Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3201–3250

Babynahrung
Aufgabennummer: B_028
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich T
a) Bei der Zubereitung von Säuglingsmilch muss das Dosierungsverhältnis genau eingehal-
ten werden. Ein gestrichener Messlöffel Pulver wird in 30 ml Wasser gegeben.
– Stellen Sie eine Gleichung derjenigen Funktion auf, die die Anzahl der Messlöffel L in
Abhängigkeit von der Wassermenge w in Millilitern modellhaft beschreibt.
– Beschreiben Sie, welchen Zusammenhang die Umkehrfunktion in diesem Fall angibt.
b) Der Querschnitt der abgebildeten ca. 10 cm hohen Babyflasche hat als Begrenzungslinie
den Graphen der Funktion f mit f ( x ) = 0,008 ∙ x
3
– 0,13 ∙ x
2
+ 0,494 ∙ x + 2,596.
x … Flaschenhöhe in cm
f ( x ) … Radius der Flasche in der Höhe x in cm
– Bestimmen Sie den maximalen Durchmesser der Flasche.
– Erstellen Sie eine Formel für das Füllvolumen in Abhängigkeit von der Flaschenhöhe.
– Berechnen Sie, in welcher Höhe sich die Markierung für 150 ml befinden muss.
f ( x ) in cm
x in cm
f
c) Die nachstehende Grafik zeigt den Graphen einer Funktion, die das Abkühlen von heißem
Wasser in einer Babyflasche bei einer Raumtemperatur von 23 °C darstellt.
Temperatur in °C
160 140 120 100 80 60 40 20 0 180
Zeit in Minuten
80
60
40
20
0
100
– Kreuzen Sie die richtige Aussage an. [1 aus 5]
Nach 3 Stunden ist die Wassertemperatur unter 23 °C
gesunken.
Die Wassertemperatur halbiert sich jede halbe Stunde.
Die Temperaturabnahme wird durch eine quadratische
Funktion beschrieben.
Nach ca. 35 Minuten ist die Temperatur des Wassers auf
die Hälfte der Anfangstemperatur gesunken.
Je mehr Zeit vergeht, desto schneller kühlt das Wasser ab.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Babynahrung 2

Meerwasser und mehr Wasser*
Aufgabennummer: B_509
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die Funktion V beschreibt näherungsweise den zeitlichen Verlauf des Wasservolumens
eines bestimmten Sees. Dabei wird das Wasservolumen in Kubikmetern und die Zeit t in
Tagen ange geben.
V erfüllt die folgende Differenzialgleichung:
d V
d t
= 0,001 · (350 – V ) mit V > 0
1) Argumentieren Sie anhand der Differenzialgleichung, für welche Werte von V das
Wasser volumen dieses Sees gemäß diesem Modell zunimmt.
2) Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung mithilfe der Methode
Trennen der Variablen .
Zur Zeit t = 0 beträgt das Wasservolumen 150 m
3
.
3) Berechnen Sie die spezielle Lösung der Differenzialgleichung.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Während eines Regenschauers wird der Wasserstand in einem bestimmten, anfangs leeren
zylinderförmigen Gefäß gemessen.
Die Funktion h ′ beschreibt modellhaft die momentane Änderungsrate des Wasserstands in
diesem Gefäß (siehe nachstehende Abbildung).
0
0
h ′ ( t ) in mm/min
h ′
t in min
h ′ ( t ) = 1,5 · t · ℯ
–0,3 · t
mit 0 ≤ t ≤ 15
t ... Zeit in min
h ′ ( t ) ... momentane Änderungsrate des Wasserstands zur Zeit t in mm/min
1) Ermitteln Sie dasjenige Zeitintervall, in dem gemäß diesem Modell die momentane
Änderungsrate des Wasserstands mindestens 1 mm/min beträgt.
c) Der innerhalb eines Tages schwankende Wasserstand in einem bestimmten Hafenbecken
kann näherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden. Der niedrigste Wasser-
stand wird zur Zeit t = 0 erreicht und beträgt 2 m, der höchste Wasserstand beträgt 4 m.
f ( t ) = a + b · cos(0,507 · t )
t ... Zeit nach dem niedrigsten Wasserstand in h
f ( t ) ... Wasserstand zur Zeit t in m
1) Geben Sie die Parameter a und b der Funktion f an.
Meerwasser und mehr Wasser 2

Fußballtore
Aufgabennummer: B_279
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Ein Betrieb produziert Fußballtore.
a) Die Preisfunktion der Nachfrage p
N
ist bekannt:
p
N
( x ) = – 40 ∙ x + 920 mit 0 ≤ x ≤ 23
x … nachgefragte Menge in ME
p
N
… Preis bei der Nachfrage x in GE/ME
– Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Erlösfunktion E auf.
– Zeichnen Sie den Graphen der Erlösfunktion E für den angegebenen Definitionsbereich
in ein Koordinatensystem.
– Lesen Sie aus der Grafik diejenige Menge ab, bei der der maximale Erlös erzielt wird.
b) In der nebenstehenden Abbildung
sind die Graphen der Gesamtkosten-
funktion K und der Erlösfunktion E
für Trainingstore dargestellt.
– Kennzeichnen Sie in der Abbildung
den Gewinnbereich.
– Lesen Sie aus der Abbildung die
Werte für die Gewinnschwelle
und die obere Gewinngrenze ab.
– Dokumentieren Sie, wie man
mithilfe der Differenzialrechnung
jene Anzahl x
max
ermittelt, für die
der größte Gewinn erzielt wird,
wenn die Funktionsgleichungen von E und K bekannt sind.
E ( x ), K ( x ) in €
x in Stück
E
K
300 000
250 000
200 000
150 000
100 000
50 000
0
0 200 400 600 800 1000
c) Für die Fußballtore werden Netze produziert.
Die Fixkosten betragen € 3.000.
Bei der Produktion von 10 Netzen betragen die Stückkosten € 320 pro Netz.
Bei der Produktion von 100 Netzen betragen die Gesamtkosten € 5.450.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten der zugehörigen quadrati-
schen Gesamtkostenfunktion ermittelt werden können.
– Übertragen Sie das Gleichungssystem in Matrizenschreibweise.
d) Für nichtlineare Gesamtkostenfunktionen gilt: Der Graph der Grenzkostenfunktion schnei-
det den Graphen der Stückkostenfunktion an der Stelle des lokalen Stückkostenmini-
mums.
– Zeigen Sie die Richtigkeit dieses Sachverhalts mithilfe der 1. Ableitung der Stückkosten-
funktion.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Fußballtore 2

Staudamm (1)*
Aufgabennummer: B_441
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Ein Staudamm hat den unten – nicht maßstabgetreu – dargestellten Querschnitt mit den
Punkten P
1
= (10 | 50) und P
2
= (20 | 0). Alle Angaben erfolgen in Metern. Der Verlauf zwi-
schen den Punkten P
1
und P
2
wird durch den Graphen der Funktion f beschrieben:
f ( x ) = 216,1 – 72,1 ∙ ln( x )
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
x in m
P
2
P
1
f
0
f ( x ) in m
0
50
1) Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des Staudamms (graue Fläche).
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Im unten stehenden Diagramm ist der Graph einer Exponentialfunktion f
1
eingezeichnet.
1) Zeichnen Sie in diesem Diagramm den Graphen der zugehörigen Umkehrfunktion f
2
ein.
y
x
0 4 3 2 1 5 –2 –3 –4 –5 –1
0
4
3
2
1
5
–2
–3
–4
–5
–1
f
1
2) Beschreiben Sie, welche Bedeutung die Gerade y = x für den Zusammenhang der
Graphen der Funktionen f
1
und f
2
hat.
Staudamm (1) 2

Tauchgang*
Aufgabennummer: B_416
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die nachstehende Grafik zeigt den Verlauf eines Lichtstrahls, der auf die Plexiglasscheibe
einer Taucherbrille trifft. Das Lot ist hier eine Gerade, die normal auf die Plexiglasscheibe
steht.
Lot
Lichtstrahl
Wasser
Luft
Plexiglas
β
α
d
s
α ... Winkel zwischen Lichtstrahl und Lot im Wasser
β ... Winkel zwischen Lichtstrahl und Lot im Plexiglas
Der Zusammenhang zwischen α und β kann folgendermaßen ausgedrückt werden:
sin( α ) verhält sich zu sin( β ) wie 1,49 zu 1,33.
1) Berechnen Sie den Winkel β , wenn gilt: α = 35°.
2) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge s , wenn die Dicke d und der Win
kel β bekannt sind.
s =
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die nachstehende nicht maßstabgetreue Grafik zeigt den Verlauf eines anderen Licht
strahls, der auf die Plexiglasscheibe einer Taucherbrille trifft. Das Lot ist hier eine Gerade,
die normal auf die Plexiglasscheibe steht.
Lot
Lichtstrahl
Wasser
Plexiglas
Luft
γ δ
m
s
s ′
s ... Weg, den der Lichtstrahl im Plexiglas zurücklegt
s ′ ... Weg, den der Lichtstrahl ohne Ablenkung zurücklegen würde
Dabei gilt: s = 4,52 mm und s ′ = 4,77 mm. Außerdem kennt man den Winkel γ = 57°.
1) Berechnen Sie den stumpfen Winkel δ .
2) Berechnen Sie die Länge der Strecke m .
Tauchgang 2
c) Das nachstehende Diagramm zeigt, wie bei einem bestimmten Tauchgang aus 39 m Tiefe
aufgetaucht wurde.
34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 35
Zeit in min
Tiefe in m
35
30
25
20
15
10
5
40
0
45
1) Interpretieren Sie die waagrechten Abschnitte des Graphen im gegebenen Sachzusam
menhang.
2) Markieren Sie im obigen Diagramm ein Zeitintervall, in dem die Auftauchgeschwindig
keit rund 10 m/min beträgt.
Tauchgang 3

Sinusfunktion*
Aufgabennummer: B_437
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Eine Glimmlampe beginnt zu leuchten, sobald die angelegte Spannung eine Zündspan
nung U
Z
übersteigt. Sie erlischt wieder, sobald die angelegte Spannung die Löschspan
nung U
L
unterschreitet. Für eine bestimmte Glimmlampe gilt:
U
Z
= 150 V
U
L
= 100 V
Die angelegte Spannung kann näherungsweise durch die Funktion u beschrieben werden:
u ( t ) = 325 · sin(2π · 50 · t )
t ... Zeit in s
u ( t ) ... Spannung zur Zeit t in Volt (V)
1) Veranschaulichen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Funktionsgraphen
von u und kennzeichnen Sie dasjenige Zeitintervall [ t
1
; t
2
], in dem die Glimmlampe
leuchtet.
0 0,005 0,01
t in s
u ( t ) in V
300
250
200
150
100
50
350
0
2) Berechnen Sie, wie viel Prozent der Zeit die Glimmlampe im Zeitintervall [0; 0,01] leuch
tet.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die in der nachstehenden Abbildung dargestellte gedämpfte Schwingung wird durch die
Funktion y beschrieben:
y ( t ) = A · ℯ
– δ · t
· sin( ω · t )
t ... Zeit
y ( t ) ... Auslenkung zur Zeit t
t
y ( t ), y
1
( t ), y
2
( t )
y Dämpfungskurve y
1
mit y
1
( t ) = A · ℯ
– · t
Dämpfungskurve y
2
δ
1) Erstellen Sie eine Gleichung der zu y
1
symmetrischen Dämpfungskurve y
2
(siehe obige
Ab bildung).
2) Zeigen Sie, dass an den Stellen t
k
, an denen der Funktionsgraph von y die Dämpfungs
kurve y
1
bzw. y
2
berührt, gilt:
t
k
= ( k +
1
2
) ·
π
ω
mit k = 0, 1, 2, 3, ...
c) Der zeitliche Verlauf einer Spannung kann durch eine Funktion u mit
u ( t ) = A · sin( ω · t + φ ) + d beschrieben werden. Dabei ist t die Zeit in Sekunden und A > 0.
u
u ( t ) in V
t in s
0,06 0,04 0,02
0
–0,02 0,08 –0,04
–13
7
1) Lesen Sie aus dem obigen Diagramm die Parameter A und d ab.
2) Bestimmen Sie mithilfe des obigen Diagramms den Parameter ω .
3) Bestimmen Sie mithilfe des obigen Diagramms den Parameter φ .
Sinusfunktion 2

Flugbahn und Bewegungsgleichung (1)*
Aufgabennummer: B_438
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die Flugbahn eines Geschoßes kann durch eine Funktion mit folgender Funktionsgleichung
beschrieben werden:
y = x ∙ tan( α ) –
1
2 · v
2
· cos
2
( α )
∙ g ∙ x
2
x , y ... Koordinaten in m
v ... Abschussgeschwindigkeit in m/s
g ... Erdbeschleunigung ( g = 9,81 m/s
2
)
α ... Abschusswinkel (0° < α < 90°)
Die quadratische Gleichung x ∙ tan( α ) –
1
2 · v
2
· cos
2
( α )
∙ g ∙ x
2
= 10 wird für bestimmte
Werte von v und α nach x aufgelöst. Man erhält die Lösung x
1
= x
2
= 15.
Der Funktionsgraph der zugehörigen Flugbahn ist in der nachstehenden Abbildung nicht
maßstabgetreu dargestellt.
y in m
x in m α
1) Geben Sie die Koordinaten desjenigen Punktes P der Flugbahn an, der der oben ange
gebenen Lösung entspricht.
2) Berechnen Sie den Abschusswinkel α für die in der Grafik dargestellte Funktion.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Unter Berücksichtigung des Luftwiderstands gilt für die Fallgeschwindigkeit eines Fall
schirmspringers bis zum Öffnen des Schirms:
v ( t ) =
g
b

∙
(
1 –
2
ℯ
2 · √ b · g · t
+ 1
)
t ... Zeit nach dem Absprung in s
v ( t ) ... Fallgeschwindigkeit zur Zeit t in m/s
b ... Parameter in m
–1
g ... Erdbeschleunigung in m/s
2
1) Stellen Sie den Graphen der Funktion v mit b = 0,003 m
–1
und g = 9,81 m/s
2
im Be
reich 0 ≤ t ≤ 25 dar.
Die Fallgeschwindigkeit strebt für wachsendes t asymptotisch gegen einen Wert v
max
.
2) Lesen Sie aus der von Ihnen erstellten Grafik einen Näherungswert für v
max
ab.
c) Der zurückgelegte Weg eines Motorrads, das nach dem Auskuppeln ausrollt, wird an
nähernd durch die Funktion s beschrieben:
s ( t ) = 250 · (1 – ℯ
–0,04 · t
)
t ... Zeit seit dem Auskuppeln in s
s ( t ) ... zurückgelegter Weg des Motorrads zur Zeit t in m
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, mit der die Geschwindigkeit des Motorrads in
Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben wird.
2) Berechnen Sie diejenige Geschwindigkeit, mit der das Motorrad zum Zeitpunkt des
Aus kuppelns fuhr.
Flugbahn und Bewegungsgleichung (1) 2

Luftfeuchtigkeit
Aufgabennummer: B_113
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In Abhängigkeit von der Temperatur kann Luft nur eine gewisse Höchstmenge an Wasserdampf
aufnehmen. Das geläufigste Maß für den Wassergehalt der Luft ist die relative Luftfeuchtigkeit in
Prozent.
Die nachstehende Grafik stellt den Zusammenhang zwischen der Temperatur in °C und der
absoluten Luftfeuchtigkeit in g/m
3
bei verschiedenen relativen Luftfeuchtigkeiten dar.
absolute Luftfeuchtigkeit in g/m
3
relative Luftfeuchtigkeit in %
Temperatur in °C
a) Die in der Grafik abgebildete Kurve für die relative Luftfeuchtigkeit von 100 % soll durch
eine Exponentialfunktion F angenähert werden.
F ( ϑ ) = F
0
∙ ℯ
k ∙ ϑ
ϑ ... Temperatur in °C
F ( ϑ ) ... absolute Luftfeuchtigkeit bei der Temperatur ϑ in g/m
3
F
0
... absolute Luftfeuchtigkeit bei ϑ = 0 °C in g/m
3
k ... Konstante
– Berechnen Sie aus den absoluten Luftfeuchtigkeiten für die Temperaturen 0 °C und
20 °C die Parameter F
0
und k .
– Zeigen Sie, dass der Graph dieser Funktion in einem Koordinatensystem mit logarithmi-
scher Skalierung auf der Ordinatenachse eine Gerade ist.
b) In der nachstehenden Grafik ist die Grundfläche eines Festsaals dargestellt. Die gekrümm-
te Begrenzungs linie ist der Graph einer quadratischen Funktion f . Die Höhe des Festsaals
beträgt 3,5 m.
f ( x ) in m
x in m
16 14 12 10 8 6 4 2 0 18
15
10
5
0
20
f
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung für f auf.
– Berechnen Sie diejenige Masse des Wassers, die bei einer relativen Luftfeuchtigkeit von
80 % und einer Temperatur von 28 °C in der Raumluft gelöst ist.
Luftfeuchtigkeit 2
c) Bis zu einer relativen Luftfeuchtigkeit von 45 % ist es praktisch unmöglich, dass sich Rost
bildet. Zwischen 45 % und 60 % relativer Luftfeuchtigkeit ist die Rostwahrscheinlichkeit zur
relativen Luftfeuchtigkeit proportional. Über 60 % relativer Luftfeuchtigkeit steigt die Rost-
wahrscheinlichkeit mit steigender relativer Luftfeuchtigkeit exponentiell an.
– Kreuzen Sie dasjenige Diagramm an, das den Sachverhalt richtig darstellt. [1 aus 5]
Rostwahrscheinlichkeit
relative Luftfeuchtigkeit in Prozent
45 60 0
Rostwahrscheinlichkeit
45 60 0
relative Luftfeuchtig-
keit in Prozent
Rostwahrscheinlichkeit
relative
Luftfeuchtigkeit
in Prozent
45 60 0
Rostwahrscheinlichkeit
relative
Luftfeuchtigkeit in Prozent
45 60 0
Rostwahrscheinlichkeit
45 60 0
relative Luftfeuchtigkeit in Prozent
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Luftfeuchtigkeit 3

Gastwirtschaft*
Aufgabennummer: B_443
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Automatische Abfüllanlagen für Getränke sollen möglichst gleichmäßige Füllmengen ge-
währleisten.
Die Füllmenge bei einer bestimmten Abfüllanlage ist annähernd normalverteilt mit dem Er-
wartungswert μ = 500 ml und der Standardabweichung σ = 4,5 ml.
Die Füllmenge wird mithilfe einer Stichprobe des Umfangs n überprüft.
1) Berechnen Sie für n = 10 den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreube-
reich, in dem erwartungsgemäß 99 % aller Stichprobenmittelwerte liegen.
2) Begründen Sie, warum das Maximum der Dichtefunktion der Stichprobenmittelwerte X
für n = 5 kleiner als jenes für n = 10 ist.
b) Die Form eines Weizenbierglases kann näherungsweise durch die Rotation des Graphen
der Funktion g um die x -Achse dargestellt werden (siehe nachstehende Abbildung).
g ( x ) in cm
x in cm
5
0
–5
0 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 26
g
Es gilt:
g ( x ) = –0,00108 · x
3
+ 0,046 · x
2
– 0,4367 · x + 3 mit 2 ≤ x ≤ 25
x , g ( x ) ... Koordinaten in cm
1) Berechnen Sie den kleinsten Innendurchmesser des Weizenbierglases.
2) Berechnen Sie das Füllvolumen des Weizenbierglases in Litern.
* ehemalige Klausuraufgabe

Boule*
Aufgabennummer: B_444
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Boule ist eine Sportart, bei der Kugeln geworfen werden. Ziel ist es, mit den eigenen Kugeln
möglichst nah an eine Ziel kugel zu gelangen.
a) Peter wirft eine Kugel. Die Flugbahn dieser Kugel kann näherungsweise durch den Gra-
phen der Funktion f beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
f ( x ) in m
x in m
f
w
α
f ( x ) = – 0,0959 ∙ x
2
+ 0,767 ∙ x + 1,1
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
1) Interpretieren Sie die Bedeutung der Zahl 1,1 in der obigen Funktionsgleichung im
gegebenen Sachzusammenhang.
2) Berechnen Sie die Wurfweite w .
Peter möchte, dass der Aufprallwinkel α der Kugel im Intervall [42°; 44°] liegt.
3) Überprüfen Sie mithilfe der Differenzialrechnung, ob der Aufprallwinkel α in diesem
Intervall liegt.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Für eine genauere Analyse eines Boule-Spiels wird mithilfe einer Drohne ein Luftbild
aufgenommen.
y in cm
x in cm
A
O
B
Z
A = (2 | 10) ... Auflagepunkt der ersten Kugel
B = (17 | 6) ... Auflagepunkt der zweiten Kugel
Z = (4 | 1) ... Auflagepunkt der Zielkugel
1) Berechnen Sie die Länge der Strecke BZ .
Während des Spiels bewegt sich die erste Kugel entlang der Strecke AB 3 cm in Rich-
tung B .
2) Berechnen Sie die Koordinaten der neuen Position des Auflagepunkts der ersten
Kugel.
c) Die Zeit, die benötigt wird, um sich vor einem Wurf zu konzentrieren, nennt man Kon-
zentrationszeit.
Im nachstehenden Boxplot sind die Konzentrationszeiten von Emma bei mehreren
Würfen zusammengefasst.
Konzentrationszeit in s
20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 21
1) Lesen Sie aus dem Boxplot den Interquartilsabstand der Konzentrationszeiten von
Emma ab.
Boule 2

Hängematten*
Aufgabennummer: B_445
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Der Graph der quadratischen Funktion h mit h ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c beschreibt nähe
rungsweise den Durchhang einer Hängematte (siehe nachstehende Abbildung).
1,3 m
x in m
h
B
A C
4,2 m
0,28 m
Boden
x , h ( x ) ... Koordinaten in m
Der Graph der Funktion h verläuft durch die Befestigungspunkte A und C . Der Scheitel
punkt von h wird mit B bezeichnet. Die Punkte A und C liegen auf gleicher Höhe über dem
Boden.
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die fehlende senkrechte Koordinatenachse so
ein, dass für den Koeffizienten b gilt: b = 0
2) Berechnen Sie den Koeffizienten a .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Eine Hängematte wird an zwei senkrechten Stangen befestigt.
In der nachstehenden Abbildung ist die belastete Hängematte modellhaft dargestellt. Es
wirkt eine Kraft F mit | F | = 800 Newton (N) senkrecht nach unten. Die Kraft F wird in die
Komponenten F
1
und F
2
zerlegt.
F
α
2
α
1
F
1
F
2
Es gilt: α
1
= 50° und α
2
= 75°
1) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Kräftezerlegung mithilfe eines Kräfte
parallelogramms.
2) Berechnen Sie | F
1
|.
Hängematten 2
c) Die Belastbarkeit von Seilen eines bestimmten Herstellers kann näherungsweise als
normalverteilt angenommen werden. Das nachstehende Diagramm zeigt den Graphen der
zugehörigen Verteilungsfunktion.
Belastbarkeit in Newton
1 250 1 200 1 150 1 100 1 050 1 000 1 300 950 900 0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Wahrscheinlichkeit
1) Veranschaulichen Sie im obigen Diagramm die Wahrscheinlichkeit, dass die Belastbar
keit eines zufällig ausgewählten Seiles mindestens 1 050 Newton (N) beträgt.
Die Maschine zur Herstellung der Seile soll bei gleichbleibender Standardabweichung
σ = 50 N auf einen neuen Erwartungswert μ
neu
eingestellt werden, sodass nur bei 1 Pro
mille der Seile die Belastbarkeit weniger als 1 000 N beträgt.
2) Berechnen Sie, auf welchen Erwartungswert μ
neu
die Maschine eingestellt werden
muss.
Hängematten 3

Bahnsteige (1)*
Aufgabennummer: B_446
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Auf dem Bahnhof Linz wird eine Beton-
konstruktion zur Überdachung eines
Bahnsteigs verwendet.
Bildquelle: BMBWF
Die nebenstehende Abbildung zeigt eine
vereinfachte Darstellung der Beton-
konstruktion.
f ( x ) in m
–1
0
4
3
2
1
5
3 2 1 0 –1 –2 –3 –4
Bahnsteig x in m
Bahnsteigdach
f
Säule
1) Erstellen Sie eine Formel zur
Berechnung des Inhalts A der
grau markierten Fläche.
A =
Der in der obigen Abbildung dargestellte Graph der Funktion f wird beschrieben durch:
f ( x ) =

x – a + b mit x ≥ a
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
a , b ... Parameter
2) Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Parameter a und b der Funktion f ab.
a =
b =
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Skizze ist eine Holzkonstruktion zur Überdachung eines Bahnsteigs
dargestellt.
y in m
x in m Bahnsteig F
C
D
E
B
A
α
β
1) Erstellen Sie mithilfe von AE , AD und α eine Formel zur Berechnung von DF .
DF =
Es gilt: A = (0 | 4), B = (0 | 2,8), α = 104° und β = 123°
2) Berechnen Sie die Länge BC .
Bahnsteige (1) 2
c) Die Geschwindigkeit eines Zuges bei der Einfahrt in einen Bahnhof ist im unten stehenden
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm modellhaft dargestellt.
In den ersten 5 s ist die Geschwindigkeit des Zuges gleich v
0
. Anschließend nimmt die
Geschwindigkeit des Zuges linear ab. Die Einfahrt dauert insgesamt 27 s. Dabei legt der
Zug insgesamt 240 m zurück.
Geschwindigkeit in m/s
Zeit in s
29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 30
v
0
1) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v
0
.
2) Erstellen Sie eine Gleichung der linearen Geschwindigkeit-Zeit-Funktion im Zeitinter-
vall [5; 27].
Bahnsteige (1) 3

Blutdruck*
Aufgabennummer: B_448
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Durch die Einnahme eines Medikaments zur Regulierung des Blutdrucks gelangen Wirk-
stoffe ins Blut.
Die Wirkstoffmenge im Blut kann näherungsweise durch eine Funktion m beschrieben wer-
den, deren 1. Ableitung bekannt ist:
m ′ ( t ) = 1,2 · ℯ
–0,04 · t
– 0,1 mit t ≥ 0
t ... Zeit in min
m ′ ( t ) ... momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut zur Zeit t in mg/min
Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Wirkstoffmenge im Blut 10 mg.
1) Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion m .
2) Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Wirkstoff vollständig abgebaut ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die zeitliche Entwicklung des sogenannten systolischen Blutdrucks einer Testperson wird
durch eine Funktion f modelliert (siehe nachstehende Abbildung).
Zeit t in h
systolischer Blutdruck in mmHg
0
140
130
120
110
100
150
f
1
f
Die Funktion f wird beschrieben durch:
f ( t ) = a · sin
(
π
12
· t
)
+ 135
t ... Zeit in h
f ( t ) ... systolischer Blutdruck zur Zeit t in Millimeter Quecksilbersäule (mmHg)
a ... Parameter
1) Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlende Zeitangabe in das dafür vorgesehene
Kästchen ein.
2) Bestimmen Sie den Parameter a .
Der Graph der Funktion f
1
in der obigen Abbildung entsteht durch vertikale Verschiebung
des Graphen von f .
3) Erstellen Sie ausgehend von f eine Funktionsgleichung für f
1
.
Blutdruck 2