Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 3001–3050

Blut / B_372 / Übungsaufgabe S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Blut
Das Blut erfüllt wichtige Funktionen in unserem Körper. Es transportiert zum Beispiel den Wirk-
stoff von Medikamenten durch den Körper.
a) Zur Verabreichung von Medikamenten werden spezielle Dosiervorrichtungen verwendet.
Die Form des Flüssigkeitsbehälters einer solchen Vorrichtung entsteht durch Rotation der
dargestellten Kurve um die x -Achse. Die Funktion f ist eine quadratische Funktion mit dem
Scheitelpunkt S . Die Funktion g ist eine konstante Funktion.
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von f auf.
2) Berechnen Sie das Volumen des Flüssigkeitsbehälters in Millilitern.
y in cm
1
f
S g
P
0,8
0
–0,8
x in cm
7
Blut / B_372 / Übungsaufgabe S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
b) Der zeitliche Verlauf der Wirkstoffmenge eines Medikaments im Blut lässt sich näherungs -
weise durch die Funktion f beschreiben:
f ( t ) = a – a ∙ ℯ
– b ∙ t
t … Zeit ab Verabreichung des Medikaments in min
f ( t ) … Wirkstoffmenge im Blut zur Zeit t in mg
a > 0, b > 0 … Konstanten
1) Kreuzen Sie diejenige Abbildung an, in der der Graph der Funktion f richtig dargestellt ist.
[1 aus 5]
2) Beschreiben Sie die Bedeutung des folgenden Ausdrucks im gegebenen Sachzusammen-
hang:
1
30
∙
∫
30
0
f ( t ) d t
f ( t )
t
a
b
0
0
f
f ( t )
t
a
0
0
f
f ( t )
t
b
0
0
f
f ( t )
t
a
0
0
f
f ( t )
t
b
0
0
f
Blut / B_372 / Übungsaufgabe S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
c) Karl Landsteiner entwickelte das AB0-Blutgruppensystem. Er entdeckte auch die beiden
Rhesusfaktoren Rh+ und Rh–.
37 % der österreichischen Bevölkerung haben die Blutgruppe A, Rh+.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 60 zufällig ausgewählten Personen der
österreichischen Bevölkerung höchstens 15 Personen die Blutgruppe A, Rh+ haben.
2) Interpretieren Sie die Bedeutung des Ausdrucks Σ
6
k = 2
( )
60
k
∙ 0,37
k
∙ 0,63
60 – k
im gegebenen
Sachzusammenhang.
d) Die Funktion w beschreibt den zeitlichen Verlauf der Wirkstoffmenge im Blut eines Patienten.
w erfüllt die folgende Differenzialgleichung:
d w
d t
= – k ∙ w + D
t … Zeit ab Verabreichung des Wirkstoffs
w ( t ) … Wirkstoffmenge im Blut des Patienten zur Zeit t
D , k … Konstanten
1) Zeigen Sie mit der Methode Trennen der Variablen , dass die Differenzialgleichung die
Lösung w ( t ) =
D
k
– C ∙ ℯ
– k ∙ t
hat.

Straßenbau (2)*
Aufgabennummer: B_408
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Zwischen zwei Punkten A und B soll eine Verbindungsstraße errichtet werden.
Die nachstehende Abbildung zeigt den Bauplan in einem Koordinatensystem in der Drauf
sicht (von oben betrachtet).
f
g
B
A
0 20 140 120 100 80 60 40 –60 –20 –40 160
0
120
100
80
60
40
20
140
–20
y in m
x in m
Zu Punkt A führt eine Straße, die durch den Graphen der linearen Funktion f dargestellt ist.
Zu Punkt B führt eine Straße, die durch den Graphen der linearen Funktion g dargestellt
ist.
Die neue Straße, die A und B verbindet, soll durch den Graphen einer Polynomfunktion h
mit h ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d beschrieben werden. Diese Polynomfunktion soll im
Punkt A die gleiche Steigung wie f und im Punkt B die gleiche Steigung wie g haben.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Koeffizienten dieser Polynom
funktion h .
– Ermitteln Sie die Koeffizienten von h .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Zwischen zwei Punkten C und D soll eine geradlinige Verbindungsstraße errichtet werden
(siehe nachstehendes Koordinatensystem).
y in m
x in m
D
C
0 20 140 120 100 80 60 40 –60 –20 –40 160
0
120
100
80
60
40
20
140
–20
– Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors CD .
– Berechnen Sie den Betrag des Vektors CD .
c) Ein Straßenabschnitt soll an einem Berghang entlangführen. Der Querschnitt der geplan
ten Trasse ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
a
Berg
c
b
α
Die Seite b ist 15 m und die
Seite c ist 11,8 m lang.
Der Winkel beträgt α = 116,6°.
– Berechnen Sie den Flächeninhalt des von a , b und c eingeschlossenen Dreiecks.
– Berechnen Sie die Länge der Seite a .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Straßenbau (2) 2

Sinkende Kugeln*
Aufgabennummer: B_407
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Sinkgeschwindigkeit einer in einer Flüssigkeit sinkenden Metallkugel kann durch eine
Funktion v beschrieben werden:
v ( t ) = g · τ · ( 1 – ℯ
– t
τ
) mit t ≥ 0
t ... Zeit ab Beginn des Sinkens in Sekunden (s)
v ( t ) ... Sinkgeschwindigkeit zur Zeit t in Metern pro Sekunde (m/s)
τ ... Zeitkonstante in s mit τ > 0
g ... Erdbeschleunigung ( g ≈ 9,81 m/s
2
)
a) – Begründen Sie mathematisch, warum die Sinkgeschwindigkeit ständig zunimmt.
b) Eine Kugel K
2
beginnt 1 Sekunde nach einer Kugel K
1
zu sinken.
In der nachstehenden Grafik sind die Sinkgeschwindigkeit v
1
der Kugel K
1
und die Sink-
geschwindigkeit v
2
der Kugel K
2
dargestellt. Die Zeitkonstante der Sinkgeschwindigkeit v
2
beträgt τ
2
= 0,8 s.
2 1 0 3
7
6
5
4
3
2
1
0
8
Sinkgeschwindigkeit in m/s
Zeit t in s
v
2
v
1
t
0
– Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion v
2
für t ≥ 1.
Zum Zeitpunkt t
0
ist die Beschleunigung der Kugel K
2
größer als die Beschleunigung der
Kugel K
1
.
– Beschreiben Sie, wie man dies in der obigen Grafik erkennen kann.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die Sinkgeschwindigkeit einer bestimmten Kugel kann durch die Funktion v beschrieben
werden:
v ( t ) = g · 0,25 · ( 1 – ℯ
–
t
0,25 ) mit t ≥ 0
t ... Zeit ab Beginn des Sinkens in s
v ( t ) ... Sinkgeschwindigkeit zur Zeit t in m/s
– Berechnen Sie denjenigen Weg, den die Kugel in der ersten Sekunde zurücklegt.
Im Zeitintervall [0; t
1
] legt die Kugel einen Weg von 8 m zurück.
– Bestimmen Sie die Zeit t
1
.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Sinkende Kugeln 2

Fairtrade*
Aufgabennummer: B_399
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Gesamtumsatz von Fairtrade-Produkten in Österreich ist in den letzten Jahren deutlich
gestiegen:
Jahr 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
jährlicher Gesamtumsatz
in Millionen (Mio.) Euro
53 65 72 87 100 107 130
Quelle: http://www.fairtrade.at/fileadmin/AT/Materialien/2013_FAIRTRADE_Inside_Zahlen_Fakten.pdf [05.09.2016].
a) Die nachstehende Abbildung zeigt diese Gesamtumsatzentwicklung.
Zeit in Jahren
jährlicher Gesamtumsatz in Mio. Euro
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Der jährliche Gesamtumsatz soll in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben werden.
– Ermitteln Sie mithilfe der gegebenen Daten eine Gleichung der zugehörigen linearen
Regressionsfunktion. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2007.
– Zeichnen Sie den Graphen der Regressionsfunktion im obigen Koordinatensystem ein.
– Beurteilen Sie mithilfe des Korrelationskoeffizienten, ob die lineare Regressionsfunktion
ein geeignetes Modell zur Beschreibung der Gesamtumsatzentwicklung ist.
– Berechnen Sie anhand dieses Modells den zu erwartenden jährlichen Gesamtumsatz im
Jahr 2020.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Betrachtet man nur den Zeitraum von 2009 bis 2013, so kann die Entwicklung des Ge-
samtumsatzes näherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden:
f ( t ) = 13,6 · t + 72
t ... Zeit in Jahren ab 2009 ( t = 0 entspricht dem Jahr 2009)
f ( t ) ... jährlicher Gesamtumsatz zur Zeit t in Mio. Euro
– Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Funktion im gegebenen Sachzusam-
menhang.
c) Im Jahr 2012 teilte sich der Gesamtumsatz auf folgende 7 Bereiche auf:
Baumwolle, frische Früchte, Fruchtsäfte, Kaffee, Rosen, Süßwaren und Rest.
Der Umsatz an Kaffee betrug in diesem Jahr 18 % des Gesamtumsatzes.
– Kennzeichnen Sie im nachstehenden Diagramm denjenigen Sektor, der dem Umsatz an
Kaffee entspricht.
Der Umsatz an Süßwaren betrug 2012 etwa 24 Mio. Euro.
– Berechnen Sie, wie viel Prozent der Umsatz an Süßwaren in Bezug auf den Gesamtum-
satz im Jahr 2012 (siehe Tabelle) betrug.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Fairtrade 2

Widerstände*
Aufgabennummer: B_396
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Bei der Produktion von elektrischen Widerständen können die Widerstandswerte als nor-
malverteilt mit dem Erwartungswert μ = 100,0 Ω und der Standardabweichung σ = 3,2 Ω
an ge nommen werden. Eine Zufallsstichprobe von 20 Widerständen wird untersucht.
– Berechnen Sie den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem
der Stichprobenmittelwert der Widerstandswerte mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %
liegt.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Bei der Produktion von anderen elektrischen Widerständen können die Widerstandswerte
als normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 654 Ω und der Standardabweichung
σ = 8 Ω angenommen werden.
– Veranschaulichen Sie in der nachstehenden Darstellung der Verteilungsfunktion dieser
Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit P ( X ≤ 650).
Wahrscheinlichkeit
Widerstand in Ω
675 670 665 660 655 650 645 640 635 630 680
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
– Skizzieren Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen der Verteilungsfunktion
einer Normalverteilung mit gleichem μ und kleinerem σ als in der gegebenen Darstel-
lung.
Wahrscheinlichkeit
Widerstand in Ω
675 670 665 660 655 650 645 640 635 630 680
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Widerstände 2

Prismen und Linsen*
Aufgabennummer: B_411
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Verlauf eines Lichtstrahls durch ein Glasprisma wird als Strahlengang bezeichnet.
a) In einem Spezialglas beträgt die Lichtgeschwindigkeit 205 337 300 m/s.
In einem aus diesem Glas gefertigten Prisma beträgt die Länge des Strahlengangs 5 cm.
– Berechnen Sie, wie viele Sekunden es dauert, bis ein Lichtstrahl dieses Prisma durch-
quert hat.
b) Ein Strahlengang durch ein Glasprisma einer Filmkamera kann folgendermaßen dargestellt
werden:
≈≈− 

β β
γ
γ
Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstabgetreu!
a = 0,50 cm
x = 0,55 cm
β = 40°
γ = 68°
– Berechnen Sie die Länge x + y + z des Strahlengangs.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Bei der Abbildung eines Gegenstands mithilfe einer Sammellinse gelten folgende Bezie-
hungen:
B
G
=
b
g
und b =
g · f
g – f
B ... Höhe des Bildes
G ... Höhe des Gegenstands
b ... Abstand des Bildes von der Linse
g ... Abstand des Gegenstands von der Linse
f ... Brennweite der Linse
– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
Wenn g = 3 · f gilt, dann ist B größer als G .
Wenn g = 3 · f gilt, dann ist B = G .
Wenn g = 2 · f gilt, dann ist B kleiner als G .
Wenn g = 2 · f gilt, dann ist B = G .
Wenn g = 2 · f gilt, dann ist B größer als G .
d) Ein Unternehmen fertigt Linsen aus Glas für industrielle Anwendungen. Die Dicke speziel-
ler Linsen (gemessen in der Linsenmitte) erweist sich als annähernd normalverteilt mit dem
Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ :
μ = 12,000 mm
σ = 0,060 mm
– Berechnen Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem die Dicke einer zufällig
ausgewählten Linse mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
Eine Linse erreicht Präzisionsqualität, wenn die Abweichung vom Erwartungswert nicht
mehr als ± 0,040 mm beträgt.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Linse Präzisions-
qualität hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Prismen und Linsen 2

Weinbau (1)*
Aufgabennummer: B_412
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Aus nostalgischen Gründen werden in einem kleinen
Weingut Trauben der Sorte Welschriesling mit einer
renovierten Handpresse gepresst.
Der zylinderförmige Korb, in dem die Weintrauben ge-
presst werden, hat dabei die folgenden Abmessungen:
Höhe h = 80 cm, Innenradius r = 42 cm.
– Überprüfen Sie nachweislich mithilfe der Volumsformel des Drehzylinders, ob die nach -
stehenden Aussagen jeweils richtig sind.
Aussage 1: „Wäre die Presse 1,6 m hoch (bei gleichem Durchmesser), so würde sie
das doppelte Volumen fassen.“
Aussage 2: „Hätte die Presse einen Innenradius von 84 cm (bei gleicher Höhe), so
würde sie das doppelte Volumen fassen.“
Der Korb ist zu 95 % mit Trauben gefüllt. Aus diesen Trauben werden 350 Liter Trauben-
most gepresst.
– Berechnen Sie den prozentuellen Anteil des Traubenmosts am ursprünglichen Volumen
der Trauben.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Weine der Sorten Zweigelt und Grüner Veltliner werden in Kisten zu 12 Flaschen und Kar-
tons zu 6 Flaschen verkauft. Die Preise pro Flasche sind unabhängig von der Packungs-
größe.
1 Kiste Zweigelt und 1 Karton Grüner Veltliner kosten insgesamt € 47,40.
2 Kisten Grüner Veltliner und 1 Karton Zweigelt kosten insgesamt € 72.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem der Preis für eine Flasche Zweigelt und der
Preis für eine Flasche Grüner Veltliner berechnet werden können.
– Berechnen Sie den Preis für eine Flasche Zweigelt und den Preis für eine Flasche Grüner
Veltliner .
c) Der Wein wird mit einem manuellen Reihenfüller in Flaschen abgefüllt. Das Füllvolumen
der Flaschen kann dabei als annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der
Standardabweichung σ angenommen werden. Es liegen 95 % der Füllvolumina in dem
um μ symmetrischen Intervall von 995 Millilitern (ml) bis 1 015 ml.
– Berechnen Sie den Erwartungswert μ des Füllvolumens der Flaschen.
– Berechnen Sie die Standardabweichung σ .
Weinbau (1) 2

Snowboard (1)*
Aufgabennummer: B_392
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Das Design für ein Freestyle-Snowboard sieht folgendermaßen aus:
a) Das Snowboard-Design setzt sich aus 4 zueinander symmetrischen Elementen zusam-
men. Eines dieser Elemente ist in folgender Grafik dargestellt:
y in cm
x in cm
80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 85 0
25
20
15
10
5
0
f
Die in der obigen Grafik markierte Kurve kann als Graph einer Polynomfunktion 4. Grades
mit f ( x ) = a · x
4
+ b · x
3
+ c · x
2
+ d · x + e dargestellt werden. Von dieser Funktion sind
folgende Eigenschaften bekannt:
Bei x = 22 hat die Funktion f eine Nullstelle.
Der Punkt (38 | 15) ist ein Hochpunkt.
Der Punkt (47 | 13) ist ein Tiefpunkt.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem man die Koeffizienten dieser Polynom -
funktion 4. Grades berechnen kann.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die geschwungene Farbfläche des Snowboards wird durch die Graphen der Funktionen f ,
g und h sowie die x -Achse begrenzt:
y in cm
x in cm
f h
80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 85 0
25
20
15
10
5
0
C D
A B
g
A = (22 | 0)
B = (27 | 0)
C = (52 | 16,5)
D = (60 | 17)
Im nachstehenden Ansatz zur Berechnung des Inhalts dieser grau markierten Fläche
in cm
2
wurde eine Teilfläche nicht berücksichtigt.
A
1
=
∫
27
22
f ( x ) d x A
2
=
∫
52
27
[
f ( x ) – h ( x )
]
d x
– Kennzeichnen Sie in der obigen Grafik die fehlende Teilfl äche.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A
3
dieser Teilfläche auf.
A
3
=
Snowboard (1) 2
c) Die Kosten bei der Produktion von Snowboards einer limited edition können durch die
Funktion K , der Erlös beim Verkauf kann durch die Funktion E beschrieben werden:
K ( x ) = 0,27 ∙ x
3
– 15 ∙ x
2
+ 591,67 ∙ x + 10 000
E ( x ) = 1 000 ∙ x
x ... Anzahl der Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) ... Gesamtkosten bei der Produktion von x ME in Geldeinheiten (GE)
E ( x ) ... Erlös beim Verkauf von x ME in GE
Es wird angenommen, dass alle produzierten Snowboards auch verkauft werden.
– Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Gewinnfunktion auf.
– Berechnen Sie den maximalen Gewinn.
– Ermitteln Sie den Gewinnbereich.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Snowboard (1) 3

Dreieckspannung*
Aufgabennummer: B_414
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Gegeben ist folgender periodischer dreieckförmiger Spannungsverlauf:
u ( t ) in V
t in s
O π
2
– π 2π
π
2
3π
2
5π
2
–1
5
4
3
2
1
6
Abbildung 1
a) – Erstellen Sie die Funktionsgleichungen des in Abbildung 1 dargestellten dreieckförmigen
Spannungsverlaufs auf geeigneten Teilintervallen des Bereichs 0 ≤ t ≤ 2π.
– Berechnen Sie den Effektivwert des in Abbildung 1 dargestellten dreieckförmigen Span-
nungsverlaufs.
– Veranschaulichen Sie die Ableitungsfunktion des in Abbildung 1 dargestellten dreieckför-
migen Spannungsverlaufs im Intervall 0 ≤ t ≤ 2π im nachstehenden Diagramm.
t in s
O
π 2π π
2
3π
2
2
π
in V/s
d u
d t
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Der in Abbildung 1 dargestellte dreieckförmige Spannungsverlauf kann mithilfe einer
Fourier-Reihe beschrieben werden.
– Argumentieren Sie anhand der grafischen Darstellung, warum die Fourier-Koeffizienten
der Sinusschwingungen 0 sein müssen.
– Ermitteln Sie den Gleichanteil der in obiger Abbildung 1 dargestellten Spannung.
c) Der in der nachstehenden Abbildung 2 dargestellte rechteckförmige Spannungsverlauf mit
Periode 2π hat einen Gleichanteil von 3 Volt (V).
u ( t ) in V
t in s
û
O π
2
– π 2π 3π
π
2
3π
2
5π
2
Abbildung 2
– Bestimmen Sie û .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Dreieckspannung 2

Bodenunebenheiten*
Aufgabennummer: B_405
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Um Unebenheiten eines Bodens festzustellen, wird eine Messlatte verwendet.
x in m
p ( x ), f ( x ) in mm
Messlatte
P
2
P
1
f
p
Das Profil des Bodens kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion p
beschrieben werden, die Unterkante der Messlatte kann durch den Graphen einer linearen
Funktion f beschrieben werden.
a) Die Messlatte berührt den Boden in den Punkten P
1
= ( x
1
| p ( x
1
)) und P
2
= ( x
2
| p ( x
2
)).
Die Steigung der linearen Funktion f ist k .
Eine der folgenden Aussagen stimmt nicht mit der obigen Abbildung überein.
– Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
k =
p ( x
2
) – p ( x
1
)
x
2
– x
1
p ′ ( x
1
) = 0
p ′ ( x
2
) = k
p ′ ( x
1
) = p ′ ( x
2
)
f ( x
1
) = p ( x
1
)
b) – Begründen Sie, warum der Grad der in der obigen Abbildung dargestellten Polynom
funktion p größer oder gleich 4 sein muss.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Der Graph der Polynomfunktion p mit p ( x ) = a · x
4
+ b · x
3
+ c · x
2
+ d · x + e verläuft
durch die folgenden 5 Punkte:
A = (0|1,8), B = (0,25|2,1), C = (0,5|0,4), D = (0,75|0,7), E = (1|0,5)
x ... horizontale Koordinate in Metern (m)
p ( x ) ... vertikale Koordinate in Millimetern (mm)
– Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten dieser Polynom
funktion p auf.
– Ermitteln Sie die Koeffizienten dieser Polynomfunktion p .
d) Um die Unebenheit eines anderen Bodens zu ermitteln, soll der Punkt T bestimmt wer
den. Im Punkt T ist die Tangente an den Graphen von p parallel zur Geraden f (siehe
nachstehende Skizze).
p ( x ), f ( x ) in mm
p
f
T
Messlatte
x in m
0,6 0,4 0,2 0 0,8
Es gilt:
p ( x ) = –70,000 · x
4
+ 150,000 · x
3
– 100,000 · x
2
+ 17,000 · x + 3,000
f ( x ) = –4,046 · x + 4,378
x ... horizontale Koordinate in Metern (m)
p ( x ), f ( x ) ... vertikale Koordinate in Millimetern (mm)
– Erstellen Sie eine Gleichung, mit der die x Koordinate des Punktes T berechnet werden
kann.
– Berechnen Sie die x Koordinate des Punktes T .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Bodenunebenheiten 2

Flugbahnen*
Aufgabennummer: B_389
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Ein Gewehr wird so eingespannt, dass der Lauf des Gewehrs waagrecht verläuft. Beim
Schießen auf eine Zielscheibe trifft das Projektil im Vergleich zur Abschusshöhe tiefer auf
(siehe nachstehende Skizze).
Mündung des Gewehrs im Punkt (0|0)
Zielscheibe
f ( x ) in m
x in m
f
Die Flugbahn eines Projektils kann unter Vernachlässigung des Luftwiderstands
näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion 2. Grades f mit
f ( x ) = a · x
2
+ b · x + c beschrieben werden.
– Begründen Sie, warum für die dargestellte Flugbahn gilt: b = 0 und c = 0.
− Begründen Sie anhand des Funktionsgraphen, warum a negativ sein muss.
Die Zielscheibe ist in horizontaler Richtung 100 Meter von der Mündung des Gewehrs
entfernt.
Das Projektil trifft im Vergleich zur Abschusshöhe um 8 Zentimeter tiefer auf der Zielscheibe
auf.
– Berechnen Sie den Parameter a .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Flugbahn eines schräg nach oben abgeschossenen Projektils kann durch den Graphen
einer Funktion h beschrieben werden:
h ( x ) = tan( α ) ∙ x –
g
2 ∙ v
2
∙ cos
2
( α )
∙ x
2
x … horizontal zurückgelegte Wegstrecke in Metern (m)
h ( x ) ... Höhe an der Stelle x in m
v ... Abschussgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)
g ... Erdbeschleunigung (konstant)
0° < α < 90° ... Abschusswinkel (gemessen von der Horizontalen)
Für eine spezielle Flugbahn gilt:
h ( x ) = 0,03492 · x –
g
7,192 · 10
5
· x
2
– Bestimmen Sie die zugehörige Abschussgeschwindigkeit v .
c) Ein Geschoss, das unter einem Winkel α abgeschossen wird, trifft nach der Schuss
weite x ( α ) wieder auf dem Boden auf. Dabei gilt näherungsweise:
x ( α ) =
2 · v
2
g
∙ sin( α ) ∙ cos( α )
α … Abschusswinkel mit 0° < α < 90°
x ( α ) … Schussweite bei einem Abschusswinkel α in m
v ... Abschussgeschwindigkeit in m/s
g ... Erdbeschleunigung (konstant)
– Berechnen Sie denjenigen Winkel, bei dem die Schussweite am größten ist.
– Zeigen Sie mithilfe der 2. Ableitung, dass für diesen berechneten Winkel die Schussweite
maximal sein muss.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Flugbahnen 2

Sandfang einer Kläranlage / Herbsttermin 2022 / B_555 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 20 /22
Aufgabe 8 (Teil B)
Sandfang einer Kläranlage
In einer Kläranlage strömt das Abwasser langsam durch
den sogenannten Sandfang . Dabei sinken Sand und
kleine Steine auf den Boden und können somit abge-
schieden werden (siehe nebenstehende Abbildung).
abgeschiedener Sand
Strömungsrichtung
a) In der nachstehenden Abbildung ist der Querschnitt eines Sandfangs dargestellt.
y in m
x in m
4 O
f g
5
Die Graphen der Funktionen f und g beschreiben einen Teil des oben dargestellten Quer-
schnitts.
f ( x ) = 0,25 ∙ x
4
+ 1
g ( x ) = a ∙ ( x – u )
4
+ v
x , f ( x ), g ( x ) ... Koordinaten in m
a , u , v ... Parameter
Die Graphen der Funktionen f und g sind zueinander symmetrisch bezüglich der Senkrechten
bei x = 4.
1) Geben Sie die Werte der Parameter a , u und v der Funktion g an.
a =
u =
v = [0 / 1 P.]
Sandfang einer Kläranlage / Herbsttermin 2022 / B_555 S. 2/5
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Reife- und Diplomprüfung
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20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 21 /22
b) Das Abwasser durchströmt den Sandfang. Dabei sinken die im Abwasser enthaltenen Sand-
körner zu Boden. In der nachstehenden Abbildung ist ein stark vereinfachtes Modell dieses
Vorgangs für ein bestimmtes Sandkorn dargestellt.
y in m
x in m
A
O
Q
α
Das Sandkorn bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit vom Punkt A zum
Punkt Q .
Die Position X des Sandkorns zur Zeit t (in Sekunden) wird beschrieben durch:
X = A + t ∙ (
0,3
vy
)
vy ist die senkrechte Komponente des Geschwindigkeitsvektors dieses Sandkorns (in m/s).
1) Stellen Sie mithilfe von vy eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf.
α = [0 / 1 P.]
Es gilt: A = (0 | 4) und Q = (15 | 0)
2) Berechnen Sie vy . [0 / 1 P.]
Sandfang einer Kläranlage / Herbsttermin 2022 / B_555 S. 3/5
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20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 22 /22
c) Die Sinkgeschwindigkeit eines Steinchens in einer Flüssigkeit kann modellhaft durch die nach-
stehende Differenzialgleichung beschrieben werden.
d v
d t
= g – k ∙ v
t ... Zeit
v ( t ) ≥ 0 ... Sinkgeschwindigkeit
g , k ... positive Konstanten
1) Berechnen Sie die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung mithilfe der Methode
Trennen der Variablen . [0 / 1 P.]
Die Sinkgeschwindigkeit des Steinchens nähert sich dabei dem Wert v E .
2) Geben Sie v E an.
v E = [0 / 1 P.]
Die Eigenschaften der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v und der zugehörigen Beschleunigung-
Zeit-Funktion a hängen unter anderem von der Anfangsbedingung ab.
3) Ordnen Sie den beiden Anfangsbedingungen jeweils die zutreffende Aussage aus A bis D
zu. [0 / 1 P.]
v (0) = 0
v (0) =
2 ∙ g
k
A
v und a sind streng
monoton steigend.
B
v ist streng monoton
steigend und a ist streng
monoton fallend.
C
v und a sind streng
monoton fallend.
D
v ist streng monoton
fallend und a ist streng
monoton steigend.

Leistungsdiagnostik im Sport*
Aufgabennummer: B_417
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Bei höherer Belastung benötigt der Körper mehr Sauerstoff und produziert als „Abfallprodukt“
Laktat.
Ab einer gewissen Laktatkonzentration ist das Herz-Kreislauf-System nicht mehr in der Lage,
die arbeitenden Muskeln mit genügend Sauerstoff zu versorgen. Diese Laktatkonzentration
heißt anaerobe Schwelle .
a) Für einen bestimmten Sportler kann die Laktatkonzentration in Abhängigkeit von der Ge-
schwindigkeit beim Laufen näherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden:
f ( x ) = 0,0461 · ℯ
0,29 · x
+ 0,9
x ... Geschwindigkeit beim Laufen in Kilometern pro Stunde (km/h)
f ( x ) ... Laktatkonzentration bei der Geschwindigkeit x in Millimol pro Liter Blut (mmol/L)
Erreicht die Laktatkonzentration die anaerobe Schwelle, so beträgt der Steigungswinkel
von f an dieser Stelle 45°.
– Bestimmen Sie die anaerobe Schwelle dieses Sportlers.
b) Bei einem bestimmten Sportler wird die Herzschlagfrequenz in Abhängigkeit von der Lauf -
geschwindigkeit bestimmt:
Laufgeschwindigkeit
in Kilometern pro Stunde
11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5
Herzschlagfrequenz
in min
–1
140 150 162 168 175 182 190 200
Die Herzschlagfrequenz in Abhängigkeit von der Laufgeschwindigkeit soll mithilfe einer
linearen Ausgleichsfunktion beschrieben werden.
– Bestimmen Sie eine Gleichung dieser linearen Ausgleichsfunktion.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Nach Beginn einer körperlichen Belastung beim Sport (Arbeitsphase) passt sich das
Atmungs system nur ver zögert dem erhöhten Sauerstoffbedarf an. Erst nach einigen Minu-
ten wird eine ausreichende Versorgung erreicht. Bis dahin kommt es zu einem Sauerstoff-
defizit.
Zeit in Minuten
s
Ruhe
Arbeitsphase mit Sauerstoffdefizit Ruhephase
Sauerstoff-
defizit D
s
Arbeit
s
Sauerstoffaufnahme
in Litern pro Minute
t
2
t
1
– Stellen Sie eine Formel auf, mit der man das Sauerstoffdefizit D (grau markierte Fläche in
obiger Skizze) berechnen kann, wenn eine Gleichung der Funktion s bekannt ist.
D =
– Geben Sie die Einheit von D an.
d) Das Absinken der Sauerstoffaufnahme nach Beendigung einer körperlichen Belastung
beim Sport kann mit der folgenden Differenzialgleichung beschrieben werden:
d y
d t
= –1,386 · ( y – 0,3)
t ... Zeit nach Beendigung der körperlichen Belastung in Minuten (min)
y ( t ) ... Sauerstoffaufnahme zur Zeit t in Litern pro Minute (L/min)
– Lösen Sie diese Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Leistungsdiagnostik im Sport 2