Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3151–3200

Würfel (2)*
Aufgabennummer: B_115
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Das im Folgenden beschriebene Spiel wird mit herkömmlichen fairen Spielwürfeln gespielt,
bei denen die Augenzahlen 1 bis 6 jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit als Würfelergeb-
nis auftreten.
Es werden 2 Spielwürfel gleichzeitig geworfen und es wird deren Augensumme bestimmt.
Nun sollen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden.
– Tragen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in die nachstehende Tabelle ein.
Augensumme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Wahrscheinlichkeit
Es wird Ihnen nun folgendes Spiel vorgeschlagen:
Sie gewinnen, wenn die Augensumme 5, 6, 7 oder 8 beträgt.
oder
Sie gewinnen mit allen übrigen Augensummen.
– Ermitteln Sie, welche der beiden Möglichkeiten die höhere Gewinnwahrscheinlichkeit
hat.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Mit Würfeln wird eine Treppe gebaut:
1. Ebene
2. Ebene
3. Ebene
n = 3: n = 2: n = 1:
Das obige Bauschema soll auf diese Art fortgesetzt werden.
– Erstellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz, mit dem man die Anzahl der Würfel in der
n -ten Ebene berechnen kann.
– Bestimmen Sie, wie viele Würfel in der 7. Ebene liegen.
Die Anzahl s
n
der Würfel, die für eine solche Treppe aus n Ebenen insgesamt benötigt
wird, kann mithilfe der folgenden Formel bestimmt werden:
s
n
= 1,5 · ( n
2
+ n )
– Berechnen Sie, aus wie vielen Ebenen eine solche Treppe besteht, wenn man insge-
samt 360 Würfel verbaut.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Würfel (2) 2

Motorbootrennen (1)*
Aufgabennummer: B_359
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In der nachstehenden Abbildung ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm zweier Motor boote A
und B während einer Wettfahrt modellhaft dargestellt.
v
A
( t ), v
B
( t ) in m/s
t in s
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 65
12
10
8
6
4
2
0
14
v
A
v
B
a) Für die Funktion v
B
gilt:
v
B
( t ) = 14 · (1 – ℯ
–0,1 · t
) mit t ≥ 0
t ... Zeit in s
v
B
( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
1) Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Beschleunigung des Bootes pro Sekunde ab-
nimmt.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die nachstehende Abbildung zeigt die Tangenten h
A
und h
B
an die Graphen der Geschwin-
digkeit-Zeit-Funktionen zur Zeit t = 0.
v
A
( t ), v
B
( t ) in m/s
t in s
v
A
v
B
35 30 25 20 15 10 5 0
12
10
8
6
4
2
0
14
h A h
B
1) Interpretieren Sie die Steigung der Tangente h
A
im gegebenen Sachzusammenhang.
2) Ordnen Sie den beiden Ableitungsfunktionen
d v
A
d t
und
d v
B
d t
jeweils die entsprechende
Grafik aus A bis D zu. [2 zu 4]
d v
A
d t
d v
B
d t
A
Beschleunigung
in m/s
2
t in s
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
B
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
t in s
Beschleunigung
in m/s
2
C
Beschleunigung
in m/s
2
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
t in s
0
D
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
t in s
Beschleunigung
in m/s 2
Motorbootrennen (1) 2
c) Eine Funktionsgleichung der in der obigen Abbildung dargestellten Funktion v
B
für das
Motorboot B lautet:
v
B
( t ) = 14 · (1 – ℯ
–0,1 · t
) mit t ≥ 0
t ... Zeit in s
v
B
( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung desjenigen Weges s , den das Motorboot B in
den ersten n Sekunden zurücklegt.
s =
Nach einer Fahrt von 700 m überholt das Motorboot B das Motorboot A .
2) Berechnen Sie den Zeitpunkt dieses Überholens.
In der nachstehenden Abbildung beschreibt der Graph der Funktion v
B neu
den Fall, dass
das Motorboot B um 5 Sekunden später startet (bei sonst unverändertem Geschwindig-
keitsverlauf).
v
B
( t ), v
B
neu
( t ) in m/s
t in s
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 65
12
10
8
6
4
2
0
14
v
B
v
B
neu
3) Erstellen Sie ausgehend von der Funktion v
B
eine Gleichung der Funktion v
B neu
.
Motorbootrennen (1) 3

Qualitätstest bei Objektiven (1)*
Aufgabennummer: B_326
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Um das Objektiv einer Digitalkamera zu testen, fotografiert man eine genormte Tafel (Test-
Chart) mit einem Test-Motiv und lässt das Foto von einer speziellen Software auswerten.
a) Eine Fotografin möchte ihr neues Objektiv testen. Dazu verwendet sie folgenden Aufbau:
Scheinwerfer Scheinwerfer
Kamera mit Objektiv
Test-Chart
y
x
α
z
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von x aus y , z und α .
x =
Bei einem bestimmten Test gilt:
α = 45°
x = 121 cm
z = 70 cm
2) Berechnen Sie die Entfernung y .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein beliebtes Motiv für solche Test-Charts ist ein spezieller Stern:
ganzer Stern Detailansicht
Ein Stern besteht aus einzelnen Abschnitten, die abwechselnd schwarz und weiß sind.
Jeder dieser Abschnitte kann näherungsweise als Dreieck mit folgenden Abmessungen
beschrieben werden:
a
a
α
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A des obigen Dreiecks
aus a und α .
A =
Ein ganzer Stern besteht aus n weißen und n schwarzen Abschnitten.
2) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Winkels α aus n .
α =
Qualitätstest bei Objektiven (1) 2
c) Ein für Digitalkameras relevantes Qualitätsmerkmal ist die Anzahl der Linienpaare pro Bild-
höhe (LP/BH).
Für einen bestimmten Objektiv-Typ ist diese Kenngröße annähernd normalverteilt. Die
Objektive werden von 3 verschiedenen Herstellern – A , B und C – jeweils mit dem Erwar-
tungswert μ = 1 950 LP/BH und der Standardabweichung σ
A
, σ
B
bzw. σ
C
produziert.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion für Herstel-
ler A dargestellt.
2 050 2 000 1 950 1 900 1 850
Linienpaare pro Bildhöhe
A
1) Skizzieren Sie in der obigen Abbildung den Graphen der zugehörigen Dichtefunktion für
Hersteller B , wenn für die Standardabweichungen gilt: σ
A
< σ
B
.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neu produziertes Objektiv des Herstellers C mindestens
1 900 LP/BH darstellen kann, beträgt 97,7 %.
2) Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung σ
C
.
Qualitätstest bei Objektiven (1) 3

Gebäudetechnik*
Aufgabennummer: B_260
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Im Bereich der Gebäudetechnik spielen Temperatur, Schalldämmung und CO
2
-Gehalt der Luft
eine wichtige Rolle.
a) Die mittlere Tagestemperatur in Bregenz soll für einen bestimmten Zeitraum durch eine
Polynomfunktion 3. Grades T angenähert werden:
T ( t ) = a ∙ t
3
+ b ∙ t
2
+ c ∙ t + d
t … Zeit in Tagen
T ( t ) … mittlere Tagestemperatur zur Zeit t in °C
Es wurden folgende Daten ermittelt:
Zu Beginn der Beobachtung ( t = 0) lag die mittlere Tages temperatur bei –5 °C.
Zur Zeit t = 98 Tage betrug sie +8 °C; zu dieser Zeit lag auch der Wendepunkt des Tem-
peraturverlaufs vor.
Zur Zeit t = 210 Tage erreichte die mittlere Tagestemperatur +20 °C.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Koeffizienten dieser Polynom -
funktion.
b) Um das Gesamtschalldämmmaß R
Ges
einer Wand aus Ziegelmauer und Fenster in Dezi-
bel (dB) zu berechnen, wird in der Gebäudetechnik die nachstehende Formel verwendet.
R
Ges
= –10 ∙ lg ( f
F
∙ 10
–
R F
10
+ f
Z
∙ 10
–
R Z
10
)
f
F
… relativer Flächenanteil des Fensters an der gesamten Wandfläche
f
Z
… relativer Flächenanteil der Ziegelmauer an der gesamten Wandfläche
R
F
, R
Z
… Schalldämmmaß des Fensters bzw. der Ziegelmauer in dB
R
Ges
… Gesamtschalldämmmaß der Wand in dB
Ein Bauunternehmen plant, aus einer 50 m
2
großen Wand eine Fensterfläche herauszu-
brechen. Dabei hat das Fenster ein Schalldämmmaß von R
F
= 43 dB, die Ziegelmauer ein
Schalldämmmaß von R
Z
= 65 dB.
Es wird ein Gesamtschalldämmmaß R
Ges
von mindestens 55 dB für diese Wand gefordert.
1) Erstellen Sie eine Gleichung zur Berechnung des relativen Flächenanteils f
F
, den die
Fenster fläche in dieser Wand maximal erreichen darf.
2) Berechnen Sie diese Fensterfläche in m
2
.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In einem Schlafzimmer mit einem Luftvolumen von 45 m
3
wird zum Zeitpunkt t = 0 eine
Lüftungsanlage eingeschaltet. Zu diesem Zeitpunkt beträgt der CO
2
-Gehalt der Luft im
Zimmer 0,2 Vol.-%, d. h., das CO
2
-Volumen beträgt 0,2 % des gesamten Luftvolumens.
Die nachstehende Differenzialgleichung beschreibt das CO
2
-Volumen V (in m
3
) im Schlaf-
zimmer in Abhängigkeit von der Zeit t (in min) ab dem Einschalten der Lüftung:
d V
d t
= 0,006 –
V
3
1) Berechnen Sie die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung.
2) Ermitteln Sie, nach welcher Zeit der ursprüngliche CO
2
-Gehalt halbiert ist.
Gebäudetechnik 2

Energieverbrauch*
Aufgabennummer: B_214
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Energieverbrauch einer Großstadt unterliegt Schwankungen. Mit der Funktion E wird der
voraussichtliche Energieverbrauch pro Tag für die nächsten 5 Jahre modelliert:
E ( t ) = 8,9 + 0,0002 · t + 0,1 · sin (
2 · π · t
365
+
π
2
) mit t ≥ 0
t ... Zeit in Tagen
E ( t ) ... Energieverbrauch zur Zeit t in Gigawattstunden pro Tag (GWh/Tag)
t in Tagen
E ( t ) in GWh/Tag
1 700 1 600 1 500 1 400 1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 800
9,3
9,2
9,1
9
8,9
8,8
0
9,4
E
a) 1) Lesen Sie aus dem oben dargestellten Graphen ab, nach wie vielen Tagen der Energie
verbrauch ständig über 9,1 GWh pro Tag liegen wird.
2) Berechnen Sie die Minimumstelle der Funktion E im Zeitintervall [400; 700].
b) 1) Veranschaulichen Sie in der obigen Grafik diejenige trapezförmige Fläche, deren
Flächen inhalt mittels
E (1 400) + E (1 500)
2
· 100 berechnet wird.
c) 1) Schreiben Sie die reelle Funktion f mit f ( t ) = sin (
2 · π · t
365
+
π
2
) mithilfe der Winkel
funktion Cosinus an.
f ( t ) = cos ( )
* ehemalige Klausuraufgabe

Papierflieger*
Aufgabennummer: B_020
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Für die Flugeigenschaften eines Papierfliegers ist unter anderem der Strömungskoeffizi-
ent c mitbestimmend.
c =
F
W
1
2
· ϱ · v
2
· A
c ... Strömungskoeffizient
F
W
... Strömungswiderstand
A ... Flächeninhalt der angeströmten Fläche
v ... Strömungsgeschwindigkeit
ϱ ... Dichte der Luft
1) Formen Sie die obige Formel nach F
W
um.
F
W
=
2) Beschreiben Sie, wie sich F
W
verändert, wenn v verdoppelt wird und alle anderen
Größen unverändert bleiben.
b) Im nachstehenden Diagramm ist modellhaft die Flugbahn eines Papierfliegers dargestellt,
wenn dieser einen sogenannten Looping fliegt.
Höhe über dem Erdboden
horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt
1) Begründen Sie, warum die dargestellte Flugbahn nicht als Funktionsgraph aufgefasst
werden kann.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Bei einem angetriebenen Flugzeug wirken unter anderem die Auftriebskraft und die Vor-
triebskraft ein. In der nachstehenden Abbildung sind die zugehörigen Kraftvektoren als
Pfeile dargestellt.
Auftriebskraft
Vortriebskraft
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die aus Auftriebskraft und Vortriebskraft resultie-
rende Kraft als Pfeil ein.
Bei einem angetriebenen Flugzeug gilt während einer Flugphase:
Der Strömungswiderstand ist der Gegenvektor zur Vortriebskraft.
Die Schwerkraft ist der Gegenvektor zur Auftriebskraft.
2) Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Vektor für die Schwerkraft und den
Vektor für den Strömungswiderstand als Pfeile ein.
Auftriebskraft
Vortriebskraft
Papierflieger 2
d) Zum Falten von Papierfliegern wird sehr oft Papier in einem DIN-Format verwendet. Für
diese Formate gilt, dass die Seitenlängen im Verhältnis 1 :

2 stehen (siehe nachstehende
Abbildung).
a

2 · a
Ein solches Papier wird entlang der Blattmitte (siehe strichpunktiert eingezeichnete Linie)
gefaltet.
1) Zeigen Sie, dass die Seitenlängen des dabei entstandenen Rechtecks wieder im Ver-
hältnis 1 :

2 stehen.
In der nachstehenden Abbildung ist der erste Faltschritt für einen Papierflieger aus einem
Papier in einem DIN-Format dargestellt. (Die eingezeichnete strichpunktierte Linie verläuft
entlang der Mitte.)
a

2 · a
Faltung: nach der ersten Faltung:
P Q
T R
S
2) Begründen Sie, warum das in der obigen Abbildung grau markierte Dreieck RST recht -
winkelig ist.
Der Papierflieger soll nach der ersten Faltung bemalt werden.
3) Erstellen Sie mithilfe von a eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A des Fünf-
ecks PQRST .
A =
Bei Papier im DIN-A4-Format ist die kürzere Seite 210 mm lang.
4) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Fünfecks PQRST für ein Papier im DIN-A4-For-
mat in cm
2
.
Papierflieger 3

Linienbus
Aufgabennummer: B_070
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die nachstehende Abbildung zeigt das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm der Bewegung eines
Busses.
24
20
16
12
8
4
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Zeit in s
Geschwindigkeit
in m/s
P
1
P
2
a) – Beschreiben Sie die 3 verschiedenen Bewegungsabläufe hinsichtlich der Geschwindig-
keit des Busses.
– Berechnen Sie denjenigen Weg, den der Bus in den ersten 20 Sekunden zurücklegt.
b) – Stellen Sie eine Gleichung der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v im Bereich von P
1
bis P
2
auf.
– Erstellen Sie das Beschleunigung-Zeit-Diagramm für das Intervall [0 s; 20 s].
c) Der Geschwindigkeitsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit t im Bereich von P
1
bis P
2
soll
durch eine Funktion der Form v ( t ) = a ∙ t
3
+ b ∙ t
2
+ c ∙ t + d angenähert werden, deren
Graph durch die Punkte P
1
und P
2
verläuft. Zu den Zeitpunkten t = 7 s und t = 12 s ist
die Beschleunigung null.
– Stellen Sie die zur Bestimmung der Koeffizienten a , b , c und d benötigten Bedingungen
auf.
– Geben Sie das entstehende Gleichungssystem in Matrixform an.
– Berechnen Sie die Koeffizienten a , b , c und d der Funktion v .
d) In den Bussen einer bestimmten Linie soll die Auslastung überprüft werden.
Die Anzahl der Passagiere pro Bus ist näherungsweise normalverteilt mit dem Erwar-
tungswert μ = 44 Personen und der Standardabweichung σ = 12 Personen.
In 25 Bussen wird eine Überprüfung der Passagieranzahl durchgeführt.
– Ermitteln Sie den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem der
Stichprobenmittelwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt.
– Argumentieren Sie, wie sich der Stichprobenumfang ändern muss, wenn sich die Breite
des 95-%-Zufallsstreubereichs halbieren soll.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Linienbus 2

Sightseeing in London
Aufgabennummer: B_361
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Zu den bekanntesten Sehenswürdigkeiten Londons zählen das London Eye , der Big Ben und
die Tower Bridge .
a) Das London Eye ist das höchste Riesenrad Europas. Der Aufhängepunkt einer Gondel
beschreibt einen Kreis mit einem Durchmesser von 121 m und erreicht eine maximale
Höhe von 135 m. Das sich mit konstanter Geschwindigkeit drehende Rad benötigt für
eine volle Umdrehung 40 Minuten.
Die Höhe des Aufhängepunkts einer Gondel über dem Boden kann in Abhängigkeit von
der Zeit durch eine allgemeine Sinusfunktion h beschrieben werden:
h ( t ) = a ∙ sin( b ∙ t + c ) + d
t … Zeit in min
h ( t ) … Höhe des Aufhängepunkts über dem Boden zur Zeit t in m
Zur Zeit t = 0 befindet sich der Aufhängepunkt an der tiefsten Stelle.
– Ermitteln Sie die Parameter a , b , c und d .
Wählt man für t = 0 denjenigen Zeitpunkt, zu dem sich der Aufhängepunkt an der höchs-
ten Stelle befindet, so wird die Höhe des Aufhängepunkts in Abhängigkeit von der Zeit
durch die Funktion g beschrieben.
– Erklären Sie, in welchen Parametern sich die Funktion g von h unterscheidet.
b) Die Tower Bridge ist eine Klappbrücke, die über die Themse führt. Um großen Schiffen die
Durchfahrt zu ermöglichen, können die Brückenarme des 61 m langen Mittelteils hochge-
klappt werden. Die Gelenke der Brückenarme liegen rund 9 m über der Wasseroberfläche.
Ein Schiff fährt genau in der Mitte des Flusses und soll unter der Brücke durchfahren
(siehe nachstehende Abbildung).
Wasseroberfläche
α
d
16 m
α
d
9 m
Schiff
61 m
23 m
– Berechnen Sie denjenigen Winkel α , um den beide Brückenarme jeweils geöffnet werden
müssen, damit das Schiff mit einem Abstand von d = 2 m die Brücke passieren kann.
Sightseeing in London 2
c) Um die Höhe des Big Ben zu bestimmen, werden zwei Punkte in einer Ebene festgelegt.
Vom Vermessungspunkt V
1
wird der Höhenwinkel α zur Spitze des Big Ben gemessen.
Von einem um a Meter näher zum Turm gelegenen Vermessungspunkt V
2
wird zur Spitze
ein Höhenwinkel β gemessen.
– Kreuzen Sie die zu diesem Sachverhalt passende Skizze an. [1 aus 5]
h
a V
1
V
2
α
β
h
a V
1
V
2
α
β
h
a V
1
V
2
α
β
h
a V
1
V
2
α
β
h
a V
1
V
2
α
β
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Höhe h aus a , α und β auf.
h =
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Sightseeing in London 3

Ampelschaltung
Aufgabennummer: B_329
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Laut § 38 Abs. 6 Satz 1 der Straßenverkehrsordnung (StVO) gilt:
„Das grüne Licht ist jeweils mit viermal grünblinkendem Licht zu beenden, wobei die Leucht-
und die Dunkelphase abwechselnd je eine halbe Sekunde zu betragen haben.“
a) Ein Auto fährt mit 72 km/h auf eine Kreuzung zu. Als es sich 100 m vor der Ampel befin-
det, beginnt das Grünblinken.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Fahrer noch beim Grünblinken in die Kreuzung
einfahren kann, wenn er mit gleicher Geschwindigkeit weiterfährt.
Bei konstanter Bremsung hat das Auto eine Bremsverzögerung von 8 m/s
2
.
– Berechnen Sie die Bremszeit des Autos bis zum Stillstand.
b) Auf einer Straße mit einer Geschwindigkeitsbegrenzung von 60 km/h sind zwei Ampeln
300 m voneinander entfernt. Ein Auto steht vor der ersten Ampel, die Rot anzeigt. Für die
Beschleunigung-Zeit-Funktion a gilt bis zum Erreichen von 60 km/h:
a ( t ) = –2,5 · t
2
+ 8,55 · t
t … Zeit in s
a ( t ) … Beschleunigung zur Zeit t in m/s
2
– Berechnen Sie, nach wie vielen Metern das Auto die Geschwindigkeit von 60 km/h
erreicht hat.
Nach dem Erreichen von 60 km/h fährt das Auto mit dieser Geschwindigkeit weiter. Das
Auto soll noch beim Grünblinken die zweite Ampel erreichen.
– Berechnen Sie, nach wie vielen Sekunden die zweite Ampel zu blinken anfangen darf,
wenn das Auto genau bei Schaltung auf Grün von der ersten Ampel wegfährt.
c) Eine Ampel hat folgendes Anzeigeprogramm:
Ampelphase Dauer
Rot 30 s
Gelb 3 s
Grün 20 s
Grün blinkend 4 s
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, die Ampel bei einer Gelbphase anzutreffen.
– Interpretieren Sie den Ausdruck
(
1 –
30
57
)
n
im gegebenen Sachzusammenhang.
Ampelschaltung 2
d) Das Abbremsen vor der Ampel erfolgt nicht konstant, sondern lässt sich mit einer Poly -
nom funktion 3. Grades beschreiben. In Grafik A ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
des Bremsvorgangs dargestellt.
– Skizzieren Sie in Grafik B das zugehörige Beschleunigung-Zeit-Diagramm.
6 5 4 3 2 1 0 7
16
14
12
10
8
6
4
2
0
18
Geschwindigkeit in m/s
Zeit in s
A
6 5 4 3 2 1 0 7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
-6
0
Beschleunigung in m/s
2
Zeit in s
B
– Kreuzen Sie diejenige Aussage an, die zu Grafik A passt. [1 aus 5]
Das Auto hat nach 3 Sekunden seine Höchstgeschwindigkeit er-
reicht.
Das Auto ist am Anfang ( t = 0 s) 16 m von der Ampel entfernt.
Der Bremsweg des Autos beträgt rund 24 m.
Die Anfangsgeschwindigkeit des Autos beträgt 16 km/h.
Die durchschnittliche Beschleunigung während des Bremsvorgangs
beträgt –
16
6
m/s
2
.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Ampelschaltung 3

Wirkstoffkonzentration
Aufgabennummer: B_369
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Konzentration von verabreichten Wirkstoffen im Blut nimmt mit der Zeit ab.
a) In gewissen Zeitabständen wurde die Konzentration des Wirkstoffs im Blut einer Patientin
gemessen. Die gemessenen Werte sind in der nachstehenden Tabelle dargestellt.
Zeit nach Beginn der Verabreichung
in h
Wirkstoffkonzentration
in mg/L
0 1
4 0,65
5 0,5
8 0,25
12 0,15
16 0,1
– Ermitteln Sie mithilfe von exponentieller Regression eine Funktionsgleichung, mit der die
Abnahme der Konzentration näherungsweise beschrieben werden kann.
– Stellen Sie die gemessenen Werte und die ermittelte Funktionsgleichung grafisch dar.
b) Die momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge in Abhängigkeit von der Zeit ist
proportional zur jeweils im Organismus vorhandenen Wirkstoffmenge.
– Stellen Sie eine zu diesem Sachverhalt passende Differenzialgleichung auf. W ( t ) ist dabei
die Wirkstoffmenge zur Zeit t .
Wirkstoffkonzentration 2
c) Über eine Infusion werden einem Patienten pro Minute 2,3 mg eines Wirkstoffs verab-
reicht. Gleichzeitig wird ein Teil des Wirkstoffs wieder ausgeschieden.
Die Änderung der Konzentration des Wirkstoffs im Blut lässt sich durch die folgende Diffe-
renzialgleichung beschreiben:
d y
d t
= –
3
50
∙
(
y –
115
3
)
t … Zeit in min
y ( t ) … Konzentration des Wirkstoffs in mg/L
– Lösen Sie die Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen unter der
Voraussetzung, dass sich zu Beginn der Infusion 0 mg des Wirkstoffs im Blut befinden.
– Erklären Sie, warum eine Funktion der Form y ( t ) = a ∙ (1 – ℯ
– k ∙ t
) für a , k > 0 ein be-
schränktes Wachstum beschreibt.
d) Für die Wirksamkeit eines Medikaments ist eine bestimmte Konzentration eines Wirkstoffs
im Blut notwendig. Im Rahmen einer Versuchsreihe wurden folgende Zeiten von der Ver-
abreichung bis zum Erreichen dieser Konzentration bei einer Stichprobe von 10 Personen
gemessen (Zeit in Minuten):
60 48 50 65 69 53 64 57 67 56
– Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert x und die Stichprobenstandardabweichung
s
n – 1
für die vorliegenden Daten.
Die Zeit bis zum Erreichen dieser Konzentration wird als normalverteilt angenommen.
– Ermitteln Sie den zweiseitigen Vertrauensbereich für den Erwartungswert μ dieser Nor-
malverteilung mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 1 %.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Auf der Baustelle
Aufgabennummer: B_333
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Zur Bewegung von Lasten werden auf einer Baustelle verschiedene Hilfsmittel eingesetzt.
Abb. 1 Abb. 2 a) Mithilfe einer nahezu reibungsfreien
festen Seilrolle soll eine Palette hochgehoben
werden (siehe Abb. 1).
Auf das Seil wirkt eine Kraft von
F = 1,5 kN unter einem Winkel α = 35°.
m Masse
A
β
α
F
F
G
– Beschriften Sie in Abb. 2 die Kräfte in
der Skizze mit F
G
, F und R , wobei R die
Resultierende ist, die auf die Seilrolle wirkt.
– Berechnen Sie den Betrag der resultierenden
Kraft R .
β
α
β
b) Ein Wagen soll von 2 Bauarbeitern mit einer Kraft F gezogen werden.
F ist die Summe der Kräfte F
1
und F
2
(siehe Abb. 3).
Abb. 3
α
β
F
F
1
F
2
s
– Erstellen Sie eine Formel zur Ermittlung des Betrags der Kraft F
1
, wenn man den Betrag
der Kraft F und die Winkel α und β kennt.
Beim Ziehen einer Last wird Arbeit W verrichtet.
Die Formel für die Arbeit W lautet: W = F ∙ s
– Zeigen Sie, dass es im Fall der gegebenen Situation genügt, nur das Produkt der Beträ-
ge von F und s zu berechnen.
Wird die Last nur von einer Person gezogen, schließt die Kraft F =
( )
200
100
N mit dem
Weg s =
( )
100
130
m einen Winkel φ ein.
– Berechnen Sie die zu verrichtende Arbeit W .
– Berechnen Sie den Winkel φ .
Auf der Baustelle 2
c) 30 kg Schutt werden in einer Schubkarre abtransportiert.
Dabei wirkt die Gewichtskraft F
1
auf die Schubkarre.
Zum Entladen muss die Schubkarre gekippt werden. Die
Kraft F
2
, mit der man am äußersten Ende der Haltegriffe
nach oben drücken muss, kann mithilfe des
Hebelgesetzes F
1
∙ a
1
= F
2
∙ a
2
ermittelt werden.
Die Gewichtskraft ist das Produkt aus Masse m und
Erdbeschleunigung g .
Abb. 4
a
1
a
2
F
1
F
2
– Berechnen Sie den Betrag der Kraft F
2
, wenn a
1
= 250 mm und a
2
= 1 500 mm gilt.
(Rechnen Sie mit g = 9,81 m/s
2
.)
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.