Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3301–3350

Bitterfelder Bogen*
Aufgabennummer: B_477
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Bitterfelder Bogen ist eine Stahlkonstruktion, die aus
mehreren Bögen besteht. Ein aus Rampen bestehender
Fußweg führt innerhalb der Bögen zu einer Aussichts-
plattform.
Bildquelle: Joeb07 [GFDL or CC BY 3.0], from Wikimedia Commons,
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bitterfelder_Bogen_(2).jpg
[20.11.2018].
a) In der nachstehenden Skizze wird der äußere Rand der Stahlkonstruktion näherungsweise
durch einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r dargestellt.
r
r
h
a
M
1) Erstellen Sie aus a und h eine Formel zur Berechnung des Radius r .
r =
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Der Verlauf des Bogens kann näherungsweise durch die Graphen der Funktionen f und g
dargestellt werden. Die Graphen der beiden Funktionen sind zueinander symmetrisch
bezüglich der senkrechten Achse. (Siehe nachstehende Abbildung.)
α
f ( x ), g ( x ) in m
x in m
f
g
35 0 –35
21
Q P
Es gilt:
f ( x ) = 30 ∙
(
1 – ℯ
x – 35
13
)
mit 0 ≤ x ≤ 35
In einer Höhe von 21 m befindet sich die Aussichtsplattform.
1) Berechnen Sie die Länge PQ .
2) Berechnen Sie den Schnittwinkel α der Graphen der Funktionen f und g .
3) Interpretieren Sie das Ergebnis des nachstehenden Ausdrucks im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
2 ∙
∫
35
0

1 +
(
–
30
13
∙ ℯ
x – 35
13
)
2
d x = 94,57...
Bitterfelder Bogen 2
c) Der Fußweg zur Aussichtsplattform besteht aus einzelnen Rampen (siehe strichlierte
Geradenstücke in der nachstehenden modellhaften Abbildung).
y in m
x in m
B
C
A
35 0 –35
Es gilt: A = (–45 | 0) , AB =
( )
78
4,2
1) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B .
Die Neigungswinkel der Rampen sind jeweils gleich groß.
Es soll eine Parameterdarstellung der Geraden g durch die Punkte B und C erstellt werden.
2) Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
g : X =
( )
+ t ∙
( )
Bitterfelder Bogen 3
d) Ein Läufer verwendet den Fußweg zur Aussichtsplattform als Trainingsstrecke. Mithilfe
eines Brustgurts misst er seine Herzfrequenz. Diese wird an seine Pulsuhr mit einer Sende-
frequenz von 5 Kilohertz (kHz) übermittelt.
1) Tragen Sie in der nachstehenden logarithmischen Skala die Sendefrequenz des Brust-
gurts ein.
Sendefrequenz in Hz
1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000
Der Läufer hat wiederholt seinen Maximalpuls (in Herzschlägen pro Minute) gemessen:
182 192 183 185 189 185 179 189 192
Der Maximalpuls des Läufers kann als annähernd normalverteilt angenommen werden.
2) Ermitteln Sie den zweiseitigen 95-%-Vertrauensbereich für den Erwartungswert des
Maximalpulses.
Bitterfelder Bogen 4

Limnologie*
Aufgabennummer: B_478
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die Limnologie erforscht wichtige Kenngrößen von stehenden Gewässern wie etwa Tempe-
ratur oder Dichte.
a) Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft die Wassertemperatur eines Sees in Abhän
gigkeit von der Tiefe x im Frühling ( T
F
) und im Winter ( T
W
). Die Wassertemperatur nähert
sich in beiden Fällen asymptotisch dem Wert 4 °C.
14 12 10 8 6 4 2 0 16 32 30 28 26 24 22 20 18 36 34 38
10
8
6
4
2
0
12
9
7
5
3
1
11
T
F
( x ), T
W
( x ) in °C
x in m
T
F
T
W
Die Wassertemperatur des Sees im Frühling kann in Abhängigkeit von der Tiefe x nähe
rungsweise durch eine Exponentialfunktion T
F
mit T
F
( x ) = a + b ∙ ℯ
c ∙ x
beschrieben werden.
1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Parameter a , b und c der Funktion T
F
.
Für ein bestimmtes x
1
gilt: T
F
( x
1
) – T
W
( x
1
) = 5
2) Ermitteln Sie x
1
mithilfe der obigen Abbildung.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der Limnologie wird für bestimmte Zwecke eine Funktion g verwendet:
g ( x ) = a ∙
(
1 –
x
b
)
–1
a , b ... positive Parameter
1) Kreuzen Sie diejenige Aussage an, die auf die Funktion g nicht zutrifft. [1 aus 5]
g (0) = a
Für 0 < x < b gilt: g ( x ) > a
g ist für 0 < x < b monoton steigend.
Die Funktion g hat eine Polstelle.
g ( b ) = 0
Limnologie 2
c) Die Dichte von Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur kann unter bestimmten Be
dingungen näherungsweise durch die Funktion ϱ beschrieben werden:
ϱ ( T ) = a – b ∙ ( T – 4)
2
mit 0 < T ≤ 10
T ... Temperatur in °C
ϱ ( T ) ... Dichte von Wasser bei der Temperatur T in kg/m³
a , b ... positive Parameter
1) Lesen Sie aus der obigen Funktionsgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts S von ϱ
ab.
S = ( | )
2) Argumentieren Sie mathematisch, dass der Scheitelpunkt ein Hochpunkt der Funktion ϱ
ist.
Es gilt: a = 999,972 und b = 0,007
Die Gleichung einer Tangente an den Graphen der Funktion ϱ lautet: f ( T ) = 0,028 ∙ T + d
3) Berechnen Sie den Parameter d .
Jemand verwendet zur Berechnung der Dichte von Wasser bei 10 °C die obige Funktion ϱ
mit den Parametern a = 999,972 und b = 0,007.
Die Dichte von Wasser bei 10 °C beträgt jedoch laut einer Tabelle 999,700 kg/m³.
4) Berechnen Sie den Betrag des absoluten Fehlers bei Verwendung der Funktion ϱ an
stelle des Tabellenwerts.
Limnologie 3

Kfz-Bestand (1)*
Aufgabennummer: B_300
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die nachstehende Tabelle gibt den Kraftfahrzeug-Bestand (Kfz-Bestand) in Österreich für
ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1992 bis 2012 jeweils zum Jahresende an.
Ende des Jahres ... Kfz-Bestand in Millionen
1992 4,5
1997 5,2
2002 5,4
2007 5,8
2012 6,3
Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2015 . Wien: Verlag Österreich 2014, S. 446.
a) Die zeitliche Entwicklung des Kfz-Bestands soll mit den Daten der obigen Tabelle durch
eine lineare Regressionsfunktion K beschrieben werden.
1) Ermitteln Sie eine Gleichung dieser linearen Regressionsfunktion. Wählen Sie t = 0 für
das Ende des Jahres 1992.
2) Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Funktion im gegebenen Sachzusam-
menhang.
3) Berechnen Sie, nach welcher Zeit gemäß diesem Modell mit einem Kfz-Bestand von
8 Millionen zu rechnen ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Um die zeitliche Entwicklung des Kfz-Bestands mit einem anderen mathematischen
Modell zu beschreiben, wurden, ausgehend von den Daten der obigen Tabelle, die nach-
stehenden Berechnungen durchgeführt.
6,3
4,5
20
= 1,0169...
1,0169... – 1 = 0,0169... ≈ 1,7 %
1) Interpretieren Sie die Bedeutung der berechneten Zahl 1,7 % im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
Jemand berechnet weiters:
2 = 1,0169...
t
t =
ln(2)
ln(1,0169...)
= 41,20... ≈ 41,2
2) Interpretieren Sie die Bedeutung der berechneten Zahl 41,2 im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
c) Der Kfz-Bestand kann nicht unbeschränkt wachsen.
Die zeitliche Entwicklung des Kfz-Bestands kann in einem Modell beschränkten Wachs-
tums durch die Funktion K
B
beschrieben werden:
K
B
( t ) = 9 – b · ℯ
– λ ∙ t
t ... Zeit in Jahren, t = 0 für das Ende des Jahres 1992
K
B
( t ) ... Kfz-Bestand zur Zeit t in Millionen
Der Graph der Funktion K
B
soll durch die Datenpunkte für die Jahre 1992 und 2012 ver-
laufen.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem die Parameter b und λ der Funktion K
B
ermittelt werden können.
2) Ermitteln Sie die Parameter b und λ .
3) Ermitteln Sie mithilfe dieses Modells eine Prognose für den Kfz-Bestand am Ende des
Jahres 2020.
Kfz-Bestand (1) 2
d) In einem logistischen Modell wird die zeitliche Entwicklung des Kfz-Bestands durch die
Funktion K
L
beschrieben:
K
L
( t ) =
22,5
3 + 2 · ℯ
–0,06264 · t
t ... Zeit in Jahren, t = 0 für das Ende des Jahres 1992
K
L
( t ) ... Kfz-Bestand zur Zeit t in Millionen
1) Argumentieren Sie mathematisch, dass sich der Kfz-Bestand gemäß diesem Modell
langfristig dem Wert 7,5 Millionen annähert.
Kfz-Bestand (1) 3

Straßenbahn (2)*
Aufgabennummer: B_298
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Eine Straßenbahn fährt von einer Haltestelle los. Ihr Geschwindigkeitsverlauf für die ersten
45 Sekunden ist im nachstehenden Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm dargestellt.
v ( t ) in m/s
t in s
0 10 20 30 40
0
v
A
v
B
v
t ... Zeit in s
v ( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
Die Geschwindigkeit der Straßenbahn nimmt im Zeitintervall [10; 30] linear zu.
1) Interpretieren Sie die Bedeutung der Steigung dieser linearen Funktion im gegebenen
Sachzusammenhang.
2) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit der Straßenbahn
15 Sekunden nach Beginn der Fahrt aus v
A
und v
B
.
v (15) =
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Abbildung sind 2 geradlinige Gleise, die im Punkt A bzw. im Punkt B
enden, modellhaft in der Ansicht von oben dargestellt.
y in km
x in km A
9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 –2 0 –3 10
0
6
5
4
3
2
1
7
B
Diese Gleise sollen durch ein Gleisstück knickfrei verbunden werden. „Knickfrei“ bedeutet,
dass die entsprechenden Funktionen an den Stellen, an denen sie zusammenstoßen, den
gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben.
Diese Gleisverbindung soll durch eine Polynomfunktion g mit
g ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d modelliert werden ( x , g ( x ) in km).
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion g .
Mithilfe dieses Gleichungssystems erhält man: g ( x ) = –
1
16
· x
3
+
11
16
· x
2
–
19
16
· x +
9
16
2) Berechnen Sie die Länge dieser Gleisverbindung zwischen den Punkten A und B .
Straßenbahn (2) 2
c) Straßenbahnen sind mit einem Stromabnehmer, der am Triebwagendach montiert ist, aus-
gestattet. Die nachstehende Abbildung zeigt einen Stromabnehmer mit den entsprechenden
Maßangaben in Millimetern.
Es gilt: α = 25,1°
Oberleitung
Triebwagendach
Stromabnehmer
S
2 072
T
1 573
R
α
α
β
1) Berechnen Sie den Winkel β .
2) Berechnen Sie den Abstand TS .
Straßenbahn (2) 3

Wasserski-Wettbewerb (2)*
Aufgabennummer: B_471
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Bei einem Wasserski-Wettbewerb muss ein Slalom um 6 Bojen gefahren werden (siehe
nachstehende Abbildung).
f ( x ), g ( x ), h ( x ) in m
x in m
Legende:
... Bojen
• ... Punkte der Fahrstrecke
D B F
C A E
259
41 41 41 41 27 41 27
Ziel
Start
12
12
0
0
× × ×
× × ×
×
×
×
×
×
f
g
h
In einem vereinfachten Modell kann die Bahn einer Wasserskifahrerin abschnittsweise durch
die Graphen dreier Funktionen beschrieben werden:
Funktion f ... vom Start bis zum Punkt A
Funktion g ... vom Punkt A bis zum Punkt F
Funktion h ... vom Punkt F bis ins Ziel
x , f ( x ), g ( x ), h ( x ) ... Koordinaten in m
* ehemalige Klausuraufgabe
a) Für die gesamte Fahrt benötigt die Wasserskifahrerin 30 s.
1) Beschreiben Sie, was mit dem nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusam-
menhang berechnet wird. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
∫
27
0
√
1 + ( f ′ ( x ))
2
d x +
∫
232
27
√
1 + ( g ′ ( x ))
2
d x +
∫
259
232
√
1 + ( h ′ ( x ))
2
d x
30
b) Die Bahn der Wasserskifahrerin zwischen den Punkten A und F kann mithilfe des Graphen
der Funktion g beschrieben werden.
Es gilt: g ( x ) = a · sin( b · x + c )
1) Bestimmen Sie die Parameter a , b und c .
c) Die Bahn der Wasserskifahrerin vom Start bis zum Punkt A kann durch den Graphen der
Funktion f mit f ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
beschrieben werden.
Der Graph der Funktion h entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um 232 m nach
rechts und um 12 m nach unten.
1) Kreuzen Sie die zutreffende Funktionsgleichung der Funktion h an. [1 aus 5]
h ( x ) = a · ( x – 232)
3
+ b · ( x – 232)
2
+ 12
h ( x ) = a · ( x + 12)
3
+ b · ( x + 12)
2
– 232
h ( x ) = a · ( x – 12)
3
+ b · ( x – 12)
2
+ 232
h ( x ) = a · ( x + 232)
3
+ b · ( x + 232)
2
– 12
h ( x ) = a · ( x – 232)
3
+ b · ( x – 232)
2
– 12
Wasserski-Wettbewerb (2) 2
d) Für das Publikum gibt es in der Pause die Möglichkeit, sich in einem Reifen hinter einem
Motorboot durch das Wasser ziehen zu lassen. Bei einer wilden Fahrt kann es vorkommen,
dass man aus dem Reifen geschleudert wird und ins Wasser fällt.
Die nachstehende Abbildung zeigt einen kurzen Ausschnitt des Weges eines Reifens bei
einer solchen Fahrt. Vom Punkt B zum Punkt C ist dieser kreisförmig mit dem Mittelpunkt M .
Im Punkt C wird der „Reifenfahrer“ in der durch den Vektor a angegebenen tangentialen
Richtung aus dem Reifen geschleudert.
M = (130 | 80)
C = (170 | 100)
B
y in m
x in m
O
a
1) Begründen Sie, warum a · MC = 0 ist.
Der „Reifenfahrer“ fällt in einer Entfernung von 2 m vom Punkt C ins Wasser.
2) Berechnen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes, in dem der „Reifenfahrer“ ins
Wasser fällt.
Wasserski-Wettbewerb (2) 3

Kunstvolle Becher*
Aufgabennummer: B_472
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Bei einer Ausgrabung wurden antike Becher gefunden.
Eine Künstlerin wird anlässlich dieses Fundes damit beauftragt,
eine becherförmige Skulptur zu entwerfen.
* ehemalige Klausuraufgabe
a) Die äußere Begrenzungslinie der becherförmigen Skulptur kann abschnittsweise durch die
quadratischen Funktionen f , g und h modelliert werden:
f ( x ), g ( x ), h ( x ) in dm
h
g
f
B
C
x in dm
x
C
Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
γ = 90° – arctan( h ′ ( x
C
))
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel γ ein.
Für die Funktionen f und g gilt:
f ( x ) = 0,117 · x
2
– 1,18 · x + 5
g ( x ) = 0,0952 · x
2
– 1,9 · x + 12,1
x , f ( x ), g ( x ) ... Koordinaten in dm
f und g schneiden einander im Punkt B .
2) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts B .
3) Berechnen Sie den Schnittwinkel von f und g im Schnittpunkt B .
Für einen alternativen Entwurf sollen die dargestellten Graphen entlang der vertikalen Achse
verschoben werden.
4) Geben Sie an, wie sich eine solche Verschiebung auf die Koeffizienten von f auswirkt.
Kunstvolle Becher 2
b) Der Sockel, auf dem die Skulptur montiert werden soll, hat die Form eines Kegelstumpfs
(siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung):
Höhe: 6 dm
Durchmesser: 16 dm
Durchmesser: 10 dm
g ( x ) in dm
x in dm
g
16 14 12 10 8 6 4 2 0 18
14
12
10
8
6
4
2
0
16
Dieser Kegelstumpf kann als Rotationskörper mithilfe der Funktion g beschrieben werden:
g ( x ) =
1
2
· x +
7
2
x , g ( x ) ... Koordinaten in dm
1) Kreuzen Sie diejenige Formel an, mit deren Hilfe man das Volumen des dargestellten
Kegelstumpfs berechnen kann. [1 aus 5]
V = π ·
∫
6
0
( g ( x ))
2
d x
V = π ·
∫
9
3
( g ( x ))
2
d x
V = π ·
∫
6
3
( g ( x ))
2
d x
V = π ·
∫
16
10
( g ( x ))
2
d x
V = π ·
∫
8
5
( g ( x ))
2
d x
Kunstvolle Becher 3
c) Die Skulptur wird aus einer Legierung hergestellt, die aus Aluminium, Silizium und einer
kleinen Menge Magnesium besteht.
Die Dichte von Aluminium beträgt 2,70 g/cm
3
.
1) Geben Sie die Dichte ϱ von Aluminium in der Einheit kg/m
3
an.
ϱ = kg/m
3
Der Radius eines Magnesium-Atoms beträgt 1,5 · 10
–10
m. Ein Silizium-Atom hat einen um
0,04 nm kleineren Radius.
2) Berechnen Sie den Radius eines Silizium-Atoms in Nanometern.
Kunstvolle Becher 4

Wasseräquivalent einer Schneedecke*
Aufgabennummer: B_473
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Das Wasseräquivalent W einer Schneedecke gibt diejenige Höhe an, bis zu der das Wasser
steht, wenn die Schneedecke schmilzt. Dabei wird vorausgesetzt, dass das Wasser nicht
abfließen kann und das Wasser und die Schneedecke gleich große Flächen bedecken.
a) Das Wasseräquivalent W einer Schneedecke kann mithilfe folgender Formel berechnet
werden:
W =
m
ϱ
Wasser
· A
m ... Masse des Schnees (bzw. Masse des Wassers) in kg
ϱ
Wasser
... Dichte des Wassers in kg/m
3
A ... Flächeninhalt der schneebedeckten Fläche in m
2
1) Zeigen Sie, dass das Wasseräquivalent mit der obigen Formel in der Längeneinheit
Meter ermittelt wird.
b) Die von der Erde abgestrahlte Gammastrahlung wird beim Durchgang durch eine Schnee
decke abgeschwächt. Die Abschwächung hängt vom Wasseräquivalent der Schneedecke
ab.
Die Funktion E beschreibt die Intensität der abgeschwächten Gammastrahlung in Abhängig
keit vom Wasseräquivalent W der Schneedecke. Die 1. Ableitung
d E
d W
ist direkt proportional
zu – E . Die zugehörige Proportionalitätskonstante k > 0 wird als Absorptions koeffizient
bezeichnet.
1) Stellen Sie die zugehörige Differenzialgleichung auf.
2) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung.
* ehemalige Klausuraufgabe

Wagenheber*
Aufgabennummer: B_299
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Wagenheber ist ein Hilfsmittel, um ein Auto anzuheben.
a) Eine mögliche Bauart eines Wagenhebers ist im nebenstehenden
Bild dargestellt.
Bildquelle: Bukk – own work, public domain,
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:STORZ_Wagenheber.jpg [04.08.2020] (adaptiert).
Die nebenstehende Abbildung zeigt eine
schematische – nicht maßstabgetreue –
Darstellung dieses Wagenhebers.
Auto
Boden
w
v
u
h
α
β
1) Erstellen Sie mithilfe von u , v und α eine Formel zur Berechnung der Höhe h .
h =
Es gilt: v = 20 cm, w = 30 cm, β = 41°
2) Berechnen Sie den stumpfen Winkel α .
Die Gewichtskraft F
G
kann in die Kräfte F
w
und
F
v
zerlegt werden (siehe nebenstehende nicht
maßstabgetreue Abbildung).
γ
Auto
F
F
F Es gilt (alle Angaben in Kilonewton):
F
G
= ( )
0
–0,75
und F
w
= ( )
–1,18
–0,12
3) Ermitteln Sie die Kraft F
v
.
4) Berechnen Sie den Winkel γ .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein Unternehmen verkauft Wagenheber eines bestimmten Modells. Der Erlös kann in
Abhängigkeit von der verkauften Menge x näherungsweise durch die quadratische Erlös
funktion E beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
K ( x ), E ( x ) in GE
85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 90
350
300
250
200
150
100
50
0
400
x in ME
E
Die Fixkosten dieser Produktion betragen 100 GE.
Die obere Gewinngrenze beträgt 50 ME.
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der linearen Kostenfunktion K ein.
2) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den maximalen Gewinn ab.
Wagenheber 2

Grundstück am See*
Aufgabennummer: B_301
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Drei Geschwister erwerben ein Grundstück am See. Sie unterteilen das Grundstück in die
3 Grundstücke G
1
, G
2
und G
3
(siehe nachstehende Abbildung).
y in m
x in m
P
S
O x
1
x
2
340
u
G
1
G
2
G
3
α
280
R
Q
a
b
Die Uferbegrenzungslinie wird näherungsweise durch den Graphen der Funktion u be-
schrieben.
* ehemalige Klausuraufgabe
a) Jemand fotografiert von einem Boot im Punkt P aus das Ufer des Grundstücks. Damit die
Uferbegrenzungslinie zwischen den Punkten R und Q auf dem Foto ist, muss das Objektiv
den Winkel α erfassen können.
1) Stellen Sie mithilfe von a und b eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf.
α =
Das Boot fährt geradlinig mit einer konstanten Geschwindigkeit v (in m/s) vom Punkt P zum
Punkt S .
2) Beschreiben Sie, was mit dem nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusam-
menhang berechnet wird. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
|
PS
|
v
b) Das gesamte Grundstück besteht aus den 3 flächengleichen Grundstücken G
1
, G
2
und G
3
(siehe obige Abbildung).
Für die Funktion u gilt:
u ( x ) = –2 ∙ 10
–5
∙ x
3
+ 1,4 ∙ 10
–2
∙ x
2
– 2,4 ∙ x + 200 mit 0 ≤ x ≤ 340
x , u ( x ) ... Koordinaten in m
1) Berechnen Sie den Flächeninhalt des gesamten Grundstücks.
Die Stelle x
1
markiert die Grenze zwischen den Grundstücken G
1
und G
2
.
2) Berechnen Sie die Stelle x
1
.
3) Kreuzen Sie den zutreffenden Ausdruck zur Berechnung des Umfangs des Grund-
stücks G
2
an. [1 aus 5]
x
2
– x
1
+ u ( x
1
) + u ( x
2
) +
∫
x 1
0

1 + ( u ′ ( x ))
2
d x
u ( x
2
) – u ( x
1
) + x
1
+ x
2
+ ∫
x 2
x 1

1 + ( u ′ ( x ))
2
d x
x
2
– x
1
+ u ( x
1
) + u ( x
2
) + ∫
x 2
x 1

1 + ( u ′ ( x ))
2
d x
x
2
– x
1
+ u ( x
1
) + u ( x
2
) +
∫
x 2
0

1 + ( u ′ ( x ))
2
d x
x
2
– x
1
+ u ( x
1
) – u ( x
2
) + ∫
x 2
x 1

1 + ( u ′ ( x ))
2
d x
Grundstück am See 2
c) Beim Erwerb eines Grundstücks muss aufgrund der aktuellen Gesetzeslage Grunderwerb-
steuer bezahlt werden. Die Höhe dieser Steuer richtet sich nach dem Grundstückswert.
Der Grundstückswert für das Grundstück am See beträgt € 1.640.000.
Die Grunderwerbsteuer wird folgendermaßen aus dem Grundstückswert errechnet:
• 0,5 % für die ersten € 250.000
• 2 % für die nächsten € 150.000
• darüber hinaus 3,5 % des Grundstückswerts, d. h., nur die Beträge über € 400.000 sind
mit 3,5 % zu versteuern
1) Berechnen Sie die Grunderwerbsteuer für dieses Grundstück.
Grundstück am See 3

Obstfliegenfalle*
Aufgabennummer: B_486
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Obstfliegen können mithilfe von Glasgefäßen eingefangen werden
(siehe nebenstehende Abbildung).
Die Gefäße werden bis zu einer bestimmten Höhe mit einer Flüssigkeit
befüllt, die die Obstfliegen anlocken soll.
Bildquelle: BMBWF
* ehemalige Klausuraufgabe
a) Die Obstfliegenfalle kann durch Rotation des Graphen der Funktion f um die x -Achse
modelliert werden (siehe nachstehende Abbildung).
f ( x ) in cm
f
x in cm
h
O 9
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = 1 + 2,7 ∙ ( x + 0,5) ∙ ℯ
–
2 ∙ x + 1
4 für 0 ≤ x ≤ 9
x , f ( x ) ... Koordinaten in cm
Die Obstfliegenfalle wird mit 50 cm
3
Flüssigkeit befüllt.
In einem Abstand h vom Boden der Obstfliegenfalle soll eine Markierung für diese Flüssig-
keitsmenge angebracht werden (siehe obige Abbildung).
Mit der nachstehenden Gleichung soll dieser Abstand h berechnet werden.
π ∙
0
∫
( f ( x ))
2
d x =
1) Vervollständigen Sie die obige Gleichung durch Eintragen in die dafür vorgesehenen
Kästchen.
2) Berechnen Sie h .
b) Die äußere Begrenzungslinie einer anderen, zur Seite gekippten Obstfliegenfalle soll durch
eine Polynomfunktion 5. Grades p mit p ( x ) = a ∙ x
5
+ b ∙ x
4
+ c ∙ x
3
+ d ∙ x
2
+ e ∙ x + f
modelliert werden.
Die lokalen Extrempunkte von p haben die Koordinaten (1,5 | 3) und (9 | 1).
1) Erstellen Sie alle Gleichungen zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion p , die sich
aus diesen Informationen ergeben.
2) Begründen Sie, warum die Koeffizienten der Funktion p mithilfe dieser Gleichungen nicht
eindeutig bestimmt werden können.
Obstfliegenfalle 2

Elektromagnetische Strahlung*
Aufgabennummer: B_487
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Beim Eindringen von elektromagnetischer Strahlung in ein Medium nimmt die Intensität mit
der Eindringtiefe ab. Die Funktion E beschreibt die Intensität der Strahlung in Abhängigkeit
von der Eindringtiefe.
x ... Eindringtiefe in m
E ( x ) ... Intensität bei der Eindringtiefe x in Watt pro Quadratmeter (W/m²)
Die 1. Ableitung der Funktion E nach der Eindringtiefe x ist proportional zur Funktion E .
1) Vervollständigen Sie die nachstehende Differenzialgleichung. Bezeichnen Sie dabei den
Proportionalitätsfaktor mit – k ( k > 0).
d E
d x
=
Beim Durchgang von Strahlung durch ein Medium treten Störeinflüsse auf. Diese Stör
einflüsse werden durch Addition einer Konstanten S auf der rechten Seite der Differenzial
gleichung berücksichtigt.
2) Berechnen Sie die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Differenzialgleichung mithilfe
der Methode Trennen der Variablen .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Streuung von Sonnenstrahlung an kleinen Molekülen der Atmosphäre ist dafür verant
wortlich, dass der Himmel tagsüber blau erscheint.
Die Intensität der gestreuten Sonnenstrahlung kann in Abhängigkeit von der Wellenlänge λ
näherungsweise durch die Funktion I beschrieben werden. In der nachstehenden Abbildung
ist der Graph der Funktion I in einem ordinatenlogarithmischen Koordinatensystem darge
stellt.
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1,0 0,8 0,9
10
7
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
8
λ in μm
I ( ) in
W
m
2
∙ μm
λ
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung das Maximum der Funktion I ab.
I
max
=
W
m
2
∙ μm
Der relative Anteil der gestreuten Sonnenstrahlung an der gesamten Sonnenstrahlung
hängt von der Wellenlänge λ ab. In einem bestimmten Wellenlängenbereich gilt:
A ( λ ) = 1 – ℯ
–0,0106
λ 4
λ ... Wellenlänge in μm
A ( λ ) ... relativer Anteil der gestreuten Sonnenstrahlung bei der Wellenlänge λ
2) Argumentieren Sie mathematisch, dass sich A ( λ ) für größer werdendes λ dem Wert 0
nähert.
Elektromagnetische Strahlung 2
c) Der sogenannte Poynting-Vektor S ist ein Vektor in ℝ
3
, der bei Berechnungen mit elektro
magnetischen Wellen verwendet wird.
Dabei gilt:
S = k ∙ ( E × B )
E , B ... Vektoren in ℝ
3
zur Beschreibung von elektromagnetischen Wellen
k ... Konstante, k > 0
1) Geben Sie an, wie groß der Winkel zwischen den Vektoren S und B ist.
2) Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der zu S = k ∙ ( E × B ) äquivalent ist. [1 aus 5]
k =
S
B × E
k ∙ S = E × B
– S = k ∙ ( B × E )
E × B
S
= k
S = – k ∙ ( E × B )
Elektromagnetische Strahlung 3

Schlafdauer*
Aufgabennummer: B_492
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Es wurden verschiedene Untersuchungen zur durchschnittlichen täglichen Schlafdauer
unterschiedlicher Personengruppen durchgeführt.
a) Das Ergebnis einer Befragung von 50 Personen zur Schlafdauer ist in der nachstehenden
Tabelle angegeben.
Schlafdauer in Stunden 6 7 8 9 10
Anzahl der Personen 3 16 20 10 1
1) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Schlafdauer dieser 50 Personen.
Bei 9 Personen wurden die Schlafdauer und die Fernsehzeit erhoben:
Schlafdauer in Stunden 6 7 7 8 8 9 9 10 10
Fernsehzeit in Stunden 4 4 2 3 3 2 2 1 2
Die Fernsehzeit soll in Abhängigkeit von der Schlafdauer beschrieben werden.
2) Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion.
3) Interpretieren Sie das Vorzeichen der Steigung der Regressionsfunktion im gegebenen
Sachzusammenhang.
4) Berechnen Sie gemäß diesem Modell die Fernsehzeit bei einer Schlafdauer von 7,5 h.
b) Die durchschnittliche tägliche Schlafdauer X von älteren Personen ist annähernd normalver-
teilt mit dem Erwartungswert μ = 364 min und der Standardabweichung σ = 50 min.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte ältere Person eine
durchschnittliche tägliche Schlafdauer zwischen 300 min und 480 min hat.
2) Tragen Sie in der nachstehenden Gleichung die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene
Kästchen ein.
P ( X ≥ 400) = P ( X ≤ )
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Für die Altersgruppe von 19 bis 39 Jahren ist die durchschnittliche tägliche Schlafdauer an-
nähernd normalverteilt. Die zugehörige Dichtefunktion ist in der nachstehenden Abbildung
dargestellt.
durchschnittliche tägliche Schlafdauer in Minuten
500 480 460 440 420 400 380 360 340 320 300 520
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Erwartungswert μ ab.
μ = min
Für eine andere Altersgruppe beträgt der Erwartungswert 399 min. Die Standardabwei-
chung ist die gleiche wie in der Altersgruppe von 19 bis 39 Jahren.
2) Beschreiben Sie, wie sich der Graph der Dichtefunktion für diese Altersgruppe vom
oben abgebildeten Graphen unterscheidet.
Schlafdauer 2

Grünbrücken*
Aufgabennummer: B_495
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Über Grünbrücken können wildlebende Tiere stark befahrene Verkehrswege wie z. B. Autobahnen
gefahrlos überqueren.
a) In der nachstehenden Abbildung ist eine Grünbrücke modellhaft dargestellt.
f ( x ) in m
x in m
f
O
Die Höhe der Grünbrücke kann durch die Funktion f beschrieben werden:
f ( x ) = a · ℯ
– b ∙ x
2
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
a , b ... positive Parameter
Die Grünbrücke hat an der Stelle x = 0 m eine Höhe von 10 m.
Die Grünbrücke hat an der Stelle x = 20 m eine Höhe von 6 m.
1) Geben Sie den Parameter a an.
2) Berechnen Sie den Parameter b .
3) Berechnen Sie diejenige Stelle, an der die Steigung von f am größten ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Verschiedene Formen von Grünbrücken sollen modelliert werden. Dazu wird der Graph der
Funktion g untersucht.
g ( x ) = a · ℯ
– b · ( x + c )
2
mit a , b , c > 0
1) Ordnen Sie den beiden Satzanfängen jeweils die zutreffende Fortsetzung aus A bis D zu.
[2 zu 4]
Eine Vergrößerung des
Parameters a bewirkt, ...
Eine Vergrößerung des
Parameters c bewirkt, ...
A
... dass das Maximum der
Funktion größer wird.
B
... dass der Graph nach
links verschoben wird.
C
... dass der Graph nach
rechts verschoben wird.
D
... dass das Maximum der
Funktion kleiner wird.
Grünbrücken 2
c) Als Geländer einer Grünbrücke ist eine Betonmauer geplant.
Die obere und die untere Begrenzungslinie der Betonmauer (in der Seitenansicht) können
im Intervall [–20; 20] näherungsweise durch den Graphen der Funktion h und den Graphen
der Funktion g beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
g ( x ), h ( x ) in m
x in m
h
g
20 0 –20
0
20
A
B
1) Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Fläche, deren Inhalt mit dem
nach stehenden Ausdruck berechnet werden kann.
∫
20
0
h ( x ) d x –
∫
20
0
g ( x ) d x
Die Funktion h ist eine Polynomfunktion 2. Grades.
Der Scheitelpunkt von h ist A = (0 | 14). Weiters verläuft h durch den Punkt B = (20 | 6).
2) Ermitteln Sie die Koeffizienten der Funktion h .
3) Berechnen Sie die Länge des Graphen von h im Intervall [–20; 20].
Grünbrücken 3