Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3451–3500

Backofen* / Haupttermin 2024 / B_614 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Backofen*
S. 18 /24 7. Mai 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2
Aufgabe 8 (Teil B)
Backofen
a) Die Temperatur im Inneren eines Bratens nennt man Kerntemperatur. Sie wird mithilfe eines
Bratenthermometers gemessen.
Der zeitliche Verlauf der Kerntemperatur lässt sich für einen bestimmten Braten modellhaft
durch die Funktion T beschreiben (siehe unten stehende Abbildung).
T ( t ) = a +
100
3
· t · ℯ
1 – c · t
t ... Zeit in h mit t = 0 für den Beginn des Bratvorgangs
T ( t ) ... Kerntemperatur des Bratens zur Zeit t in °C
a , c ... positive Parameter
T ( t ) in °C
t in h
T
T
max
80
70
60
50
40
30
20
10
0
90
1) Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung das größtmögliche Zeitintervall, in dem die Kern-
temperatur mindestens 70 °C beträgt. [0 / 1 P.]
2) Begründen Sie, warum die Stelle des Maximums von T nicht vom Parameter a abhängt.
[0 / 1 P.]
3) Geben Sie mithilfe der obigen Abbildung den Parameter a an.
a = °C [0 / 1 P.]
Die Koordinaten von T
max
können durch die Parameter a und c beschrieben werden.
Es gilt: T
max
=
(
1
c
|
a +
100
3 · c
)
4) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung den Parameter c . [0 / 1 P.]
Backofen* / Haupttermin 2024 / B_614 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
7. Mai 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 19 /24
b) Eine Pizza wird aus dem Backofen genommen und kühlt ab.
Der zeitliche Verlauf der Temperatur dieser Pizza kann näherungsweise durch die Funktion T
beschrieben werden. Die momentane Änderungsrate von T ist jeweils proportional zur Differenz
zwischen T und der Umgebungstemperatur T
U
. Der Proportionalitätsfaktor wird mit k bezeichnet.
t ... Zeit in min
T ( t ) ... Temperatur zur Zeit t in °C
T
U
... Umgebungstemperatur in °C
k > 0 ... Proportionalitätsfaktor in min
–1
1) Stellen Sie eine Differenzialgleichung für T auf. [0 / 1 P.]
2) Zeigen Sie, dass eine allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung lautet:
T ( t ) = T
U
+ C · ℯ
– k · t
[0 / 1 P.]
3) Geben Sie die allgemeine Lösung T
h
der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung an.
T
h
( t ) = [0 / 1 P.]
Für einen bestimmten Abkühlvorgang gilt: k = 0,026 min
–1
, T
U
= 20 °C und T (0) = 200 °C.
4) Ermitteln Sie die spezielle Lösung der Differenzialgleichung für T für diesen Abkühlvorgang.
[0 / 1 P.]

Süßwarenproduktion / Haupttermin 2022 / B_545 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 14 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
Aufgabe 6 (Teil B)
Süßwarenproduktion
Ein Unternehmen produziert Süßwaren.
a) Eine bestimmte Sorte von Schokoriegeln wird im Werk A und im Werk B produziert. Aufgrund
unterschiedlicher Produktionsbedingungen sind die Kostenfunktionen für die Produktion in
den beiden Werken unterschiedlich.
x … Produktionsmenge in ME
KA ( x ) … Gesamtkosten im Werk A bei der Produktionsmenge x in GE
KB ( x ) … Gesamtkosten im Werk B bei der Produktionsmenge x in GE
Bei der Produktionsmenge x
1
sind die jeweiligen Gesamtkosten in beiden Werken gleich hoch.
1) Argumentieren Sie, dass bei der Produktionsmenge x
1
auch die jeweiligen Durchschnitts-
kosten in beiden Werken gleich hoch sind. [0 / 1 P.]
Für KA
gilt:
KA ( x ) = 0,0001 ∙ x
2
+ 0,17 ∙ x + 200
Für KB
gilt:
KB
ist eine lineare Funktion. Die Fixkosten betragen 260 GE, die variablen Stückkosten be-
tragen 0,3 GE/ME.
2) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion KB
auf. [0 / 1 P.]
3) Berechnen Sie diejenige Produktionsmenge, bei der die jeweiligen Grenzkosten in beiden
Werken gleich hoch sind. [0 / 1 P.]
Süßwarenproduktion / Haupttermin 2022 / B_545 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 15 /24
b) Die Gesamtkosten bei der Produktion von Waffelschnitten können durch die lineare Kosten-
funktion K beschrieben werden.
K ( x ) = a ∙ x + b
x … Produktionsmenge in ME
K ( x ) … Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE
In Abbildung 1 sind die Graphen der Grenzkostenfunktion K ′ und der Durchschnittskosten-
funktion K dargestellt.
x in ME
0 5
0
0,6
2
K ′ ( x ), K ( x ) in GE/ME
K ′
K
14 12 10 8 6 4 2 0 16
14
12
10
8
6
4
2
0
16
K ( x ) in GE
x in ME
Abbildung 1 Abbildung 2
1) Geben Sie die Steigung a der Kostenfunktion K an.
a = GE/ME [0 / 1 P.]
2) Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Graphen der Kostenfunktion K ein. [0 / 1 P.]
Süßwarenproduktion / Haupttermin 2022 / B_545 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 16 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK
c) Für die Produktion von Schokolinsen sind die Kostenfunktion K und die Erlösfunktion E be-
kannt:
K ( x ) = 0,0003 ∙ x
3
– 0,017 ∙ x
2
+ 0,4 ∙ x + 40
E ( x ) = 1,5 ∙ x
x … produzierte bzw. abgesetzte Menge in ME
K ( x ) … Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE
E ( x ) … Erlös bei der Absatzmenge x in GE
1) Stellen Sie eine Gleichung der Gewinnfunktion G auf. [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie den maximalen Gewinn. [0 / 1 P.]
Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
K ( x ) =
K ( x )
x
= 0,0003 ∙ x
2
– 0,017 ∙ x + 0,4 +
40
x
0,0006 ∙ x – 0,017 –
40
x
2 = 0 ⇒ x ≈ 52,5
3) Interpretieren Sie die Zahl 52,5 im gegebenen Sachzusammenhang. [0 / 1 P.]

Werkzeugproduktion / Wintertermin 2023 / B_569 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 16 /20 11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM
Aufgabe 7
Werkzeugproduktion
In einer Fabrik werden Werkzeuge hergestellt. Der Fabrik ist auch ein Shop für den Direktverkauf
angeschlossen.
a) Im Shop ist der Erlös aus dem Verkauf eines bestimmten Schraubenziehers, der zu einem
fixen Preis verkauft wird, erfasst worden:
verkaufte Menge in ME Erlös in GE
50 250
110 605
Die Daten in der obigen Wertetabelle sind allerdings fehlerhaft.
1) Weisen Sie nach, dass die obige Wertetabelle nicht zur Erlösfunktion des Schraubenziehers
passen kann. [0 / 1 P.]
Es stellt sich heraus, dass nur der Erlös aus dem Verkauf von 50 ME korrekt erfasst wurde.
2) Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen der zugehörigen Erlös-
funktion E ein. [0 / 1 P.]
x in ME
K ( x ), E ( x ) in GE
400 300 200 100 0 500
2 500
2 000
1 500
500
1 000
0
3 000
K
x ... produzierte bzw. abgesetzte Menge in ME
K ( x ) ... Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE
E ( x ) ... Erlös bei der Absatzmenge x in GE
3) Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Gewinngrenzen ab.
untere Gewinngrenze: ME
obere Gewinngrenze: ME [0 / 1 P.]
Werkzeugproduktion / Wintertermin 2023 / B_569 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 17 /20
4) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass für die Funktionen E und K eine richtige Aussage entsteht.
[0 / 1 P.]
Wenn für eine Menge x
0
der Zusammenhang
1
gilt, dann ist
2
.
1
E ( x
0
) = K ( x
0
)
E ′ ( x
0
) = K ′ ( x
0
)
E ( x
0
) > K ( x
0
)
2
x
0
kleiner als der
Break-even-Point
x
0
= 0
x
0
diejenige Menge, bei der
der Gewinn maximal ist
b) Für die Produktion eines bestimmten Werkzeugs wird ein Rohstoff in Packungen angeliefert.
Die Masse dieser Packungen ist annähernd normalverteilt mit einem Erwartungswert von 5 kg.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
Masse in kg
5,2 5,1 5,0 4,9 4,8 4,7 5,3
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Masse einer zufällig ausgewählten Packung um höchstens
0,1 kg vom Erwartungswert abweicht, beträgt 90 %.
1) Veranschaulichen Sie diese Wahrscheinlichkeit in der obigen Abbildung. [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung. [0 / 1 P.]

Niedrigzinsphase / Wintertermin 2023 / B_568 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 13 /20 11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM
Aufgabe 6
Niedrigzinsphase
Infolge der Finanzmarktkrise 2008 entstand eine über Jahre andauernde Phase niedriger Zinsen.
a) Für einen Kredit mit jährlich nachschüssigen Annuitäten in Höhe von je € 12.000 wurde in der
Zeit vor der Niedrigzinsphase ein fixer Jahreszinssatz i vereinbart.
Die Zeile des Tilgungsplans für das Jahr 7 ist gegeben:
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
7 € 3.628,87 € 8.371,13 € 12.000,00 € 78.030,55
1) Berechnen Sie den Jahreszinssatz i . [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Höhe des Kredits. [0 / 1 P.]
Nach dem Jahr 7 wird mit der Bank über einen neuen Zinssatz verhandelt. Mit dem ursprüng-
lichen Zinssatz ergibt sich im Tilgungsplan folgende Zeile für das Jahr 8:
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
8 Z
8
T
8
€ 12.000,00 K
8
Mit dem neuen, niedrigeren Zinssatz ergibt sich im Tilgungsplan folgende Zeile für das Jahr 8:
Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
8 Z
neu
T
neu
€ 12.000,00 K
neu
Diese beiden Zeilen für das Jahr 8 werden verglichen.
3) Tragen Sie jeweils das richtige Zeichen („<“ oder „>“) ein.
Z
neu
Z
8
T
neu
T
8
K
neu
K
8
[0 / 1 P.]
Niedrigzinsphase / Wintertermin 2023 / B_568 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 14 /20
b) Bei Tilgungsplänen können verschiedene Sonderfälle auftreten.
1) Ordnen Sie den beiden Satzanfängen jeweils eine Fortsetzung aus A bis D so zu, dass
zutreffende Aussagen entstehen. [0 / 1 P.]
Wenn der Tilgungsanteil
in einem bestimmten Jahr
gleich 0 ist,
Wenn der Tilgungsanteil
in einem bestimmten Jahr
negativ ist,
A
so wird die Restschuld in
diesem Jahr vollständig
beglichen.
B
so ist die Restschuld in
diesem Jahr niedriger als
im vorhergehenden Jahr.
C
so werden in diesem Jahr
nur die anfallenden Zinsen
beglichen.
D
so wird in diesem Jahr
weniger als die anfallenden
Zinsen zurückgezahlt.
c) In 8 Jahren sollen € 50.000 angespart werden. Die nachstehende Gleichung beschreibt den
Ansparplan für einen positiven Jahreszinssatz.
R ∙
q
3
– 1
q – 1
∙ q
5
+ 20 000 ∙ q
2
= 50 000
R ... Rate
q ... jährlicher Aufzinsungsfaktor
1) Tragen Sie alle Raten R und den Betrag in Höhe von € 20.000 auf der nachstehenden Zeit-
achse ein. [0 / 1 / 2 P.]
Zeit in Jahren
8 7 5 3 1 6 4 2 0
€ 50.000
2) Berechnen Sie die Höhe der Rate R für den Fall, dass der Zinssatz 0 % p. a. ist. [0 / 1 P.]
Niedrigzinsphase / Wintertermin 2023 / B_568 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HLFS, HUM S. 15 /20
d) Die Europäische Zentralbank legt einen sogenannten Leitzinssatz fest. Seit der Finanzmarkt-
krise 2008 ist der Leitzinssatz gesunken (siehe nachstehende Tabelle):
Zeit ab 1.1.2008 in Jahren 0 1 2 3 4 5 6 7
Leitzinssatz in Prozent 4,00 2,50 1,00 1,00 1,00 0,75 0,25 0,05
Datenquelle: https://www.finanzen.net/leitzins/@historisch [21.10.2020].
Die zeitliche Entwicklung des Leitzinssatzes soll mithilfe von exponentieller Regression durch
die Funktion L modelliert werden.
L ( t ) = a · b
t
t ... Zeit ab 1.1.2008 in Jahren
L ( t ) ... Leitzinssatz zur Zeit t in Prozent
1) Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der Funktion L auf. [0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie den Zeitraum, in dem sich der Leitzinssatz gemäß der Funktion L jeweils
halbiert. [0 / 1 P.]

Spielzeugautos (1)
Aufgabennummer: B_200
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
In der nachstehenden Grafik ist eine Kostenfunktion für die Produktion eines Spielzeugautos
dargestellt.
a) – Zeichnen Sie in der Grafik das Betriebsoptimum ein.
– Begründen Sie Ihre Vorgangsweise.
b) Analysen der anfallenden Produktionskosten haben ergeben, dass die mittlere
Kostenänderung bei einer Erhöhung der Produktionsmenge von 10 ME auf 12 ME
17,5 GE/ME beträgt. Die Grenzkosten bei einer Produktion von 10 ME betragen
19,7 GE/ME.
– Erklären Sie, warum sich die mittlere Kostenänderung und die Grenzkosten
unterscheiden.
c) Die Gleichung der Kostenfunktion K lautet K ( x ) = 0,03 x ³ – 2,05 x ² + 51,7 x + 305,
wobei x in Mengeneinheiten (ME) und K ( x ) in Geldeinheiten (GE) gegeben ist.
Das Produkt kann zum Preis von 35,2 GE/ME verkauft werden.
– Berechnen Sie die Verkaufsmenge x, ab der das Unternehmen mit diesem Produkt
einen Gewinn erzielen kann.
1 500
1 000
500
x in ME
K ( x ) in GE
Spielzeugautos (1) 2
d) In der nachstehenden Grafik sind die Angebots- und die Nachfragefunktion für das
Produkt, die am Markt ermittelt wurden, dargestellt.
– Interpretieren Sie den Flächeninhalt des dargestellten Rechtecks.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
x in ME
p in GE/ME

Beleuchtungskörper
Aufgabennummer: B_226
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Aus Gründen des Klimaschutzes ist man bemüht, energiesparende Beleuchtungskörper zu verwenden. Um unter-
schiedliche Lichtquellen vergleichen zu können, muss man nicht nur ihre Leistung in Watt (W), sondern auch ihren
abgestrahlten Lichtstrom in Lumen (lm) kennen.
a) Eine 12-Watt-Energiesparlampe und eine 9-Watt-LED-Lampe haben den gleichen Lichtstrom.
Die Graphen stellen die Kosten für diese beiden Lampen abhängig von der Betriebsdauer dar.
– Vergleichen Sie die Graphen hinsichtlich Anschaffungskosten, durchschnittlicher Lebensdauer und
Betriebskosten.
– Lesen Sie aus der Grafik ab, ab welcher Betriebsdauer sich die Anschaffung einer LED-Lampe auszahlt.
K ( t ) … Kosten in Euro ( € ) nach t Betriebsstunden
t … Betriebsdauer in Stunden (h)
b) Für Kindergarten-Gruppenräume schreibt die europäische Beleuchtungsnorm als Mindest-Beleuchtungs-
stärke 300 Lumen pro Quadratmeter (lm/m ² ) vor.
Ein Kindergarten mit einer auszuleuchtenden Fläche von 740 m ² soll mit einer neuen Beleuchtung ausge-
stattet werden.
Gehen Sie bei den folgenden Berechnungen von einem Strompreis von € 0,18 pro Kilowattstunde aus und
nehmen Sie an, dass in 1 Jahr 1 200 Betriebsstunden anfallen. (Hinweis: Energie = Leistung × Zeit.)
Es stehen 2 Systeme zur Wahl:
Anschaffungspreis angegebene Leistung Lichtstrom
Gehäuse mit 4 Leuchtstoffröhren € 80,50 56 W 4 800 lm
LED-Lichtpaneel € 275,00 45 W 4 500 lm
– Berechnen Sie für beide Varianten die Anschaffungskosten und die Energiekosten für 1 Jahr.
Hinweis zur Aufgabe:
Geben Sie die Ergebnisse so an, dass sie klar nachvollziehbar sind und der Aufgabenstellung entsprechen.
10
0 2000
K ( t ) in €
t in h
4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000
20
30
40
50
60
70
80

Elektronikhersteller
Aufgabennummer: B-C6_23
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Ein Elektronikhersteller erzeugt Spielkonsolen und Gamecontroller.
a) Die folgende Tabelle gibt die Grenzkosten K ′ ( x ) in Abhängigkeit von der Produktions-
menge x von Spielkonsolen an:
x 100 150 200 250 300 350 400
K ′ ( x ) 125 105 102 114 141 184 242
x … Produktionsmenge in Stück (STK)
K ′ ( x ) … Grenzkosten in Euro pro Stück ( € /STK)
– Erstellen Sie mithilfe einer Regression eine passende quadratische Grenzkostenfunktion.
– Erklären Sie, wie man hier die Kostenkehre berechnet.
– Erklären Sie die Bedeutung der Kostenkehre.
– Berechnen Sie die Gleichung der Gesamtkostenfunktion bei Fixkosten von € 11.200.
b) Die nachstehende Grafik zeigt die Stückkosten in Abhängigkeit von der erzeugten
Menge an Spielkonsolen.
– Lesen Sie die langfristige Preisuntergrenze ab.
– Erklären Sie, welcher Erlös zu erwarten ist, wenn man die dem Betriebsoptimum
entsprechende Menge an Spielkonsolen produziert und alle zum Preis der lang-
fristigen Preisuntergrenze verkauft.
– Lesen Sie aus der Grafik die Stückkosten bei der Herstellung von 450 Konsolen ab.
– Ermitteln Sie den Marktpreis, mit dem eine Konsole verkauft werden muss, wenn
450 Konsolen hergestellt und mit einen Gewinn von € 20.000 verkauft werden sollen.
Elektronikhersteller 2
c) Die umfangreiche Produktion der Gamecontroller weist eine annähernd normalverteilte
Menge von defekten Geräten auf. Pro Tag beträgt der Erwartungswert in der gesamten
Großproduktion 15 Mengeneinheiten (ME) defekter Controller mit einer Standardabwei-
chung von 3, 9 ME. Der Geschäftsführer möchte wissen, mit welcher Wahrscheinlich-
keit höchstens 20 ME einer Tagesproduktion defekt sind.
– Kreuzen Sie diejenige Skizze an, deren farbig unterlegter Bereich diesen Sachverhalt
darstellt. [1 aus 5]
– Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit.
☐
☐
☐
☐
☐
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.