Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3251–3300

Lauftraining*
Aufgabennummer: B_449
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Anna, Beate und Clara bereiten sich auf einen Laufwettbewerb vor. Dabei verfolgen sie
unterschiedliche Trainingspläne.
a) Anna und Beate überlegen sich folgende Trainingspläne:
Trainingstag
1 2 3 4
Länge der
Trainingsstrecke in km
Anna 1,5 1,65 1,815
Beate 1,5 2 2,5
1) Zeigen Sie, dass die Längen der Trainings strecken von Anna an den ersten 3 Tagen
eine geometrische Folge bilden.
2) Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
Die Längen der Trainingsstrecken von Beate an den ersten 3 Tagen bilden eine arithmeti-
sche Folge.
3) Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
4) Ergänzen Sie unter Verwendung der jeweiligen Bildungsgesetze die fehlenden Werte in
der letzten Spalte der obigen Tabelle.
b) Clara berechnet die Längen ihrer Trainingsstrecken folgendermaßen:
c
n
= 2,75 + 0,125 · n
n … Trainingstag
c
n
… Länge der Trainingsstrecke am n -ten Tag in km
1) Berechnen Sie, am wievielten Trainingstag Claras Trainingsstrecke eine Länge von
8 km hat.
* ehemalige Klausuraufgabe

Bateman-Funktion
Aufgabennummer: B_114
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Bei der oralen Einnahme eines Medikaments mit einem bestimmten Wirkstoff kann der Verlauf
der Wirkstoffkonzentration im Blut durch die Bateman-Funktion c beschrieben werden.
c ( t ) =
D
V
∙
k
1
k
1
– k
2
∙ ( ℯ
– k 2 ∙ t
– ℯ
– k 1 ∙ t
) mit t ≥ 0
D ... Gesamtdosis des Wirkstoffs in mg
V ... Verteilungsvolumen in L
k
1
, k
2
... wirkstoffspezifische Koeffizienten
Es gilt: D , V , k
1
, k
2
> 0 und k
1
≠ k
2
t ... Zeit nach der Einnahme in h
c ( t ) ... Konzentration des Wirkstoffs im Blut zur Zeit t in mg/L
a) – Vergleichen Sie die beiden Exponentialterme ℯ
– k 2 ∙ t
und – ℯ
– k 1 ∙ t
im Hinblick auf ihr jeweili-
ges Monotonieverhalten.
b) Für ein bestimmtes Medikament gilt: k
1
= 0,5 h
–1
, k
2
= 0,15 h
–1
– Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Abnahme des Wirkstoffs am schnells-
ten erfolgt.
c) Für ein bestimmtes Medikament gilt: k
1
= 0,5 h
–1
, k
2
= 0,15 h
–1
, V = 7 L
Das Medikament wirkt nur, wenn die Wirkstoffkonzentration größer gleich 2 mg/L Blut ist.
– Zeigen Sie, dass eine Verdoppelung der Gesamtdosis D von 50 mg auf 100 mg nicht zu
einer Verdoppelung der Wirkungsdauer führt.
d) Der Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Bateman-Funktion c wird in der Medizin mit
AUC ( area under the curve , Fläche unter der Kurve) bezeichnet. Es gilt:
AUC =
D
V · k
2
– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
Die Fläche unter der Kurve multipliziert mit dem Verteilungsvolumen ergibt
die Gesamtdosis.
Die Gesamtdosis ist gleich dem Produkt der Fläche unter der Kurve mit
dem Verteilungsvolumen dividiert durch den Eliminationskoeffizienten k
2
.
Das Verteilungsvolumen ist gleich dem Produkt der Fläche unter der Kurve
und der Gesamtdosis dividiert durch den Eliminationskoeffizienten k
2
.
Der Eliminationskoeffizient k
2
ist gleich dem Quotienten aus Gesamtdosis
und Verteilungsvolumen.
Die Gesamtdosis ist gleich dem Produkt aus der Fläche unter der Kurve,
dem Verteilungsvolumen und dem Eliminationskoeffizienten k
2
.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Bateman-Funktion 2

Auf dem Laufband (2)*
Aufgabennummer: B_458
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf der Geschwindigkeit eines Läufers
während einer Trainingseinheit von 25 min. Die abschnittsweise definierte lineare Geschwindig-
keit-Zeit-Funktion v setzt sich aus 8 Abschnitten zusammen.
Geschwindigkeit v ( t ) in m/min
Zeit t in min
200
160
120
80
40
0
240
27 26 28 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8
7
6
5
4
3
2
1
a) 1) Geben Sie an, in welchem der 8 Abschnitte die Beschleunigung am größten ist.
2) Erstellen Sie eine Gleichung der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v für den Abschnitt 5 ,
also für das Zeitintervall [11 min; 13 min].
b) 1) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Länge desjenigen Weges, den der
Läufer in den ersten 11 min zurücklegt.
2) Ermitteln Sie die Länge dieses Weges in Kilometern.
c) Der im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm dargestellte Verlauf kann im Zeitintervall
[0 min; 25 min] durch die Funktion v beschrieben werden.
1) Beschreiben Sie, was mit dem nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusam-
menhang berechnet wird. Geben Sie dabei die entsprechende Einheit an.
1
25
∙
∫
25
0
v ( t ) d t
* ehemalige Klausuraufgabe
d) Die nachstehende Abbildung zeigt vereinfacht die Seitenansicht eines Laufbands.
y
x
h
g
f
y
B
m
C
A
α
x
1
P
1) Beschriften Sie im Dreieck ABC die Länge z und den Winkel φ so, dass gilt:
m
sin( φ )
=
z
sin( α )
Folgende Größen sind bekannt: m = 155 cm, α = 13° und AB = 150 cm
2) Berechnen Sie die Höhe AC des Laufbands.
Die Darstellung des Haltegriffs in der obigen Abbildung setzt sich aus den Graphen der
Funktionen f , g und h zusammen.
f ist eine lineare Funktion mit der Steigung k .
f und g schneiden einander im Punkt P .
Der Winkel β wird mit folgender Formel berechnet:
β = arccos
(
( )
1
k
·
( )
1
g ′ ( x
1
)
| ( )
1
k
|
·
| ( )
1
g ′ ( x
1
)
|
)
3) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel β ein.
Auf dem Laufband (2) 2

Champagner*
Aufgabennummer: B_215
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Champagner wird im französischen Weinbaugebiet Champagne nach streng festgelegten Re
geln erzeugt.
a) Eine Flasche Champagner wird zur Zeit t = 0 in einen Kühlschrank mit einer Temperatur
von ϑ
U
= 4 °C gelegt. Zu Beginn ( t = 0) beträgt die Temperatur des Champagners 16 °C
und nach 2 Stunden beträgt sie 10 °C.
Die Temperatur des Champagners in Abhängigkeit von der Zeit wird durch die Funktion ϑ
beschrieben:
t ... Zeit in h
ϑ ( t ) ... Temperatur des Champagners zur Zeit t in °C
Die momentane Änderungsrate der Temperatur des Champagners ist dabei direkt propor
tional zur jeweiligen Temperaturdifferenz ϑ – ϑ
U
.
1) Stellen Sie die Differenzialgleichung für die Temperaturfunktion ϑ des Champagners auf.
Bezeichnen Sie dabei den Proportionalitätsfaktor mit k .
2) Berechnen Sie die Lösung der Differenzialgleichung für den gegebenen Abkühlungs
prozess.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein Champagnerglas (ohne Stiel, Glasdicke nicht berücksichtigt) kann
näherungsweise durch die Rotation des Graphen der Wurzelfunktion f und
des Graphen der Wurzelfunktion g um die y Achse beschrieben werden
(siehe nachstehende Abbildung).
y in cm
x in cm
g
f
–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 0 1 2 3 4 5 6 7 8
–2
–3
–1
–4
0
4
3
2
1
Für f gilt: y = 3 ·

x + a
Für g gilt: y = –

1,5 · x + 9
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Wert für a ab.
2) Berechnen Sie das Füllvolumen des Champagnerglases.
In das Champagnerglas werden 150 ml Champagner gefüllt.
3) Berechnen Sie die zugehörige Füllhöhe.
c) Ein Händler verkauft die Sorten Tradition , Rosé und Réserve an 3 verschiedene Kunden in
folgenden Mengen:
• Sorte Tradition :
120 Flaschen an Kunde A , 12 Flaschen an Kunde B , 600 Flaschen an Kunde C
• Sorte Rosé :
84 Flaschen an Kunde A , 60 Flaschen an Kunde B , 420 Flaschen an Kunde C
• Sorte Réserve :
36 Flaschen an Kunde A , 72 Flaschen an Kunde B , 144 Flaschen an Kunde C
Kunde A bezahlt insgesamt € 9.864, Kunde B € 7.344 und Kunde C € 47.196.
1) Stellen Sie ein Gleichungssystem in Matrizenform auf, mit dem man für jede Sorte den
Preis pro Flasche berechnen kann.
Champagner 2

Ausstellungshalle*
Aufgabennummer: B_116
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In der nachstehenden Abbildung sind 2 verschiedene Entwürfe für eine Ausstellungshalle in der
Seitenansicht dargestellt.
y in m
x in m
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1
5
4
3
2
1
0
6
R
S
2
S
1
g
2
g
1
f
1
f
2 1. Entwurf
2. Entwurf
verglaste Seitenfläche
a) Im 1. Entwurf wird die Dachlinie mithilfe der Funktionen f
1
und g
1
beschrieben:
f
1
( x ) = 3 +
x
3
mit –0,5 ≤ x ≤ 6
g
1
( x ) = –
1
9
∙ x
2
+
5
3
∙ x – 1 mit 6 ≤ x ≤ 10
1) Berechnen Sie die Länge der Dachlinie im Intervall [–0,5; 10].
b) Für den 1. Entwurf soll der Inhalt A der zu verglasenden Seitenfläche unterhalb der Graphen
der Funktionen f
1
und g
1
im Intervall [0; 9] berechnet werden.
1) Beschreiben Sie, welcher Fehler in der nachstehenden Berechnung gemacht wurde.
A =
∫
6
0
f
1
( x ) d x +
∫
9
6
g
1
( x ) d x =
∫
9
0
( f
1
( x ) + g
1
( x )) d x
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Im 2. Entwurf wird die Dachlinie mithilfe der Funktionen f
2
und g
2
beschrieben.
Der Graph der linearen Funktion f
2
soll durch den Punkt R = (0 | 3) verlaufen und einen
Steigungswinkel von 25° haben.
1) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion f
2
auf.
Die Funktion f
2
geht im Punkt S
2
= ( x
S 2
| y
S 2
) knickfrei in die Funktion g
2
über, das heißt, die
Funktionen g
2
und f
2
haben im Punkt S
2
den gleichen Funktionswert und die gleiche Stei-
gung.
Die Funktion g
2
ist gegeben durch:
g
2
( x ) = –
1
9
∙ x
2
+
5
3
∙ x + c mit x
S 2
< x < 10
2) Berechnen Sie die x -Koordinate x
S 2
.
3) Berechnen Sie c .
d) Der Schallpegel in der Ausstellungshalle soll durch zusätzliche Absorptionsflächen vermin-
dert werden. Dabei gilt:
L ( A ) = 10 ∙ lg
(
1 +
A
10
)
A … Inhalt der zusätzlichen Absorptionsfläche in m
2
L ( A ) … Schallpegelminderung bei einer zusätzlichen Absorptionsfläche A in Dezibel (dB)
1) Berechnen Sie den Inhalt der zusätzlichen Absorptionsfläche, die für eine Schallpegel -
minderung um 10 dB benötigt wird.
Ausstellungshalle 2
e) Die Breite bestimmter Dachziegel ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungs-
wert μ = 215 mm und der Standardabweichung σ = 2 mm.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Dachziegel eine
Breite von mindestens 212 mm und höchstens 217 mm hat.
2) Veranschaulichen Sie diese Wahrscheinlichkeit in der nachstehenden grafischen Darstel-
lung der zugehörigen Verteilungs funktion.
Wahrscheinlichkeit
Breite in mm
222 220 218 216 214 212 210 208 0 224
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
Ausstellungshalle 3

Goldener Schnitt
Aufgabennummer: B_291
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Eine Strecke (vgl. Abbildung 1) wird in die zwei Teile a und b geteilt ( a > b ).
Gilt a : b = ( a + b ) : a , dann bezeichnet man das Teilungsverhältnis ϕ = a : b als den Goldenen
Schnitt .
a b
Abbildung 1
a) – Zeigen Sie, dass für b = 1 gilt: ϕ =
1 + √ 5
2
Wenn man von einem Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt ent-
spricht, ein Quadrat A abtrennt (Abbildung 2), dann entspricht das Seitenverhältnis des
verbleibenden Rechtecks B ebenfalls dem Goldenen Schnitt.
– Zeigen Sie diese Eigenschaft für den Fall b = 1.
a
b A B
a
I
II
III
IV
Abbildung 2
b) Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, wird als Golde-
nes Rechteck bezeichnet. In Abbildung 3 wird ein Goldenes Rechteck fortlaufend durch
Abtrennung eines Quadrats geteilt. Anschließend wird in den einzelnen Quadraten ein
Viertelkreis gezeichnet. Dadurch entsteht eine sogenannte Goldene Spirale .
– Berechnen Sie die Länge dieser Spirale für die Quadrate I bis IV , wenn die Seitenlängen
des Rechtecks a = 144 cm und b = 89 cm betragen.
c) Schon nach dem antiken Schönheitsideal gilt ein Mensch als wohlproportioniert, wenn die
Höhe des Nabels die Körpergröße im Goldenen Schnitt teilt. In einer Bevölkerungsgruppe
entsprechen 87 % diesem Ideal.
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 zufällig ausgewählten Personen dieser
Bevölkerungsgruppe mindestens 3 diesem Ideal entsprechen.
In einer anderen Bevölkerungsgruppe wurden die Daten von 5 Personen erhoben:
x = Höhe bis zum Nabel in cm 105 115 108 121 114
y = Körpergröße in cm 159 174 161 182 171
– Ermitteln Sie mithilfe der gegebenen Daten eine Gleichung der zugehörigen linearen
Regressionsfunktion.
d) Das Seitenverhältnis eines rechteckigen digitalen Bilderrahmens mit einer Diagonale
von d = 10 Zoll entspricht mit 1,6 in etwa dem Goldenen Schnitt.
– Berechnen Sie die Breite (= längere Rechteckseite) des Bildschirms in Zentimetern
(1 Zoll = 2,54 cm).
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
a
A B
a
b
I
II
III
IV
Abbildung 3
Goldener Schnitt 2

Nemo
Aufgabennummer: B_364
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine Schülerin hat mithilfe mathematischer Funktionen den Fisch Nemo gestaltet:
Die Funktionen y
u
und y
o
sind definiert durch:
y
u
( x ) =
5
2
∙
(
x – 2 ∙ √ x
)
und y
o
( x ) =
11
256
∙ x
3
–
33
64
∙ x
2
+ x +
3
2
x , y
u
( x ), y
o
( x ) … Koordinaten in cm
a) – Berechnen Sie den Winkel α .
b) Die obere Begrenzungslinie der Rückenflosse ist durch eine Tangente t an die Funktion y
o
im Punkt x = 1,5 cm erzeugt.
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung der Tangente t auf.
c) – Weisen Sie nach, dass S = (4 | 0) der Wendepunkt der Funktion y
o
ist.
– Markieren Sie in der obigen Abbildung diejenige Fläche A , die dem
Ausdruck A =
∫
4
0
y
o
( x ) d x entspricht.
2
1
0
–1
–2
0 1 2 3 4
S
x in cm
y in cm
m
o
m
u
y
u
t
y
o
d) Der Mund von Nemo wird durch die 2 quadratischen Funktionen m
o
und m
u
erzeugt.
– Ordnen Sie den beiden Funktionen jeweils die richtige Funktionsgleichung zu. [2 zu 4]
m
o
m
u
A y ( x ) = –
1
4
∙ x
2
– 1
B y ( x ) =
(
x –
1
2
)
2
– 2
C y ( x ) = 2 ∙
(
x –
1
2
)
2
– 2
D y ( x ) =
1
4
∙ x
2
– 1
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Nemo 2

Plexiglasprismen
Aufgabennummer: B_358
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Eine Maschine produziert Prismen mit dreieckiger Grundfläche aus Plexiglas.
a) Von den Prismen sind von der Grundfläche die Maße
c = 9 cm, a = 5 cm, α = 25° bekannt
(siehe nebenstehende Skizze).
– Begründen Sie, warum mit diesen 3 Angaben das
Dreieck nicht eindeutig bestimmt ist.
– Berechnen Sie die Flächeninhalt A der Grundfläche
unter der Annahme, dass der Winkel β < 90° ist.
b) Die Masse der Prismen kann als normalverteilt angenommen werden. Für eine Stichprobe
des Umfangs n = 7 wurden die folgenden Messwerte ermittelt.
Masse in Gramm (g) 285,2 283,7 285,2 281,4 282,6 282,3 283,3
– Ermitteln Sie das zweiseitige 95-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ der
Massen der Prismen.
Plexiglasprismen 2
c) Die Intensität I
0
des in das Prisma eintretenden Lichts nimmt mit der Eindringtiefe x ex-
ponentiell ab. Nach Durchdringen einer Schicht von 1 cm Dicke ist die Lichtintensität auf
85 % des ursprünglichen Wertes I
0
geschwächt.
Die Lichtintensität kann in Abhängigkeit von der Eindringtiefe durch eine Funktion I be-
schrieben werden.
x … Eindringtiefe in cm
I ( x ) … Lichtintensität in der Eindringtiefe x in %
I
0
= 100 % … Lichtintensität beim Eintritt in das Prisma
– Stellen Sie eine Gleichung der Funktion I auf.
– Zeichnen Sie den Graphen der Funktion I für 0 ≤ x ≤ 15.
– Zeigen Sie, dass der Quotient
I ʹ ( x )
I ( x )
konstant ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Veranstaltungszentrum
Aufgabennummer: B_036
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein neues Veranstaltungszentrum wird geplant.
a) Das Gebäude hat die Form eines Zylinders mit einer aufgesetzten Kuppel in Form eines
Kugelsegments (einer abgeschnittenen Kugel).
Die Höhe h der Kuppel entspricht dem halben Kugelradius R (siehe nachstehende Abbil-
dung).
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Radius r des Basiskreises der Kuppel aus h .
r =
– Berechnen Sie den Flächeninhalt des Basiskreises der Kuppel für eine Kuppelhöhe
von h = 16 m.
h
h
b) In der Planung des Veranstaltungszentrums wird eine Grundfläche von 2 500 m
2
angenom-
men. 17 % dieser Fläche sind für Haustechnik, Notausgänge und Personal reserviert und
daher für Besucher/innen gesperrt. Die Bauvorschrift erlaubt maximal 2 Besucher/innen je
Quadratmeter Grundfläche.
– Berechnen Sie die maximal erlaubte Anzahl an Besucherinnen und Besuchern für dieses
Veranstaltungszentrum.
Die kreisförmige Bodenfläche des Veranstaltungszentrums wird um k % vergrößert. Einer
der nachstehenden Terme gibt den Änderungsfaktor des Radius der Bodenfläche des
Veranstaltungszentrums an.
– Kreuzen Sie den zutreffenden Term an. [1 aus 5]
1 +
k
100
100
k
(
1 +
k
100
)
2
1 +
k
100
1 –
k
100
c) Die Veranstalter wissen aus Erfahrung, dass 15 % der verkauften Eintrittskarten letztend-
lich nicht zum Besuch der Veranstaltung genutzt werden. Für den 1 000 Besucher/innen
fassenden Konzertsaal werden 1 150 Karten verkauft.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 1 000 Personen, die eine Eintritts-
karte gekauft haben, tatsächlich zur Veranstaltung erscheinen.
Veranstaltungszentrum 2
d) Die nebenstehende Abbildung zeigt die Form
eines Fensters des Veranstaltungszentrums.
Die bogenförmige Begrenzungslinie des
Fensters hat die Form einer Parabel.
– Erstellen Sie eine Funktionsgleichung der
zugehörigen quadratischen Funktion f .
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des
Flächeninhalts B auf. Verwenden Sie darin
die Längen b und f ( b ) und den allgemeinen
Funktionsterm f ( x ) der Parabel.
B =
Die Flächeninhalte A und B verhalten sich zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnitts
ϕ =
√ 5 + 1
2
.
– Berechnen Sie, in welcher Höhe h die horizontale Trennungslinie verläuft.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
h = f ( b )
5,8
2,5
b
A
f ( x ) in m
x in m
0 2 4 – 2
B
2
0
4
6
f
Veranstaltungszentrum 3

Blumentopf*
Aufgabennummer: B_474
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Ein Unternehmen produziert Blumentöpfe.
Der Außendurchmesser eines solchen Blumentopfs beträgt 40 cm. Auch die Gesamthöhe
des Blumentopfs beträgt 40 cm. (Siehe nachstehende Abbildung.)
y in cm
x in cm
20 10 0 –10 30 –20
30
20
10
40
f
Für die Funktion f mit f ( x ) = y gilt:
y =
37
19
6
∙ x
6
+ 3 mit –19 ≤ x ≤ 19
1) Begründen Sie, warum f eine gerade Funktion ist.
Die Innenwand des Blumentopfs entsteht durch Rotation des oben dargestellten Graphen
von f um die y -Achse.
2) Berechnen Sie das Innenvolumen des Blumentopfs.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein Unternehmen produziert Stangen für Kletterpflanzen. Die Länge dieser Stangen ist an -
nähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 150 cm.
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion F .
Länge der Stangen in cm
153 152 151 150 149 148 147 146 145 0 154
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
0,7
0,5
0,3
0,1
0,9
Wahrscheinlichkeit
F
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Wert der Standardabweichung ab.
2) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, die durch den
nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
1 – F (149,5)
Ein anderes Unternehmen produziert auch solche Stangen. Die Länge dieser Stangen ist
ebenfalls annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 150 cm. Es ist bekannt,
dass 92,3 % dieser Stangen eine Länge von höchstens 151 cm haben.
3) Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung.
c) Der Erlös aus dem Verkauf von Blumentöpfen kann durch die Funktion E beschrieben
werden:
E ( x ) = 20 ∙ x – 0,12 ∙ x
2
x … Verkaufsmenge in ME
E ( x ) … Erlös bei der Verkaufsmenge x in GE
1) Ermitteln Sie das größtmögliche Intervall für x , in dem der Erlös mindestens 100 GE
beträgt.
Blumentopf 2

Hochstuhl für Kinder*
Aufgabennummer: B_476
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Das nebenstehende Bild zeigt einen Hochstuhl für Kleinkinder.
In der nachstehenden Abbildung sind Teile des Hochstuhls schematisch dargestellt.
l
1
h
l
3
l
2
b
α
1) Erstellen Sie mithilfe von l
1
, l
2
und b eine Formel zur Berechnung von α .
α =
2) Markieren Sie in der obigen Abbildung die Winkel β und γ , für die gilt:
sin( β )
h
=
sin( γ )
l
3
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Abbildung ist ein Modell der Rückenlehne eines bestimmten Hoch-
stuhls dargestellt.
f ( x ) in cm
f
x in cm
Q = (0 | 10)
P = (21| 6)
42
Die obere Begrenzungslinie lässt sich näherungsweise durch den Graphen der Funktion f
mit f ( x ) = a ∙ x
4
+ b ∙ x
2
+ c beschreiben. Im Punkt P verläuft die Tangente an den Graphen
der Funktion f waagrecht.
1) Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu P und Q ein Gleichungssystem zur Berech-
nung der Koeffizienten a , b und c .
2) Berechnen Sie diese Koeffizienten.
Die untere Begrenzungslinie entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion f an der
x -Achse.
3) Ermitteln Sie den Inhalt der in der obigen Abbildung grau markierten Fläche.
Hochstuhl für Kinder 2