Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3351–3400

Kondensator*
Aufgabennummer: B_496
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Kondensator ist ein elektronisches Bauelement, das mithilfe einer Batterie aufgeladen
werden kann. Ist der Kondensator bei einem Aufladevorgang zu Beginn ungeladen, so kann
der Verlauf der Kondensator spannung durch die Funktion u beschrieben werden.
u ( t ) = U
0
· (1 – ℯ
– t
τ ) mit t ≥ 0
t ... Zeit in s
u ( t ) ... Kondensatorspannung zur Zeit t in Volt (V)
U
0
... Spannung der Batterie (konstant) in V
τ ... Zeitkonstante in s
a) Die zugehörige Differenzialgleichung für die Kondensatorspannung u lautet:
τ ·
d u
d t
+ u = U
0
1) Berechnen Sie mithilfe der Methode Trennen der Variablen die allgemeine Lösung dieser
Differenzialgleichung.
2) Zeigen Sie, dass die Lösung der Differenzialgleichung für die Anfangsbedingung u (0) = 0
der oben angegebenen Funktion u entspricht.
b) 1) Begründen Sie anhand der oben angegebenen Funktionsgleichung, warum die Konden-
satorspannung für t → ∞ asymptotisch gegen U
0
geht.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In der nachstehenden Abbildung ist der Verlauf der Kondensatorspannung für U
0
= 20 V
dargestellt.
0,02 0
0
5
10
15
19
20
u ( t ) in V
t in s
0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14
1) Berechnen Sie die Zeitkonstante τ .
Kondensator 2
d) In der nachstehenden Abbildung ist der Verlauf der Kondensatorspannung bei einem
Aufladevorgang dargestellt.
0
0
u ( t ) in V
t in s
u
1) Markieren Sie diejenige Stelle, an der die 1. Ableitung von u im dargestellten Bereich
den maximalen Wert annimmt.
Der Inhalt der grau markierten Fläche und der Flächeninhalt des Rechtecks mit den
Seiten längen t
1
und a sind gleich groß (siehe nachstehende Abbildung).
0
a
t
1
0
t in s
u ( t ) in V
u
2) Beschreiben Sie die Bedeutung von a im gegebenen Sachzusammenhang.
3) Erstellen Sie mithilfe der Funktion u eine Formel zur Berechnung von a .
a =
Kondensator 3

BMX-Bahn*
Aufgabennummer: B_497
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Für den Bau einer BMX-Bahn wird ein Plan erstellt. In der nachstehenden Abbildung ist die
Profil linie einer geplanten Teilstrecke dargestellt.
Höhe in m
x in m
5
3
2
0
0 4 16 24 32
f
P
S
g
h
a) Die Profillinie wird bis zum Punkt P näherungsweise durch die lineare Funktion f beschrie-
ben.
Die Profillinie zwischen den Punkten P und S wird näherungsweise durch die Polynomfunk-
tion 3. Grades g mit g ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d beschrieben.
Im Punkt P hat die Polynomfunktion g die gleiche Steigung wie die lineare Funktion f .
Im Punkt S beträgt ihr Steigungswinkel 42°.
1) Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu P und S ein Gleichungssystem zur Berech-
nung der Koeffizienten a , b , c und d.
2) Übertragen Sie dieses Gleichungssystem in Matrizenschreibweise.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein Teil der Profillinie wird näherungsweise durch die Funktion h beschrieben:
h ( x ) = 0,7 · sin( b · x + c ) + d mit x ≥ 16
Der Graph der Funktion h berührt die x -Achse.
1) Geben Sie den Parameter d der Funktion h an.
2) Ermitteln Sie den Höhenunterschied zwischen dem Punkt S und dem Maximum von h .
3) Ermitteln Sie den Parameter b der Funktion h .
c) Im 1. Abschnitt der Teilstrecke wirkt auf einen BMX-Fahrer die Gewichtskraft F
G
.
y in m
x in m
f
5
3
0
0 4
α
F
1) Berechnen Sie den Winkel α .
Die Gewichtskraft F
G
kann in zwei Komponenten zerlegt werden:
Eine Komponente ist die Hangabtriebskraft F
H
. Diese ist parallel zur Geraden f .
Die andere Komponente ist die Normalkraft F
N
. Diese ist normal zur Geraden f .
2) Veranschaulichen Sie in der oberen Abbildung die Zerlegung der Gewichtskraft F
G
in die
Komponenten F
H
und F
N
.
3) Berechnen Sie | F
H
| für | F
G
| = 900 Newton.
BMX-Bahn 2

Tunnelvortrieb*
Aufgabennummer: B_521
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Für eine Eisenbahnstrecke wird ein Tunnel gegraben.
a) In der nebenstehenden Abbildung 1 ist ein Bagger für
den Tunnelbau dargestellt.
B
A
C
b
a
Abbildung 1
In der nachstehenden Abbildung 2 ist eine bestimmte Baggerposition dargestellt.
B
A
C
b
d
a
α
γ
β
Abbildung 2
1) Veranschaulichen Sie in Abbildung 2 diejenige Länge s , die durch den nachstehenden
Ausdruck berechnet werden kann.
s = a ∙ cos( α )
Es gilt:
a = 4,65 m
b = 4,50 m
β = 110°
2) Berechnen Sie die Länge d .
* ehemalige Klausuraufgabe
3) Kreuzen Sie die richtige Formel zur Berechnung des Winkels γ an. [1 aus 5]
γ = α – arccos
(
a
d
)
γ = α – arcsin
(
b ∙ sin( β )
d
)
γ = arcsin
(
a ∙ sin( α )
d
)
γ = α –
(
180° – β
2
)
γ = arccos
(
b
2
+ d
2
– a
2
2 ∙ b ∙ d
)
b) Ein Teil des anfallenden Materials wird aufgeschüttet. Der dabei entstehende Schüttkegel
hat einen Neigungswinkel von 32° (siehe nachstehende Abbildungen).
32°
r
Bildquelle: Anton, CC BY-SA 3.0, https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Schuettwinkelrp.jpg [06.04.2021] (adaptiert).
1) Berechnen Sie den Radius r eines solchen Schüttkegels mit einem Volumen von 200 m
3
.
Tunnelvortrieb 2
c) Beim Ausbau des Tunnels werden vorgefertigte Betonelemente eingesetzt. Die Breite
dieser Betonelemente ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 5 m und
der Standardab weichung σ = 0,005 m.
Zur Qualitätssicherung werden Zufallsstichproben mit dem Stichprobenumfang n = 10
entnommen und die Stichprobenmittelwerte der Breiten ermittelt.
1) Geben Sie den Erwartungswert μ
x
und die Standardabweichung σ
x
für die Verteilung
dieser Stichprobenmittelwerte an.
μ
x
= m
σ
x
= m
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Stichprobenmittelwerte zwischen
4,996 m und 5,004 m liegen.
f
1
ist die Dichtefunktion für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit dem
Stichproben umfang n
1
= 6.
f
2
ist die Dichtefunktion für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit dem
Stichproben umfang n
2
.
3) Ermitteln Sie mithilfe der nachstehenden Abbildung den Stichprobenumfang n
2
.
Wendepunkt von f
2
Wendepunkt von f
1
Stichprobenmittelwerte der
Breiten der Betonelemente
μ
f
2
f
1
–
1
μ σ +
1
μ σ + μ
1 σ
2
– μ
1 σ
2
Tunnelvortrieb 3

Attersee*
Aufgabennummer: B_524
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Der zeitliche Verlauf der Temperatur des Attersees kann modellhaft durch die Funktion f
beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
f ( t ) in °C
f
t in Tagen
330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 0 360
3
0
23 f ( t ) = a · sin
(
b · t –
2 ∙ π
3
)
+ c
mit 0 ≤ t ≤ 360
t ... Zeit in Tagen
f ( t ) ... Temperatur zur Zeit t in °C
a , b , c ... Parameter
1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung den Parameter b .
2) Ordnen Sie den beiden Größen jeweils den zutreffenden Zahlenwert aus A bis D zu.
Amplitude von f
linearer Mittelwert (Integralmittel-
wert) von f im Intervall [30; 210]
A 10
B 12
C 13
D 23
Zur Zeit t = 120 betrug die tatsächlich gemessene Temperatur 12 °C.
3) Geben Sie den Betrag des absoluten Fehlers an, der entsteht, wenn man statt der tat-
sächlich gemessenen Temperatur den Funktionswert an der Stelle t = 120 verwendet.
* ehemalige Klausuraufgabe
Zur Überprüfung der Qualität der Modellfunktion f werden 1 000 Messwerte y
i
der Tempe-
ratur zu verschiedenen Zeiten t
i
erhoben.
Für jeden dieser Messpunkte ( t
i
| y
i
) wird die Differenz des Messwerts y
i
zum Funktionswert
f ( t
i
) ermittelt. Diese Differenzen werden jeweils quadriert und danach aufsummiert. Die so
erhaltene Summe wird mit s bezeichnet.
4) Vervollständigen Sie die nachstehende Formel zur Berechnung von s .
s =
i = 1
∑
1 000
b) Der pH-Wert von Wasser wird mithilfe der Konzentration c der Wasserstoffionen berech-
net.
Auf der nachstehenden logarithmischen Skala ist die Konzentration c
1
einer Wasserprobe
aus dem Attersee eingetragen.
c in mol/L
c
1
10
–9
10
–10
1) Lesen Sie den Wert von c
1
ab.
c
1
= mol/L
Für den Zusammenhang zwischen der Konzentration c und dem pH-Wert gilt: pH = –lg( c ).
Eine andere Wasserprobe wird untersucht. Das Messgerät zeigt dabei einen pH-Wert von
8,0 an. Aufgrund der Messungenauigkeit muss der tatsächliche pH-Wert der Wasserprobe
zwischen 7,9 und 8,1 liegen. Die Konzentration, die einem pH-Wert von 8,0 entspricht,
wird mit c
2
bezeichnet.
2) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Konzentration der Wasserprobe höchstens
unter bzw. über der Konzentration c
2
liegt.
Attersee 2
c) Die beiden Orte Nußdorf und Weyregg liegen auf einander gegenüberliegenden Ufern des
Attersees.
Die Schiffsanlegestellen Nußdorf ( N ) und Weyregg ( W ) sind im nachstehenden
Koordinatensystem dargestellt.
y
x
N
W
O
NW
Die Entfernung zwischen den Punkten N und W beträgt 3,5 km.
Die Gerade durch die Punkte N und W hat den Richtungsvektor v =
(
4
3
)
.
1) Ermitteln Sie den Vektor NW .
Attersee 3

Förderband*
Aufgabennummer: B_525
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein neues Förderband wird geplant (siehe unten stehende Abbildung). Es soll bis zum Punkt P
horizontal verlaufen, dann einen Höhenunterschied von 1 m überwinden und ab dem Punkt Q
wieder horizontal verlaufen. Im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 soll der Verlauf des Förderbands mithilfe einer
Funktion h beschrieben werden.
h ( x ) in m
x in m
P = (0 | 1)
Q = (8 | 2)
h
0 4 8
0
1
2
3
Für die Modellierung der Funktion h werden verschiedene Varianten überlegt. Der Graph der
Funktion h soll durch die Punkte P und Q verlaufen und dort jeweils eine waagrechte Tangente
haben.
a) Im Modell A wird der Verlauf des Förderbands im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 durch die Polynom
funktion 3. Grades h mit h ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d beschrieben.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von h .
2) Berechnen Sie diese Koeffizienten.
b) Im Modell B wird der Verlauf des Förderbands im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 durch die Funktion h
mit h ( x ) = a ∙ cos
(
π
8
∙ x
)
+ d beschrieben.
1) Geben Sie mithilfe der obigen Abbildung die Parameter a und d an.
a =
d =
* ehemalige Klausuraufgabe
Das Förderband soll an keiner Stelle eine Steigung von mehr als 20 % haben.
2) Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Vorgabe im Modell B eingehalten wird.
c) Nach dem Punkt Q verläuft das Förderband 4 m horizontal bis zum Punkt R . Vom Punkt
R bis zum Punkt S wird der Verlauf des Förderbands durch die Funktion h
1
beschrieben.
(Siehe nachstehende Abbildung.)
h ( x ), h
1
( x ) in m
x in m
P
Q R
h
0 4 20 16 12 8
0
1
2
3
h
1
S
Der Graph der Funktion h
1
entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion h .
1) Kreuzen Sie die richtige Funktionsgleichung von h
1
an. [1 aus 5]
h
1
( x ) = h ( x – 12) – 1
h
1
( x ) = h ( x – 4) – 1
h
1
( x ) = h ( x + 4) + 1
h
1
( x ) = h ( x + 12) + 1
h
1
( x ) = h ( x – 12) + 1
2) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge L des Förderbands vom Punkt P bis
zum Punkt S auf.
L =
Förderband 2

Körpermaße (2) / Wintertermin 2022 / B_534 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 13 /19 12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 6 (Teil B)
Körpermaße (2)
a) In einer Schule werden die Oberarmlängen von Mädchen und Burschen einer bestimmten
Altersgruppe erhoben.
Die Daten einer Stichprobe von 6 Mädchen sind in der nachstehenden Tabelle angegeben.
Oberarmlänge in cm 35,8 36,9 37,6 37,8 36,0 37,0
1) Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert x und die Stichprobenstandardabweichung sn
– 1
für die Oberarm länge der Mädchen dieser Stichprobe. [0 / 1 P.]
Die Oberarmlänge von Burschen dieser Altersgruppe kann als annähernd normalverteilt an-
genommen werden. Aus einer Stichprobe von 9 Burschen werden für die Oberarmlänge der
Stichprobenmittelwert x = 34,7 cm und die Stichprobenstandardabweichung sn
– 1
= 0,4 cm
ermittelt.
2) Ermitteln Sie den zweiseitigen 95-%-Vertrauensbereich für den Erwartungswert der Ober-
armlänge von Burschen dieser Alters gruppe. [0 / 1 P.]
b) Von 9 zufällig ausgewählten Mädchen einer anderen Altersgruppe wurden die Oberarmlänge
und die Körpergröße gemessen:
Körpergröße in cm 165 164 166 159 163 170 158 168 172
Oberarmlänge in cm 34,5 34,7 34,6 34,0 34,5 35,0 33,8 34,9 34,9
Die Oberarmlänge soll in Abhängigkeit von der Körpergröße näherungsweise durch die lineare
Funktion g beschrieben werden.
1) Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der linearen Funktion g auf.
[0 / 1 P.]
2) Beurteilen Sie mithilfe des Korrelationskoeffizienten, ob die lineare Funktion g ein geeignetes
Modell zur Beschreibung dieser Abhängigkeit ist. [0 / 1 P.]
3) Interpretieren Sie den Wert der Steigung der linearen Funktion g im gegebenen Sachzu-
sammenhang. [0 / 1 P.]
Körpermaße (2) / Wintertermin 2022 / B_534 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 14 /19
c) Der Median des Körperfettanteils von Burschen ist altersabhängig (siehe nachstehende Tabelle).
Alter in Jahren 10 12 14 16
Median des Körperfettanteils in Prozent 18,9 17,8 14,1 15,7
Der Median des Körperfettanteils kann in Abhängigkeit vom Alter t durch die Polynomfunktion
3. Grades f mit f ( t ) = a ∙ t
3
+ b ∙ t
2
+ c ∙ t + d modelliert werden.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von f . [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie diese Koeffizienten. [0 / 1 P.]
Eine Polynomfunktion 3. Grades h mit h ( x ) = a
1
∙ x
3
+ b
1
∙ x
2
+ c
1
∙ x + d
1
hat 2 lokale Extrem-
stellen.
3) Geben Sie an, welches Vorzeichen die Diskriminante der Gleichung h ′ ( x ) = 0 haben muss.
Begründen Sie Ihre Entscheidung. [0 / 1 P.]

Sinkgeschwindigkeit von Fässern / Wintertermin 2022 / B_536 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 15 /18
Aufgabe 7 (Teil B)
Sinkgeschwindigkeit von Fässern
Über Jahre hinweg wurden Fässer mit Problemstoffen illegal im Meer versenkt.
a) Für die Sinkgeschwindigkeit v
S
der Fässer im Wasser in Abhängigkeit von der Zeit t gilt
an nähernd:
Die momentane Änderungsrate der Sinkgeschwindigkeit ist direkt proportional zur Differenz
zwischen der Endgeschwindigkeit S und der aktuellen Sinkgeschwindigkeit v
S
. Der Proportio-
nalitätsfaktor wird mit k bezeichnet.
1) Kreuzen Sie diejenige Gleichung an, die diesen Sachverhalt richtig beschreibt. [1 aus 5]
[0 / 1 P.]
d v S
d t
= k · ( S – v
S
)
d v S
d t
= k · S – v
S
d v S
d t
= S – k · v
S
d v S
d t
=
k
S – v
S
d v S
d t
= S –
k
v
S
b) Für bestimmte Fässer kann die Sinkgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit näherungs-
weise durch die nachstehende Differenzialgleichung beschrieben werden.
d v
d t
+ 0,25 · v = 2
t … Zeit in s
v ( t ) … Sinkgeschwindigkeit zur Zeit t in m/s
1) Zeigen Sie mithilfe der Methode Trennen der Variablen , dass die allgemeine Lösung der
zugehörigen homogenen Differenzialgleichung durch v
h
( t ) = C · ℯ
–0,25 · t
gegeben ist.
[0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der gegebenen inhomogenen Differenzialgleichung.
[0 / 1 P.]
Sinkgeschwindigkeit von Fässern / Wintertermin 2022 / B_536 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 16 /18
c) Von einem Schiff aus werden bestimmte Fässer über Bord geworfen. Diese sinken nach dem
Eintauchen ins Wasser senkrecht nach unten. Die Sinkgeschwindigkeit dieser Fässer im Wasser
lässt sich näherungsweise durch die Funktion v
1
beschreiben.
v
1
( t ) = 8 – 5 · ℯ
– 0,25 ∙ t
mit t ≥ 0
t … Zeit nach dem Eintauchen ins Wasser in s
v
1
( t ) … Sinkgeschwindigkeit zur Zeit t in m/s
1) Berechnen Sie die Sinkgeschwindigkeit der Fässer beim Eintauchen ins Wasser. [0 / 1 P.]
2) Argumentieren Sie mathematisch, dass die Beschleunigung zum Zeitpunkt t
0
= 0 s am
größten ist. [0 / 1 P.]
3) Berechnen Sie, nach welcher Zeit ein solches Fass eine Wassertiefe von 100 m erreicht.
[0 / 1 P.]

Grundstücke und Gebäude / Wintertermin 2022 / B_537 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 17 /18
Aufgabe 8 (Teil B)
Grundstücke und Gebäude
a) In der nachstehenden Abbildung ist ein Betonsockel modellhaft dargestellt.
H E
F
A
G
D
C B
Bei der Darstellung des Modells in einem Koordinatensystem werden folgende Punkte ver-
wendet:
B = (12 | 6 | 2), C = (2 | 26 | 2), D = (–10 | 20 | 0),
E = (–1,5 | 5,5 | 15,5), F = (4,5 | 8,5 | 16,5), G = (–0,5 | 18,5 | 16,5)
Die Grundfläche ABCD ist rechteckig.
1) Weisen Sie nach, dass die Kante BC parallel zur Kante FG ist. [0 / 1 P.]
2) Zeigen Sie, dass das Viereck EFGH im Punkt F einen rechten Winkel hat. [0 / 1 P.]
3) Berechnen Sie denjenigen Winkel, den die Kante BF mit der Diagonalen BD einschließt.
[0 / 1 P.]
b) Die nachstehende Abbildung zeigt die Skizze eines Baugrundstücks.
D
C
B A
d
a
b
c
δ
γ
β α
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts F des skizzierten Baugrund-
stücks auf.
F = [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Länge der Diagonalen BD für a = 40 m, d = 30 m und α = 60°.
[0 / 1 P.]
Grundstücke und Gebäude / Wintertermin 2022 / B_537 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 18 /18
c) Die nachstehenden Abbildungen zeigen die Windmühle Oppelhain in Deutschland.
schematische Darstellung
45°
P
M
Boden
Bildquelle: Edweisch – own work, public domain, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/BockwindmühleOppelhain.jpg [21.11.2018].
Der Drehpunkt M der Flügel befindet sich 13 m über dem Boden.
Die Länge eines Flügels (Strecke MP ) beträgt 10,62 m.
1) Berechnen Sie die Höhe des Punktes P über dem Boden. [0 / 1 P.]
Die Flügel drehen sich mit konstanter Geschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn und benötigen
für eine volle Um drehung 10 s. Die obige schematische Darstellung zeigt die Flügelstellung
zum Zeitpunkt t = 0. Die Höhe des Punktes P über dem Boden kann durch eine Funktion h in
Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden.
h ( t ) = a ∙ sin( ω ∙ t + φ ) + c
t ... Zeit in s
h ( t ) ... Höhe des Punktes P über dem Boden zur Zeit t in m
2) Geben Sie die Parameter a und c der Funktion h an.
a =
c = [0 / 1 P.]
3) Geben Sie die Parameter ω und φ der Funktion h an.
ω =
φ = [0 / 1 P.]

Federung von Mountainbikes / Haupttermin 2023 / B_576 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 18 /24 3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 7
Federung von Mountainbikes
a) Bei hochwertigen Federgabeln (siehe nebenstehendes Foto) wird eine mit
Luft gefüllte Kammer zur Federung verwendet. Der erforderliche Druck
(in der Einheit psi) hängt von der Masse des Fahrers (in kg) ab
(siehe nachstehende Tabelle).
Bildquelle: BMBWF
Masse des Fahrers in kg 55 70 80 90 100
erforderlicher Druck in psi 115 165 200 230 265
Der erforderliche Druck soll in Abhängigkeit von der Masse des Fahrers näherungsweise
durch die lineare Funktion p beschrieben werden.
1) Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der linearen Funktion p auf.
[0 / 1 P.]
Ein bestimmter Fahrer hat eine Masse von 82 kg.
Er berechnet einen Wert für den erforderlichen Druck durch lineare Interpolation mit den
Werten der obigen Tabelle bei 80 kg und 90 kg.
Den so erhaltenen Wert vergleicht er mit demjenigen Wert, der sich bei Verwendung der
linearen Funktion p ergibt.
2) Ermitteln Sie die Differenz dieser beiden Werte. [0 / 1 P.]
b) Eine wichtige Kenngröße einer Feder ist die sogenannte Federkonstante .
Bei der Herstellung einer bestimmten Feder wird angenommen, dass die Federkonstante
annähernd normalverteilt ist. Der Erwartungswert beträgt μ = 80 Newton pro cm (N/cm), die
Standardabweichung beträgt σ = 3 N/cm.
In der Qualitätskontrolle werden Stichproben vom Umfang n = 8 untersucht.
1) Berechnen Sie denjenigen zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem
erwartungsgemäß 99 % aller Stichprobenmittelwerte liegen. [0 / 1 P.]
Eine Stichprobe vom Umfang n = 8 ergab die folgenden Messwerte (in N/cm):
69,77 82,12 80,67 78,72 75,28 75,51 75,66 79,13
2) Überprüfen Sie nachweislich, ob das arithmetische Mittel dieser Stichprobe im oben be-
rechneten Zufallsstreubereich enthalten ist. [0 / 1 P.]
Federung von Mountainbikes / Haupttermin 2023 / B_576 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 19 /24
c) Ein Labor untersuchte die Federgabel eines Vorderrads. Dabei wurde die Federkraft in
Abhängigkeit von der Längenänderung (Stauchung) der Feder gemessen und modellhaft
durch die Funktion F beschrieben. Die Funktion F und die zugehörige 1. Ableitungsfunktion f
sind in den unten stehenden Abbildungen dargestellt.
x ... Längenänderung der Feder in mm
F ( x ) ... Federkraft in Abhängigkeit von x in Newton (N)
f ( x ) ... 1. Ableitung von F in Abhängigkeit von x in N/mm
140 120 100 80 60 40 20 0
1 800
1 600
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
0
2 000 F ( x ) in N
x in mm
F
f ( x ) in N/mm
f
x in mm
140 120 100 80 60 40 20 0
32
24
16
8
40
36
28
20
12
4
0
Abbildung 1 Abbildung 2
1) Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 1 die mittlere Änderungsrate von F im Inter-
vall [60 mm; 95 mm]. Geben Sie das Ergebnis mit der zugehörigen Einheit an. [0 / 1 P.]
2) Lesen Sie aus der Abbildung 1 das Ergebnis des nachstehenden Ausdrucks ab.
∫
130
110
f ( x ) d x = N [0 / 1 P.]
Der Graph der linearen Funktion t mit t ( x ) = 16 ∙ x + d ist an der Stelle x
1
mit 0 ≤ x
1
≤ 40
Tangente an den Graphen der Funktion F .
3) Lesen Sie aus der Abbildung 2 die Stelle x
1
ab.
x
1
= mm [0 / 1 P.]
4) Ordnen Sie auf Basis von Abbildung 2 den beiden Stellen jeweils die zutreffende Aussage
aus A bis D zu. [0 / 1 P.]
x = 40
x = 20
A f ( x ) = 0
B f ( x ) < 0
C f ′ ( x ) < 0
D f ′ ( x ) = 0

Pferdesport / Haupttermin 2023 / B_578 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 17 /24 3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2
Aufgabe 7
Pferdesport
Beim Dressurreiten müssen vorgeschriebene Übungen auf dem rechteckigen Dressurplatz
absolviert werden.
a) Bei der Übung In der Ecke kehrt muss, ausgehend vom Punkt B , die strichliert dargestellte
Figur geritten werden. (Siehe nachstehende Abbildung in der Ansicht von oben.)
B
a
b α
Am Beginn der Figur bewegt sich das Pferd geradlinig in Richtung des Vektors b , am Ende
der Figur geradlinig in Richtung des Vektors a .
1) Stellen Sie mithilfe der Vektoren a und b eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf.
α = [0 / 1 P.]
Bei der Übung Durch die ganze Bahn wechseln wird vom Punkt H zum Punkt F geritten.
Die Strecke UT wird durch die strichliert eingezeichneten Markierungen in 10 gleich große
Teile geteilt. (Siehe nachstehende Abbildung in der Ansicht von oben.)
W
T
F
U H
2) Stellen Sie mithilfe der Vektoren TU und WT eine Formel zur Berechnung des Vektors HF auf.
HF = [0 / 1 P.]
Pferdesport / Haupttermin 2023 / B_578 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 18 /24 3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2
b) In der nachstehenden nicht maßstabgetreuen Abbildung ist der Weg des Pferdes bei der
Übung Schlangenlinie an der langen Seite modellhaft in der Ansicht von oben dargestellt.
y in m
x in m
23 23 3 4
f g
5
O
0,5
Tangente
α
Dieser Weg kann durch 3 Geradenstücke und die Graphen der quadratischen Funktionen f
und g dargestellt werden.
1) Stellen Sie eine Gleichung der quadratischen Funktion f auf. [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie den in der obigen Abbildung dargestellten Winkel α . [0 / 1 P.]
Der Graph der Funktion g entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion f .
3) Kreuzen Sie die richtige Funktionsgleichung von g an. [1 aus 5] [0 / 1 P.]
g ( x ) = f ( x – 30) + 5
g ( x ) = f ( x + 30) + 5
g ( x ) = f ( x – 26)
g ( x ) = f ( x + 26)
g ( x ) = f ( x + 27)
Pferdesport / Haupttermin 2023 / B_578 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 19 /24
c) In der nachstehenden Abbildung ist der Weg des Pferdes bei der Übung Schlangenlinien
durch die ganze Bahn modellhaft in der Ansicht von oben dargestellt.
f ( x ) in m
x in m
f
60
10 19
0
0
f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x + c ) + d mit 0 ≤ x ≤ 60
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
a , b , c , d ... Parameter
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Parameter a und d ab.
a =
d = [0 / 1 P.]
2) Geben Sie die Parameter b und c an.
b =
c = [0 / 1 P.]
3) Berechnen Sie die Länge desjenigen Weges, den das Pferd entlang des Graphen der
Funktion f zurücklegt. [0 / 1 P.]
f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x + c ) + d mit 0 ≤ x ≤ 60
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
a , b , c , d ... Parameter
a > 0, b > 0*
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Parameter a und d ab.
a =
d = [0 / 1 P.]
2) Geben Sie die Parameter b und c an.
b =
c = [0 / 1 P.]
3) Berechnen Sie die Länge desjenigen Weges, den das Pferd entlang des Graphen der
Funktion f zurücklegt. [0 / 1 P.]
*adaptiert am 05.05.2023

Heizungstechnik / Haupttermin 2023 / B_579 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 20 /24 3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2
Aufgabe 8
Heizungstechnik
a) In einem bestimmten Zimmer steigt nach dem Einschalten der Heizung die Temperatur T an.
Der Verlauf der Temperatur T kann modellhaft durch die nachstehende Differenzialgleichung
beschrieben werden.
d T
d t
= a ∙ ( b – T )
t ... Zeit nach dem Einschalten der Heizung in min
T ( t ) ... Temperatur im Zimmer zur Zeit t in °C
a , b ... Parameter
1) Geben Sie die zugehörige homogene Differenzialgleichung an. [0 / 1 P.]
Für die allgemeine Lösung T
h
der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung gilt:
T
h
( t ) = C ∙ ℯ
– t
10
C ... Konstante
2) Ermitteln Sie den Parameter a . [0 / 1 P.]
Eine Lösung der Differenzial-
gleichung
d T
d t
= a ∙ ( b – T ) ist durch
den Graphen der Funktion T in der
nebenstehenden Abbildung dargestellt.
Temperatur in °C
T
Zeit in min
15
10
5
0
20
–5
–10
0 30 25 20 15 10 5 35
3) Ordnen Sie den beiden Ausdrücken jeweils den richtigen Wert aus A bis D zu. [0 / 1 P.]
T (0)
b
A –5
B 0
C 15
D 20
Heizungstechnik / Haupttermin 2023 / B_579 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 21 /24
b) In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Kostenfunktion K und der Graph der
Erlösfunktion E für einen bestimmten Typ von Wärmepumpen dargestellt.
K ( x ), E ( x ), G ( x )
x
E
K
O
x
1
K ( x ) = k ∙ x + d
E ( x ) = m ∙ x – n ∙ x
2
x ... Anzahl der Wärmepumpen mit
0 ≤ x ≤ x 1
K ( x ) ... Kosten bei der Anzahl x
E ( x ) ... Erlös bei der Anzahl x
k , d , m , n ... positive Koeffizienten
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der zugehörigen Gewinnfunktion G im
Intervall [0; x 1 ] ein. [0 / 1 P.]
Die Gewinnfunktion G ist eine quadratische Funktion mit den Koeffizienten a , b und c .
G ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
2) Geben Sie die Koeffizienten a und b der Gewinnfunktion G an. Verwenden Sie dabei k , m
und n .
a =
b = [0 / 1 P.]
3) Zeigen Sie, dass der Scheitelpunkt der Gewinnfunktion G an der Stelle x S =
m – k
2 ∙ n
liegt.
[0 / 1 P.]
Heizungstechnik / Haupttermin 2023 / B_579 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 22 /24 3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2
c) In einem Zeitungsartikel ist die Entwicklung der Wohnfläche pro Kopf in Österreich im Zeit-
raum von 1971 bis 2017 grafisch dargestellt. Die einzelnen Datenpunkte sind dabei durch
Geradenstücke verbunden. (Siehe nachstehende Abbildung.)
Wohnfläche pro Kopf in m
2
2004 2001 1991 1981 1971 2005 2010 2015 2017
Jahr
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
0
46
Quelle: Salzburger Nachrichten, 5. Jänner 2019 (adaptiert).
Bernhard betrachtet die Abbildung und behauptet: „Im Zeitraum von 1971 bis 1981 ist die
durchschnittliche jährliche Zunahme der Wohnfläche pro Kopf größer als im Zeitraum von
2001 bis 2004.“
1) Weisen Sie nach, dass diese Behauptung falsch ist. [0 / 1 P.]