Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3101–3150

Hydraulik
Aufgabennummer: B_287
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Hydraulikzylinder sind mittels Flüssigkeit betriebene Arbeitszylinder. Zwischen dem Durch-
messer d
K
des Zylinderkolbens und dem Betrag F
A
der ausfahrenden Kraft besteht folgen-
der Zusammenhang:
F
A
= p ∙
d
K
2
∙ π
4
F
A
… Betrag der ausfahrenden Kraft in Newton (N)
p … Druck in N/mm²
d
K
… Kolbendurchmesser in mm
In der nachstehenden Tabelle sind einige Messwerte einer Testreihe für einen mit dem
Druck p = 10 N/mm² belasteten Hydraulikzylinder angegeben.
d
K
in mm 50 60 70 80 90
F
A
in kN 18,59 27,15 39,03 51,29 62,24
– Berechnen Sie für den Messwert bei d
K
= 70 mm den relativen Fehler des Messwerts
bezüglich des aus der Formel erhaltenen Wertes für F
A
in Prozent.
– Erstellen Sie für die Messwerte ein alternatives Modell zur Berechnung von F
A
in Abhän-
gigkeit von d
K
in Form einer quadratischen Ausgleichsfunktion.
Ausgleichsfunktionen werden mit der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt.
– Kreuzen Sie die auf diese Methode zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
Die Parameter der Ausgleichsfunktion werden so bestimmt, dass der
erste und der letzte Messpunkt auf dem Funktionsgraphen liegen.
Die Parameter der Ausgleichsfunktion werden so bestimmt, dass
möglichst viele Messpunkte genau auf dem Funktionsgraphen liegen.
Die Parameter der Ausgleichsfunktion werden so bestimmt, dass die
Summe der Quadrate der senkrechten Abstände der Messpunkte
vom Funktionsgraphen möglichst klein ist.
Die Parameter der Ausgleichsfunktion werden so bestimmt, dass die
Summe der senkrechten Abstände der Messpunkte vom Funktions-
graphen null ist.
Die Parameter der Ausgleichsfunktion werden so bestimmt, dass die
Steigung der Ausgleichsfunktion möglichst gering ist.
b) Für die Modellierung eines speziellen Gehäuses eines Hydraulikzylinders wird die Funktion f
verwendet.
f ( x ) =
1
0,1 ∙ x + 0,35
– 0,85
x , f ( x ) … Koordinaten in Längeneinheiten
– Zeichnen Sie die Funktion f im Intervall [–20; 20].
Rotiert die Funktion f im Intervall [0; x
N
] um die x -Achse, erhält man ein Modell des ge-
wünschten Gehäuses, wobei x
N
die Nullstelle der Funktion f ist.
– Berechnen Sie das Volumen des Gehäuses.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Hydraulik 2

Computer
Aufgabennummer: B_370
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Das Moore’sche Gesetz beschreibt die Zunahme der Anzahl an Transistoren pro Chip in Ab-
hängigkeit von der Zeit t in Jahren (siehe nachstehende Grafik). Für das Jahr 1974 wird die
Zeit t = 0 Jahre festgelegt.
1 000 000
100 000
10 000
1 000
100
10
1
5 10 15 20 25 30 35
Zeit in Jahren
Anzahl der Transistoren in 1 000 pro Chip
0
– Lesen Sie aus der obigen Grafik ab, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Transistoren
pro Chip erstmals 3 000 000 erreicht hat.
Für die Gleichung der in der Grafik veranschaulichten Funktion gilt:
y ( t ) = y
0
∙ ℯ
λ ∙ t
t … Zeit in Jahren
y ( t ) … Anzahl der Transistoren in 1 000 Stück pro Chip
– Ermitteln Sie die Parameter y
0
und λ mithilfe der Grafik.
b) – Weisen Sie nach, dass eine Funktion mit der Gleichung y = a ∙ b
x
in einem Koordinaten-
system mit logarithmischer Skalierung der y -Achse als Gerade dargestellt wird.
Computer 2
c) Ein Unternehmen produziert Bauteile für Computer. Die Gesamtkosten pro Tag für x produ-
zierte ME können durch eine Polynomfunktion 3. Grades beschrieben werden.
K ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d
x … pro Tag produzierte Bauteile in ME
K ( x ) … Gesamtkosten pro Tag bei x produzierten ME in Euro
Folgende Wertepaare sind bekannt:
x in ME 0 40 60
K ( x ) in GE 12 000 27 520 30 720
Weiters ist bekannt, dass die Grenzkosten K ′ ( x ) bei einer Produktion von 50 ME
157 GE/ME betragen.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b , c und d auf.
– Berechnen Sie die Koeffizienten a , b , c und d .
– Berechnen Sie die Stelle des Minimums der Grenzkostenfunktion.
– Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Stelle im gegebenen Sachzusammenhang.
d) Die Lebensdauer einer Sorte Akkus ist annähernd normalverteilt. Eine Stichprobe des Um-
fangs n = 8 hat den Stichprobenmittelwert x = 1 005 Ladezyklen und die Stichprobenstan-
dardabweichung s
n – 1
= 48 Ladezyklen.
– Ermitteln Sie das zweiseitige Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ der Lebens-
dauer mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 1 %.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Richtfunk
Aufgabennummer: B_375
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Richtfunksysteme sind Funksysteme zur Übertragung von Informationen zwischen festen
Standorten. Oft werden Parabolantennen für das Empfangen und das Senden der Strahlung
verwendet.
a) Ein Richtstrahl, der entlang der
Geraden a verläuft, wird vom Punkt
F
1
= (–50|–40|0) (Angaben in
Metern) in Richtung des Vektors
( )
16
12
15
gesendet.
– Stellen Sie eine Gleichung der
Geraden a in Parameterform auf.
Ein Richtstrahl, der von F
2
aus ge-
sendet wird, verläuft entlang der Geraden
b : X =
( )
15
12
0
+ t ·
( )
15,5
10
45
.
– Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen
Schnittpunkts S , in dem die beiden Richtstrahlen
auf die Verbindungsstelle treffen.
– Berechnen Sie denjenigen Winkel α , den die beiden
Richtstrahlen miteinander einschließen.
α
Antenne 1
Antenne 2
a
b
Verbindungs-
stelle
S
F
1
F 2
Richtfunk 2
b) Auf einer Karte sind vier Richtfunkstationen
R
1
, R
2
, R
3
und R
4
eingezeichnet
(siehe nebenstehende Abbildung).
– Dokumentieren Sie, wie man aus den bekannten
Richtfunkstrecken a , b und c sowie dem Winkel δ
die Länge der Richtfunkstrecke zwischen R
2
und
R
4
berechnen kann.
b
a
c
R
4
R
1
R
3
R
2
c) Der Antennengewinn-Faktor G ist ein Maß für die Verstärkung einer Antenne.
G =
4 ∙ π
λ
2
· A · η
η ... dimensionsloser Parameter
A … Antennenfläche in m
2
λ … Wellenlänge in m
G … Antennengewinn-Faktor
– Geben Sie an, um welchen Faktor sich G verändert, wenn λ verdoppelt wird.
Für den Antennengewinn g in Dezibel (dB) gilt:
G = 10
– Zeigen Sie mithilfe der Logarithmusrechenregeln, dass eine Verdoppelung von G
eine Erhöhung von g um rund 3 dB hervorruft.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
g
10

Tischplatte / Herbsttermin 2022 / B_554 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 20 /22
Aufgabe 8 (Teil B)
Tischplatte
Eine Tischlerei erhält die nachstehend abgebildete Skizze einer Tischplatte und erstellt dazu drei
Entwürfe.
a) Der erste Entwurf für die Tischplatte ist in der unten stehenden Abbildung dargestellt.
Die Begrenzungslinie der Tischplatte setzt sich aus dem Kreisbogen b mit dem Mittelpunkt M
und den Strecken s 1 , s 2 und c zusammen.
b
M
h h
r r
s
2
s
1
α
c
1) Stellen Sie mithilfe von r und α eine Formel zur Berechnung von h auf.
h = [0 / 1 P.]
2) Markieren Sie in der obigen Abbildung eine Strecke x , deren Länge mit der nachstehenden
Formel berechnet werden kann.
x =
c
2
–

r
2
– h
2
[0 / 1 P.]
Tischplatte / Herbsttermin 2022 / B_554 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 21 /22
b) Im zweiten Entwurf wird die Begrenzungslinie der Tischplatte durch die Strecke c und den
Graphen der quadratischen Funktion p modelliert (siehe nachstehende Abbildung).
p ( x ) in cm
x in cm
p
O
c
1) Markieren Sie in der obigen Abbildung eine Fläche, deren Inhalt durch den nach stehenden
Ausdruck berechnet werden kann.
c
2
∙ p
(
c
2
)
–
c
2
∫
0
p ( x ) d x [0 / 1 P.]
S = (35 | 30) ist der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion p .
2) Vervollständigen Sie die nachstehende Funktionsgleichung von p durch Eintragen der
fehlenden Zahlen und Rechenzeichen in die dafür vorgesehenen Kästchen.
p ( x ) = –
6
245
∙
(
x
)
2
[0 / 1 P.]
Tischplatte / Herbsttermin 2022 / B_554 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 22 /22
c) Im dritten Entwurf wird die Tischplatte durch die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion q
und der x -Achse modelliert (siehe nachstehende Abbildung).
q ( x ) =
7
2
∙ sin
(
π
7
· x
)
mit 0 ≤ x ≤ 7
x , q ( x ) ... Koordinaten in dm
q ( x ) in dm
q
x in dm
A
6 5 4 3 2 1 0 7 8
3
2
1
0
4
1) Ermitteln Sie den Inhalt A der grau markierten Fläche. [0 / 1 P.]
Jemand ermittelt die Ableitungsfunktion q ′ und löst anschließend die nachstehende Gleichung.
0 =
π
2
∙ cos
(
π
7
· xP
)
mit 0 ≤ xP
≤ 7
2) Beschreiben Sie die Bedeutung des Punktes P = ( xP
| q ( xP )). [0 / 1 P.]

Abrissbirnen*
Aufgabennummer: B_012
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Abrissbirnen sind kugel- oder birnenförmige Werkzeuge zum Abreißen von Gebäuden.
a) Eine Abrissbirne hat die Form einer Kugel mit dem Durchmesser d . Die Masse m und die
Dichte ϱ der Kugel sind bekannt. Die Masse ist das Produkt von Volumen und Dichte.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Durchmessers d aus m und ϱ .
d =
Eine einfache Regel besagt: „Um die Masse einer Kugel zu verdoppeln, ist ihr Durchmes-
ser um rund ein Viertel zu vergrößern.“
– Zeigen Sie allgemein, dass diese Regel richtig ist.
b) Eine andere Abrissbirne kann als Körper modelliert werden, der durch Rotation des Gra-
phen der Polynomfunktion f mit f ( x ) = a · x
4
+ b · x
3
+ c · x
2
+ d · x + e um die x -Achse
entsteht.
A
B
f
C
D x in dm
f ( x ) in dm
Dabei gilt:
A = (0|0), B = (1,1| 2,2), C = (9,4|5,1), D = (12|0)
Im Punkt C hat die Abrissbirne den größten Durchmesser.
– Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu A , B , C und D ein Gleichungssystem zur Be-
rechnung der Koeffizienten der Polynomfunktion f .
– Ermitteln Sie die Koeffizienten von f .
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Durch Rotation des Graphen der Funktion g im Intervall [1; b ] um die x -Achse entsteht die
Form einer weiteren Abrissbirne (siehe nachstehende Abbildung):
g ( x ) = –0,00157 · x
4
+ 0,03688 · x
3
– 0,29882 · x
2
+ 1,26325 · x
x in dm
g ( x ) in dm
g
0 1
a b
0
– Berechnen Sie die Nullstelle b .
Das Volumen dieser Abrissbirne soll verkleinert werden.
Durch Rotation des Graphen der Funktion g im Intervall [1; a ] um die x -Achse entsteht die
Form einer Abrissbirne mit einem um 10 dm
3
kleineren Volumen.
– Berechnen Sie die in der obigen Abbildung dargestellte Stelle a .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Abrissbirnen 2

Durchmesser einer Stahlwelle*
Aufgabennummer: B_019
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Dreh maschinen Stahlwellen für Elektro
motoren in Massenproduktion her.
a) Bei Maschine A sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalver
teilt mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm. In der nachstehenden Abbildung 1 ist der
Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
Abbildung 1:
Durchmesser in mm
Durchmesser in mm
Wahrscheinlichkeit
10,04 10,02 10,00 9,98 9,96 9,94 9,92 10,06
1
0,5
0
10,04 10,02 10,00 9,98 9,96 9,94 9,92 10,06
Abbildung 2:
Durchmesser in mm
Durchmesser in mm
Wahrscheinlichkeit
10,04 10,02 10,00 9,98 9,96 9,94 9,92 10,06
1
0,5
0
10,04 10,02 10,00 9,98 9,96 9,94 9,92 10,06
– Skizzieren Sie in der obigen Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion.
– Veranschaulichen Sie mithilfe der Verteilungsfunktion in Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit,
dass eine zufällig ausgewählte Stahlwelle einen Durchmesser von mindestens 10,02 mm hat.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Bei Maschine B sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normal
verteilt mit der Standardabweichung σ = 0,02 mm. Ein Durchmesser von 9,97 mm wird
von 0,1 % der Stahlwellen unterschritten.
– Ermitteln Sie den zugehörigen Erwartungswert μ .
c) Bei Maschine C sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt
mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm und der Standardabweichung σ = 0,03 mm.
Im Rahmen der Qualitätssicherung werden Stichproben vom Umfang n untersucht.
– Berechnen Sie für n = 30 den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich,
in dem erwartungsgemäß 99 % aller Stichprobenmittelwerte liegen.
– Geben Sie an, um welchen Faktor sich der Stichprobenumfang ändern muss, damit
sich die Breite des 99 % Zufallsstreubereichs halbiert.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Durchmesser einer Stahlwelle 2

Wings for Life World Run *
Aufgabennummer: B_022
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Beim Wings for Life World Run starten alle Läufer/innen gleichzeitig. Eine halbe Stunde
später verlässt ein Verfolgerauto („Catcher-Car“) den Start und fährt den Läuferinnen und
Läufern nach. Die Teilnehmer/innen laufen jeweils so lange, bis sie vom Catcher-Car ein-
geholt werden.
Der vom Catcher-Car innerhalb der ersten 2,5 Stunden ab dem Start der Läufer/innen zu-
rückgelegte Weg kann näherungsweise durch die folgende stückweise definierte Funktion s
beschrieben werden:
0 für t ≤ 0,5
s ( t ) =
{
für 0,5 < t ≤ 1,5
16 · t – 9 für 1,5 < t ≤ 2,5
t ... Zeit ab dem Start der Läufer/innen in h
s ( t ) ... der vom Catcher-Car zur Zeit t zurückgelegte Weg in km
Im Zeitintervall ]0,5; 1,5] fährt das Catcher-Car mit konstanter Geschwindigkeit.
– Ergänzen Sie die Weg-Zeit-Funktion für das Zeitintervall ]0,5; 1,5] in der gegebenen
Funktionsdefinition.
Die Geschwindigkeit eines bestimmten Läufers kann näherungsweise durch folgende
Funktion v beschrieben werden:
v ( t ) = –0,73 · t
2
+ 2,43 · t + 10
t ... Zeit ab dem Start des Läufers in h
v ( t ) ... Geschwindigkeit des Läufers zur Zeit t in km/h
Der Läufer wird im Zeitintervall ]1,5; 2,5] eingeholt.
– Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem dieser Läufer vom Catcher-Car eingeholt
wird.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Der zeitliche Verlauf der Herzfrequenz einer Läuferin kann näherungsweise durch eine
Funktion p beschrieben werden.
Der Graph von p ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. Der Flächeninhalt des
grau markierten Rechtecks entspricht dem Inhalt der Fläche unter dem Funktions graphen
von p im Intervall [0; t
1
].
Herzfrequenz in Schlägen pro Minute
Zeit in Minuten
p
h
O
t 1
– Interpretieren Sie die Bedeutung von h im gegebenen Sachzusammenhang.
– Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Formel zur Berechnung von h , wenn die
Funktion p bekannt ist.
h =
Wings for Life World Run 2
c) Beim Laufen bewegt sich der Schwerpunkt des menschlichen Körpers in regelmäßigen
Zeitabständen auf und ab.
Modellhaft kann der zeitliche Verlauf der Höhe des Schwerpunkts durch die Funktion h
beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
h ( t ) = 5 · sin(6 · π · t ) + 110
t ... Zeit in s
h ( t ) ... Höhe des Schwerpunkts über dem Boden zur Zeit t in cm
h ( t ) in cm
t in s
h
0
– Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Wings for Life World Run 3

Sternbild Großer Wagen (2)*
Aufgabennummer: B_032
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die Entfernungen zwischen Sternen können in Lichtjahren ange-
geben werden.
Die nebenstehende Abbildung zeigt eine schematische Darstellung
des Sternbilds Großer Wagen .
a) Astronomen verwenden verschiedene Koordinatensysteme. In einem Koordinatensys-
tem mit der Erde im Koordinatenursprung O kann die Position eines Sterns S mithilfe der
Winkel α und δ sowie der Entfernung OS von der Erde angegeben werden (siehe nach-
stehende Abbildung).
S = ( xs | ys | zs )
z
y
x
O
xs
ys
zs
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Koordinate z
S
aus dem Winkel δ und der
Entfernung OS .
z
S
=
– Ordnen Sie den Koordinaten x
S
und y
S
jeweils den zutreffenden Ausdruck aus A bis D
zu. [2 zu 4]
A OS · sin( α ) · sin( δ )
B OS · cos( α ) · sin( δ )
C OS · sin( α ) · cos( δ )
D OS · cos( α ) · cos( δ )
x
S
=
y
S
=
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Alkaid und Dubhe sind zwei Sterne des Sternbilds Großer Wagen . Ihre Positionen können
mittels ihrer Koordinaten in Lichtjahren in Bezug auf ein bestimmtes kartesisches Koordi-
natensystem angegeben werden. Dabei befindet sich die Erde im Koordinatenursprung O .
Alkaid: A = (–60 | –31| 79)
Dubhe: D = (–57|14|109)
– Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren OA und OD .
– Ermitteln Sie die Entfernung der beiden Sterne voneinander.
c) In der nachstehenden Abbildung sind der Große Wagen und der Polarstern P in einem
Koordinatensystem dargestellt.
y
x
×
P
S
2
S
1
O
×
×
×
× ×
×
×
Die Position des Polarsterns P kann nach folgender Faustregel bestimmt werden:
Der Polarstern P liegt auf der Geraden, die durch die Punkte S
1
und S
2
verläuft. Der Ab-
stand zwischen S
2
und P ist das 5-Fache der Länge der Strecke S
1
S
2
.
– Übertragen Sie die Faustregel mithilfe der Vektorrechnung in einen mathematischen Aus-
druck zur Berechnung von P .
Es gilt: S
1
= (5,5 | 3,8) und S
2
= (5,0 | 4,4)
– Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P .
Sternbild Großer Wagen (2) 2
d) In der Astronomie wird als Maß für die Entfernung r eines Sterns von der Erde der soge-
nannte Entfernungsmodul 5 · lg
(
r
10
)
verwendet.
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der nicht dem Entfernungsmodul entspricht.
[1 aus 5]
–5 · lg
(
10
r
)
–5 + lg( r
5
)
lg
((
r
10
)
5
)
5 · lg( r ) – lg(10)
5 · (lg( r ) – 1)
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Sternbild Großer Wagen (2) 3

Bewegung eines Bootes*
Aufgabennummer: B_074
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Die Bewegung eines Bootes wird durch folgende Differenzialgleichung beschrieben:
m ·
d v
d t
= – k · v
m … Masse des Bootes
v > 0 … Geschwindigkeit des Bootes
k > 0 … Konstante
t … Zeit
– Argumentieren Sie mathematisch anhand der Differenzialgleichung, dass die Geschwin-
digkeit mit zunehmender Zeit t abnimmt.
– Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung.
b) Ein Boot wird von einem Motorboot geschleppt. Zur Zeit t = 0 s wird das Schleppseil
gelöst.
Die nachstehende Tabelle gibt die Geschwindigkeit des Bootes zu 4 verschiedenen Zeiten
an.
Zeit in s 3 9 15 21
Geschwindigkeit in m/s 6,5 2,5 1,1 0,5
– Ermitteln Sie mithilfe der Daten aus der obigen Tabelle eine Gleichung der exponentiellen
Ausgleichsfunktion, die den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit des Bootes be-
schreibt.
– Ermitteln Sie mit dieser Ausgleichsfunktion einen Schätzwert für die Geschwindigkeit
des Bootes zur Zeit t = 5 s.
c) Für einen bestimmten Zeitraum kann der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit eines ande-
ren Motorboots durch die Funktion v
MB
näherungsweise beschrieben werden:
v
MB
( t ) = a + b · ( ℯ
–0,1 · t
– ℯ
– t
)
t ... Zeit
v
MB
( t ) ... Geschwindigkeit des Motorboots zur Zeit t
a , b ... positive Konstante
– Argumentieren Sie mathematisch, dass die Gerade mit der Gleichung v = a eine
Asymptote dieser Funktion ist.
* ehemalige Klausuraufgabe

Smartphones (2)*
Aufgabennummer: B_079
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Der Akku eines Smartphones entlädt sich aufgrund von Hintergrundanwendungen auch
dann, wenn das Gerät nicht aktiv benützt wird.
Für ein bestimmtes Smartphone wird die zeitliche Entwicklung des Akku-Ladestands in
Prozent beobachtet. Zur Zeit t = 0 ist der Akku vollständig aufgeladen.
Zeit t in Stunden Akku-Ladestand in Prozent
0 100
3 94
6 81
10 71
18 43
Die zeitliche Entwicklung des Akku-Ladestands in Prozent soll beschrieben werden.
– Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion.
Bei einem Akku-Ladestand von 15 % sollte das Smartphone wieder ans Stromnetz ange-
schlossen werden.
– Berechnen Sie, wie viele Stunden nach dem vollständigen Aufladen dies gemäß diesem
linearen Regressionsmodell der Fall ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die zeitliche Entwicklung des Akku-Ladestands beim Aufladen lässt sich näherungsweise
durch die Funktion A beschreiben:
A ( t ) = 100 – 85 · ℯ
– λ ∙ t
t … Zeit nach Beginn des Aufladens in h
A ( t ) … Akku-Ladestand zur Zeit t in Prozent
λ … positiver Parameter
– Argumentieren Sie mathematisch, dass sich die Funktionswerte von A mit wachsendem t
dem Wert 100 annähern.
2 Stunden nach Beginn des Aufladens beträgt der Akku-Ladestand 80 %.
– Berechnen Sie λ .
– Berechnen Sie, zu welcher Zeit nach Beginn des Aufladens der Akku-Ladestand 90 %
beträgt.
Smartphones (2) 2
c) Die Entwicklung der weltweiten Verkaufszahlen von Smartphones kann modellhaft durch
die Funktion S beschrieben werden:
S ( t ) =
1 918
1 + 4,84 · ℯ
–0,54 · t
t ... Zeit in Jahren ( t = 0 entspricht dem Beginn des Jahres 2010)
S ( t ) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften Smartphones in Millionen Stück
– Ermitteln Sie mithilfe dieses Modells die Anzahl der bis zum Beginn des Jahres 2020
insgesamt verkauften Smartphones.
Im nachstehenden Diagramm ist der Graph der Ableitungsfunktion S ′ dargestellt. Auf dem
Graphen von S ′ ist der Hochpunkt H markiert.
t ab Beginn des Jahres 2010 in Jahren
S ′ ( t ) in Mio. Stück/Jahr
H
6 5 4 3 2 1 0 7
S ′
300
200
100
0
2,9
– Beschreiben Sie die mathematische Bedeutung der Stelle t = 2,9 in Bezug auf die
Funktion S .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Smartphones (2) 3

Höhe der Wolkenuntergrenze*
Aufgabennummer: B_110
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die Höhe der Wolkenuntergrenze kann auf verschiedene Arten näherungsweise bestimmt
werden.
a) Die Höhe der Wolkenuntergrenze wurde früher mithilfe eines Nachtwolkenscheinwerfers
bestimmt. Folgende Anweisung musste man dabei befolgen:
„Platzieren Sie auf einer horizontalen Ebene den Scheinwerfer in einem Punkt P so, dass
sein Lichtstrahl senkrecht nach oben gerichtet ist.
Dort erzeugt er auf der Wolkenuntergrenze in der Höhe h einen punktförmigen Lichtfleck L .
Begeben Sie sich in einen anderen Punkt Q dieser Ebene und messen Sie die Strecken-
länge PQ .
Messen Sie den Höhenwinkel α , unter dem der Lichtfleck L nun von Punkt Q aus gesehen
wird.“
– Veranschaulichen Sie den beschriebenen Sachverhalt mithilfe einer Skizze. Beschriften
Sie P , Q , L , h und α in dieser Skizze.
– Erstellen Sie eine Formel, mit deren Hilfe man die Höhe der Wolkenuntergrenze h mit
den gemessenen Größen bestimmen kann.
h =
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein Ceilometer ist ein Messgerät, mit dem man aufgrund einer Lichtlaufzeitmessung die
Höhe der Wolkenuntergrenze bestimmen kann. Dabei gilt:
h =
c · t
2
h … Höhe der Wolkenuntergrenze in m
t … Lichtlaufzeit in s
c ≈ 300 000 000 m/s ... Lichtgeschwindigkeit
Das Gerät misst eine Lichtlaufzeit von 10 μs.
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, mit dem die Höhe der Wolkenuntergrenze h in
Metern korrekt ermittelt wird. [1 aus 5]
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–6
2
300 · 10
6
· 10 · 10
–9
2
3 · 10
–8
· 10
5
2
3 · 10
8
· 10 · 10
9
2
3 · 10
8
· 10
–5
2
Höhe der Wolkenuntergrenze 2
c) Eine Wolke wirft einen 150 m langen Schatten auf den Erdboden. Von A aus sieht
man die Wolke unter dem Sehwinkel α = 4°. Der Einfallswinkel der parallelen Sonnen-
strahlen gegenüber der Horizontalen beträgt β = 30°.
Die folgende Abbildung stellt diese Situation vereinfacht und nicht maßstabgetreu dar:
Sonnenstrahlen
Höhe h
Erdboden
C
150 m A B
– Tragen Sie die gegebenen Winkel α und β in die obige Abbildung ein.
– Berechnen Sie die Entfernung BC .
– Berechnen Sie die Höhe h .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Höhe der Wolkenuntergrenze 3