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Ballonfahren / Herbsttermin 2022 / B_553 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 17 /22
Aufgabe 7 (Teil B)
Ballonfahren
a) Die nachstehende Abbildung zeigt die Seehöhe (Höhe über dem Meeresspiegel), in der sich
ein Heißluftballon während einer bestimmten Fahrt befindet. Diese Seehöhe wird durch die
Graphen der Funktionen h
1
und h
2
beschrieben.
h
1
( t ), h
2
( t ) in m
h
1
h
2
t in min
30 20 0
240
1 200
Der Heißluftballon startet zur Zeit t = 0 in 240 m Seehöhe.
Für die 1. Ableitung von h
1
gilt:
h
1
′ ( t ) = 0,09 ∙ t
2
– 7,2 ∙ t + 108
1) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion h
1
auf. [0 / 1 P.]
Nach 20 min befindet sich der Heißluftballon in 1 200 m Seehöhe und beginnt mit dem Sink-
flug. Die Höhe während des Sink flugs wird durch den Graphen der quadratischen Funktion h
2
mit h
2
( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c beschrieben. Nach 30 min landet der Heißluftballon mit einer Sink-
geschwindigkeit von 10 m/min auf 240 m Seehöhe.
2) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b und c .
[0 / 1 / 2 P. ]
3) Berechnen Sie die Koeffizienten a , b und c . [0 / 1 P.]
Ballonfahren / Herbsttermin 2022 / B_553 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 18 /22
b) Die Form eines bestimmten Heißluftballons entsteht durch Rotation der Graphen der Funk-
tionen f 1 und f 2 um die x -Achse (siehe nachstehende Abbildung).
y in m
x in m
f
1
f
2
P
6,2 0
0
5
–5
D
Für die Funktion f 2 gilt:
f 2 ( x ) =
5
4
∙

– x
2
+ 20,8 ∙ x – 50,4
1) Berechnen Sie den maximalen Durchmesser D des Heißluftballons. [0 / 1 P.]
Der Graph der Funktion f 1 ist die Tangente an den Graphen der Funktion f 2 im Punkt P .
2) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion f 1 auf. [0 / 1 P.]
3) Berechnen Sie das Volumen des Heißluftballons. [0 / 1 P.]
Ballonfahren / Herbsttermin 2022 / B_553 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 19 /22
c) Bei einer bestimmten Ballonfahrt wird vom Punkt H aus der Punkt P unter dem Tiefenwinkel α
und der Punkt Q unter dem Tiefenwinkel β gesehen.
H
h b
a
P Q c
α
β
1) Ordnen Sie den beiden Streckenlängen jeweils den zutreffenden Ausdruck zu deren Be-
rechnung aus A bis D zu. [0 / 1 P.]
b
h
A a ∙ sin( β )
B c ∙ sin( β )
C
a ∙ sin( β )
sin( α – β )
D

a
2
+ c
2
– 2 ∙ a ∙ c ∙ cos( β )
Gegeben sind die Winkel α = 65° und β = 23° sowie die Streckenlänge c = 2 800 m.
2) Berechnen Sie h . [0 / 1 P.]

Servomotor*
Aufgabennummer: B_213
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Ein Servomotor steuert die Bewegung eines Bauteils. Diese kann näherungsweise durch
folgende Funktion s beschrieben werden:
s ( t ) = –0,003 ∙ ℯ
– t
∙ sin(7 ∙ t ) mit t ≥ 0
t ... Zeit in Sekunden (s)
s ( t ) ... Position des Bauteils bezogen auf die Ausgangslage zum Zeitpunkt t in Metern (m)
Der Graph der Funktion s ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Position in m
Zeit in s
–0,001
0,002
0,001
0,003
–0,002
–0,003
0
s
– Markieren Sie die Stelle t =
π
7
in der obigen Abbildung.
– Interpretieren Sie die Stelle t =
π
7
im gegebenen Sachzusammenhang.
– Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt dieser Bewegung, zu dem die Geschwindigkeit
erstmals null beträgt.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein Werkstück wird von einem Servomotor auf einem geradlinigen Förderband vor- und
zurückbewegt. Das zugehörige Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist in der nachstehenden
Abbildung dargestellt.
Geschwindigkeit in m/s
Zeit in s
v
0 2,5 2 1,5 1 0,5 3
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
1,6
–0,2
0
– Markieren Sie in der obigen Abbildung das gesamte Zeitintervall, in dem die Beschleuni-
gung negativ ist.
– Erklären Sie anhand der obigen Abbildung, warum die Position des Werkstücks am
Ende der Bewegung nicht der Position am Anfang der Bewegung entspricht.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Servomotor 2

Bügeleisen*
Aufgabennummer: B_217
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Unternehmen stellt Bügeleisen her. Die Produktionskosten lassen sich näherungsweise
durch die folgende Funktion K beschreiben:
K ( x ) = 0,001 · x
3
– 0,13 · x
2
+ 6,2 · x + 75 mit x ≥ 0
x ... Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) ... Kosten bei der Produktionsmenge x in Geldeinheiten (GE)
a) Im nachstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Kostenfunktion K dargestellt.
Menge in ME
Kosten in GE
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
50
100
150
200
250
300
350
400
0
K
Ein Kostenverlauf heißt in einem Bereich degressiv, wenn der Graph der zugehörigen Kos-
tenfunktion in diesem Bereich negativ gekrümmt (rechtsgekrümmt) ist.
– Lesen Sie aus der obigen Grafik den gesamten Bereich ab, in dem der Kostenverlauf
degressiv ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) – Ermitteln Sie diejenige Produktionsmenge, bei der die Stückkosten (Durchschnittskos-
ten) minimal sind.
– Zeigen Sie, dass bei dieser Produktionsmenge die Stückkosten (Durchschnittskosten)
gleich den Grenzkosten sind.
c) Der Graph der Erlösfunktion E mit E ( x ) = a ∙ x ² + b ∙ x für den Absatz von Bügeleisen ist
in der nach stehenden Grafik dargestellt.
Menge in ME
E
Erlös in GE
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
50
100
150
200
250
0
– Argumentieren Sie mithilfe des Funktionsgraphen, dass der Koeffizient a negativ sein
muss.
– Stellen Sie mithilfe der obigen Grafik eine Gleichung dieser Erlösfunktion auf.
– Berechnen Sie, für welche Produktionsmengen ein Gewinn in Höhe von 50 GE erzielt
werden kann, wenn die oben definierte Kostenfunktion K zugrunde gelegt wird.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Bügeleisen 2

Sport und Gesundheit*
Aufgabennummer: B_254
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die Höhe eines Golfballs über dem horizontalen Boden in Abhängigkeit von der Zeit seit
dem Abschlag kann näherungsweise durch eine Funktion h beschrieben werden:
h ( t ) = v
0
· sin( α ) · t –
g
2
· t
2
t ... Zeit seit dem Abschlag in s
h ( t ) ... Höhe des Golfballs über dem Boden zur Zeit t in m
v
0
... Abschlaggeschwindigkeit in m/s
α ... Abschlagwinkel
g ... Erdbeschleunigung in m/s
2
(konstant)
– Zeigen Sie, dass der Golfball zur Zeit t =
v
0
∙ sin( α )
g
die maximale Höhe über dem Bo-
den erreicht.
– Berechnen Sie für v
0
= 60 m/s, α = 30° und g = 9,81 m/s
2
denjenigen Zeitpunkt, zu
dem der Golfball wieder auf dem Boden aufkommt.
Die Schlagweite w (in m) kann mithilfe der folgenden Formel berechnet werden:
w =
v
0
2
g
· sin(2 · α )
– Argumentieren Sie ausgehend von dieser Formel, dass bei konstanter Abschlagge-
schwindigkeit v
0
die Schlagweite maximal ist, wenn α = 45° beträgt.
– Geben Sie an, wie sich die Schlagweite bei konstantem Abschlagwinkel α verändert,
wenn man die Abschlaggeschwindigkeit v
0
verdreifacht.
b) Die Vitalkapazität ist eine Kenngröße für die Funktion der Lunge.
Ein sportmedizinisches Institut berechnet den Sollwert der Vitalkapazität eines erwachse-
nen Mannes mithilfe folgender Formel:
V
m
= (27,63 – 0,112 · x ) · y
V
m
... Sollwert der Vitalkapazität in cm
3
x ... Alter in Jahren
y ... Körpergröße in cm
– Ermitteln Sie, um wie viel Liter der Sollwert der Vitalkapazität eines 180 cm großen er-
wachsenen Mannes in einem Zeitraum von 10 Jahren sinkt.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Slacklinen ist eine Trendsportart, bei der man auf einem gespannten Gurtband, der soge-
nannten Slackline , balanciert.
Eine Slackline wird über einen See gespannt. Ein sportlicher Badegast versucht, über die
Slackline den See zu queren, ohne dabei ins Wasser zu fallen.
Das zugehörige Kräfteparallelogramm ist nachfolgend dargestellt:
α β
F
G
F
2
F
1
F
G
... Gewichtskraft der Person auf dem Seil
F
1
, F
2
... Seilkräfte
Im Folgenden wird für Kräfte die Schreibweise | F | = F verwendet.
– Berechnen Sie F
2
für F
G
= 588,6 Newton, α = 82° und β = 75°.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Sport und Gesundheit 2

Benutzerfreundlichkeit von Websites*
Aufgabennummer: B_422
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Ein für die Zeitoptimierung wichtiges Kriterium ist die Anzahl der Buttons, die auf einer
Internetseite angeklickt werden können.
Das Gesetz von Hick beschreibt die Zeit, die man benötigt, um sich für einen von n Buttons
zu entscheiden:
t ( n ) = a + b ∙ log
2
( n )
n ... Anzahl der Buttons
t ( n ) ... Entscheidungszeit bei n Buttons in Millisekunden (ms)
a , b ... positive Konstanten in ms
– Ermitteln Sie anhand des Gesetzes von Hick, um wie viel sich die Entscheidungszeit
vergrößert, wenn man die Anzahl der Buttons n verdoppelt.
b) Die Anzahl der täglichen Zugriffe auf eine bestimmte Website kann als annähernd normal-
verteilt angenommen werden. Eine Zufallsstichprobe von 10 Werten wurde erhoben:
9 730 9 932 8 960 10 488 9 842 10 340 10 234 9 549 9 751 10 190
– Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert x und die Stichprobenstandardabweichung
s
n – 1
dieser Zufallsstichprobe.
– Bestimmen Sie das zweiseitige 95-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ der
Normalverteilung.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)

Wohnungen (1)*
Aufgabennummer: B_423
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Fachverband der Immobilien- und Vermögenstreuhänder erstellt Statistiken zu den Trends
auf dem Immobilienmarkt. Es werden die ortsüblichen Kaufpreise und Mieten erhoben. Die
Höhe der Kaufpreise bzw. der Mieten hängt in der Regel stark von der Größe, der Ausstattung
und der Lage der Wohnungen ab.
a) Für eine österreichische Landeshauptstadt hat der Fachverband der Immobilien- und Ver-
mögenstreuhänder die Mietpreise in Euro pro m
2
für Wohnungen bis zu 60 m
2
mit gutem
Wohnwert erhoben:
Ende des Jahres ... Mietpreis in Euro pro m
2
2003 8,10
2004 7,90
2005 8,20
2006 8,50
2007 8,80
2008 9,30
2009 9,60
2010 9,70
2011 10,30
2012 10,80
Der Mietpreis in Euro pro m
2
soll in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren beschrieben werden.
– Ermitteln Sie mithilfe von linearer Regression eine Gleichung der zugehörigen Funktion.
Wählen Sie t = 0 für das Ende des Jahres 2003.
– Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Regressionsfunktion im gegebenen
Sachzusammenhang.
– Ermitteln Sie mithilfe dieser Regressionsfunktion eine Prognose für den Mietpreis pro m
2
für das Ende des Jahres 2018.
Ein anderes Modell verwendet zur Beschreibung der Mietpreisentwicklung die Funktion B .
B ( t ) = 7,77 · 1,035
t
t ... Zeit in Jahren ab Ende des Jahres 2003
B ( t ) ... Mietpreis zur Zeit t in Euro pro m
2
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Parameters 1,035 im gegebenen Sachzusammen-
hang.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Laut einer Erhebung aus dem Jahr 2001 lebten im Bundesland Tirol in 303 632 Woh-
nungen 661 026 Personen. Die nachstehende Tabelle gibt die Anzahl dieser Wohnungen
aufgelistet nach dem Merkmal „Anzahl der Wohnräume“ an.
Anzahl der Wohnräume Anzahl der Wohnungen
1 19 372
2 28 973
3 61 002
4 80 331
5 56 878
6 57 076
Summe 303 632
– Beschreiben Sie in Worten, was durch folgende Ausdrücke im gegebenen Sachzusam-
menhang berechnet wird:
(1)
661 026
303 632
≈ 2,18
(2)
1 · 19 372 + 2 · 28 973 + 3 · 61 002 + 4 · 80 331 + 5 · 56 878 + 6 · 57 076
303 632
≈ 3,98
Wohnungen (1) 2
c) Der durchschnittliche Preis für Eigentumswohnungen mit gutem Wohnwert wurde in einer
Landeshauptstadt jeweils am Ende des Jahres erhoben.
Die nachstehende Tabelle gibt die prozentuelle Steigerung des Preises pro m
2
am Ende
des Jahres gegenüber dem Preis pro m
2
am Ende des jeweiligen Vorjahres für die Jahre
2009 bis 2013 an.
Ende des
Jahres ...
Preissteigerung gegenüber dem Preis
pro m
2
am Ende des jeweiligen Vorjahres
2009 5,5 %
2010 1,2 %
2011 7,1 %
2012 6,7 %
2013 5,4 %
Am Ende des Jahres 2013 kostete eine Eigentumswohnung mit gutem Wohnwert durch-
schnittlich € 3.362 pro m
2
.
– Berechnen Sie den durchschnittlichen Preis pro m
2
für eine Eigentumswohnung mit
gutem Wohnwert am Ende des Jahres 2010.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Wohnungen (1) 3

Im Möbelhaus*
Aufgabennummer: B_427
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Der Profilverlauf einer Liege kann mithilfe der Funktionen f und g näherungsweise be-
schrieben werden.
Mit folgendem Ausdruck kann der Inhalt der in der nachstehenden Abbildung grau darge-
stellten Fläche berechnet werden:
∫
a
0
( f ( x ) – g ( x )) d x + ( b – a ) · c –
∫
b
a
g ( x ) d x
– Tragen Sie die fehlenden Beschriftungen a , b und c in der nachstehenden Abbildung in
die entsprechenden Kästchen ein.
f
g
f ( x ), g ( x ) in m
x in m
O
T
Es gilt:
f ( x ) = 1,033 · x
3
– 2,26 · x
2
+ 1,237 · x + 0,1
g ( x ) = 1,033 · x
3
– 2,26 · x
2
+ 1,237 · x
x , f ( x ), g ( x ) ... Koordinaten in m
– Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts T des Graphen der Funktion f .
– Berechnen Sie den Steigungswinkel von f an der Stelle x
0
= 1,6.
– Begründen Sie, warum die Funktion f an jeder Stelle die gleiche Steigung wie die
Funktion g hat.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein Stoffmuster im Retro-Stil entsteht, indem ein Ausschnitt immer wieder kopiert und ge-
spiegelt wird. Dabei werden die Begrenzungslinien als Graphen von Funktionen modelliert
(siehe nachstehende Abbildungen).
f ( x ), g ( x ), h ( x ) in dm
x in dm
f
g
h
B
A
2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2,6
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
4,5
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = sin( x ) + 0,5
x , f ( x ) ... Koordinaten in dm
Der Graph der Funktion g entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion f ent-
lang der vertikalen Achse um 1,46 dm nach oben.
– Stellen Sie eine Gleichung der Funktion g auf.
Der Graph der Funktion h mit h ( x ) = a · sin( x ) + b verläuft durch den Punkt A = (0| 2,46)
und den Hochpunkt B =
(
π
2
| 3,96 )
.
– Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Im Möbelhaus 2

Ausbreitung von Licht*
Aufgabennummer: B_428
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Bei einem physikalischen Experiment wird Licht durch einen Spalt geschickt und dabei
abgelenkt.
Man interessiert sich für Winkel α mit 0° ≤ α ≤ 90° und sin( α ) =
( n + 0,5) · λ
d
mit n ∈ ℕ .
λ ... Wellenlänge des Lichts in m ( λ > 0)
d ... Spaltbreite in m ( d > 0)
– Geben Sie an, welche Beziehung zwischen d und λ erfüllt sein muss, damit diese Glei-
chung für n = 0 eine Lösung für α hat.
Bei einem bestimmten Experiment gilt: d = 0,01 mm
λ = 632 nm
– Ermitteln Sie diejenigen natürlichen Zahlen n , für die diese Gleichung eine Lösung für α
hat.
b) Bei einem Experiment wird das von einer Sammellinse gebündelte Licht auf einen schräg
gestellten Spiegel gerichtet (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Skizze, alle Ab-
messungen in cm). Es gilt: AC = BC .
A
B
C
Spiegel
Linse Licht
c
6
11
17
10
α
– Berechnen Sie die Länge c .
– Berechnen Sie den stumpfen Winkel α .
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Viele Scheinwerfer haben die Form eines Rotationsparaboloids, das durch Rotation einer
Parabel mit der Gleichung y = a · x
2
um die y -Achse entsteht. Dabei befindet sich die
Lampe des Scheinwerfers im Brennpunkt F =
(
0
|
1
4 ∙ a
)
(siehe nachstehende Abbildung).
r
t
x in cm
y in cm
F
– Berechnen Sie die Koordinaten des Brennpunkts F für r = 12 cm und t = 15 cm.
Jemand behauptet: „Verdoppelt man bei gleichbleibender Tiefe t eines Rotationsparaboloids
den Radius r , so vervierfacht sich dadurch die y -Koordinate des Brennpunkts.“
– Überprüfen Sie diese Behauptung nachweislich auf ihre Richtigkeit.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Ausbreitung von Licht 2

Fundamentale Wechselwirkungen*
Aufgabennummer: B_429
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Mithilfe des Gravitationsgesetzes kann man den Betrag F der Gravitationskraft zwischen
2 Körpern berechnen:
F = G ·
m
1
· m
2
r
2
F ... Betrag der Gravitationskraft
m
1
... Masse des 1. Körpers
m
2
... Masse des 2. Körpers
G ... Gravitationskonstante ( G > 0)
r ... Abstand der beiden Körper
– Ordnen Sie den beiden Abhängigkeiten jeweils die zutreffende Grafik aus A bis D zu.
[2 zu 4]
A
F
B
F
C
F
D
F
Betrag F der Gravitationskraft
abhängig vom Abstand r
( m
1
und m
2
konstant)
Betrag F der Gravitationskraft
abhängig von der Masse m
1
( m
2
und r konstant)
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die „elektromagnetische Wechselwirkung“ ist 10 000-Milliarden-mal so groß wie die
„schwache Wechselwirkung“.
– Ergänzen Sie in der nachstehenden Tabelle die fehlende Hochzahl für die „schwache
Wechselwirkung“.
Wechselwirkung Stärke
elektromagnetische Wechselwirkung 1
schwache Wechselwirkung
10
Gravitation 10
–39
– Ermitteln Sie, um welchen Faktor die „schwache Wechselwirkung“ stärker als die Gravi-
tation ist.
c) In der nachstehenden Grafik sind 2 Kräfte, die auf ein Teilchen im Punkt E wirken, darge-
stellt.
E
F
1
F
2
– Zeichnen Sie die Gesamtkraft, die sich aus der Summe der beiden Kräfte
→
F
1
und
→
F
2
ergibt, ausgehend vom Punkt E in der obigen Grafik ein.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Fundamentale Wechselwirkungen 2

Widerstandstemperatursensoren*
Aufgabennummer: B_430
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Der Zusammenhang zwischen Widerstand und Temperatur eines Sensors wird
näherungs weise durch die quadratische Funktion R beschrieben:
R ( T ) = 100 · (1 + 0,003850 · T – 5,775 · 10
–7
· T
2
) mit T ≥ 0
T ... Temperatur in °C
R ( T ) ... Widerstand bei der Temperatur T in Ohm (Ω)
– Berechnen Sie für T = 450 °C den Betrag des relativen Fehlers bei Verwendung der
Funktion R , wenn der tatsächliche Widerstand 260 Ω beträgt.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein Unternehmen produziert Widerstandstemperatursensoren. Der Widerstand dieser
Sensoren bei 0 °C ist annähernd normalverteilt mit μ = 100 Ω und σ = 0,8 Ω.
Eine Zufallsstichprobe von 10 Sensoren wird der Produktion entnommen, und es wird
jeweils der Widerstand bei 0 °C gemessen.
– Geben Sie die geschätzten Parameter der Verteilung der Stichprobenmittelwerte an.
– Ermitteln Sie den zum Erwartungswert μ symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem
erwartungsgemäß 98 % aller Stichprobenmittelwerte liegen.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Dichtefunktion der Verteilung der Stich
probenmittelwerte für eine Zufallsstichprobe von n = 10 Sensoren strichliert dargestellt .
n = 10
100,5 100 99,5 99 101
Widerstand in Ω
– Skizzieren Sie in der obigen Abbildung einen möglichen Graphen der Dichtefunktion für
einen Stichprobenumfang n > 10.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Widerstandstemperatursensoren 2

Federpendel*
Aufgabennummer: B_431
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein an einer Feder befestigter Körper bewegt sich unter dem Einfluss der Federkraft.
a) Das nachstehende Beschleunigung-Zeit-Diagramm zeigt den sinusförmigen Verlauf der
Beschleunigung eines Körpers durch die Federkraft. Es gilt: a ( t ) = A · sin( ω · t + φ ) mit
A > 0.
0,04
0,02
–0,02
–0,04
5 10 15 20 O
t in s
a ( t ) in m/s
2
– Bestimmen Sie A , ω und φ mithilfe des obigen Diagramms.
– Markieren Sie im obigen Diagramm alle Punkte, in denen der Betrag der Geschwindig-
keit maximal ist.
b) Die Geschwindigkeit eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit kann durch eine
Funktion v mit v ( t ) = A · sin( ω · t + φ ) beschrieben werden ( A , ω > 0).
– Vervollständigen Sie die nachstehende Aussage mit t
2
≠ t
1
so, dass sie richtig ist.
Für t
2
= t
1
+
∙ π
ist
∫
t 2
t 1
A · sin( ω · t + φ ) d t = 0 .
– Zeigen Sie, dass A · ω die maximale Steigung der Funktion v ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die Bewegung eines Körpers unter dem Einfluss einer Federkraft wird durch Reibung
gedämpft. Für die Aus lenkung aus der Ruhelage (Startposition) gilt:
f ( t ) = ℯ
– t
· sin(3 · t ) mit t ≥ 0
t ... Zeit in s
f ( t ) ... Auslenkung aus der Ruhelage zur Zeit t in m
– Bestimmen Sie diejenigen Intervalle, in denen der Betrag der Auslenkung aus der Ruhe-
lage größer als 0,2 m ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Federpendel 2

Elektrische Bauteile*
Aufgabennummer: B_432
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Der zeitliche Verlauf der Spannung beim Entladen eines Kondensators kann näherungs-
weise durch eine Funktion u beschrieben werden:
u ( t ) = U
0
· ℯ
–
t
τ
t … Zeit ab Beginn des Entladevorgangs
u ( t ) … Spannung am Kondensator zur Zeit t
U
0
… Spannung zur Zeit t = 0
τ … Zeitkonstante
– Erstellen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion u an der
Stelle t = 0.
b) Der zeitliche Verlauf der Stromstärke in einer Spule kann durch eine Funktion f beschrie-
ben werden, deren Graph in der unten stehenden Abbildung 1 dargestellt ist.
– Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ in Abbildung 2.
f ( t )
t
t
1
0
f ′ ( t )
t
t
1
0
f ′ ( t )
t
t
1
0
Abbildung 1
Abbildung 2
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Der zeitliche Verlauf der Spannung an einem Kondensator kann nach dem Einschalten
des Stroms durch die Funktion u beschrieben werden:
u ( t ) = 40 ∙ ( 1 – ℯ
–
t
0,24 )
t … Zeit nach dem Einschalten des Stroms in s
u ( t ) … Spannung am Kondensator zur Zeit t in Volt (V)
– Erklären Sie, ausgehend von der Funktionsgleichung für u , warum die Spannung des
Kondensators für t → ∞ asymptotisch gegen 40 V geht.
Im Zeitintervall [ t
1
; t
2
] steigt die Spannung am Kondensator von u ( t
1
) = 5 V auf
u ( t
2
) = 30 V.
– Berechnen Sie den linearen Mittelwert der Spannung im Zeitintervall [ t
1
; t
2
].
Ihnen wird folgende fehlerhafte Berechnung der 1. Ableitung von u vorgelegt:
d u ( t )
d t
= –40 ∙ ℯ
–
t
0,24
– Geben Sie an, welche Ableitungsregel hier missachtet wurde.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Elektrische Bauteile 2

Differenzialgleichungen in der Technik
Aufgabennummer: B_426
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Für die Geschwindigkeit eines bestimmten Körpers in einer Flüssigkeit gilt die folgende
Differenzialgleichung:
d v
d t
= a + b ∙ v
t … Zeit in s
v ( t ) … Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
a , b … Konstanten
1) Geben Sie die zugehörige homogene Differenzialgleichung an.
Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung lautet:
v ( t ) = C ∙ ℯ
–2 ∙ t
C … Konstante
2) Ermitteln Sie die Konstante b .
Die Lösung dieser Differenzialgleichung lautet für eine bestimmte Anfangsbedingung:
v ( t ) = 5 – 4 ∙ ℯ
–2 ∙ t
3) Ermitteln Sie die Konstante a .
4) Ermitteln Sie die zugehörige Anfangsbedingung für t = 0.
b) Bei einer bestimmten chemischen Reaktion ändern sich die vorhandenen Massen der
beteiligten Stoffe mit der Zeit. Für die Masse eines beteiligten Stoffes gilt die folgende
Differenzialgleichung:
d m
d t
= 8 – 2 ∙ m
t … Zeit ab Beginn der Beobachtung in s
m ( t ) … Masse dieses Stoffes zur Zeit t in mg
Eine spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung wurde unter Verwendung einer An
fangsbedingung ermittelt.
1) Ordnen Sie den beiden Satzanfängen jeweils eine Fortsetzung aus A bis D zu, sodass
zutreffende Aussagen entstehen.
Für t → ∞ nähert sich
der Graph der Lösung des
homogenen Teils dieser
Differenzialgleichung …
Für t → ∞ nähert sich der
Graph dieser speziellen
Lösung der Differenzial
gleichung …
A … asymptotisch der t Achse.
B
… asymptotisch der waagrechten
Geraden mit Ordinatenabschnitt 8.
C
… asymptotisch der waagrechten
Geraden mit Ordinatenabschnitt 4.
D
… asymptotisch der waagrechten
Geraden mit Ordinatenabschnitt –2.
c) Die Temperatur eines Werkstücks bei einer bestimmten Wärmebehandlung kann in Ab
hängigkeit von der Zeit beschrieben werden. Dabei kann es sich um einen Abkühlungsvor
gang oder einen Erwärmungsvorgang handeln. Für den Zusammenhang gilt die folgende
Differenzial gleichung:
d T
d t
+ b ∙ T = a
t … Zeit ab Beginn der Beobachtung in h
T ( t ) … Temperatur des Werkstücks zur Zeit t in °C
a , b … Konstanten
Die Lösung dieser Differenzialgleichung kann mithilfe des Ansatzes T ( t ) = T
h
( t ) + T
p
( t ) und
einer Anfangsbedingung bestimmt werden, wobei gilt:
T ( t ) … Lösung der Differenzialgleichung
T
h
( t ) … Lösung des homogenen Teils der Differenzialgleichung
T
p
( t ) … (eine beliebige) partikuläre Lösung der Differenzialgleichung
Die nebenstehende Abbildung zeigt
für einen bestimmten Abkühlungsvorgang
die Graphen von T , T
h
und T
p
.
Temperatur in °C
Zeit in h
O
T
END
Differenzialgleichungen in der Technik 2
1) Geben Sie mithilfe von a und b eine Formel zur Ermittlung von T
END
an.
T
END
=
2) Tragen Sie in der obigen Abbildung die richtige Bezeichnung der Graphen in die Käst
chen ein ( T , T
h
bzw. T
p
).
Die nachstehende Abbildung zeigt für einen bestimmten Erwärmungsvorgang den
Graphen von T .
3) Skizzieren Sie in der obigen Abbildung die Graphen von T
p
und T
h
.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Temperatur in °C
Zeit in h
O
T
Differenzialgleichungen in der Technik 3