Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2951–3000

Modell-Kuh*
Aufgabennummer: B_385
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Um in einer Faustformel einen Zusammenhang zwischen Brustumfang und Volumen
einer Kuh herzustellen, wird die Kuh modellhaft als Zylinder mit einer kreisförmigen Quer-
schnittsfläche und der Länge l angenommen.
r
l
M
A
Dazu muss der Flächeninhalt A der Kreisfläche durch den Umfang u des Kreises aus-
drückt werden.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A in Abhängigkeit vom Um-
fang u auf.
A =
In diesem Modell wird die Länge l des Zylinders als das 9-Fache des Radius r angenom-
men.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens V in Abhängigkeit vom Umfang u
auf.
V =
Der Brustumfang einer Kuh ist um 10 % größer als jener einer anderen Kuh.
– Bestimmen Sie, um wie viel Prozent das Volumen dieser Kuh größer ist als das Volumen
der anderen Kuh.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die nachstehende Tabelle gibt den Brustumfang und die Lebendmasse von 8 Kühen an.
Brustumfang in cm Lebendmasse in kg
153 240
155 303
161 285
163 320
165 373
167 318
169 387
170 358
In einem vereinfachten Modell kann für Brustumfänge von 150 cm bis 170 cm ein linearer
Zusammenhang zwischen den beiden angegebenen Größen angenommen werden.
– Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion. (Die Lebend -
masse soll in Abhängigkeit vom Brustumfang beschrieben werden.)
– Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Regressionsfunktion im gegebenen
Sachzusammenhang.
– Berechnen Sie mithilfe dieses Modells die Lebendmasse, die man bei einem Brustum-
fang von 160 cm erwarten kann.
c) Die nachstehende Grafik zeigt den Milchfluss während eines Melkvorgangs in Kilogramm
pro Minute (kg/min) in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten (min).
Für weitere Berechnungen wird der Milchfluss durch einen Streckenzug in Form eines
Trapezes modelliert. Dieser Streckenzug ist ebenfalls eingezeichnet.
Milchfluss in kg/min
Zeit in min
7 6 5 4 3 2 1 0 8
2
1
0
3
– Veranschaulichen Sie in der obigen Grafik die während dieses Melkvorgangs insgesamt
gemolkene Milchmenge.
– Bestimmen Sie näherungsweise die während dieses Melkvorgangs insgesamt gemolke-
ne Milchmenge.
Modell-Kuh 2

Angry Birds (1)*
Aufgabennummer: B_377
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Im Computerspiel Angry Birds muss man mithilfe einer Schleuder Schweine treffen. Als Wurf
geschoße stehen verschiedene Vögel zur Verfügung. Einige dieser Vögel haben besondere
Funktionen, die durch einen Mausklick ausgelöst werden können. Koordinaten bzw. Abstände
sind im Folgenden in Längeneinheiten (LE) angegeben.
a) Die Flugparabel des Vogels Red bei einem Wurf kann durch den Graphen der Funktion f
beschrieben werden:
f ( x ) = –0,1 ∙ x
2
+ 0,9 ∙ x + 1 mit x ≥ 0
x ... horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in Längeneinheiten (LE)
f ( x ) ... Flughöhe des Vogels über dem horizontalen Boden an der Stelle x in LE
Red trifft kein Schwein und prallt auf den Boden auf.
– Berechnen Sie, in welcher horizontalen Entfernung vom Abschusspunkt der Vogel auf
dem Boden aufprallt.
Der Weg, den der Vogel vom Abschusspunkt bis zum Aufprall am Boden zurücklegt,
entspricht der Länge der Kurve zwischen diesen Punkten. Für die Länge s der Kurve in
einem Intervall [ a ; b ] gilt:
s =
∫
b
a

1 + [ f ′ ( x )]
2
d x
– Berechnen Sie den vom Vogel zurückgelegten Weg vom Abschusspunkt bis zum Auf
prall am Boden.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Flugbahn des Vogels Chuck kann zu Beginn durch den Graphen der Funktion g be
schrieben werden:
g ( x ) = –0,5 ∙ x
2
+ 5 ∙ x + 3 mit x ≥ 0
x ... horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in LE
g ( x ) ... Flughöhe des Vogels über dem horizontalen Boden an der Stelle x in LE
Der Spieler löst in 3 LE horizontaler Entfernung vom Abschusspunkt durch einen Maus
klick eine Spezialfunktion aus. Der Vogel bewegt sich ab diesem Punkt bis zu einer hori
zontalen Entfernung von 5 LE vom Abschusspunkt entlang der Tangente an den gegebe
nen Funktionsgraphen.
– Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente im Punkt P = (3| g (3)).
– Veranschaulichen Sie die Flugbahn von Chuck vom Abschusspunkt bis zu einer hori
zontalen Entfernung von 5 LE vom Abschusspunkt mithilfe einer geeigneten Grafik.
c) Die Flugbahn des Vogels Matilda kann durch den Graphen einer Polynomfunktion 3. Gra
des beschrieben werden.
Der Funktionsgraph schneidet die vertikale Achse bei 12. Er verläuft durch die Punkte
A = (1|16) und B = (5|32). A ist ein Hochpunkt des Funktionsgraphen.
– Stellen Sie mithilfe der angegebenen Informationen ein Gleichungssystem auf, mit dem
die Koeffizienten dieser Polynomfunktion berechnet werden können.
d) Bei einem anderen Angriff durch den Vogel Matilda kann die Flugbahn durch den Graphen
der Funktion h beschrieben werden.
h ( x ) = x
3
– 6 ∙ x
2
+ 7 ∙ x + 8 mit x ≥ 0
x ... horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in LE
h ( x ) ... Flughöhe des Vogels über dem horizontalen Boden an der Stelle x in LE
Ein Schwein befindet sich im Punkt P = (5|20).
– Berechnen Sie den Abstand des Schweins vom Abschusspunkt.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Punkt P auf Matildas Flugbahn liegt.
Angry Birds (1) 2
e) Die nachstehende Grafik stellt das Geschwindigkeit Zeit Diagramm eines Vogels bei ei
nem Wurf dar.
Geschwindigkeit in LE/s
Zeit in s
3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 4
– Beschreiben Sie die Bedeutung der in der Grafik eingezeichneten Fläche im gegebenen
Sachzusammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Angry Birds (1) 3

Lichtwellenleiter*
Aufgabennummer: B_379
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
In einem Glasfaserkabel nimmt die Intensität des Lichts mit der Entfernung vom Anfangspunkt
exponentiell ab. Dieser Zusammenhang kann durch die Funktion I beschrieben werden:
I ( x ) = I
0
· ℯ
– λ · x
x ... Entfernung entlang des Kabels vom Anfangspunkt des Kabels
I ( x ) ... Lichtintensität in der Entfernung x
I
0
... Lichtintensität am Anfangspunkt des Kabels
λ ... positive Konstante
a) Dabei wird angenommen, dass die lokale Änderungsrate der Lichtintensität in Abhängig-
keit von der Entfernung proportional zur jeweils vorhandenen Lichtintensität ist.
– Stellen Sie die Differenzialgleichung für I auf. Bezeichnen Sie dabei den Proportionali-
tätsfaktor mit – λ ( λ > 0).
– Zeigen Sie mithilfe der Methode Trennen der Variablen , dass die Lösung dieser Differen-
zialgleichung mit der Anfangsbedingung I (0) = I
0
durch I ( x ) = I
0
· ℯ
– λ · x
gegeben ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Lichtintensität (in Prozent von I
0
) in einem Glasfaserkabel in Abhängigkeit von x wird in
einem ordinatenlogarithmischen Koordinatensystem folgendermaßen dargestellt:
100
10
1
80 60 40 20 0 100
x in km
in Prozent
I ( x )
I
0
– Ermitteln Sie, wie viel Prozent an Intensität das Licht nach 80 Kilometern (km) verloren
hat.
Um Signale zu übertragen, muss die Lichtintensität noch mindestens 20 % der Lichtinten-
sität I
0
betragen.
– Lesen Sie die maximale Länge eines Lichtwellenleiters ab, der diese Bedingung erfüllt.
– Ermitteln Sie den Wert des Parameters λ mithilfe der in der obigen Abbildung dargestell-
ten Exponentialfunktion.
Lichtwellenleiter 2
c) Um den Intensitätsverlust in einem Lichtwellenleiter zu bestimmen, wird die nach 1 km
noch vorhandene Intensität gemessen.
Die Größe zur Beschreibung des Intensitätsverlusts ist die Dämpfung D , die in Dezibel
angegeben wird:
D = 10 · lg (
I
0
I
) in Dezibel (dB)
I
0
... Anfangsintensität
I ... noch vorhandene Intensität nach 1 km
Ein modernes Glasfaserkabel weist nach 1 km noch eine Intensität von 95,5 % des
Anfangswertes I
0
auf.
– Berechnen Sie, welcher Dämpfung dies entspricht.
Bei älteren Glasfaserkabeln stellte man pro Kilometer Kabellänge eine Dämpfung von
20 dB fest.
– Berechnen Sie, wie viel Prozent der Anfangsintensität I
0
nach 1 km noch vorhanden
waren.
Für die Dämpfung wird oft auch die Formel D
1
= 10 · lg (
I
I
0
) angegeben.
– Zeigen Sie mithilfe der Rechengesetze für Logarithmen: D
1
= – D .
Lichtwellenleiter 3

Belastung von Bauteilen
Aufgabennummer: B_069
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Ein Unternehmen stellt verschiedene Bauteile her, die einer gewissen Belastung standhalten
müssen. Die Belastung, der die Bauteile standhalten, ist normalverteilt mit den Parametern μ
und σ .
a) Das Unternehmen behauptet, dass der Erwartungswert der Belastung, der die Bauteile
standhalten, μ = 122 Newton (N) beträgt.
Eine Stichprobe ergab folgende Werte:
118,5 N 122 N 120,5 N 117 N 118,5 N 121 N 121,5 N 119,5 N
– Ermitteln Sie den Stichprobenmittelwert
–
x und die Stichprobenstandardabweichung
s
n –1
dieser Stichprobe.
– Zeigen Sie, dass der angegebene Erwartungswert nicht im zweiseitigen
95-%-Vertrauensbereich enthalten ist.
b) Für andere Bauteile beträgt der Erwartungswert für die Belastbarkeit μ = 102 New-
ton (N). Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion f ist in der nachstehenden Abbildung
dargestellt.
– Interpretieren Sie den in der obigen Abbildung gekennzeichneten Flächeninhalt im ge-
gebenen Sachzusammenhang.
– Geben Sie einen mathematischen Ausdruck an, der die in der Abbildung dargestellte
Wahrscheinlichkeit beschreibt.
– Berechnen Sie ε für σ = 3,5 N.
15 %
μ Belastung in N μ + ε
f
c) In einer Messreihe wurden Bauteile abhängig von ihrem Alter auf ihre maximale Belast-
barkeit getestet (siehe nachstehende Abbildung). Anhand der Daten wurde eine lineare
Regressionsfunktion erstellt.
Das Tabellenkalkulationsprogramm liefert statt des Korrelationskoeffizienten r sein
Quadrat r
2
(= R
2
).
– Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten r .
– Interpretieren Sie diesen Korrelationskoeffizienten hinsichtlich des Zusammenhangs
zwischen dem Alter eines Bauteils und der maximalen Belastbarkeit.
Regressionsfunktionen werden mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate erstellt.
– Erklären Sie diese Methode.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Belastung von Bauteilen 2
y = –1,1857 x + 98,779
R
2
= 0,96749

Newton’sches Abkühlungsgesetz / B_077 / Übungsaufgabe S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Newton’sches Abkühlungsgesetz
Die nachstehende Differenzialgleichung beschreibt den Temperaturverlauf eines abkühlenden
Bauteils in Abhängigkeit von der Zeit:
d T
d t
= k ∙ ( T
U
– T )
t … Zeit in Minuten (min)
T ( t ) … Temperatur des Bauteils zur Zeit t in °C
T
U
… Umgebungstemperatur in °C
k … Proportionalitätsfaktor in min
–1
a) Das Bauteil A wird in einen Kühlraum gebracht, in dem es eine Temperatur von T
U
= –10 °C
hat. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung lautet:
T ( t ) = –10 – C ∙ ℯ
– k ∙ t
1) Zeigen Sie, dass diese Funktion T die allgemeine Lösung der gegebenen Differenzial
gleichung ist.
b) Das Bauteil B wird in eine Lagerhalle ( T
U
= 15 °C) gebracht. Für den Proportionalitätsfaktor k
gilt in diesem Fall: k = 0,8 min
–1
.
Zu Beginn ( t = 0) hat dieses Bauteil eine Temperatur von 80 °C.
1) Ermitteln Sie mithilfe der Methode Trennen der Variablen die Lösung für dieses Anfangs
wertproblem.
c) Das Bauteil C wird im Freien gelagert. Die Lösung der Differenzialgleichung für dieses Bauteil
lautet:
T ( t ) = 5 ∙ (8 ∙ ℯ
– k ∙ t
– 1)
1) Geben Sie die Umgebungstemperatur T
U
an.
T
U
= °C
2) Geben Sie die Temperatur zu Beginn ( t = 0) dieses Abkühlungsvorganges an.
Temperatur zu Beginn: °C

Magneten / B_081 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Magneten
Ein Unternehmen stellt Dauermagneten für verschiedene technische Anwendungen her.
Ein bestimmter Magnet wird nach dem Erhitzen abgekühlt.
a) Der Abkühlungsprozess A verläuft dabei modellhaft nach folgender Differenzialgleichung:
d T
d t
= k ∙ ( T
U
– T )
t … Zeit in Minuten (min)
T ( t ) … Temperatur des Magneten zur Zeit t in °C
T
U
… Umgebungstemperatur in °C
k … Proportionalitätsfaktor
1) Erklären Sie, warum der Proportionalitätsfaktor k für diesen Abkühlungsprozess positiv sein
muss.
2) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung durch Trennen der Variablen .
Es gilt: T
U
= 30 °C
Zu Beginn ( t = 0) beträgt die Temperatur des Magneten 440 °C.
3) Ermitteln Sie den Wert der Integrationskonstante.
b) Der Abkühlungsprozess B lässt sich modellhaft durch die Funktion T beschreiben:
T ( t ) = 20 + 430 ∙ ℯ
– k ∙ t
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung des Funktionsgraphen von T die Temperatur zur
Zeit t = 10 min ab.
2) Berechnen Sie k mithilfe des abgelesenen Werts.
T ( t ) in °C
t in min
40 30 20 10 0 50
100
10
1 000
Magneten / B_081 / Übungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
c) Die erforderliche Länge (= Sollwert) der Magneten für den Einbau in elektronische Geräte ist
2,5 mm.
Messungen haben ergeben, dass die Länge des Magneten näherungsweise normalverteilt ist
mit dem Erwartungswert μ = 2,5 mm und der Standardabweichung σ = 0,05 mm.
X ... Länge des Magneten in mm
1) Tragen Sie in der nachstehend abgebildeten Dichtefunktion die fehlenden Zahlen in die
dafür vorgesehenen Kästchen ein.
Magnete werden aussortiert, wenn ihre Länge nicht im Intervall [2,4 mm; 2,6 mm] liegt.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Magnet aussortiert
wird.
3) Ermitteln Sie, welche Standardabweichung erforderlich wäre, wenn nur 1 % der Magnete
aussortiert werden soll.
Länge in mm
Wendepunkt

Motorbootrennen (2)*
Aufgabennummer: B_360
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In der nachstehenden Abbildung ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm zweier Motor boote A
und B während einer Wettfahrt modellhaft dargestellt.
v
A
( t ), v
B
( t ) in m/s
t in s
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 65
12
10
8
6
4
2
0
14
v
A
v
B
a) Für die Funktion v
B
gilt:
v
B
( t ) = 14 · (1 – ℯ
–0,1 · t
) mit t ≥ 0
t ... Zeit in s
v
B
( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
1) Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Beschleunigung des Bootes pro Sekunde ab-
nimmt.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die nachstehende Abbildung zeigt die Tangenten h
A
und h
B
an die Graphen der Geschwin-
digkeit-Zeit-Funktionen zur Zeit t = 0.
v
A
( t ), v
B
( t ) in m/s
t in s
v
A
v
B
35 30 25 20 15 10 5 0
12
10
8
6
4
2
0
14
h A h
B
1) Interpretieren Sie die Steigung der Tangente h
A
im gegebenen Sachzusammenhang.
2) Ordnen Sie den beiden Ableitungsfunktionen
d v
A
d t
und
d v
B
d t
jeweils die entsprechende
Grafik aus A bis D zu. [2 zu 4]
d v
A
d t
d v
B
d t
A
Beschleunigung
in m/s
2
t in s
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
B
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
t in s
Beschleunigung
in m/s
2
C
Beschleunigung
in m/s
2
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
t in s
0
D
10 5 0 15
2
2,5
1,5
1
0,5
0
t in s
Beschleunigung
in m/s 2
Motorbootrennen (2) 2
c) Eine Funktionsgleichung der in der obigen Abbildung dargestellten Funktion v
B
für das
Motorboot B lautet:
v
B
( t ) = 14 · (1 – ℯ
–0,1 · t
) mit t ≥ 0
t ... Zeit in s
v
B
( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
1) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Motorboots B während der ersten
30 Sekunden.
2) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung desjenigen Weges s , den das Motorboot B in
den ersten n Sekunden zurücklegt.
s =
Nach einer Fahrt von 700 m überholt das Motorboot B das Motorboot A .
3) Berechnen Sie den Zeitpunkt dieses Überholens.
In der nachstehenden Abbildung beschreibt der Graph der Funktion v
B neu
den Fall, dass
das Motorboot B um 5 Sekunden später startet (bei sonst unverändertem Geschwindig-
keitsverlauf).
v
B
( t ), v
B
neu
( t ) in m/s
t in s
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 65
12
10
8
6
4
2
0
14
v
B
v
B
neu
4) Erstellen Sie ausgehend von der Funktion v
B
eine Gleichung der Funktion v
B neu
.
Motorbootrennen (2) 3

Rohre
Aufgabennummer: B_178
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Rohrleitungen und Rohrleitungssysteme stellen wesentliche technische Bestandteile in landwirt
schaftlichen Betrieben dar.
a) Bei einer konstanten Durchflussmenge von 5 Litern pro Sekunde (L/s) nimmt die Strö
mungsgeschwindigkeit des Wassers mit zunehmendem Rohrdurchmesser ungefähr
gemäß der Funktion v mit v ( d ) =
63,7
d
2
ab.
d … Rohrdurchmesser in cm
v ( d ) … Strömungsgeschwindigkeit bei einem Durchmesser d in m/s
– Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion d .
– Stellen Sie die Umkehrfunktion bis zu einem Rohrdurchmesser von 12 cm bzw. einer
Strömungsgeschwindigkeit von 26 m/s grafisch dar.
b) Ein Rohr mit einem Innenradius r ist bis zu einer Höhe h mit Wasser gefüllt (siehe nach
stehende Abbildung).
h
r
r
α
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Winkels α mithilfe der Größen r und h .
α =
– Berechnen Sie den Flächeninhalt des in der obigen Abbildung markierten Dreiecks für
r = 10 cm und h = 12 cm.
– Berechnen Sie, wie viel Prozent der Rohrquerschnittsfläche bei einem Radius von
r = 10 cm und bei einer Höhe des Wasserstands von h = 12 cm noch frei sind.
c) Bei einem Rohrleitungssystem werden Rohre miteinander verschweißt. Es sind
52 Schweiß stellen notwendig. Erfahrungsgemäß hält eine Schweißstelle innerhalb eines
fixen Zeitraums mit 98%iger Wahrscheinlichkeit.
Das Reißen einer Schweißstelle verändert die Wahrscheinlichkeit bei den anderen
Schweiß stellen nicht.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung derjenigen Wahrscheinlichkeit auf, dass inner
halb des fixen Zeitraums mindestens n Schweißstellen reißen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Rohre 2

Kräfte*
Aufgabennummer: B_406
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Durch eine Kraft F
Zug
=
( )
260
140
Newton (N) wird eine Last von A nach B und danach von B
nach C gezogen (siehe nachstehende Skizze).
y in m
x in m
B C
A
80
60 170
Die beim Ziehen dieser Last erbrachte Arbeit W in Newtonmetern (Nm) kann folgender
maßen berechnet werden:
W = F
Zug
· AB + F
Zug
· BC
– Berechnen Sie die Arbeit W .
b) Drei Kräfte F
1
=
( )
800
200
700
N, F
2
=
( )
–100
700
–400
N und F
3
greifen an einem Körper in einem
Punkt an und halten einander das Gleichgewicht, d. h.: F
1
+ F
2
+ F
3
= 0
– Berechnen Sie F
3
.
– Berechnen Sie den Betrag von F
3
.
– Ermitteln Sie denjenigen Winkel, den F
1
und F
2
einschließen.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)
c) Der Geschwindigkeitsverlauf einer durch eine bestimmte Kraft hervorgerufenen Bewegung
ist durch die Funktion v gegeben:
v ( t ) = 2 · t –
t
2
2
t ... Zeit in Sekunden (s)
v ( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in Metern pro Sekunde (m/s)
– Begründen Sie, warum im Zeitintervall 0 ≤ t ≤ 4 gilt: v ( t ) ≥ 0
– Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem das zugehörige Beschleunigung
Zeit Diagramm für 0 ≤ t ≤ 4.
t in s
a ( t ) in m/s
2
0 3 2 1 4
–2
–1
0
1
2
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Kräfte 2

Drohnen
Aufgabennummer: B_362
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Unter einer Drohne versteht man ein unbemanntes Luftfahrzeug, das entweder durch einen
Computer an Bord oder vom Boden aus über eine Fernsteuerung betrieben wird.
a) Die nachstehende Abbildung zeigt die Flugbahn einer Drohne.
h ( x ) in m
x in m
B
C
A
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
h
x ... horizontale Entfernung vom Startpunkt A in m
h ( x ) ... Höhe der Drohne in der Entfernung x in m
Die Flugbahn der Drohne lässt sich näherungsweise durch eine Polynomfunktion h dritten
Grades beschreiben. Die Flugbahn verläuft durch den Punkt B und erreicht ein Minimum
im Punkt C .
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem, das zur Berechnung der Koeffizienten der Poly
nomfunktion benötigt wird.
– Ermitteln Sie eine Gleichung der Polynomfunktion.
– Berechnen Sie die Länge der Flugbahn zwischen A und C.
b) Bei der Fertigung von Drohnen werden Roboterarme
eingesetzt.
Ein zweiteiliger Arm eines Roboters lässt sich am Com
puter durch zwei Vektoren beschreiben, die durch die
Punkte A = (1|1|1), B = (3|4|5) und C = (5|2|–1) festgelegt
sind (Maße in m).
– Berechnen Sie den Winkel δ zwischen den beiden
Roboterarmen.
c) Für eine Drohne werden Kondensatoren mit einer bestimmten Kapazität benötigt. Die
Kapazitäten sind annähernd normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 1,2 Mikro
farad (μF). Aus einer Lieferung werden 30 Kondensatoren entnommen. Die Messungen der
Kapazitäten ergaben den Mittelwert x = 12 μF.
– Ermitteln Sie das zweiseitige 95 % Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ der
Kapazität.
– Begründen Sie, warum sich die Breite des 95 % Konfidenzintervalls halbiert, wenn der
Stichprobenumfang vervierfacht wird.
Drohnen 2
A
B
C
δ
d) Ein Unternehmen produziert Drohnen. Die anfallenden Kosten werden durch die Kosten
funktion K in Abhängigkeit von der produzierten Menge x beschrieben. Der durch den Ver
kauf dieser Drohnen entstehende Erlös in Abhängigkeit von der abgesetzten Menge wird
durch die Erlösfunktion E beschrieben (siehe nachstehende Grafik).
E ( x ), K ( x ) in GE
x in ME
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
–20
–30
–10
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
E
K
– Schätzen Sie mithilfe der Grafik den maximalen Gewinn ab.
– Zeichnen Sie in der Grafik näherungsweise den Graphen der Gewinnfunktion G ein.
– Kennzeichnen Sie in der Grafik die Gewinnschwelle und die obere Gewinngrenze.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Drohnen 3

CO
2
-Gehalt der Luft*
Aufgabennummer: B_398
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der CO
2
-Gehalt der Luft ist ein wichtiger Indikator für die Qualität der Luft. Er wird als Volumen-
anteil in parts per million (ppm) angegeben.
a) Die Luft in einem geschlossenen Raum mit einem Luftvolumen von 800 m
3
hat einen
CO
2
-Gehalt von 1 100 ppm.
– Ermitteln Sie das CO
2
-Volumen (in m
3
) in diesem Raum.
Eine Lüftungsanlage wird zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet. Es strömt nun gleichmäßig
Frischluft mit einem CO
2
-Gehalt von 400 ppm in den Raum. Die Durchflussrate beträgt
dabei 2,5 m
3
/s. Gleichzeitig wird die durchmischte Luft mit derselben Durchflussrate ab-
gesaugt.
– Stellen Sie eine Differenzialgleichung auf, die das CO
2
-Volumen im Raum in Abhängig-
keit von der Zeit darstellt. V ( t ) ist dabei das CO
2
-Volumen (in m
3
) zum Zeitpunkt t (in s).
b) In Schulklassen ist der CO
2
-Gehalt an Wintertagen nach 2 Unterrichtsstunden annähernd
normalverteilt. Eine Stichprobe in 7 zufällig ausgewählten Klassen ergibt folgende Mess-
werte:
CO
2
-Gehalt in ppm 2 500 2 780 3 500 4 000 2 800 2 740 3 850
– Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert x und die Stichprobenstandardabweichung
s
n – 1
dieser Messwerte.
– Ermitteln Sie den zweiseitigen 95-%-Vertrauensbereich für den Erwartungswert μ des
CO
2
-Gehalts.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)

Kalt – warm (1)*
Aufgabennummer: B_394
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) In der unten stehenden Grafik ist ein Erwärmungsvorgang dargestellt, der durch die
Funktion T beschrieben wird:
T ( t ) = a ∙ (1 – ℯ
–
t
8 ) + 20 mit t ≥ 0
t ... Zeit nach Beginn des Vorgangs in min
T ( t ) ... Temperatur zur Zeit t in °C
a ... Konstante
Der Graph dieser Funktion T ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Temperatur in °C
Zeit in min
T
0 50 40 30 20 10 60
–10
0
90
80
70
60
50
40
30
20
10
100
– Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Konstante a .
– Interpretieren Sie die nachstehende Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
1
b
·
∫
b
0
T ( t ) d t = 60 °C
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Der Temperaturverlauf von abkühlendem Wasser wird durch die Funktion T beschrieben:
T ( t ) = 8 + 42 ∙ ℯ
–
t
84 mit t ≥ 0
t ... Zeit nach Beginn des Vorgangs in min
T ( t ) ... Temperatur des Wassers zur Zeit t in °C
– Stellen Sie den Temperaturverlauf in den ersten 5 Stunden grafisch dar.
– Stellen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von T zur Zeit t = 0 auf.
Die Tangente soll zur näherungsweisen Beschreibung des Temperaturverlaufs verwendet
werden. Dabei werden Abweichungen von maximal 2 °C toleriert.
– Ermitteln Sie dasjenige Zeitintervall, in dem die Abweichung maximal 2 °C beträgt.
c) Folgende Differenzialgleichung beschreibt den Temperaturverlauf eines abkühlenden Kör-
pers in Abhängigkeit von der Zeit:
d T
d t
= k ∙ ( T – T
U
) mit T > T
U
t ... Zeit
T ... Temperatur
T
U
... Umgebungstemperatur (konstant)
k ... Konstante
Dabei nähert sich die Temperatur T des abkühlenden Körpers der Umgebungs-
temperatur T
U
.
– Argumentieren Sie anhand der Differenzialgleichung, welches Vorzeichen k haben muss.
– Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung mithilfe der Methode
Trennen der Variablen .
– Berechnen Sie die Lösung der Differenzialgleichung mit T (0) = T
0
.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Kalt – warm (1) 2