 5 4 2 3 1 0
– Beschreiben Sie die beiden Zahlungsweisen in Worten.
– Argumentieren Sie, dass die angegebene Gleichung den Wert von Z richtig beschreibt.
Z = R ∙ (1 + q
3
), wobei q = 1 + i bedeutet
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Kreditkonditionen 2

Lebensversicherung
Aufgabennummer: B_119
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Bei Lebensversicherungen spielt der Begriff Sterbewahrscheinlichkeit eine große Rolle. Man
versteht darunter die Wahrscheinlichkeit, mit der eine versicherte Person innerhalb eines Ver
sicherungsjahres verstirbt.
a) Die Sterbewahrscheinlichkeit ist unter anderem vom Lebensalter der versicherten Person
exponentiell abhängig und verdoppelt sich bei jüngeren Personen schätzungsweise alle
9 Jahre. Laut Statistik Austria verstirbt in Österreich ein 30 jähriger Mann innerhalb eines
Versicherungsjahres mit einer Wahrscheinlichkeit von nur ungefähr 0,088 %.
– Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion p , die diese Abhängigkeit beschreibt. Runden
Sie die Parameter auf 4 Nachkommastellen.
p ( t ) = p
0
∙ a
t
t ... Alter in Jahren
p ( t ) ... Sterbewahrscheinlichkeit in Prozent im Alter t
b) Ein junger Mann, dessen altersbedingte Sterbewahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt des
Vertragsabschlusses mit 0,09 % eingeschätzt wird, schließt eine Lebensversicherung über
einen bestimmten Betrag ab, der im Falle des Ablebens an seine Angehörigen ausbezahlt
wird.
– Erstellen Sie für diese Situation ein geeignetes Baumdiagramm für die ersten 3 Jahre nach
Vertragsabschluss unter modellhafter Annahme einer konstanten Sterbewahrscheinlichkeit.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Versicherte innerhalb der ersten 3 Jahre
nach Vertragsabschluss stirbt.
c) Statt jährlich € 100 in eine Lebensversicherung mit einer Versicherungssumme von
€ 20.000 einzuzahlen, möchte ein 30 jähriger Mann jährlich vorschüssig € 100 ansparen.
Das Geld soll der Familie nach seinem Ableben zur Verfügung stehen.
– Berechnen Sie, wie lange es dauern würde, bis er gleich viel Geld gespart hat, wie die
Lebensversicherungssumme beträgt. Gehen Sie dabei von einem Zinssatz von 2,5 % p. a.
aus und berücksichtigen Sie die Kapitalertragsteuer von 25 %.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Marktanalyse
Aufgabennummer: B-C8_01
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Für einen Artikel kennt man die Angebots- und die Nachfragefunktion:
p
A
( x ) = 4 + x und p
N
( x ) = 259 – x – x ²
p
A
( x ) … Angebotspreis bei x Mengeneinheiten in Geldeinheiten (GE) bezogen auf 1 Mengeneinheit (ME)
p
N
( x ) … Nachfragepreis bei x Mengeneinheiten in Geldeinheiten (GE) bezogen auf 1 Mengeneinheit (ME)
x … nachgefragte Menge in Mengeneinheiten (ME)
a) Interpretieren und beschriften Sie die grafische Darstellung der beiden Funktionen nach folgenden
Gesichtspunkten:
– Achsenbeschriftung
– Angebotsfunktion
– Nachfragefunktion
– Gleichgewichtspreis (Marktpreis)
b) Bestimmen Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für die nachgefragte Menge. Berechnen Sie die
Menge x und den Preis p im Marktgleichgewicht.
c) Ein Produzent hält sich nicht an den gegebenen Marktpreis und bestimmt seinen möglichen Er-
lös nur mithilfe der Nachfragefunktion pN . Stellen Sie die Erlösfunktion E ( x ) = pN ( x ) ⋅ x grafisch dar
und entnehmen Sie der Grafik die ungefähren Werte für die sich ergebenden Erlösgrenzen und
das Erlösmaximum.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit pas-
senden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Möbel*
Aufgabennummer: B_513
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Im Folgenden sind die Graphen von 5 Funktionen dargestellt. Nur einer dieser Graphen
kann der Graph einer Erlösfunktion sein.
1) Kreuzen Sie den zutreffenden Graphen an. [1 aus 5]
y in GE
x in ME
0
0
y in GE
x in ME
0
0
y in GE
x in ME
0
0
y in GE
x in ME
0
0
y in GE
x in ME
0
0
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Kostenfunktion K
1
eines Betriebs bei
der Produktion von Kleiderschränken dargestellt.
K
1
( x ) in GE
x in Stück
550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 600
0
80 000
60 000
40 000
20 000
100 000
K
1
x ... Produktionsmenge in Stück
K
1
( x ) ... Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE
1) Lesen Sie das größtmögliche Produktionsintervall ab, in dem der Verlauf der
Kostenfunk tion K
1
degressiv ist.
2) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Stückkosten bei einer Produk tion von
200 Stück.
Die Fixkosten können um 10 % reduziert werden.
3) Begründen Sie, warum sich die Grenzkostenfunktion dadurch nicht ändert.
Möbel 2
c) Die Kostenfunktion K
2
eines Betriebs bei der Produktion von Kommoden ist gegeben
durch:
K
2
( x ) = 0,001 ∙ x
3
– 0,9 ∙ x
2
+ a ∙ x + 3 000
x ... Produktionsmenge in Stück
K
2
( x ) ... Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE
Bei einer Produktion von 100 Kommoden hat der Betrieb Gesamtkosten von 35 000 GE.
1) Berechnen Sie den Koeffizienten a der Kostenfunktion K
2
.
2) Berechnen Sie das Betriebsoptimum.
Der Break-even-Point wird bei einem Verkauf von 60 Kommoden erreicht.
3) Berechnen Sie den Preis pro Kommode bei dieser verkauften Menge.
Möbel 3

Photovoltaik (1)
Aufgabennummer: B_201
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Herr Maier kann die Kosten für seine Photovoltaikanlage bar bezahlen. Unter Berücksichtigung
aller zukünftigen Einnahmen und Ausgaben sowie einer Einmalförderung von € 2.000 zum Er-
richtungszeitpunkt ergibt sich untenstehender Funktionsgraph für den Kapitalwert der Anlage in
Abhängigkeit vom kalkulatorischen Zinssatz.
a) Kapitalwert in €
kalkulatorischer Zinsatz in %
0 18 16 14 12 10 8 6 4 2 20
13 000
11 000
9 000
7 000
5 000
3 000
1 000
–1 000
–3 000
–5 000
15 000
–7 000
– Lesen Sie aus dem Funktionsgraphen ab, bis zu welchem ungefähren kalkulatorischen
Zinssatz die geförderte Anlage rentabel ist.
– Skizzieren Sie in obiger Abbildung den ungefähren Verlauf des Funktionsgraphen, wenn
Herr Maier die Einmalförderung von € 2.000 nicht erhält.
b) Eine Bank bietet Frau Zangerl einen Kredit über € 12.560 für die Finanzierung einer
Photovoltaikanlage an. Dieser Kredit soll in 15 Jahren durch nachschüssige Monatsraten
in Höhe von je € 98 getilgt werden. Eine Bearbeitungsgebühr von 3 % der Kreditsumme
wird bei der Auszahlung des Kredits von der Kreditsumme abgezogen. (Weitere Spesen
und Gebühren werden nicht berücksichtigt.)
– Ermitteln Sie den effektiven Jahreszinssatz dieses Angebots in Prozent.
c) Man rechnet in den nächsten Jahren mit einer Strompreissteigerung von 4 % pro Jahr.
Derzeit kostet eine Kilowattstunde (kWh) Strom € 0,16.
Der Strompreis in Euro pro Kilowattstunde (€/kWh) soll in Abhängigkeit von der Zeit in
Jahren durch eine Funktion beschrieben werden.
– Erstellen Sie eine Gleichung dieser Funktion.
Gewerbliche Photovoltaik-Betreiber werden durch spezielle Fördergelder unterstützt. Für
einen Zeitraum von 13 Jahren wird ihnen garantiert, dass sie überschüssigen Strom zu
einem gleichbleibenden Tarif von € 0,38/kWh ins Netz einspeisen können.
– Überprüfen Sie mithilfe der erstellten Funktion, ob der Strompreis nach 13 Jahren unter
dem garantierten Tarif von € 0,38/kWh liegen wird.
d) Im nachstehenden Boxplot ist der tägliche Solarertrag in kWh einer Photovoltaikanlage in
Eisenstadt für den Herbst 2012 dargestellt.
16 14 12 10 8 6 4 2 0 18 22 20 24 26
Solarertrag in kWh/Tag
– Lesen Sie den minimalen und den maximalen Solarertrag pro Tag aus der Grafik ab.
– Lesen Sie den Interquartilsabstand ab.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Photovoltaik (1) 2

Preis und Absatz
Aufgabennummer: B_128
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
In einem Monopolbetrieb wird der Zusammenhang des Absatzes einer Ware mit einem be-
stimmten Preis pro Kilogramm untersucht.
x … Absatz in Kilogramm (kg)
p ( x ) … Preis für x verkaufte Kilogramm in Euro pro Kilogramm ( € /kg)
a) Im 1. Verkaufsmonat ist die Abhängigkeit des Absatzes vom Preis pro Kilogramm der
Ware in der untenstehenden Tabelle aufgenommen worden.
x in kg 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
p ( x ) in € /kg 40 39 38 37 35 33 31 28 25 22 18 14 10 5,6 0,2
– Ermitteln Sie die passende quadratische Preisfunktion der Nachfrage p in
Abhängigkeit von der Absatzmenge x mithilfe von Regression.
– Interpretieren Sie anhand der Grafik, wie gut sich die berechnete Kurve an die
gegebenen Daten anpasst.
– Argumentieren Sie, in welchem Definitionsbereich die ermittelte Funktion den
Zusammenhang von Absatz und Preis sinnvoll beschreibt.
b) Für den 2. Verkaufsmonat lautet die Preisfunktion der Nachfrage:
p ( x ) = –0,04 x ² – 0,2 x + 40
Wenn sich die Absatzmenge von x kg auf ( x + 1) kg verändert, gilt für die damit zu-
sammenhängende Preisänderung Δ p ( x ) folgende Beziehung:
Δ p ( x ) = p ( x + 1) – p ( x )
– Ermitteln Sie eine möglichst einfache Gleichung der Funktion Δ p für die gegebene
Preisfunktion der Nachfrage p .
– Berechnen Sie mithilfe von Δ p die Veränderung des Preises bei einer Absatz-
steigerung von 20 kg auf 21 kg.
Preis und Absatz 2
c) Die Stückkostenfunktion K für diese Ware hat den unten dargestellten Funktions-
graphen.
– Lesen Sie daraus das Betriebsoptimum und die minimalen Stückkosten ab.
– Erklären Sie, wie man diese aus der Gleichung der Gesamtkostenfunktion berechnet.
– Argumentieren Sie, welche Bedeutung die minimalen Stückkosten für die Festlegung
des Verkaufspreises haben.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
K ! ( x )

Rücklage
Aufgabennummer: B_125
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Eltern von Martin legen für ihn 5 Jahre vor Abschluss der höheren Schule für sein späteres
Studium € 22.500 als Rücklage auf ein Sparkonto.
Lisa erhält von ihren Eltern ab demselben Zeitpunkt 5 Jahre lang € 375 monatlich vorschüssig
auf ein Sparkonto, das mit dem gleichen Jahreszinssatz wie bei Martin verzinst wird.
Der Zinssatz bleibt während dieser 5 Jahre konstant, es finden keine weiteren Transaktionen
auf den beiden Konten von Martin und Lisa statt. Es gibt keine Kontoführungsgebühr.
a) – Erklären Sie, mit welchem Rechenansatz man aus dem Jahreszinssatz den äquivalenten
Monatszinssatz i
12
anhand der Zinseszinsformel herleiten kann.
(Die Kapitalertragsteuer ist bei dieser Berechnung nicht zu berücksichtigen.)
b) Lisa meint, dass zwar 60-mal € 375 wie bei Martin ebenfalls € 22.500 ergeben, aber die
vorschüssige monatliche Ratenzahlung bei Verzinsung mit 0,2 % p. m. einem geringeren
Barwert entspricht.
– Argumentieren Sie, weshalb Lisas Aussage stimmt.
– Berechnen Sie die Differenz zwischen dem Barwert der Ratenzahlung bei Lisa und dem
Geldbetrag, den Martin von seinen Eltern erhält.
Runden Sie das Ergebnis auf Euro.
(Die Kapitalertragsteuer ist im gegebenen Zinssatz bereits berücksichtigt.)
c) Für Martin wird das Geld mit einem Zinssatz von 2,5 % p. a. angelegt.
Lisa möchte statt € 375 pro Monat 5 nachschüssige Jahresraten in Höhe von € 4.500 er-
halten. Sie wünscht sich, dass der Zinssatz so hoch gewählt wird, dass sie nach 5 Jahren
einen gleich hohen Betrag wie Martin bekommt.
– Berechnen Sie, wie hoch der Jahreszinssatz für Lisa unter dieser Voraussetzung sein
müsste. Berücksichtigen Sie die Kapitalertragsteuer von 25 %.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Segelboot
Aufgabennummer: B_117
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Segelboot wird zum Kauf angeboten. In den angegebenen Zinssätzen sind die Kapitaler-
tragsteuer und allfällige Gebühren berücksichtigt.
a) Der Verkäufer schlägt folgende Zahlungsvariante vor:
Anzahlung in Höhe von € 6.000 und 5 Jahre lang (ab dem Kaufzeitpunkt gerechnet)
nachschüssige Jahresraten in Höhe von jeweils € 1.200 bei einem jährlichen Zinssatz von i
– Stellen Sie diese Zahlungsvariante mithilfe einer Zeitlinie grafisch dar.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Barwerts B des Segelboots.
B =
b) Der Verkäufer ändert die Konditionen: Er veranschlagt den Barwert des Bootes mit
€ 10.800 und verlangt eine Anzahlung in Höhe von € 6.000 sowie 3 nachschüssige Jah-
resraten in Höhe von jeweils € 1.200. Der Rest soll ab dem 4. Jahr durch 4 nachschüssi-
ge Jahresraten der Höhe R beglichen werden.
– Berechnen Sie die Ratenhöhe R , wenn der Zinssatz 8 % p. a. beträgt.
c) Um das Boot neu lackieren zu lassen, borgt sich der Käufer € 5.000, die er in Form von
nachschüssigen Quartalsraten von jeweils € 300 bei einem Zinssatz von 6 % p. a. zurück-
zahlt.
– Berechnen Sie, wie viele volle Quartalsraten zu zahlen sind.
– Berechnen Sie, welcher Restbetrag 1 Quartal nach der letzten Vollrate anfällt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Die Zeitlinie ist zu beschriften und zu skalieren.

Sparkonto
Aufgabennummer: B_120
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Karin zahlt 18 Jahre lang auf ein Sparkonto jährlich nachschüssig einen Betrag in Höhe
von € 500 ein.
Der angesparte Betrag kann bei einem Jahreszinssatz von 1,5 % und mit Berücksichti-
gung der KESt mithilfe der folgenden Funktion beschrieben werden:
K = 500 ∙
1,01125
t
− 1
0,01125
K ... Kapital in Euro (€)
t ... Zeit in Jahren
– Erklären Sie, um welche finanzmathematische Formel es sich handelt.
– Erklären Sie, wie der Zinssatz von 1,5 % in diese Formel einfließt.
b) Karin hat einen Betrag in Höhe von € 10.000 angespart. Er wird mit einem Zinssatz von
1,2 % p. a. weiter verzinst (Nebengebühren und Steuern sind im angegebenen Zinssatz
berücksichtigt). Karin möchte davon monatlich nachschüssig je € 200 abheben.
– Berechnen Sie, wie oft Karin genau diesen Betrag abheben kann.
– Ermitteln Sie, welcher Restbetrag unmittelbar nach der letzten Abhebung auf dem
Konto verbleibt.
c) Karin tätigt die in der nachstehenden Zeitlinie dargestellten Abhebungen.
Zeit in Jahren
R
1
R
1
R
1
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
– Beschreiben Sie den dargestellten Sachverhalt in Worten.
– Erstellen Sie eine Formel, mit der der Wert B aller Behebungen zum Zeitpunkt
der 1. vorgenommenen Behebung berechnet werden kann. Gehen Sie dabei von
einem Jahreszinssatz i aus.
B =
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Stallbaufinanzierung
Aufgabennummer: B_170
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Landwirt möchte einen größeren Stall bauen. Der Kostenvoranschlag beläuft sich auf
€ 375.000.
In den angegebenen Zinssätzen sind die Kapitalertragsteuer bzw. anfallende Gebühren berück
sichtigt.
a) Er spart seit 14 Jahren jährlich vorschüssig € 2.800, die zu 2,3 % p. a. verzinst werden.
Zusätzlich hat er vor 22 Jahren € 65.000 auf ein Sparbuch gelegt, das mit 1,8 % p. a.
verzinst wird.
– Berechnen Sie, wie viel Geld er für den Stallbau zusätzlich zu seinem vorhandenen
Kapital aufbringen muss.
b) Der Landwirt nimmt einen Kredit zur Begleichung der Gesamtkosten von € 375.000 auf.
Zur Rückzahlung werden nachschüssige Jahresraten der Höhe R bei konstantem Zinssatz
über einen Zeitraum von 30 Jahren vereinbart.
Er kann die 6., die 7. und die 8. Rate nicht bezahlen. Der Zahlungsausfall wird gleich
mäßig auf die Raten der restlichen Laufzeit aufgeteilt. Die neue Ratenhöhe ist R
neu
.
– Erstellen Sie eine Zeitlinie zur Beschreibung des Zahlungsverlaufs.
Die Höhe der ursprünglichen Rate beträgt gerundet R = € 23.841. Der Zinssatz ist 4,8 % p. a.
– Berechnen Sie die neue Ratenhöhe R
neu
. (Runden Sie das Ergebnis auf ganze Euro.)
c) Die Bank bietet zur Rückzahlung des Kredits von € 375.000 folgende Möglichkeit an:
5 Jahre nach Auszahlung des Kreditbetrags wird einmalig eine Zahlung der Höhe x ent
richtet. Der Rest wird durch eine 10 Jahre nach Auszahlung des Kreditbetrags beginnen
de Rente mit vorschüssigen Jahresraten der Höhe R über 20 Jahre abgedeckt.
Es ist bei allen Zahlungen von einem Jahreszinssatz i auszugehen.
– Modellieren Sie eine Formel zur Berechnung des Einmalbetrags x .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Teemischungen
Aufgabennummer: B_203
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
In einer Apotheke werden nach eigenem Rezept Teemischungen hergestellt und verkauft. Die nach-
stehende Tabelle gibt an, wie viel Gramm von einigen Zutaten jeweils in einer Packung Teemischung
enthalten sind.
Erkältungstee Hustentee Beruhigungstee Blasentee Gallentee
Süßholzwurzel 5 28 4 5 0
Fenchel 5 23 5 5 5
Ringelblumenblüten 0 0 4 5 5
a) – Erstellen Sie einen passenden Gozinto-Graphen, der die Verflechtung zwischen Zutaten und
Teemischungen wiedergibt.
b) – Interpretieren Sie die Bedeutung der folgenden Berechnung:
�
5 28 4 5 0
5 23 5 5 5
0 0 4 5 5
� ∙
⎝
⎜
⎛
10
10
10
10
10 ⎠
⎟
⎞
= �
420
430
140
�
– Interpretieren Sie die Bedeutung der Zahl 430 in der Ergebnismatrix.
c) Ein Angestellter der Apotheke hat 390 g Süßholzwurzel, 360 g Fenchel und 110 g Ringelblu-
menblüten zu Hustentee, Beruhigungstee und Blasentee verarbeitet.
– Erstellen Sie ein geeignetes Modell zur Berechnung, wie viele Packungen der einzelnen Tee-
sorten er jeweils hergestellt hat.
– Berechnen Sie die Anzahl der hergestellten Packungen.
d) Die Zutaten Süßholzwurzel, Fenchel und Ringelblumenblüten kann die Apotheke bei 3 ver-
schiedenen Lieferanten beziehen. Die folgende Tabelle gibt die Preise in € pro 100 g an:
Lieferant A Lieferant B Lieferant C
Süßholzwurzel € 3,35 € 3,85 € 3,30
Fenchel € 3,13 € 3,00 € 3,30
Ringelblumenblüten € 3,85 € 3,90 € 3,60
Die Apotheke möchte in jedem Fall alle 3 Produkte beim gleichen Lieferanten beziehen. Es wer-
den 1 600 g Süßholzwurzel, 1 800 g Fenchel und 500 g Ringelblumenblüten benötigt.
– Berechnen Sie die für die Apotheke entstehenden Kosten bei allen 3 Lieferanten.
– Beurteilen Sie, welcher der Lieferanten für die Apotheke insgesamt am günstigsten ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit pas-
senden Maßeinheiten anzugeben.

USB-Sticks
Aufgabennummer: B_191
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Ein Unternehmen bringt USB-Sticks auf den Markt.
a) Für bestimmte USB-Sticks werden die in der nachstehenden Tabelle aufgelisteten Ge-
winne G in Abhängigkeit von der Absatzmenge x der Ware ermittelt:
§ x 0 10 20
§ G ( x ) –1,4 6,4 1,4
x … Absatzmenge in Mengeneinheiten (ME)
G ( x ) … Gewinn in Geldeinheiten (GE) bei einer Absatzmenge von x ME
Die Gewinnfunktion G wird beschrieben mit:
G ( x ) = ax ² + bx + c mit a , b , c ∈ ℝ
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter a , b und c .
– Ermitteln Sie die Gleichung dieser Gewinnfunktion.
– Beschreiben Sie, was der Parameter c in Bezug auf die Kosten aussagt.
– Erklären Sie, wo sich der Break-even-Point auf dem Graphen der Gewinnfunktion
befindet.
b) Die Erlösfunktion E beim Verkauf von USB-Sticks wird beschrieben mit:
E ( x ) = –1,25 x
2
+ 21 x
x … Absatzmenge in Mengeneinheiten (ME)
E ( x ) … Erlös in Geldeinheiten (GE) bei einem Absatz von x ME
– Ermitteln Sie den relevanten Definitionsbereich der Erlösfunktion.
– Erstellen Sie die Gleichung zur Berechnung der mittleren Änderungsrate der
Erlösfunktion im Intervall [9; 15].
– Berechnen Sie den maximalen Erlös.
– Dokumentieren Sie, wie man mithilfe der Differenzialrechnung den Nachweis für
ein lokales Maximum erbringt.
USB-Sticks 2
c) Ein spezieller Typ von USB-Sticks hat den Höchstpreis von 6 GE/ME und eine Sätti-
gungsmenge von 18 ME.
– Kreuzen Sie diejenige Darstellung der Preisfunktion p in Abhängigkeit von
der Absatzmenge x an, die diese Kriterien erfüllt. [1 aus 5]
x … Absatzmenge in Mengeneinheiten (ME)
p ( x ) … Preis in Geldeinheiten pro Mengeneinheiten (GE/ME)
bei einem Absatz von x in ME
p ( x ) =
1
3
∙ (18 – 6 x ) ☐
p ( x ) = 6 –
x
18
☐
p ( x ) = 6 –
x
2
54
☐
p ( x ) = 6 –
x
2
18
☐
p ( x ) = 6 –
x
90
–
x
3
900
☐
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Beachten Sie, dass die Funktionen – wie in der Wirtschaftsmathematik üblich – näherungs-
weise als stetig angenommen werden, obwohl es sich um diskrete Werte handelt.